Zasady oceniania

2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia ciepła topnienia lodu oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką.

1 pkt - zapisanie wzoru na ciepło dostarczone w procesie topnienia lodu oraz zapisanie wyrażenia określającego tempo dostarczania energii do topionej masy $m$.

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz

Korzystamy ze wzoru na ciepło dostarczone w procesie topnienia lodu oraz z wyrażenia określającego tempo dostarczania energii do topniejącej masy $m$ :

$Q_{2}=m L \quad \text { oraz } \quad u=\frac{Q_{2}}{\Delta t_{2}}$ $u \Delta t_{2}=m L \quad \rightarrow \quad L=\frac{u \Delta t_{2}}{m}$

Komentarz

Podstawiamy dane liczbowe z treści zadania i z wykresu:

$L=\frac{u \Delta t_{2}}{m}=\frac{1050 \mathrm{~J} / \mathrm{min} \cdot 16 \mathrm{~min}}{0,050 \mathrm{~kg}}=336000 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~kg}}$

Zasady oceniania

2 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu ciepeł właściwych i podanie prawidłowego wyniku liczbowego.

1 pkt - zapisanie wyrażeń na ciepło właściwe wody oraz lodu łącznie z zapisaniem wyrażenia określającego tempo dostarczania energii do ogrzewanej masy $m$.

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz

Korzystamy ze wzorów na ciepło dostarczone w procesie ogrzewania lodu, ciepło dostarczone w procesie ogrzewania wody oraz z wyrażenia określającego tempo dostarczania energii do ogrzewanej masy $m$ :

$\begin{array}{ccccc} Q_{1}=m c_{l} \Delta T_{l}\text { oraz }u=\frac{Q_{1}}{\Delta t_{1}}\rightarrowc_{l}=\frac{u}{m \frac{\Delta T_{l}}{\Delta t_{1}}}$ $Q_{3}=m c_{w} \Delta T_{w}\text { oraz }u=\frac{Q_{3}}{\Delta t_{3}}\rightarrowc_{w}=\frac{u}{m \frac{\Delta T_{w}}{\Delta t_{3}}} \end{array}$

Wyznaczamy iloraz ciepeł właściwych wody i lodu, dane odczytamy z wykresu:

$\frac{c_{w}}{c_{l}}=\frac{\frac{\Delta T_{l}}{\Delta t_{1}}}{\frac{\Delta T_{w}}{\Delta t_{3}}} \approx \frac{\frac{20 \mathrm{~K}}{2 \mathrm{~min}}}{\frac{20 \mathrm{~K}}{4 \mathrm{~min}}} \approx 2$

Zasady oceniania

1 pkt - poprawna odpowiedź.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie

D

Zasady oceniania

2 pkt - poprawne wykazanie relacji, odwołujące się prawidłowo do: I zasady termodynamiki oraz tego, że w danym cyklu, $\left|W_{s p r}\right|>\left|W_{\text {roz }}\right|$.

1 pkt - zapisanie I zasady termodynamiki z uwzględnieniem odpowiednich znaków (w przyjętej konwencji) wymienionych ciepeł i wykonanych prac, oraz uwzględnienie, że zmiana energii wewnętrznej w cyklu jest równa zero

LUB

zapisanie zależności, że $\left|W_{s p r}\right|>\left|W_{\text {roz }}\right|$.

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz

Zapiszemy I zasadę termodynamiki dla cyklu. Zmiana energii wewnętrznej w całym cyklu wynosi zero, zatem:

$\Delta U=Q+W=0$

Pracę przeciwko sile parcia podczas sprężania gazu oznaczymy jako $W_{s p r}$, a pracę sił parcia podczas rozprężania oznaczymy jako $W_{\text {roz }}$. Użyjemy konwencji znaków, w której „-” oznacza przepływ energii z układu do otoczenia (tzn. stratę energii przez układ).

$0=\left|W_{s p r}\right|-\left|W_{r o z}\right|+\left|Q_{p o b}\right|-\left|Q_{o d d}\right|$

Powyższe równanie przekształcimy do postaci:

$\left|W_{s p r}\right|-\left|W_{r o z}\right|=\left|Q_{o d d}\right|-\left|Q_{p o b}\right|$

Komentarz

Zauważmy, że pole obszaru pod krzywą sprężania $L P_{2} K$ jest większe od pola obszaru pod krzywą rozprężania $K P_{1} L$. Na podstawie interpretacji pola pod wykresem ciśnienia od objętości jako pracy siły parcia (lub przeciwko sile parcia), stwierdzamy, że:

$\left|W_{s p r}\right|>\left|W_{r o z}\right| \quad \Longrightarrow \quad\left|W_{s p r}\right|-\left|W_{r o z}\right|>0$

W związku z powyższą nierównością i poprzedzającym je równaniem mamy:

$\left|Q_{o d d}\right|-\left|Q_{p o b}\right|>0 \Longrightarrow\left|Q_{o d d}\right|>\left|Q_{p o b}\right| \quad \text { c.b.d.o. }$

Zasady oceniania

3 pkt - poprawna metoda obliczenia ciepła pobranego oraz wynik liczbowy z jednostką (np. jak w krokach 1.-3.).

2 pkt - wykonanie czynności opisanych poniżej za 1 pkt oraz skorzystanie z równania stanu gazu dla przemiany izobarycznej oraz izochorycznej (np. jak w kroku 1. i kroku 2.).

1 pkt - zidentyfikowanie przemian A‑B i B‑C, w których jest pobierane ciepło, oraz zapisanie wyrażenia określającego związek całkowitego ciepła pobranego w cyklu z przyrostami temperatur w poszczególnych przemianach (np. jak w kroku 1.).

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz

Dla porządku zapiszemy dane:

$V_{A}=V_{D}=V_{0}=12 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{3} \quad V_{B}=V_{C}=2 V_{0}$ $p_{A}=p_{B}=p_{0}=1 \cdot 10^{5} \mathrm{~Pa} \quad p_{C}=p_{D}=2 p_{0}$ $C_{V}=\frac{3}{2} R \quad C_{p}=\frac{5}{2} R$

Komentarz (krok 1.)

Ciepło jest pobierane w przemianach $A-B$ i $B-C$. Zapiszemy wyrażenie określające co do wartości bezwzględnej związek całkowitego ciepła pobranego w cyklu z przyrostami temperatur w poszczególnych przemianach:

$\left|Q_{p o b}\right|=\left|Q_{A B}\right|+\left|Q_{B C}\right|=n C_{p}\left|\Delta T_{A B}\right|+n C_{V}\left|\Delta T_{B C}\right|$

Komentarz (krok 2.)

Z równania stanu wyprowadzimy związki pomiędzy parametrami stanu na początku i końcu przemiany izobarycznej $A-B$ oraz na początku i końcu przemiany izochorycznej $B-C$ :

$\begin{array}{lllll} n R T=p V\xrightarrow{A-B, p=p_{0}}n R\left(T_{B}-T_{A}\right)=p_{0}\left(V_{B}-V_{A}\right)\rightarrown R \Delta T_{A B}=p_{0} V_{0}$ $n R T=p V\xrightarrow{B-C, V=2 V_{0}}n R\left(T_{C}-T_{B}\right)=\left(p_{C}-p_{B}\right) 2 V_{0}\rightarrown R \Delta T_{B C}=2 p_{0} V_{0} \end{array}$

Komentarz (krok 3.)

Obliczymy ciepło pobrane z wykorzystaniem wzorów w kroku 1. i kroku 2. oraz danych:

$\left|Q_{p o b}\right|=n \frac{5}{2} R\left|\Delta T_{A B}\right|+n \frac{3}{2} R\left|\Delta T_{B C}\right|=\frac{5}{2} p_{0} V_{0}+\frac{3}{2} 2 p_{0} V_{0}=5,5 p_{0} V_{0}$ $\left|Q_{p o b}\right|=5,5 \cdot 10^{5} \mathrm{~Pa} \cdot 12 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{3}=660 \mathrm{~J}$

Zasady oceniania

1 pkt - poprawna odpowiedź.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie

A

Zasady oceniania

2 pkt - poprawne zaznaczenia w trzech zdaniach.

1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch zdaniach.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

P, F, F. 

Zasady oceniania

2 pkt - poprawna metoda obliczenia pracy całkowitej oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką

1 pkt - przyrównanie $E P C$ pompy ciepła do efektywności maksymalnej $E P C_{\text {max }}$ pompy idealnej, łącznie z prawidłową identyfikacją wielkości fizycznych w obu wzorach LUB

• prawidłowe obliczenie $E P C_{\text {max }}$.

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz

Zgodnie z założeniem w zadaniu, przyrównamy $E P C$ pompy ciepła do efektywności maksymalnej $E P C_{\text {max }}$ pompy idealnej:

$E P C=E P C_{\max } \quad \rightarrow \quad \frac{\left|Q_{\text {odd }}\right|}{\left|W_{\text {cal }}\right|}=\frac{T_{2}}{T_{2}-T_{1}}$

Podstawiamy dane i wykonujemy obliczenia:

$\frac{85300 \mathrm{~kJ}}{\left|W_{c a l}\right|}=\frac{298 \mathrm{~K}}{15 \mathrm{~K}} \rightarrow \frac{85300 \mathrm{~kJ}}{\left|W_{c a l}\right|} \approx 19,9 \quad \rightarrow \quad\left|W_{c a l}\right| \approx 4290 \mathrm{~kJ}$

Egzamin maturalny 23 maja 2024 r. Formuła 2023

Zasady oceniania

1 pkt - poprawna odpowiedź.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

A3

Zasady oceniania

1 pkt - poprawna odpowiedź i jej uzasadnienie.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Odpowiedź: Uwzględnienie ciśnienia par rtęci do obliczenia wysokości słupa rtęci z dokładnością do czterech cyfr znaczących nie ma wpływu na wynik.

