To ciekawe

Ciężarek zawieszony na sprężynie może zostać wprawiony w drgania. Czy wiecie od czego zależy okres tych drgań? Zapewne przychodzą Wam teraz na myśl różne odpowiedzi. No właśnie, czy zależy on od  masy ciężarka, jego początkowego wychylenia, czyli amplitudy drań, a może od własności sprężyny, takich jak materiał, z którego została wykonana, gęstość zwojów itd. Nie będziemy Was trzymać w niepewności i odpowiemy: doświadczenie pokazuje, że okres drgań ciężarka zależy jedynie od jego masy i od  własności sprężymy, które to własności można opisać jednym parametrem, tzw. stałą sprężystości. Jeśli czujecie się zaskoczeni tą odpowiedzią, bo np. obstawialiście, że wśród wielkości, które wpływają na okres drgań ciężarka na sprężynie jest jego amplituda, to ten e‑materiał jest dla Was! Skorzystajcie z wirtualnego laboratorium dołączonego do tego e‑materiału i sami przekonajcie się o prawdziwości  naszych słów.

Roe8sRv8t1DEw

Fot. a. Zdjęcie przedstawia napiętą sprężynę w kolorze srebrnym pokazaną w postaci drucianej spirali. Na końcu sprężyny, z jej prawej strony, znajduje się metalowy haczyk, który mocuje ją do metalowego zaczepu.

Warto przeczytać

Gdy rozciągamy sprężynę ręką, wtedy działa ona na naszą rękę siłą sprężystości opisywaną przez prawo Hooke'a:

gdzie $k$ jest współczynnikiem sprężystościwspółczynnik sprężystościwspółczynnikiem sprężystości sprężyny, zależnym m.in. od tego, z jakiego materiału jest ona wykonana, zaś $\overrightarrow{x}$ to wektor, charakteryzujący wydłużenie sprężyny względem jej długości swobodnej (Rys. 1.a.). Długość swobodnadługość swobodnaDługość swobodna to długość, jaką ma sprężyna, gdy nie działają na nią żadne zewnętrzne siły. Niektóre sprężyny oprócz rozciągania można również ściskać. Są to sprężyny, które, mając długość równą długości swobodnej, posiadają odstępy między sąsiednimi zwojami, jak np. sprężyny amortyzatorów (Rys. 2.) lub sprężyna w długopisie. Wówczas, podczas ściskania również pojawia się siła sprężystości zgodna z prawem Hooke'a. Minus w prawie Hooke'a opisuje fakt, wektor siły sprężystości jest zawsze przeciwnie skierowany do wektora charakteryzującego odkształcenie. Na przykład, gdy sprężyna jest rozciągana, siła sprężystości działa, by sprężynę ścisnąć (Rys. 1.b.), gdy zaś sprężyna jest ściskana, siła sprężystości działa, by sprężynę rozciągnąć (Rys. 1.c.).

R1B9NvbYhxlJ7

Rys. 1. Ilustracja przedstawia trzy rysunki ciała zamocowanego na sprężynie i mogącego poruszać się po powierzchni poziomej. Ciało widoczne jest w postaci zielonego kwadratu o masie mała litera m. Z lewej strony do ciała przymocowana jest sprężyna widoczna w postaci czarnej poziomej spirali. Ciało znajduje się na poziomej i płaskiej powierzchni widocznej w postaci czarnej, poziomej linii. Lwy koniec sprężyny przymocowany jest do ściany widocznej w postaci pionowego, czarnego odcinka. Ciało na sprężynie widoczne jest w trzech pozycjach. a) Ciało na sprężynie widoczne jest w położeniu równowagi, to znaczy nie porusza się i nie działa na nie żadna siła w kierunku poziomym. Odległość w jakiej znajduje się ciało od ściany po lewej stronie, do której przymocowano lewy koniec sprężyny opisano jako długość swobodna. b) W tej części rysunku ciało znajduje się w większej odległości od ściany po lewej stronie, do której przymocowano lewy koniec sprężyny. Sprężyna jest rozciągnięta. Odległość pomiędzy punktem równowagi a punktem, w którym widoczne jest ciało opisano jako wektor x. Odległość tę zaznaczono w postaci czarnej, poziomej strzałki skierowanej w prawo, która zaczyna się w położeniu równowagi i kończy w położeniu środka ciała zamocowanego na rozciągniętej sprężynie. Na ciało działa siła sprężystości wektor wielka litera F z indeksem dolnym mała litera s. Siła ta skierowana jest w lewo i widoczna jest w postaci poziomej, czerwonej strzałki skierowanej w lewo czyli w kierunku położenia równowagi. c) W tej części rysunku ciało znajduje się w mniejszej odległości od ściany po lewej stronie, do której przymocowano lewy koniec sprężyny niż na rysunku a). Sprężyna jest ściśnięta. Odległość pomiędzy punktem równowagi a punktem, w którym widoczne jest ciało opisano wektor x. Odległość tę zaznaczono w postaci czarnej, poziomej strzałki skierowanej w lewo, która zaczyna się w położeniu równowagi i kończy w położeniu środka ciała zamocowanego na ściśniętej sprężynie. Na ciało działa siła sprężystości wektor wielka litera F z indeksem dolnym mała litera s. Siła ta skierowana jest w prawo i widoczna jest w postaci poziomej, czerwonej strzałki skierowanej w prawo czyli w kierunku położenia równowagi.

