Misja: Rozwiązywanie układu równań metodą wyznaczników

Rozwiązywanie układu równań metodą wyznaczników

Analiza algorytmu

Skupimy się teraz na algorytmie rozwiązywania układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi metodą wyznaczników. Na samym początku określmy, jak powinien wyglądać nasz układ równań:

{\begin{array}{rrr} a x + b y & = & c \\ d x + e y & = & f \end{array}

Poszukiwanymi niewiadomymi są x oraz y. Pozostałe liczby a, b, c, d, e, f wykorzystamy przy obliczaniu wyznaczników W, WIndeks dolny x Indeks dolny koniec oraz WIndeks dolny y Indeks dolny koniec. Zastosujemy następujące zależności:

W = | \begin{array}{cc} a & b \\ d & e \end{array} | = a \cdot e - b \cdot d

W_{x} = | \begin{array}{cc} c & b \\ f & e \end{array} | = c \cdot e - b \cdot f

W_{y} = | \begin{array}{cc} a & c \\ d & f \end{array} | = a \cdot f - c \cdot d

Gdy mamy wartości wszystkich wyznaczników, pozostaje już tylko wyliczyć niewiadome z tzw. wzorów Cramera:

{\begin{array}{rrr} x & = & \frac{W_{x}}{W} \\ y & = & \frac{W_{y}}{W} \end{array}

W ten sposób rozwiązaliśmy cały układ równań.

Schemat blokowy

Algorytm w postaci schematu blokowego prezentuje się następująco:

RfbRL2jLH2VHH

Algorytm w postaci schematu blokowego. 1: Zielony okrąg Start, 2: Fioletowy równoległobok Pobierz a, b, c, d, e, f, 3: Różowy prostokąt W=a razu e‑b razy d, Wx= c razy e‑b razy f, Wy= a razy f‑c razy d, 4: Niebieski romb Czy W=0? Dla tak w punkcie 4, 5: Niebieski romb Czy Wx=0 i Wy=0? Dla tak w punkcie 5. 6: Fioletowy równoległobok Wypisz "Układ równań jest nieoznaczony", 7: Czerwony okrąg Stop. Dla nie w punkcie 5. 6: Fioletowy równoległobok Wypisz "Układ równań jest sprzeczny", 7: Czerwony okrąg Stop. Dla nie w punkcie 4, 5: Różowy prostokąt x=Wx/W, y=Wy/w. 6: Fioletowy równoległobok Wypisz x, y. 7: Czerwony okrąg Stop. — Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Analiza różnych przypadków

Przedstawiony algorytm nie jest skomplikowany, należy jednakże rozpatrzyć sytuację, w której mielibyśmy do czynienia z nieoznaczonym lub sprzecznym układem równań. Opisaną metodę przetestujemy na trzech przykładach.

Przykład 1

Do przetestowania przygotowaliśmy układ równań przedstawiony poniżej:

{\begin{array}{rrr} 2 x + 2 y & = & 20 \\ 6 x + 7 y & = & 67 \end{array}

Będziemy wykonywać dla niego kolejne kroki algorytmu, rozpoczynając od wyliczenia wyznaczników.

W = | \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 6 & 7 \end{array} | = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 6 = 2

W_{x} = | \begin{array}{cc} 20 & 2 \\ 67 & 7 \end{array} | = 20 \cdot 7 - 2 \cdot 67 = 6

W_{y} = | \begin{array}{cc} 2 & 20 \\ 6 & 67 \end{array} | = 2 \cdot 67 - 20 \cdot 6 = 14

Dla każdego wyznacznika otrzymana wartość jest różna od 0. Zapamiętajmy to, ponieważ będzie to istotne przy porównaniu rozpatrywanego przykładu z kolejnymi. Przejdźmy teraz do ostatniego punktu naszego algorytmu, czyli wyliczenia niewiadomych.

{\begin{array}{rrr} x & = & \frac{6}{2} \\ y & = & \frac{14}{2} \end{array}

{\begin{array}{rrr} x & = & 3 \\ y & = & 7 \end{array}

W wyniku przeprowadzonych operacji znaleźliśmy wartości naszych niewiadomych. Możemy jasno stwierdzić, że przedstawiony układ równań był oznaczony, ponieważ ma on tylko jedno rozwiązanie, będące parą liczb x oraz y.

Problem 1

Napisz program, który rozwiąże układ równań z dwiema niewiadomymi przy pomocy metody wyznaczników.

Specyfikacja:

Dane:

a, b, c, d, e, f – liczby całkowite stanowiące współczynniki układu równań; ich wartości wprowadzane są przez użytkownika z poziomu klawiatury

$\begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{cases}$

Wynik:

Program wyświetla parę liczb rzeczywistych (x,y) jako rozwiązanie układu równań lub komunikaty: Układ sprzeczny albo Nieskończenie wiele rozwiązań.

Przykład działania programu:

Podaj a: 7 Podaj b: 2 Podaj c: 1 Podaj d: 3 Podaj e: 4 Podaj f: 2 x: 0 y: 0.5

Wynikiem działania programu jest więc para liczb rzeczywistych: rozwiązanie układu równań dla współczynników wprowadzonych przez użytkownika.

R1SQFDNVDS5FU

Polecenie 1

Porównaj swoje rozwiązanie z filmem.

R1PQU64H675PG

Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Proste przykłady funkcji w C++, krok po kroku

Strefa wyzwań

Rozwiązywanie układu równań metodą wyznaczników

Analiza algorytmu

Schemat blokowy

Analiza różnych przypadków