Uzasadnienie: Ciśnienie atmosferyczne wynosi 101300 Pa , natomiast ciśnienie par rtęci jest równe $0,16 \mathrm{~Pa}$. Tak mały wkład może wnosić poprawkę do wyniku w siódmej lub szóstej cyfrze znaczącej - tzn. ciśnienie par rtęci należałoby uwzględnić, jeżeli wynik miałby być podany z dokładnością do sześciu lub więcej cyfr znaczących.

Zasady oceniania

2 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości słupa rtęci oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką zaokrąglonego do czterech cyfr znaczących. 1 pkt - przyrównanie ciśnienia rtęci wewnątrz rurki do ciśnienia rtęci na zewnątrz rurki na tym samym poziomie oraz prawidłowe zastosowanie wzoru (z poprawną identyfikacją wielkości) na ciśnienie wysokości słupa rtęci. 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz

Zgodnie z prawem Pascala, ciśnienie w cieczy jednorodnej na tym samym poziomie jest stałe. Porównujemy ciśnienia na tym samym poziomie rtęci w punktach $A$ i $B$ :

$p_{A}=p_{B}$

RE1N3QRJPF34L

Ciśnienie w punkcie $A$ jest równe ciśnieniu atmosferycznemu, a ciśnienie w punkcie $B$ jest równe sumie ciśnienia słupa rtęci i ciśnienia $p_{n}(T)$ pary nad słupem rtęci. Zastosujemy wzór na ciśnienie słupa rtęci, a ciśnienie pary rtęci pominiemy:

$p_{A}=p_{a t} \quad p_{B}=p_{n}(T)+\rho(T) g h \approx \rho(T) g h$

$p_{a t}=\rho(T) g h$ $h \approx \frac{1013 \cdot 10^{2} \mathrm{~Pa}}{13,55 \cdot 10^{3} \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{3}} \cdot 9,807 \frac{\mathrm{~N}}{\mathrm{~kg}}}=0,762314 \ldots \mathrm{~m} \approx 762,3 \mathrm{~mm}$

Zasady oceniania

2 pkt - poprawne zaznaczenia w trzech stwierdzeniach.

1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

P, F, P.

Zasady oceniania

Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.

Warunek VB

[wyznaczenie $V_{B}$ ]: zapisanie równania wynikającego z równań Clapeyrona dla stanów $B$ i $A$ lub stwierdzenie (słownie bądź zapisem matematycznym) że przemiana $A \rightarrow B$ jest izochoryczna oraz wyznaczenie (poprzez $V_{1}$ ) prawidłowej objętości gazu w stanie $B$, np. zapisy równoważne poniższym:

$\left(\frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}}=\frac{3 p_{1} V_{B}}{3 T_{1}} \text { lub } V_{A}=V_{B} \quad \text { lub } A \rightarrow B \text { jest izochoryczna }\right) \quad \text { oraz } \quad V_{B}=V_{1}$

Warunek VC

[wyznaczenie $V_{C}$ ]: zapisanie równania wynikającego z równań Clapeyrona dla stanów $C$ i $A$ lub skorzystanie z własności przemiany izobarycznej ( $V \propto T$ ) oraz wyznaczenie (poprzez $V_{1}$ ) prawidłowej objętości gazu w stanie $C$, np. zapisy równoważne poniższym:

$\left(\frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{1} V_{C}}{3 T_{1}} \quad \text { lub } \quad V \propto T \quad \text { lub } C \rightarrow A \text { jest izobaryczna }\right) \quad \text { oraz } \quad V_{C}=3 V_{1}$

Warunek VX1

[wyznaczenie $V_{X}$ sposobem 1.]: zapisanie równania wynikającego z równań Clapeyrona dla stanów $X$ i $A$ oraz wyznaczenie (poprzez $V_{1}$ ) prawidłowej objętości gazu w stanie $X$, np. zapisy równoważne poniższym:

$\frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}}=\frac{2 p_{1} V_{X}}{3 T_{1}} \quad \text { oraz } \quad V_{X}=\frac{3}{2} V_{1}$

Warunek 2_równania:

zapisanie dwóch równań wynikających z równań Clapeyrona dla par stanów: $B$ i $A$ lub $C$ i $A$ lub $X$ i $A$, np. zapisy równoważne poniższym:

$\text { dwa równania spośród: } \frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{B} V_{B}}{T_{B}} \text { lub } \frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{C} V_{C}}{T_{C}} \text { lub } \frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{X} V_{X}}{T_{X}}$

Warunek Punkty_ABC:

poprawne zaznaczenie na wykresie ( $V, p$ ) stanów $A, B, C$ (niezależnie od poprawności linii łączących stany lub ich braku, nie musi być żadnych obliczeń).

Warunek Wykres_ABCX

poprawne zaznaczenie na wykresie ( $V, p$ ) stanów $A, B, C, X$ oraz narysowanie poprawnej zależności ciśnienia $p$ od objętości $V$ (z uwzględnieniem kształtu izotermy, tzn. łuku przechodzącego przez punkt $X$ w cyklu przemian $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ ).

Warunek VX2

[wyznaczenie $V_{X}$ sposobem 2.] zapisanie równania wynikającego z równań Clapeyrona dla stanów $X$ i $B$ lub skorzystanie z własności przemiany izotermicznej ( $V \propto \frac{1}{p}$ ) oraz wyznaczenie (poprzez $V_{1}$ ) prawidłowej objętości gazu w stanie $X$, np. zapisy równoważne poniższym:

$\left(p_{B} V_{B}=p_{X} V_{X} \quad \text { lub } \quad V \propto \frac{1}{p} \text { lub } B \rightarrow X \text { jest izotermiczna }\right) \quad \text { oraz } \quad V_{X}=\frac{3}{2} V_{1}$

Warunek VX3

[wyznaczenie $V_{X}$ sposobem 3.] zapisanie równania wynikającego z równań Clapeyrona dla stanów $X$ i $C$ lub skorzystanie z własności przemiany izotermicznej ( $V \propto \frac{1}{p}$ ) oraz wyznaczenie (poprzez $V_{1}$ ) prawidłowej objętości gazu w stanie $X$, np. zapisy równoważne poniższym:

$\left(p_{C} V_{C}=p_{X} V_{X} \text { lub } V \propto \frac{1}{p} \text { lub } X \rightarrow C \text { jest izotermiczna }\right) \quad \text { oraz } \quad V_{X}=\frac{3}{2} V_{1}$

Schemat punktowania

4 pkt - spełnienie warunku VB oraz warunku VC oraz warunku (VX1 lub VX2 lub VX3) oraz warunku Wykres_ABCX. 3 pkt - spełnienie warunku VB oraz warunku VC oraz warunku Punkty_ABC

LUB

• spełnienie warunku VB oraz warunku VC oraz warunku (VX1 lub VX2 lub VX3) LUB

• spełnienie warunku Wykres_ABCX oraz warunku (VX1 lub VX2 lub VX3)

2 pkt - spełnienie warunku VB oraz warunku VC

LUB

• spełnienie warunku VB oraz warunku (VX1 lub VX2)

LUB

• spełnienie warunku VC oraz warunku (VX1 lub VX3)

LUB

• spełnienie warunku Wykres_ABCX (bez spełnienia innych warunków, bez żadnych obliczeń) LUB

• spełnienie warunku Punkty_ABC oraz warunku (VB lub VC)

1 pkt - spełnienie warunku VB LUB

• spełnienie warunku VC

LUB

• spełnienie warunku VX1

LUB

• spełnienie warunku 2_równania

LUB

• spełnienie warunku Punkty_ABC (bez spełnienia innych warunków, bez żadnych obliczeń) 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwaga dodatkowa

Warunek Wykres_ABCX nie będzie uznany jako spełniony, jeżeli zamiast linii w postaci łuku łączącego punkty $B X C$, będzie to krzywa łamana złożona z odcinków prostych $B X$ oraz $X C$.

Przykładowe pełne rozwiązanie

RG1M1Q5K499Z9

$\operatorname{Stan} A$ ma na wykresie współrzędne:

$A=\left(V_{A} ; p_{A}\right)=\left(V_{1} ; p_{1}\right)$

Współrzędne stanu $B=\left(V_{B} ; p_{B}\right)$ wyrazimy - odpowiednio - za pomocą $V_{1}$ i $p_{1}$. Z równań Clapeyrona dla stanów $A$ i $B$ oraz z wykresu 1. wynika, że:

$& \frac{p_{A} V_{A}}{T_{A}}=\frac{p_{B} V_{B}}{T_{B}} \quad \text { gdzie } \quad\left(p_{B}=3 p_{1} \quad \text { oraz } T_{B}=3 T_{1}\right) \quad \text { zatem }$ $& \frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}}=\frac{3 p_{1} V_{B}}{3 T_{1}} \quad \rightarrow \quad V_{B}=V_{1} \quad \rightarrow \quad B=\left(V_{B} ; p_{B}\right)=\left(V_{1} ; 3 p_{1}\right)$

Współrzędne stanu $C=\left(V_{C} ; p_{C}\right)$ wyrazimy - odpowiednio - za pomocą $V_{1} \mathrm{i} p_{1}$. Z równań Clapeyrona dla stanów $A$ i $C$ oraz z wykresu 1 . wynika, że:

$& \frac{p_{A} V_{A}}{T_{A}}=\frac{p_{C} V_{C}}{T_{C}} \quad \text { gdzie } \quad\left(p_{C}=p_{1} \quad \text { oraz } T_{C}=3 T_{1}\right) \quad \text { zatem }$ $& \frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{1} V_{C}}{3 T_{1}} \quad \rightarrow \quad V_{C}=3 V_{1} \quad \rightarrow \quad C=\left(V_{C} ; p_{C}\right)=\left(3 V_{1} ; p_{1}\right)$

Dalej wyznaczymy objętość $V_{X}$ stanu $X$. Można to zrobić na trzy różne sposoby.

