Przeczytaj

Od czego może zależeć okres drgań wahadła? Jeśli zastanawiasz się nad tym po raz pierwszy, możesz pomyśleć o różnych wielkościach, np. o długości wahadła, masie ciężarka, amplitudzie drgań, wychyleniu początkowym, prędkości początkowej czy przyspieszeniu grawitacyjnym. Okazuje się, że okres drgań wahadła znacząco zależy tylko od dwóch spośród wymienionych wielkości. Czy zależy on od długości wahadła? Dowiesz się tego, czytając ten e‑materiał.

R1Nq27kpbZ3LB

Rys. a. Zdjęcie przedstawia zabytkowy drewniany zegar ścienny z białym cyferblatem (tarczą), czarnymi metalowymi wskazówkami i mosiężnym wahadłem mocowanym od tyłu tarczy. Okres drgań mosiężnego wahadła wykorzystywany jest do odmierzania czasu.

Wahadłem matematycznymwahadło matematyczneWahadłem matematycznym nazywamy zawieszone na nieważkiej nitce ciało, które ma niewielkie rozmiary w porównaniu z długością nitki - możemy je więc traktować jako punkt materialny. Sznurek mocujemy nieruchomo i pozwalamy wahadłu wykonywać ruch po łuku okręgu w pewnej ustalonej płaszczyźnie.

Zatem, jeśli zawiesimy małą kulkę o średnicy 2 cm na metrowej lince, to zbudujemy wahadło matematyczne (Rys. 1a.). Wahadłem matematycznym nie będzie natomiast kula o średnicy jednego metra zawieszona na pięciocentymetrowym haku (Rys. 1b.). W tym przypadku ciężko byłoby kogoś przekonać, że zastąpienie kuli punktem materialnym jest sensownym przybliżeniem.

R8GVYN20pwP6a

Rysunek podzielono na dwie części opisane małymi literami a i b. Obie części przedstawiają schematyczne rysunki wahadeł matematycznych przymocowanych do poziomego prostokąta. Z punktu mocowania wahadeł poprowadzono pionowo w dół przerywaną niebieską linię. Linia symbolizuje położenie równowagi wahadła matematycznego. W części opisanej małą literą a wahadło pokazano w postaci niebieskiej kulki zawieszonej na cienkiej, nieważkiej i nierozciągliwej nitce narysowanej niebieską linią. Wahadło odchylone jest od położenia równowagi w prawą stronę. Długość nitki jest znacznie większa niż wychylenie wahadła. W części opisanej małą literą b wahadło pokazano w postaci dużej czerwonej kulki zawieszonej na cienkiej, nieważkiej i nierozciągliwej nitce narysowanej czerwoną linią. Wahadło odchylone jest od położenia równowagi w prawą stronę. Długość nitki jest porównywalna z wychyleniem wahadła.

Dopóki amplituda drgań wahadła matematycznego jest dużo mniejsza od jego długości, okres drgańokres drgańokres drgań wahadła obliczamy ze wzoru

gdzie $l$ jest długością wahadła, zaś $g$ jest przyspieszeniem ziemskim. Mówimy wtedy, że drgania wahadła mają charakter izochronicznyizochronizmizochroniczny, tzn. okres drgań nie zależy od amplitudy drgań. Jest to jednak przybliżenie.

Teoria przewiduje, że im dłuższe jest wahadło, tym wolniej drga, tj. okres drgań jest większy. Postać zależności przedstawiona powyższym wzorem mówi, że aby zwiększyć okres drgań wahadła dwukrotnie, należałoby wydłużyć je czterokrotnie.

Spróbujmy wykonać wykres przewidywanej zależności okresu od długości wahadła, $T\left(l\right)$. Jeśli opisujemy wahadło znajdujące się na powierzchni Ziemi, wtedy $g=\mathrm{9,81}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$. Wstawiając to do wyrażenia na $T\left(l\right)$ otrzymujemy

więc

Sens dzielenia pod pierwiastkiem jest taki, że w wyniku daje wartość długości w metrach, ale bez jednostki. Podobnie należy rozumieć sekundę po prawej stronie wzoru.

