Przećwicz

Rc2xcpsJZqppt

Ćwiczenie 1

RmfeNiYDFCuZe

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Poniższy rysunek przedstawia wykresy czterech funkcji : $y = \sqrt{x}$ , $y = 2 \sqrt{x}$ , $y = x$ , $y = x^{2}$ . Połącz w pary kolory wykresów z odpowienimi funkcjami.

R1E9HOHJXU4QU

Grafika przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą opisaną jako x i pionową jako
y, w zakresie od 0 do 1,5; w tym samym układzie narysowano cztery różnokolorowe krzywe wychodzące z punktu (0,0) i przebiegające różnie w funkcji x, ilustrujące cztery odmienne zależności między
x a y. — Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

R15TaTTpDnPx8

R1BuwARrShjFN

Ćwiczenie 3

R1D0nW34C6CpW

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Poniższy rysunek przedstawia fragment wykresu zależności $T (l) = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$ , okresu $T$ drgań wahadła matematycznego od jego długości $l$ .

R11NPJF5BGF55

Wykres przedstawia zależność okresu drgań
T
T w sekundach od długości wahadła
l
l w metrach: na osi poziomej zaznaczono długość od 0,85 do 1,15 m, na osi pionowej okres od 1,7 do 2,2 s, a czerwona linia prosta rosnąca w prawo pokazuje, że wraz ze wzrostem długości wahadła rośnie jego okres drgań. — Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Przy pomocy stopera uczniowie zmierzyli okres drgań ciężarka zawieszonego na linkach o trzech różnych długościach. W tym celu zmierzyli czas trwania 10 drgań, a wynik podzielili przez 10. Czas reakcji człowieka wynosi ok. 0,2 s. Oznacza to, że uczeń mógł zarówno włączyć, jak i wyłączyć stoper o 0,2 s za wcześnie lub za późno. Graniczna niepewność pomiarowa długości wahadła została przez uczniów oszacowana na 2 cm.

Poniższa tabela przedstawia wyniki pomiarów. Nanieś je na powyższy wykres (możesz go wydrukować). Nie zapomnij o odcinkach niepewności. Odpowiedz na pytanie: Czy wykonane przez uczniów pomiary potwierdzają wzór na okres wahadła matematycznego? Podaj uzasadnienie swojego poglądu.

nr pomiaru	długość wahadła, $l$ [cm]	okres wahadła, $T$ [s]
1	90	1,90
2	100	2,02
3	110	2,08

Pomiar czasu trwania 10 drgań jest obarczony niepewnością graniczną $Δ t = 0, 4 s$ . Oznacza to, że standardowa niepewność pomiarowa takiego pomiaru jest równa $u (t) = \frac{Δ t}{\sqrt{3}} = 0, 23 s$ , a niepewność pomiaru pojedynczego okresu wynosi: $u (T) = \frac{u (t)}{10} = 0, 023 s$ .

W podobny sposób, znając niepewność graniczną pomiaru długości wahadła, można wyznaczyć niepewność standardową $u (l) = \frac{Δ l}{\sqrt{3}} = 1, 2 cm$ .

O tym, w jaki sposób niepewności pomiarowe uwzględnia się przy tworzeniu wykresów, możesz przeczytać w e‑materiale pt. Jak prawidłowo konstruować wykresy?

Wykres zależności $T (l)$ z naniesionymi punktami pomiarowymi przedstawiono na poniższym rysunku. Zauważ, że czerwona linia, odpowiadająca zależności teoretycznej, przechodzi w pobliżu punktów pomiarowych, przecinając ich odcinki niepewności, co świadczy o tym, że wykonane przez uczniów pomiary potwierdzają wzór na okres wahadła matematycznego.

R16GXMCQ5BGGA

RIyP3xYpl5rot

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

R1TF2Ul8rLmnw

Należy przekształcić wzór na okres wahadła i podstawić dane:

$\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\ \Longrightarrow\ l = \frac{gT^2}{4\pi^2} \approx\frac{9,81\,\text{m/s}^2\cdot (5\,\text{s})^2}{4\cdot(3,14)^2}\approx 6,2\,\text{m}\ .$

Ćwiczenie 7

RviFgOddmymFn

Przekształcając wzór na okres drań wahadła, dostajemy

l = \frac{g T^{2}}{4 π^{2}}

Stosunek długości wahadeł można zatem zapisać jako

$\displaystyle \frac{l_A}{l_B} = \frac{T_A^2}{T_B^2} = \frac{(t/7)^2}{(t/5)^2} = \frac{25}{49} \approx 0,51\ ,$

gdzie przez t oznaczono czas, o którym jest mowa w treści zadania.

Ćwiczenie 8

R12MB4Y5tbXZ1

Przyjmijmy, że indeks „z” odpowiada wartościom zadanych wielkości zmierzonym na Ziemi, a indeks „m” - na Marsie. Zatem:

T_{z} = 2 π \sqrt{\frac{l}{g_{z}}}

T_{m} = 2 π \sqrt{\frac{l}{g_{m}}}

Dzieląc dolne równanie przez górne dostajemy:

\frac{T_{m}}{T_{z}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{g_{m}}}}{\frac{1}{\sqrt{g_{z}}}} = \sqrt{\frac{g_{z}}{g_{m}}}

skąd wynika, że

$T_m=\sqrt{\frac{g_z}{g_m}}T_z=\sqrt{\frac{9,81}{3,73}}\cdot2\text{ s}\approx3,24\text{ s}$

Ćwiczenie 9

Udowodnij, że w granicy, gdy długość wahadła matematycznego dąży do zera, częstotliwość jego drgań dąży do nieskończoności. Czy otrzymany wynik jest realistyczny? Jeśli nie, to dlaczego? A może jakieś założenie, które przyjmujemy, przestaje być poprawne?

lim_{l \to 0^{+}} f = lim_{l \to 0^{+}} \frac{1}{T} = lim_{l \to 0^{+}} \frac{1}{2 π \sqrt{\frac{l}{g}}} = lim_{l \to 0^{+}} \frac{\sqrt{g}}{2 π \sqrt{l}} = \frac{\sqrt{g}}{2 π} lim_{l \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{l}} = + \infty

W praktyce, gdy długość wahadła dąży do zera, a ciężarek jest bryłą, dla odpowiednio małych długości wahadła nie można stosować przybliżenia punktu materialnego. A używany przez nas wzór opisuje wahadło matematyczne. Żeby stwierdzić, do jakiej wartości faktycznie dąży częstotliwość, będzie trzeba opisać to wahadło jako wahadło fizyczne.

RI8Jo49XrXP4k

Ćwiczenie 9

Przemyśl