Sposób 1. wyznaczenia $V_{X}$

Współrzędne stanu $X=\left(V_{X} ; p_{X}\right)$ wyrazimy - odpowiednio - za pomocą $V_{1} \mathrm{i} p_{1}$. Z równań Clapeyrona dla stanów $A$ i $X$ oraz z wykresu 1. wynika, że:

$& \frac{p_{A} V_{A}}{T_{A}}=\frac{p_{X} V_{X}}{T_{X}} \quad \text { gdzie } \quad\left(p_{X}=2 p_{1} \text { oraz } T_{X}=3 T_{1}\right) \quad \text { zatem }$ $& \frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}}=\frac{2 p_{1} V_{X}}{3 T_{1}} \quad \rightarrow \quad V_{X}=\frac{3}{2} V_{1} \quad \rightarrow \quad X=\left(V_{X} ; p_{X}\right)=\left(\frac{3}{2} V_{1} ; 2 p_{1}\right)$

Sposób 2. wyznaczenia $V_{X}$

Współrzędne stanu $X=\left(V_{X} ; p_{X}\right)$ wyrazimy - odpowiednio - za pomocą $V_{1}$ i $p_{1}$. Z równań Clapeyrona dla stanów $B$ i $X$ oraz z wykresu 1. oraz z własności przemiany izotermicznej $B \rightarrow C$ wynika, że:

$& p_{B} V_{B}=p_{X} V_{X} \quad \text { gdzie } \quad\left(p_{B}=3 p_{1} \quad \text { oraz } \quad V_{B}=V_{1} \quad \text { oraz } p_{X}=2 p_{1}\right) \quad \text { zatem }$ $& 3 p_{1} V_{1}=2 p_{1} V_{X} \quad \rightarrow \quad V_{X}=\frac{3}{2} V_{1} \quad \rightarrow \quad X=\left(V_{X} ; p_{X}\right)=\left(\frac{3}{2} V_{1} ; 2 p_{1}\right)$

Sposób 3. wyznaczenia $V_{X}$

Współrzędne stanu $X=\left(V_{X} ; p_{X}\right)$ wyrazimy - odpowiednio - za pomocą $V_{1} \mathrm{i} p_{1}$. Z równań Clapeyrona dla stanów $C$ i $X$ oraz z wykresu 1. oraz z własności przemiany izotermicznej $B \rightarrow C$ wynika, że:

$& p_{C} V_{C}=p_{X} V_{X} \quad \text { gdzie } \quad\left(p_{C}=p_{1} \quad \text { oraz } \quad V_{C}=3 V_{1} \quad \text { oraz } p_{X}=2 p_{1}\right) \quad \text { zatem }$ $& p_{1} \cdot 3 V_{1}=2 p_{1} V_{X} \quad \rightarrow \quad V_{X}=\frac{3}{2} V_{1} \quad \rightarrow \quad X=\left(V_{X} ; p_{X}\right)=\left(\frac{3}{2} V_{1} ; 2 p_{1}\right)$

Zasady oceniania

2 pkt - poprawna metoda obliczenia ciepła oddanego w cyklu oraz zapisanie poprawnego wyrażenia na ciepło oddane: $\left|Q_{C A}\right|=5 n R T_{1}$

1 pkt - identyfikacja ciepła oddanego przez gaz jako ciepła wymienionego z otoczeniem w przemianie $C \rightarrow A$ oraz zapisanie związku między ciepłem pobranym w przemianie izobarycznej $C \rightarrow A$ a przyrostem temperatury $\Delta T_{C A}$, np. zapisy równoważne poniższym:

$\left|Q_{\text {odd }}\right|=\left|Q_{C A}\right| \quad \text { oraz } \quad\left|Q_{C A}\right|=\left|n C_{p} \Delta T_{C A}\right|$

LUB

• identyfikacja ciepła oddanego przez gaz jako ciepła wymienionego z otoczeniem w przemianie $C \rightarrow A$ oraz zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany $C \rightarrow A$ z poprawnym uwzględnieniem konwencji znaków energii lub z poprawnym zastosowaniem wzoru na pracę albo zmianę energii wewnętrznej

$\left|Q_{\text {odd }}\right|=\left|Q_{C A}\right| \quad \text { oraz } \quad\left(-\left|\Delta U_{C A}\right|=-\left|Q_{C A}\right|+\left|W_{C A}\right| \quad \text { lub } \quad \Delta U_{C A}=Q_{C A}-p \Delta V \quad\right. \text { lub }$

$\text { lub } \left.n C_{V} \Delta T_{C A}=Q_{C A}+W_{C A}\right)$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1. (zastosowanie wzoru na ciepło w przemianie izobarycznej)

Obliczymy ciepło oddane przez gaz w cyklu. Gaz oddaje ciepło tylko w przemianie $C \rightarrow A$ (izobarycznej):

$\text { 1) } Q_{\text {odd }}=Q_{C A}$

Do wyznaczenia $\left|Q_{C A}\right|$ zastosujemy wzór na ciepło wymienione w przemianie izobarycznej:

$\text { 2) }\left|Q_{C A}\right|=\left|n C_{p} \Delta T_{C A}\right|$

Zastosujemy związek między ciepłem molowym przy stałej objętości a ciepłem molowym przy stałym ciśnieniu:

$\text { 3) } C_{p}=C_{V}+R=\frac{3}{2} R+R=\frac{5}{2} R$

Do równania 2) podstawimy związek 3) oraz przyrost temperatury $\Delta T_{C A}$ odczytany z wykresu 1.: 4) $\left|Q_{C A}\right|=\left|n \frac{5}{2} R\left(T_{1}-3 T_{1}\right)\right|=5 n R T_{1}$

Sposób 2. (zastosowanie I zasady termodynamiki)

Obliczymy ciepło oddane przez gaz w cyklu. Gaz oddaje ciepło tylko w przemianie $C \rightarrow A$ (izobarycznej):

$\text { 1) } Q_{\text {odd }}=Q_{C A}$

Do wyznaczenia $\left|Q_{C A}\right|$ zastosujemy I zasadę termodynamiki. Zastosujemy konwencję, zgodnie z którą, gdy gaz traci energię w postaci pracy lub ciepła, to zapisujemy ją ze znakiem minus, a gdy zyskuje energię w postaci pracy lub ciepła, to zapisujemy ją ze znakiem plus.

Podczas sprężania izobarycznego gaz oddaje do otoczenia energię w postaci ciepła i jednocześnie zyskuje z zewnątrz energię w postaci pracy wykonanej nad układem. Ponadto uwzględnimy od razu, że zmiana energii wewnętrznej jest ujemna, ponieważ temperatura w przemianie izobarycznej $C \rightarrow A$ zmalała. Zapiszemy I zasadę termodynamiki:

$\text { 2a) } \left.-\left|\Delta U_{C A}\right|=-\left|Q_{C A}\right|+\left|W_{C A}\right| \rightarrow \quad 2 \mathrm{~b}\right) \quad\left|Q_{C A}\right|=\left|W_{C A}\right|+\left|\Delta U_{C A}\right|$

W równaniu 2b) uwzględnimy wzór na pracę oraz energię wewnętrzną

$\begin{equation*} \left|Q_{C A}\right|=p\left|\Delta V_{C A}\right|+n C_{V}\left|\Delta T_{C A}\right| \tag{3)} \end{equation*}$

W równaniu 3) uwzględnimy równanie stanu gazu doskonałego:

$\begin{equation*} \left|Q_{C A}\right|=n R\left|\Delta T_{C A}\right|+n C_{V}\left|\Delta T_{C A}\right| \tag{4)} \end{equation*}$

Do równania 4) podstawimy ciepło $C_{V}=\frac{3}{2} R$ oraz przyrost temperatury $\Delta T_{C A}$ odczytany z wykresu 1.: 5) $\quad\left|Q_{C A}\right|=n R \cdot 2 T_{1}+n \frac{3}{2} R \cdot 2 T_{1}=5 n R T_{1}$

Zasady oceniania

1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

P, P.

Zasady oceniania

1 pkt - poprawne dokończenie zdania: wpisanie prawidłowej wartości ilorazu $\frac{T_{2}}{T_{4}}$.

0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.

Poprawna odpowiedź

Iloraz temperatur $\frac{T_{2}}{T_{4}}$ gazu w stanach $\mathrm{G}_{2}$ i $\mathrm{G}_{4}$, jest równy 1/2.