Czy potrafisz narysować wykres takiej funkcji? Jeśli tak, to wspaniale! Jeśli nie, zawsze możesz wykonać tabelkę jej wartości w arkuszu kalkulacyjnym. My natomiast zrobimy to inaczej. Podnosząc ostatnie wyrażenie obustronnie do kwadratu, otrzymamy

Wykres $l(T)$ to prawe ramię paraboli, ponieważ $T>0$ (Rys. 2a.). Zauważmy teraz, że zamieniając osie tego wykresu w taki sposób, jak pokazano na Rys. 2b., dostajemy wykres zależności $T\left(l\right)$, czyli ten, o który nam chodziło.

RhKrBUgpsdlp4

Rys. 2. Ilustracja podzielona jest na dwie części opisane małymi literami a i b. W części opisanej małą literą a pokazano układ współrzędnych, w którym oś pionowa skierowana w górę przedstawia długość wahadła wyrażoną w metrach mała litera l i w nawiasie kwadratowym mała litera m, a oś pozioma skierowana w prawo przedstawia długość okresu wahadła wyrażoną w sekundach wielka litera T i w nawiasie mała litera s. Na osi długości zaznaczono wartości od zera do jednego i dwudziestu pięciu setnych metra, co dwadzieścia pięć setnych metra. Na osi długości okresu zaznaczono wartości od zera do dwóch i pół sekundy, pół sekundy. W układzie pokazano funkcję narysowaną czerwoną linią. Funkcja jest rosnąca parabolicznie. W części opisanej małą literą b pokazano układ współrzędnych, w którym oś pionowa skierowana w górę przedstawia długość okresu wahadła wyrażoną w sekundach wielka litera T i w nawiasie mała litera s, a oś pozioma skierowana w prawo przedstawia długość wahadła wyrażoną w metrach mała litera l i w nawiasie kwadratowym mała litera m. Na osi długości okresu zaznaczono wartości od zera do dwóch i pół sekundy, co pół sekundy. Na osi długości zaznaczono wartości od zera do jednego i dwudziestu pięciu setnych metra, co dwadzieścia pięć setnych metra. W układzie pokazano funkcję narysowaną czerwoną linią. Funkcja jest rosnąca i przypomina funkcję proporcjonalną do pierwiastka z długości wahadła.

Wiemy już więc, jaka jest przewidywana teoretycznie zależność okresu wahadła matematycznego od jego długości. Nie pozostaje nam nic innego, jak zweryfikować tę zależność doświadczalnie! W tym celu można wykonać następujący eksperyment: na wydruku lub papierze milimetrowym przygotowujemy teoretycznie przewidywany wykres zależności okresu $T$ od długości $l$ - podobnie, jak było to pokazane powyżej. Następnie przywiązujemy nitkę do ciężarka i montujemy wykonane w ten sposób wahadło na statywie. Mierzymy długość wahadła, czyli odległość od punktu zaczepienia nici na statywie do środka masy ciężarka. Później wprawiamy wahadło w drgania o możliwie małej amplitudzie i mierzymy okres jego ruchu przy pomocy stopera. Powtarzamy tę procedurę dla kilku długości wahadła. W ten sposób uzyskujemy punkty pomiarowe, które umieszczamy na przygotowanym wcześniej wykresie. Im więcej tych punktów tym bardziej wiarygodne będą nasze wnioski.

Aby ściśle zweryfikować zgodność przewidywania teoretycznego z doświadczeniem, należy umieścić na wykresie punkty pomiarowe wraz z odcinkami niepewności pomiarowych (zob. e‑materiał pt. Jak prawidłowo konstruować wykresy?). Jeśli krzywa teoretyczna przebiega obok punktów pomiarowych, ale przechodzi przez wszystkie odcinki niepewności, wówczas mamy pewność, że wyniki pomiarów potwierdzają zależność teoretyczną.

Słowniczek