Oczywiście wszystkie materiały mają pewną wytrzymałość i jeśli za bardzo rozciągniemy sprężynę, w końcu odkształci się ona na stałe, a nawet pęknie. Jeśli jednak nie będziemy rozciągać jej zbyt mocno, prawo Hooke'a będzie spełnione.

Jeśli sprężyna nie jest nadmiernie rozciągana i prawo Hooke'a jest spełnione, wtedy zachodzi następująca zależność:

Zauważmy, że okres $T$ zależy tylko od masy ciężarka i od własności sprężyny. Nie zależy on ani od początkowego wychylenia ciężarka, ani od przyspieszenia grawitacyjnego (jeśli układ znajduje się w polu grawitacyjnym).

Powtórzmy to jeszcze raz, innymi słowami: Gdy ciężarek zaczepiony na sprężynie będziemy puszczali z różnych położeń początkowych, ale bez prędkości początkowej, to okres jego drgań zawsze będzie taki sam!

RWZBPVddyiBab

Rys. 2. Zdjęcie przedstawia amortyzator widoczny w postaci czarnej sprężyny. Sprężyna zamontowana jest wokół lewego widelca tylnego koła motocykla. Jej zadaniem jest amortyzowanie nierówności terenu, po którym porusza się motocyklista jadący na jednośladzie. Amortyzatory montowane są w prawie wszystkich pojazdach kołowych, w tym również często w rowerach.

Teraz nie pozostaje nam nic innego, jak zweryfikować to przewidywanie doświadczalnie. Przykładowe doświadczenie, które można w tym celu wykonać, jest następujące. Na stabilnym statywie zawieszamy pewną sprężynę, a na niej ciężarek. Nie musimy znać współczynnika sprężystości tej sprężyny, ani masy ciężarka. Do ściany przymocowujemy pionowo linijkę tak, aby zero na jej skali znajdowało się na wysokości położenia równowagi ciężarka, a reszta skali znajdowała się niżej. Następnie rozciągamy sprężynę o pewną długość (będzie, to możliwa do odczytania z linijki, amplituda drgań ciężarka). Puszczamy ciężarek, wprawiając go w drgania i mierzymy ich okres przy pomocy stopera. Procedurę tę powtarzamy dla kilku różnych amplitud. Jeśli za każdym razem otrzymamy ten sam okres, oznaczać to będzie, że przewidywania teoretyczne, reprezentowane przez wzór (2) są zgodne z doświadczeniem.

Oczywiście, zmierzone wartości okresu na pewno nie będą idealnie takie same. Aby ściśle zweryfikować zgodność teorii z doświadczeniem, należy wziąć pod uwagę niepewności pomiarowe. W tym celu, przy pomocy komputera lub odręcznie na papierze milimetrowym, wykonujemy wykres okresu od amplitudy: $T\left(A\right)$, pamiętając o tym, żeby punkty pomiarowe nanosić na wykres razem z ich odcinkami niepewności. Postępując w taki sposób powinniśmy otrzymać poziomą prostą, ponieważ według teorii sporządzany wykres jest wykresem funkcji stałej.

Słowniczek