Zasady oceniania

4 pkt – poprawna metoda obliczenia sprawności silnika cieplnego oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego (w postaci ułamka lub w procentach): ηeta ≈ 0,12

3 pkt – zapisanie wzoru na sprawność silnika cieplnego oraz zapisanie pracy całkowitej jako różnicy pracy siły parcia w przemianie G2 → G3 i pracy przeciwko sile parcia w przemianie G4 → G1 (lub jako pola figury ograniczonej krzywą cyklu), oraz zapisanie ciepła pobranego jako sumy ciepeł pobranych w przemianach G1 → G2 i G2 → G3, oraz wykorzystanie wzorów na pracę w przemianach izobarycznych, oraz wykorzystanie wzorów na ciepła w przemianach izochorycznej i izobarycznej, oraz wykorzystanie równania stanu do obliczenia różnic temperatur ΔdeltaT12 i ΔdeltaT23, np. zapisy równoważne poniższym (zgodnie z ogólnymi zasadami mogą to być zapisy łączone):

POPRAWIC WZORY

ηeta = Wcalkowita/Qpobrane

oraz

Wcalkowita = 3p1(3V1 − V1) − 2p1(3V1 − V1)

oraz

Qpobrane = n3/2RΔdeltaT12 + n/52RΔdeltaT23 oraz

Δdeltap12V1 = nRΔdeltaT12 i 3p1ΔdeltaV23 = nRΔdeltaT23

2 pkt – zapisanie wzoru na sprawność silnika cieplnego oraz zapisanie pracy całkowitej jako różnicy pracy siły parcia w przemianie G2 → G3 i pracy przeciwko sile parcia w przemianie G4 → G1 (lub jako pola figury ograniczonej krzywą cyklu), oraz zapisanie ciepła pobranego jako sumy ciepeł pobranych w przemianach G1 → G2 i G2 → G3, oraz wykorzystanie wzorów na pracę w przemianach izobarycznych, oraz wykorzystanie wzorów na ciepła w przemianach izochorycznej i izobarycznej, np. zapisy równoważne poniższy:

POPRAWIC WZORY

ηeta = Wcalkowita Qpobrane

oraz Wcalkowita = 3p1ΔdeltaV23 − 2p1|ΔdeltaV41| oraz Qpobrane = n 3 2 RΔdeltaT12 + n 5 2 RΔdeltaT23

1 pkt – zapisanie wzoru na sprawność silnika cieplnego oraz zapisanie pracy całkowitej jako różnicy pracy siły parcia w przemianie G2 → G3 i pracy przeciwko sile parcia w przemianie G4 → G1 (lub jako pola figury ograniczonej krzywą cyklu), np. zapisy równoważne poniższym:

POPRAWIC WZORY

ηeta = Wcalkowita Qpobrane

oraz Wcalkowita = |W23| − |W41|

LUB – zapisanie wzoru na sprawność silnika cieplnego oraz zapisanie ciepła pobranego jako sumy ciepeł pobranych w przemianach G1 → G2 i G2 → G3, np. zapisy równoważne poniższym:

POPRAWIC WZORY

ηeta = Wcalkowita Qpobrane

oraz Qpobrane = Q12 + Q23

0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Zasady oceniania

1 pkt - odpowiedź poprawna.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie

B

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1A. lub 1B.)

3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wartości bezwzględnej zmiany energii wewnętrznej oraz podanie prawidłowego wyniku: $\left|\Delta U_{41}\right|=3 p_{1} V_{1}$ Uwaga! Zdający może otrzymać 3 pkt, gdy obliczy zmianę energii wewnętrznej i pominie wartość bezwzględną, tzn. gdy otrzyma: $\Delta U_{41}=-3 p_{1} V_{1}$

2 pkt - zapisanie związku między zmianą energii wewnętrznej gazu w przemianie $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ a przyrostem temperatury w przemianie $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ oraz zapisanie/wykorzystanie związku (wynikającego z równania stanu gazu) między przyrostem temperatury a przyrostem objętości w przemianie izobarycznej $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$, np. zapisy równoważne poniższym: $\Delta U_{41}=\frac{3}{2} n R \Delta T_{41} \quad$ oraz $\quad p_{1} \Delta V_{41}=n R \Delta T_{41}$ albo w jednym równaniu $\Delta U_{41}=\frac{3}{2} p_{1} \Delta V_{41}$

LUB

• zapisanie zmiany energii wewnętrznej w przemianie $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ jako różnicy energii wewnętrznych w stanach $\mathrm{G}_{1} \mathrm{i} \mathrm{G}_{4}$ oraz wyrażenie energii wewnętrznej w stanach $\mathrm{G}_{1}$ i $\mathrm{G}_{4}$ za pomocą parametrów $p_{1}, p_{4}$ i $V_{1}, V_{4}$ (wzory mogą być zapisane bezpośrednio lub wyprowadzone z równania stanu i wzoru z temperaturą na energię wewnętrzną) np. zapisy równoważne poniższym:

$\Delta U_{41}=U_{1}-U_{4} \quad \text { oraz } \quad\left(U_{1}=\frac{3}{2} p_{1} V_{1} \quad \text { i } \quad U_{4}=\frac{3}{2} p_{4} V_{4}\right)$

albo w jednym równaniu

$\Delta U_{41}=\frac{3}{2} p_{1} V_{1}-\frac{3}{2} p_{4} V_{4}$

1 pkt - zapisanie związku między zmianą energii wewnętrznej gazu w przemianie $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ a przyrostem temperatury w przemianie $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$, np. zapisy równoważne poniższym: $\Delta U_{41}=\frac{3}{2} n R \Delta T_{41}$

LUB

• zapisanie zmiany energii wewnętrznej w przemianie $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ jako różnicy energii wewnętrznych w stanach $\mathrm{G}_{1}$ i $\mathrm{G}_{4}$ oraz zapisanie/wykorzystanie wzoru (z temperaturą) na energię wewnętrzną dla stanu $\mathrm{G}_{1}$ lub stanu $\mathrm{G}_{4}$, np. zapisy równoważne poniższym:

$\Delta U_{41}=U_{1}-U_{4} \quad \text { oraz } \quad U_{1}=n C_{V} T_{1} \quad U_{4}=n C_{V} T_{4}$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)

3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wartości bezwzględnej zmiany energii wewnętrznej oraz podanie prawidłowego wyniku:

$\left|\Delta U_{41}\right|=3 p_{1} V_{1}$

Uwaga! Zdający może otrzymać 3 pkt, gdy pominie wartość bezwzględną i otrzyma: $\Delta U_{41}=-3 p_{1} V_{1}$ 2 pkt - zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1} \underline{\text { z poprawnym }}$ uwzględnieniem konwencji znaków (stosowanej konsekwentnie) oraz zapisanie związku między ciepłem pobranym w przemianie izobarycznej $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ a przyrostem temperatury, oraz prawidłowe obliczenie pracy siły parcia w przemianie izobarycznej $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ (bezpośrednio ze wzoru lub metodą pola), np. zapisy równoważne poniższym: $\Delta U_{41}=-\left|Q_{41}\right|+\left|W_{41}\right| \quad$ oraz $\quad\left|Q_{41}\right|=\left|n \frac{5}{2} R \Delta T_{41}\right| \quad$ oraz $\quad\left|W_{41}\right|=2 p_{1} V_{1}$ albo w jednym równaniu $\Delta U_{41}=-\left|n \frac{5}{2} R \Delta T_{41}\right|+2 p_{1} V_{1}$

LUB

• zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1} \mathrm{z}$ poprawnym uwzglẹdnieniem konwencji znaków (stosowanej konsekwentnie) oraz zapisanie związku między ciepłem pobranym w przemianie izobarycznej $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ a przyrostem temperatury, oraz prawidłowe zapisanie/wykorzystanie związku (wynikającego z równania stanu gazu) między przyrostem temperatury a przyrostem objętości w przemianie izobarycznej $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$, np. zapisy równoważne poniższym: $\Delta U_{41}=-\left|Q_{41}\right|+\left|W_{41}\right| \quad$ oraz $\quad\left|Q_{41}\right|=\left|n \frac{5}{2} R \Delta T_{41}\right| \quad$ oraz $\quad p_{1} 2 V_{1}=n R \Delta T_{41}$ albo w jednym równaniu $\Delta U_{41}=-\left|5 p_{1} V_{1}\right|+\left|W_{41}\right|$

LUB

• zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ (tu nie wymagamy poprawnej konwencji znaków) oraz zapisanie związku między ciepłem pobranym w przemianie izobarycznej $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ a przyrostem temperatury, oraz prawidłowe zapisanie/wykorzystanie związku (wynikającego z równania stanu gazu) między przyrostem temperatury a przyrostem objętości w przemianie izobarycznej $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$, oraz prawidłowe obliczenie pracy siły parcia w przemianie izobarycznej $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$, (bezpośrednio ze wzoru lub metodą pola), np. zapisy równoważne poniższym: $\Delta U_{41}=Q_{41}+W_{41}$ oraz $Q_{41}=n \frac{5}{2} R \Delta T_{41}$ oraz $p_{1} 2 V_{1}=n R \Delta T_{41} \quad$ oraz $\left|W_{41}\right|=p_{1}\left|\Delta V_{41}\right|=2 p_{1} V_{1}$

1 pkt - zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ oraz zapisanie związku między ciepłem pobranym w przemianie izobarycznej $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ a przyrostem temperatury, np. zapisy (lub zapisy równoważne): $\Delta U_{41}=Q_{41}+W_{41} \quad$ oraz $\quad Q_{41}=n \frac{5}{2} R \Delta T_{41}$

LUB

• zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ oraz prawidłowe obliczenie pracy siły parcia w przemianie izobarycznej $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ (bezpośrednio ze wzoru lub metodą pola), np. zapisy (lub zapisy równoważne): $\Delta U_{41}=Q_{41}+W_{41} \quad$ oraz $\quad\left|W_{41}\right|=p_{1}\left|\Delta V_{41}\right|=2 p_{1} V_{1}$ albo $\Delta U_{41}=Q_{41}+W_{41} \quad$ oraz $\quad\left|W_{41}\right|=$ pole pod $\mathrm{G}_{1} \rightarrow \mathrm{G}_{4}=2 p_{1} V_{1}$ Uwaga! W kryterium za 1 pkt nie wymagamy poprawnego uwzględnienia konwencji znaków w I zasadzie termodynamiki.

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1A. (z zastosowaniem wzoru na energię wewnętrzną i równania stanu)

Wyrazimy wzór na energię wewnętrzną poprzez parametry stanu $p$, i $V$. W tym celu wykorzystamy wzór z temperaturą na energię wewnętrzną i równanie stanu gazu doskonałego z zadanym $C_{V}$ :

$\text { 1) }\left(U=n \frac{3}{2} R T \quad \text { oraz } \quad p V=n R T\right) \quad \rightarrow \quad \text { 2) } U=\frac{3}{2} p V$

Zapiszemy wartość bezwzględną zmiany energii wewnętrznej w przemianie $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ : 3) $\left|\Delta U_{41}\right|=\left|U_{1}-U_{4}\right|$

Różnicę energii wewnętrznych wyrazimy za pomocą wzoru 2): 4) $\left|\Delta U_{41}\right|=\left|\frac{3}{2} p_{1} V_{1}-\frac{3}{2} p_{4} V_{4}\right| \quad$ zatem 5) $\left|\Delta U_{41}\right|=\left|\frac{3}{2} p_{1} V_{1}-\frac{3}{2} p_{1} 3 V_{1}\right|=\left|-3 p_{1} V_{1}\right|=3 p_{1} V_{1}$

Sposób 1B. (z zastosowaniem wzoru na energię wewnętrzną i równania stanu)

Wykorzystamy związek między temperaturą (w tym przypadku przyrostem temperatury) a energią wewnętrzną (w tym przypadku przyrostem energii wewnętrznej) gazu doskonałego jednoatomowego:

1. $\left|\Delta U_{41}\right|=\left|\frac{3}{2} n R \Delta T_{41}\right|$

Zapiszemy związek - wynikający z równania stanu gazu doskonałego - między przyrostem temperatury $\Delta T$ a przyrostem objętości $\Delta V$ w przemianie izobarycznej: 2) $p V=n R T \quad \xrightarrow{p=\text { const }}$ 3) $p \Delta V=n R \Delta T$

Związek wyrażony równaniem 3) wykorzystamy we wzorze 1). Uwzględnimy przy tym, że $p=p_{1}$ oraz $\Delta V=\Delta V_{41}=V_{1}-V_{4}$ : 3) $\left|\Delta U_{41}\right|=\left|\frac{3}{2} p_{1} \Delta V_{41}\right|=\left|\frac{3}{2} p_{1}\left(V_{1}-3 V_{1}\right)\right|=\left|\frac{3}{2} p_{1}\left(-2 V_{1}\right)\right|=3 p_{1} V_{1}$

Sposób 2. (z zastosowaniem I zasady termodynamiki)

Zapiszemy I zasadę dynamiki dla przemiany $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$. Przyjmiemy konwencję, zgodnie z którą stratę energii przez układ w postaci ciepła lub pracy oznaczamy znakiem minus, a wzrost energii w postaci ciepła lub pracy oznaczamy znakiem plus. W przemianie $\mathrm{G}_{4} \rightarrow \mathrm{G}_{1}$ gaz oddaje ciepło (-), a praca jest wykonana nad gazem (+), zatem:

$\text { 1) } \Delta U_{41}=-\left|Q_{41}\right|+\left|W_{41}\right|$

Do wyznaczenia $\left|Q_{41}\right|$ zastosujemy wzór na ciepło w przemianie izobarycznej (gazu jednoatomowego) i związek (wynikający z równania stanu gazu) między przyrostem temperatury a przyrostem objętości w przemianie izobarycznej:

2)$\left|Q_{41}\right|=\left|n \frac{5}{2} R \Delta T_{41}\right| \quad$

oraz $\quad n R \Delta T_{41}=p_{1} \Delta V_{41}$

Z obu powyższych równań wynika, że:

3)$\left|Q_{41}\right|=\left|\frac{5}{2} p_{1} \Delta V_{41}\right|=\left|\frac{5}{2} p_{1}\left(V_{1}-3 V_{1}\right)\right|=\left|\frac{5}{2} p_{1}\left(-2 V_{1}\right)\right|=5 p_{1} V_{1}$

Do wyznaczenia $\left|W_{41}\right|$ zastosujemy związek między pracą a polem pod wykresem zależności $p(V)$ (albo zastosujemy bezpośrednio wzór na pracę siły parcia):

4)$\left|W_{41}\right|=$ pole pod $\mathrm{G}_{1} \rightarrow \mathrm{G}_{4}=2 p_{1} V_{1}$

Wyrażenia końcowe w równaniach 3) i 4) podstawimy do wzoru 1):

5)$\Delta U_{41}=-5 p_{1} V_{1}+2 p_{1} V_{1}=-3 p_{1} V_{1} \quad$

zatem $\quad\left|\Delta U_{41}\right|=3 p_{1} V_{1}$

Zasady oceniania

1 pkt - odpowiedź poprawna.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

P, P.

Zasady oceniania

1 pkt - odpowiedź poprawna.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

A2

Zasady oceniania

(dla rozwiązania sposobem 1.)

3 pkt - poprawna metoda obliczenia pracy siły parcia gazu w drugiej przemianie oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką (znak może być dowolny).

2 pkt - zapisanie I zasady termodynamiki dla drugiej przemiany z poprawnym uwzględnieniem konwencji znaków (stosowanej konsekwentnie) oraz zapisanie związku między ciepłem pobranym w przemianie izobarycznej a przyrostem temperatury, oraz zapisanie związku między przyrostem energii wewnętrznej a przyrostem temperatury, oraz wykorzystanie związku między $C_{V}$ a $C_{p}$, np. zapisy (lub zapisy równoważne):

$n \frac{3}{2} R \Delta T_{2}=\left|Q_{2}\right|-\left|W_{2}\right| \quad \text { oraz } \quad Q_{2}=n \frac{5}{2} R \Delta T_{2}$

1 pkt - zapisanie I zasady termodynamiki dla drugiej przemiany z poprawnym uwzględnieniem konwencji znaków (stosowanej konsekwentnie) oraz zapisanie związku między ciepłem pobranym w przemianie izobarycznej a przyrostem temperatury, np. zapisy (lub zapisy równoważne):

$\Delta U_{2}=\left|Q_{2}\right|-\left|W_{2}\right| \quad \text { oraz } \quad Q_{2}=n C_{p} \Delta T_{2}$

LUB

• zapisanie I zasady termodynamiki dla drugiej przemiany z konsekwentnym uwzględnieniem konwencji znaków oraz zapisanie związku między przyrostem energii wewnętrznej a przyrostem temperatury, np. zapisy (lub zapisy równoważne):

$\Delta U_{2}=\left|Q_{2}\right|-\left|W_{2}\right| \quad \text { oraz } \quad \Delta U_{2}=n C_{V} \Delta T_{2}$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)

3 pkt - poprawna metoda obliczenia pracy siły parcia gazu w drugiej przemianie oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką (znak może być dowolny).

2 pkt - zapisanie (wykorzystanie) wzoru na pracę siły parcia oraz zapisanie (wykorzystanie) związku między ciepłem pobranym w przemianie izobarycznej a przyrostem temperatury, oraz zapisanie (wykorzystanie) związku (wynikającego z równania stanu gazu) między przyrostem temperatury a przyrostem objętości w przemianie izobarycznej, oraz wykorzystanie związku między $C_{V}$ a $C_{p}$, np. zapisy (lub zapisy równoważne):

$\left|W_{2}\right|=n R\left|\Delta T_{2}\right| \quad \text { oraz } \quad Q_{2}=n \frac{5}{2} R \Delta T_{2}$

LUB

• zapisanie (wykorzystanie) wzoru na pracę siły parcia oraz zapisanie (wykorzystanie) związku (wynikającego z równania stanu gazu) między przyrostem temperatury a przyrostem objętości w przemianie izobarycznej, oraz zapisanie I zasady termodynamiki dla drugiej przemiany z poprawnym (konsekwentnym) uwzględnieniem konwencji znaków, oraz zapisanie związku między przyrostem energii wewnętrznej a przyrostem temperatury:

$\left|W_{2}\right|=n R\left|\Delta T_{2}\right| \quad \text { oraz } \quad n \frac{3}{2} R \Delta T_{2}=\left|Q_{2}\right|-\left|W_{2}\right|$

1 pkt - zapisanie wzoru na pracę siły parcia oraz zapisanie związku (wynikającego z równania stanu gazu) między przyrostem temperatury a przyrostem objętości w przemianie izobarycznej, np. zapisy (lub zapisy równoważne):

$& \left|W_{2}\right|=p_{2}\left|\Delta V_{2}\right| \quad \text { oraz } \quad p_{2} \Delta V_{2}=n R \Delta T_{2}$ $& \quad \text { albo }$ $& \left|W_{2}\right|=n R\left|\Delta T_{2}\right|$ $& L U B$

• zapisanie wzoru na pracę siły parcia oraz zapisanie związku między ciepłem pobranym w przemianie izobarycznej a przyrostem temperatury, np. zapisy (lub zapisy równoważne):

$\left|W_{2}\right|=p_{2}\left|\Delta V_{2}\right| \quad \text { oraz } \quad Q_{2}=n C_{p} \Delta T_{2}$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1. (z zastosowaniem I zasady termodynamiki)

Zapiszemy I zasadę dynamiki dla drugiej przemiany. Przyjmiemy konwencję, zgodnie z którą stratę energii przez układ w postaci ciepła lub pracy oznaczamy znakiem minus, a wzrost energii w postaci ciepła lub pracy oznaczamy znakiem plus. W drugiej przemianie gaz pobiera ciepło, siła parcia wykonuje pracę, przyrost energii wewnętrznej jest dodatni (temperatura rośnie proporcjonalnie do objętości), zatem (indeks dolny ${ }_{2}$ oznacza wielkości w drugiej przemianie):

$\text { 1) }\left|\Delta U_{2}\right|=\left|Q_{2}\right|-\left|W_{2}\right|$

Wykorzystamy związek między temperaturą (w tym przypadku przyrostem temperatury) a energią wewnętrzną (w tym przypadku przyrostem energii wewnętrznej) gazu doskonałego

$\text { 2) } \frac{3}{2} n R\left|\Delta T_{2}\right|=\left|Q_{2}\right|-\left|W_{2}\right|$

Wykorzystamy związek między ciepłem $Q_{2}$ pobranym w przemianie przy stałym ciśnieniu (w drugiej przemianie) a przyrostem $\Delta T_{2}$ temperatury w tej przemianie:

$\text { 3) } Q_{2}=\frac{5}{2} n R \Delta T_{2} \quad \rightarrow \quad \text { 4) } \Delta T_{2}=\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{n R} \cdot Q_{2}$

Przyrost temperatury określony wzorem 4) podstawimy do wzoru 2):

5)$\frac{3}{2} n R \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{n R} \cdot\left|Q_{2}\right|=\left|Q_{2}\right|-\left|W_{2}\right|$

6)$\frac{3}{5}\left|Q_{2}\right|=\left|Q_{2}\right|-\left|W_{2}\right| \rightarrow \quad\left|W_{2}\right|=\frac{2}{5}\left|Q_{2}\right|=\frac{2}{5} \cdot 100 \mathrm{~J}=40 \mathrm{~J}$

Sposób 2. (z zastosowaniem wzoru na pracę siły parcia)

Zapiszemy wzór na pracę w przemianie izobarycznej (indeks dolny ${ }_{2}$ oznacza wielkości w drugiej przemianie):

1)$\left|W_{2}\right|=p_{2}\left|\Delta V_{2}\right|$

Przyrost objętości wyznaczymy z równania stanu gazu doskonałego, przy stałym ciśnieniu 2) $p_{2} \Delta V_{2}=n R \Delta T_{2}$

Zależność otrzymaną w 2) podstawimy do równania 1):

3)$\left|W_{2}\right|=n R\left|\Delta T_{2}\right|$

Wykorzystamy związek między ciepłem $Q_{2}$ pobranym w przemianie przy stałym ciśnieniu (w drugiej przemianie) a przyrostem $\Delta T_{2}$ temperatury w tej przemianie:

4)$Q_{2}=\frac{5}{2} n R \Delta T_{2} \quad \rightarrow \quad$ 5)$\Delta T_{2}=\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{n R} \cdot Q_{2}$

Przyrost temperatury określony wzorem 5) podstawimy do wzoru 3):

6)$\left|W_{2}\right|=n R \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{n R} \cdot\left|Q_{2}\right| \rightarrow\left|W_{2}\right|=\frac{2}{5}\left|Q_{2}\right|=\frac{2}{5} \cdot 100 \mathrm{~J}=40 \mathrm{~J}$

Zasady oceniania

2 pkt - poprawne zaznaczenia w trzech zdaniach.

1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch zdaniach.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

P, F, F.

Zasady oceniania

3 pkt - poprawna metoda obliczenia ciepła całkowitego wymienionego przez gaz $z$ otoczeniem w przemianie $\mathcal{B}$ oraz podanie prawidłowego wyniku z jednostką.

2 pkt - zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany $\mathcal{B}$ z uwzględnieniem ciepła oddanego i pobranego oraz zapisanie (lub uwzględnienie w zapisie I zasady termodynamiki), że zmiana energii wewnętrznej jest równa zero (albo że energie wewnętrzne w stanach $X$ i $Y$ są sobie równe), oraz użycie poprawnej metody do obliczenia pracy siły parcia, np. zapisy (lub zapisy równoważne): $\Delta U_{\mathcal{B}}=\left|Q_{\mathcal{B} p o b}\right|-\left|Q_{\mathcal{B} o d d}\right|-\left|W_{\mathcal{B}}\right|$ oraz $U_{X}=U_{Y}$ oraz $\left|W_{\mathcal{B}}\right|=$ pole figury pod wykresem $\mathcal{B}$ albo $\left|Q_{\mathcal{B} \text { pob }}\right|-\left|Q_{\mathcal{B} \text { odd }}\right|=\left|W_{\mathcal{B}}\right| \quad$ oraz $\quad\left|W_{\mathcal{B}}\right|=$ pole figury pod wykresem $\mathcal{B}$

1 pkt - zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany $\mathcal{B}$ z uwzględnieniem ciepła oddanego i pobranego oraz zapisanie (lub uwzględnienie w zapisie I zasady termodynamiki), że zmiana energii wewnętrznej jest równa zero (albo że energie wewnętrzne/temperatury w stanach $X$ i $Y$ są sobie równe), np. zapisy (lub zapisy równoważne): $\Delta U_{\mathcal{B}}=\left|Q_{\mathcal{B} \text { pob }}\right|-\left|Q_{\mathcal{B} \text { odd }}\right|-\left|W_{\mathcal{B}}\right| \quad$ oraz $\quad U_{X}=U_{Y}$ albo $\Delta U_{\mathcal{B}}=\left|Q_{\mathcal{B} \text { pob }}\right|-\left|Q_{\mathcal{B} \text { odd }}\right|-\left|W_{\mathcal{B}}\right| \quad$ oraz $\quad T_{X}=T_{Y}$ albo $\left|Q_{\text {B pob }}\right|-\left|Q_{\text {B odd }}\right|=\left|W_{\mathcal{B}}\right|$ LUB

• zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany $\mathcal{B}$ z uwzględnieniem ciepła oddanego i pobranego oraz zastosowanie poprawnej metody obliczenia pracy siły parcia, np. zapisy (lub zapisy równoważne): $\Delta U_{\mathcal{B}}=\left|Q_{\mathcal{B} \text { pob }}\right|-\left|Q_{\mathcal{B} \text { odd }}\right|-\left|W_{\mathcal{B}}\right| \quad$ oraz $\quad\left|W_{\mathcal{B}}\right|=$ pole figury pod wykresem $\mathcal{B}$ 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Do obliczenia ciepła wykorzystamy I zasadę termodynamiki dla przemiany $\mathcal{B}$ :

$\text { 1) } \Delta U_{\mathcal{B}}=\left|Q_{\mathcal{B} \text { pob }}\right|-\left|Q_{\mathcal{B} \text { odd }}\right|-\left|W_{\mathcal{B}}\right|$

Zgodnie z przyjętą konwencją, pracę siły parcia oraz ciepło oddane oznaczyliśmy ze znakiem minus, ponieważ gaz traci energię gdy się rozpręża i gdy oddaje ciepło. Zauważmy, że zmiana energii wewnętrznej zależy tylko od stanu początkowego i końcowego:

$\text { 2) } \Delta U_{\mathcal{B}}=\Delta U_{X Y}=U_{Y}-U_{X}$

Zależność energii wewnętrznej gazu doskonałego od temperatury wyraża wzór: $U=n c_{V} T$. Zgodnie z równaniem stanu gazu, temperatury w stanach $X$ oraz $Y$ dane są wyrażeniami: 3) $T_{X}=\frac{p_{X} V_{X}}{n R}=\frac{p_{1} V_{1}}{n R} \quad$ oraz 4) $T_{Y}=\frac{p_{Y} V_{Y}}{n R}=\frac{0,5 p_{1} \cdot 2 V_{1}}{n R}=\frac{p_{1} V_{1}}{n R}$

Z równań 3) i 4) wynika, że temperatury w obu stanach są takie same, a zatem i energie wewnętrzne w tych stanach są takie same. To oznacza, że zmiana energii wewnętrznej jest równa zero:

$\text { 5) } T_{X}=T_{Y} \quad \rightarrow \quad \text { 6) } U_{X}=U_{Y} \quad \rightarrow \quad \text { 7) } \Delta U_{X Y}=0$

Zależność 7) uwzględnimy w równaniu 1):

$\text { 8) } \left.0=\left|Q_{\mathcal{B} \text { pob }}\right|-\left|Q_{\mathcal{B} \text { odd }}\right|-\left|W_{\mathcal{B}}\right| \rightarrow 9\right)\left|Q_{\mathcal{B} \text { pob }}\right|-\left|Q_{\mathcal{B} \text { odd }}\right|=\left|W_{\mathcal{B}}\right|$

Pracę siły parcia obliczymy, wykorzystując podany w Wybranych wzorach [...] (strona 17) związek pracy siły parcia z polem pod wykresem zależności $p(V)$.

$\text { 10) }\left|Q_{\mathcal{B} \text { pob }}\right|-\left|Q_{\mathcal{B} \text { odd }}\right|=\left|W_{\mathcal{B}}\right|=\text { pole figury pod wykresem } \mathcal{B}$

Figurą pod wykresem przemiany $\mathcal{B}$ jest trapez, zatem 11) $\left|Q_{\mathcal{B} \text { pob }}\right|-\left|Q_{\mathcal{B} \text { odd }}\right|=\frac{1}{2}\left(p_{1}+0,5 p_{1}\right)\left(2 V_{1}-V_{1}\right)$ 12) $\left|Q_{\mathcal{B} p o b}\right|=\left|Q_{\mathcal{B} o d d}\right|+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} p_{1} V_{1} \approx 0,094 \mathrm{~J}+\frac{3}{4} \cdot 6,0 \mathrm{~J} \approx 4,6 \mathrm{~J}$

Zasady oceniania

3 pkt - poprawna metoda wykazania, że temperatura w przemianie $\mathcal{B}$ przekracza 350 K , tzn.:

(1) zapisanie związku między temperaturą a iloczynem $p V$,

(2) stwierdzenie, że iloczyn $p V$ jest większy (albo większy‑równy) dla punktów na wykresie $\mathcal{B}$,

(3) obliczenie temperatury w przemianie izotermicznej oraz zapisanie wniosku wynikającego z (1)-(3).

2 pkt - zapisanie związku między temperaturą a iloczynem $p V$ oraz zapisanie, że ten iloczyn obliczony dla punktów na wykresie $\mathcal{B}$ jest większy (albo większy‑równy) od iloczynu obliczonego dla punktów na wykresie $\mathcal{A}$ oraz poprawna metoda obliczenia temperatury w przemianie izotermicznej, np. zapisy lub (zapisy równoważne):

$p V \propto T \quad \text { oraz } \quad p_{B} V_{B} \geq p_{A} V_{A} \quad \text { oraz } \quad n R T_{A}=p_{1} V_{1}$

1 pkt - zapisanie związku między temperaturą a iloczynem $p V$ oraz zapisanie, że ten iloczyn obliczony dla punktów na wykresie $\mathcal{B}$ jest większy od iloczynu obliczonego dla punktów na wykresie $\mathcal{A}$ (poza punktami $X, Y$ ), np. zapisy (lub zapisy równoważne):

$& p V \propto T \quad \text { oraz } \quad p_{B} V_{B}>p_{A} V_{A}$ $& \text { LUB }$

• poprawna metoda obliczenia temperatury w przemianie izotermicznej, tzn. poprawne zastosowanie równania stanu gazu doskonałego, np. zapisy (lub zapisy równoważne):

$T_{A}=\frac{p_{1} V_{1}}{n R}$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Zgodnie z równaniem stanu gazu doskonałego, temperatura jest proporcjonalna do iloczynu ciśnienia i objętości. Zatem dla każdego stanu w przemianie $\mathcal{A}$ i każdego stanu w przemianie $\mathcal{B}$ mamy:

$\text { 1) } p_{A} V_{A} \propto T_{A} \quad \text { oraz } \quad p_{B} V_{B} \propto T_{B}$

Ponadto przemiana $\mathcal{A}$ jest izotermiczna, zatem:

$\text { 2) } \quad T_{A}=\text { const } \propto p_{1} V_{1}$

Zauważmy, że dla każdego punktu na wykresie $\mathcal{B}$ i każdego punktu na wykresie $\mathcal{A}-$ poza wspólnymi punktami $X, Y$ - mamy:

$\text { 3) } p_{B} V_{B}>p_{A} V_{A}=p_{1} V_{1} \quad \text { zatem } \quad \text { 4) } T_{B}>T_{A}$

Natomiast w punktach $X$ oraz $Y$ mamy równość iloczynów:

$\text { 5) } p_{B X} V_{B X}=p_{A X} V_{A X}=p_{B Y} V_{B Y}=p_{A Y} V_{A Y}=p_{1} V_{1}$

Na podstawie punktów 3)-5) stwierdzamy, że dla każdego stanu w obu przemianach zachodzi:

$\text { 6) } T_{B} \geq T_{A}$

Obliczymy temperaturę $T_{A}$ w przemianie izotermicznej. W tym celu wystarczy obliczyć temperaturę w stanie $X$ :

$\text { 7) } T_{A}=T_{X}=\frac{p_{X} V_{X}}{n R}$

Zatem:

$\text { 8) } T_{A}=\frac{p_{1} V_{1}}{n R}=\frac{6,0 \mathrm{~J}}{0,0020 \mathrm{~mol} \cdot 8,31 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~K} \cdot \mathrm{~mol}}} \approx 361, \ldots \mathrm{~K} \approx 360 \mathrm{~K}$

Wartość temperatury obliczoną w punkcie 8) uwzględnimy w relacji 6):

$\text { 9) } \quad T_{B} \geq 360 \mathrm{~K}>350 \mathrm{~K} \quad \text { dla każdego stanu w przemianie } \mathcal{B}$

To oznacza, że temperatura gazu w każdym stanie przemiany $\mathcal{B}$ przekracza 350 K.

Zasady oceniania

2 pkt - poprawne zaznaczenia w trzech zdaniach.

1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch zdaniach.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

F, F, P.

Zasady oceniania

1 pkt - odpowiedź poprawna. 0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

C2

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1.)

3 pkt - poprawna metoda wykazania, że w przemianie $A \rightarrow C$ ciepło jest pobierane (oparta na porównaniu przemian $A \rightarrow C$ oraz $A \rightarrow D$ ): poprawne porównanie ubytków energii wewnętrznych (lub energii wewnętrznych końcowych) oraz prac w obu przemianach, powołanie się na fakt, że w przemianie $A \rightarrow D$ nie ma wymiany ciepła oraz poprawne wnioskowanie o tym, że ciepło musi być pobrane.

2 pkt - zauważenie i zapisanie, że końcowa energia wewnętrzna w przemianie $A \rightarrow C$ jest większa od końcowej energii wewnętrznej w przemianie $A \rightarrow D$ (albo równoważnie, że ubytek energii wewnętrznej w przemianie $A \rightarrow C$ jest mniejszy od ubytku energii wewnętrznej w przemianie $A \rightarrow D$ ) oraz zauważenie i zapisanie, że praca siły parcia w przemianie $A \rightarrow C$ jest większa od pracy siły parcia w przemianie $A \rightarrow D$.

1 pkt - zauważenie i zapisanie, że końcowa energia wewnętrzna w przemianie $A \rightarrow C$ jest większa od końcowej energii wewnętrznej w przemianie $A \rightarrow D$

LUB

• zauważenie i zapisanie, że ubytek energii wewnętrznej w przemianie $A \rightarrow C$ jest mniejszy od ubytku energii wewnętrznej w przemianie $A \rightarrow D$ LUB

• zauważenie i zapisanie, że praca siły parcia w przemianie $A \rightarrow C$ jest większa od pracy siły parcia w przemianie $A \rightarrow D$. 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)

3 pkt - poprawna metoda wykazania, że w przemianie $A \rightarrow C$ ciepło jest pobierane (oparta na porównaniu przemian $A \rightarrow C$ oraz $A \rightarrow D$ ): zapisanie I zasady termodynamiki dla obu przemian, poprawne porównanie zmian energii wewnętrznych oraz prac w obu przemianach, poprawne wykonanie odpowiednich przekształceń i wykazanie, że $Q_{A C}>0$.

2 pkt - poprawne zapisanie I zasady termodynamiki dla przemian $A \rightarrow C$ oraz $A \rightarrow D$ (np. jak w równaniach 1) i 2)) - z uwzględnieniem konwencji znaków dla ciepła i pracy oraz poprawne porównanie zmian energii wewnętrznych i prac w przemianach $A \rightarrow C$ oraz $A \rightarrow D$ (np. jak w nierównościach 3) i 4)).

1 pkt - poprawne zapisanie równania I zasady termodynamiki dla przemian $A \rightarrow C$ oraz $A \rightarrow D$ (np. jak w równaniach 1) i 2)) LUB

• poprawne porównanie zmian energii wewnętrznych i prac w przemianach $A \rightarrow C$ oraz $A \rightarrow D$ (np. jak w nierównościach 3) i 4)) LUB

• poprawne zapisanie równania I zasady termodynamiki dla jednej z przemian $A \rightarrow C$ albo $A \rightarrow D$ oraz poprawne porównanie zmian energii wewnętrznych albo prac w przemianach $A \rightarrow C$ oraz $A \rightarrow D$. 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3.)

3 pkt - poprawna metoda wykazania, że w przemianie $A \rightarrow C$ ciepło jest pobierane (oparta na analizie cyklu $A \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ ): zapisanie I zasady termodynamiki dla cyklu $A \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$, poprawne porównanie prac w obu przemianach $A \rightarrow C$ i $D \rightarrow A$, poprawne wykonanie odpowiednich przekształceń i wykazanie, że $Q_{A C}>0$.

2 pkt - poprawne zapisanie równania I zasady termodynamiki dla cyklu $A \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ z uwzględnieniem konwencji znaków dla ciepła i pracy oraz z uwzględnieniem, że $W_{C D}=0$ (np. jak w równaniu 1) albo 2)) oraz poprawne porównanie prac w przemianach $A \rightarrow C$ i $D \rightarrow A$ (np. jak w nierówności 3)).

1 pkt - poprawne zapisanie równania I zasady termodynamiki dla cyklu $A \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ z uwzględnieniem, że $W_{C D}=0$ LUB

• poprawne porównanie prac w przemianach $A \rightarrow C$ i $D \rightarrow A$ (np. jak w nierówności 3)) oraz zapisanie, że $W_{C D}=0$. 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1. (wyjaśnienie słowne - porównanie przemiany $A \rightarrow C$ z przemianą $A \rightarrow D$ )

Spostrzeżenie 1.

Zauważmy, że gaz w stanie C ma większą temperaturę niż gaz w stanie D (na mocy równania stanu). To oznacza, że gaz w stanie C ma większą energię wewnętrzną niż gaz w stanie D (na mocy wzoru na energię wewnętrzną).

Wniosek 1.

Zatem końcowa energia wewnętrzna w przemianie $A \rightarrow C$ jest większa od końcowej energii wewnętrznej w przemianie $A \rightarrow D$.

Równoważnie powyższemu powiemy, że ubytek (utrata) energii wewnętrznej w przemianie $A \rightarrow C$ jest mniejszy od ubytku (utraty) energii wewnętrznej w przemianie $A \rightarrow D$.

Spostrzeżenie 2.

Zauważmy, że praca siły parcia w przemianie $A \rightarrow C$ jest większa od pracy siły parcia w przemianie $A \rightarrow D$ (na mocy porównania pól pod wykresami).

Spostrzeżenie 3.

W przemianie adiabatycznej $A \rightarrow D$ zmiana energii wewnętrznej następuje tylko w formie pracy wykonanej przez siłę parcia (ciepło nie jest wymieniane z otoczeniem)

Wniosek 2.

Utrata energii wewnętrznej w formie pracy w przemianie $A \rightarrow C$ jest większa od utraty energii wewnętrznej w przemianie $A \rightarrow D$.

Whiosek końcowy

Skoro ubytek energii wewnętrznej w przemianie $A \rightarrow C$ jest mniejszy od ubytku energii wewnętrznej w przemianie $A \rightarrow D$ (wniosek 1.), ale z drugiej strony ubytek energii wewnętrznej w formie pracy w przemianie $A \rightarrow C$ jest większy od ubytku energii wewnętrznej w przemianie $A \rightarrow D$ (wniosek 2.) to oznacza, że w przemianie $A \rightarrow C$ musi być dodatkowo pobrana energia w postaci ciepła.

Sposób 2. (dowód algebraiczny - porównanie przemiany $A \rightarrow C$ z przemianą $A \rightarrow D$ )

Krok 1. Zapiszemy I zasadę termodynamiki dla przemiany $A \rightarrow C$. Zastosujemy konwencję, w której energia tracona przez gaz (w jakiejkolwiek formie) ma znak ujemny. W przemianie $A \rightarrow C$ gaz się rozpręża, zatem praca jest ujemna. Ponadto temperatura gazu maleje, ponieważ $p_{A} v_{A}>p_{C} V_{C}$. Zatem energia wewnętrzna maleje także. Zgodnie z konwencją mamy:

$\text { 1) }-\left|\Delta U_{A C}\right|=Q_{A C}-\left|W_{A C}\right|$

Krok 2. Zapiszemy I zasadę termodynamiki dla przemiany $A \rightarrow D$. Zastosujemy konwencję, w której energia tracona przez gaz (w jakiejkolwiek formie) ma znak ujemny. W przemianie $A \rightarrow D$ gaz się rozpręża, zatem praca jest ujemna. Ponadto temperatura gazu maleje, ponieważ $p_{A} v_{A}>p_{D} V_{D}$. Zatem energia wewnętrzna maleje także. Jest to przemiana adiabatyczna, zatem ciepło wymienione w tej przemianie z otoczeniem wynosi zero. Zgodnie z konwencją mamy:

$\text { 2) }-\left|\Delta U_{A D}\right|=0-\left|W_{A D}\right|$

Krok 3. Porównajmy pracę i zmianę energii wewnętrznej w obu przemianach. Zauważmy, że temperatura w przemianie $A \rightarrow D$ maleje bardziej (spada o większą wartość) niż w przemianie $A \rightarrow C\left(p_{D} V_{D}<p_{C} V_{C}\right)$, zatem : 3) $\left|\Delta U_{A D}\right|>\left|\Delta U_{A C}\right|$

Wartość bezwzględna pracy wykonanej przez gaz w przemianie $A \rightarrow C$ jest większa niż w przemianie $A \rightarrow D$ (pole pod wykresem $A \rightarrow C$ jest większe od pola pod $A \rightarrow D$ ): 4) $\left|W_{A C}\right|>\left|W_{A D}\right|$

Określimy znak $Q_{A B}$. W tym celu odejmiemy stronami równania 1) i 2). Dla ustalenia uwagi weźmiemy w nawiasy wyrażenia zwierające prace i energie wewnętrze:

$& 5) \quad-\left|\Delta U_{A C}\right|+\left|\Delta U_{A D}\right|=Q_{A C}-\left|W_{A C}\right|+\left|W_{A D}\right|$ $& \left(\left|\Delta U_{A D}\right|-\left|\Delta U_{A C}\right|\right)=Q_{A C}+\left(\left|W_{A D}\right|-\left|W_{A C}\right|\right)$

Na mocy nierówności 3) wyrażenie w pierwszym nawiasie (po lewej) jest dodatnie. Na mocy nierówności 4) wyrażenie w nawiasie po prawej jest ujemne, co symbolicznie zapiszemy:

$+|X|=Q_{A C}-|Y| \quad \text { zatem } \quad Q_{A C}=|X|+|Y|>0$

Ponieważ $Q_{A C}>0$, to zgodnie z konwencją ciepło w tej przemianie jest pobierane.

Sposób 3. (analiza cyklu $A \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ )

Przeanalizujemy cykl kołowy $A \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$, w którym $C \rightarrow D$ jest przemianą izochoryczną $\left(W_{C D}=0\right), D \rightarrow A$ jest przemianą adiabatyczną ( $Q_{D A}=0$ ). Zapiszemy I zasadę termodynamiki dla tego cyklu, po uwzględnieniu, że ( $\Delta U_{A C D A}=0$ ):

$0=W_{c a l k}+Q_{c a l k}$

Pracę i ciepło wymienione z otoczeniem w całym cyklu rozpiszemy na poszczególne przemiany. Użyjemy konwencji, zgodnie z którą energia tracona przez gaz (w jakiejkolwiek formie) jest ujemna, a zyskiwana - dodatnia: w przemianie $A \rightarrow C$ gaz się rozpręża (traci energię w formie pracy), zatem praca jest ujemna, w przemianie $D \rightarrow A$ gaz jest sprężany (zyskuje energię w formie pracy), zatem praca jest dodatnia. W przemianie $C \rightarrow D$ ciśnienie gazu maleje, zatem maleje temperatura i gaz oddaje ciepło (traci energię w postaci ciepła):

1. $0=-\left|W_{A C}\right|+\left|W_{D A}\right|+Q_{A C}-\left|Q_{C D}\right|$ Z powyższego równania wyznaczymy ciepło w przemianie $A \rightarrow C$ i określimy jego znak:

2. $\quad Q_{A C}=\left|W_{A C}\right|-\left|W_{D A}\right|+\left|Q_{C D}\right|$

Z twierdzenia o pracy jako polu pod wykresem $p(V)$ wynika, że: 3) $\left|W_{A C}\right|>\left|W_{D A}\right|$ zatem 4) $\quad Q_{A C}=\left|W_{A C}\right|-\left|W_{D A}\right|+\left|Q_{C D}\right|>0$

Ponieważ $Q_{A C}>0$, to zgodnie z przyjętą konwencją ciepło w przemianie $A \rightarrow C$ jest pobrane.

Zasady oceniania

2 pkt - poprawna metoda obliczenia $p_{Y}$ oraz zapisanie prawidłowego wyniku: $p_{Y} \approx 3,2 \cdot p_{1}$. 1 pkt - zapisanie równania, zawierającego $p_{Y}$, wynikającego z własności przemiany izotermicznej $A \rightarrow B$. 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Przemiana $A \rightarrow B$ jest izotermiczna. W przemianie izotermicznej $p V=$ const, zatem:

$\text { 1) } p_{A} V_{A}=p_{Y} V_{Y}$

Współrzędne punktu $Y$ (leżącego na wierzchołku hiperboli) można zapisać:

$\text { 2) } Y=\left(V_{Y}, p_{Y}\right)=\left(k V_{1}, k p_{1}\right)$

dla pewnej liczby $k$. Podstawimy współrzędne punktów $A$ oraz $Y$ do równania 1):

$\text { 3) } 5 p_{1} \cdot 2 V_{1}=k V_{1} \cdot k p_{1}$

Z równania 3 ) wyznaczymy $k$ :

$10=k^{2} \quad \rightarrow \quad k=\sqrt{10} \approx 3,2$

Zatem ciśnienie gazu w stanie $Y$ wynosi:

$p_{Y} \approx 3,2 \cdot p_{1}$