Idea algorytmu - I_P_W14_M08_Java Konwersja liczb z systemu dwójkowego na dziesiętny w języku Java

RJ1RNP35BLLV3

Zanim przejdziemy do konwersji liczb, przypomnijmy, czym są systemy liczbowe: binarny i dziesiętny.

System binarny:

pozycyjny system liczbowy, którego podstawą jest liczba $2$ ,
do zapisu dowolnej liczby wykorzystujemy tylko dwie cyfry: $0$ oraz $1$ ,
jest to powszechnie używany system w elektronice i informatyce,
bitem nazywamy każdą cyfrę liczby w tym systemie.

System dziesiętny:

pozycyjny system liczbowy, którego podstawą jest liczba $10$ ,
jest to system, w którym wykorzystujemy dziesięć cyfr: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ ,
jest to system używany przez nas na co dzień.

Na co dzień posługujemy się liczbami zapisanymi w systemie dziesiętnym, dlatego interpretacja wartości liczby binarnej i wykonywanie obliczeń w tym systemie może być dla nas uciążliwe. Taką liczbę warto wówczas zamienić na liczbę w systemie dziesiętnym. Jak to zrobić?

System dwójkowy, podobnie jak dziesiętny, jest systemem pozycyjnym. Liczby są w nim zapisywane w postaci ciągu cyfr $0$ i $1$ . Każda cyfra (bit) jest mnożną odpowiadającej jej wagi, czyli podstawy systemu (liczby $2$ ) podniesionej do potęgi zależnej od pozycji bitu.

Tabela przedstawia wagi liczby dwójkowej, składającej się z n cyfr części całkowitej oraz m cyfr części ułamkowej:

Cyfra	$x_{n - 1}$	$x_{n - 2}$	$\dots$	$x_{1}$	$x_{0}$	$x_{- 1}$	$x_{- 2}$	$\dots$	$x_{- m}$
Waga pozycji	$2^{n - 1}$	$2^{n - 2}$	$\dots$	$2^{1}$	$2^{0}$	$2^{- 1}$	$2^{- 2}$	$\dots$	$2^{- m}$

Pozycje bitów części całkowitej numerujemy od $0$ , rozpoczynając od prawej strony. Pozycje bitów części ułamkowej numerujemy po przecinku od lewej strony, zaczynając od $(- 1)$ . Dzięki temu możemy obliczyć wartość dziesiętną liczby zapisanej w systemie dwójkowym.

Ważne!

Wartością dziesiętną liczby o reprezentacji ${\{x_{n - 1}, x_{n - 2}, \dots, x_{1}, x_{0}, x_{- 1}, x_{- 2}, \dots, x_{- m}\}}_{(2)}$ jest:

$x_{n - 1} 2^{n - 1} + \dots + x_{1} 2^{1} + x_{0} 2^{0} + x_{- 1} 2^{- 1} + \dots + x_{- m} 2^{- m}$

Algorytm konwersji liczby w systemie dwójkowym na system dziesiętny wygląda następująco:

Mnożymy cyfry danej liczby binarnej przez wagi ich pozycji (zgodnie z powyższą tabelą).
Dodajemy do siebie otrzymane iloczyny, otrzymując w ten sposób wartość liczby w systemie dziesiętnym.

W systemie binarnym w liczbie mogą występować tylko cyfry $0$ i $1$ , a w systemie dziesiętnym cyfry od $0$ do $9$ .

Przykład 1

Zamieńmy liczbę $1001_{(2)}$ na system dziesiętny.

Przy rozwiązywaniu tego zadania może nam się przydać tabela z kolejnymi potęgami liczby $2$ . Ułatwi ona dokonywanie obliczeń.

Waga	$2^{9}$	$2^{8}$	$2^{7}$	$2^{6}$	$2^{5}$	$2^{4}$	$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$
Wynik	$512$	$256$	$128$	$64$	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$	$1$

Nasza przykładowa liczba jest liczbą całkowitą, bez części ułamkowej. Dlatego kolejne pozycje cyfr w naszej liczbie numerujemy od $0$ , rozpoczynając od najmłodszego bitu, a kończąc na najstarszym bicie.

$1001_{(2)} = 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{0} = 8 + 1 = 9_{(10)}$

Zauważmy, że cyfry $0$ nie zostały uwzględnione w dodawaniu iloczynów. Jeżeli cyfrę $0$ pomnożymy przez wagę pozycji, otrzymamy iloczyn równy $0$ – a to nie wpływa na wynik obliczeń. Jeżeli chcielibyśmy jednak uwzględnić iloczyny wynoszące $0$ , działanie wyglądałoby następująco:

$1001_{(2)} = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 8 + 0 + 0 + 1 = 9_{(10)}$

Jak należało się spodziewać, otrzymaliśmy taką samą wartość.

Polecenie 1

Napisz naiwny konwerter liczb naturalnych z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny. Działanie konwertera przetestuj dla liczby 11111100100.

Naiwny konwerter polega obliczeniu sumy iloczynów kolejnych potęg liczby 2 (wag) oraz odpowiadających im cyfr liczby dwójkowej.

Przykład 2

Dla liczby 101001Indeks dolny (2) konwerter zadziała następująco:

$1 \cdot 2^{0} + 0 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{5}$

Specyfikacja problemu:

Dane:

liczba – łańcuch znaków; liczba naturalna zapisana w systemie dwójkowym

Wynik:

wynik – liczba naturalna; liczba zapisana w systemie dziesiętnym

Wynik po konwersji:

R189NSEFUKZL9

R16GVOE7D38NE

Przycisk do pobrania pliku py z kodem źródłowym.

Plik PY o rozmiarze 301.00 B w języku polskim

Słownik

najmłodszy bit

bit o najmniejszej wadze (najmniej znaczący), najbardziej wysunięty na prawo

najstarszy bit

bit o największej wadze (najbardziej znaczący), najbardziej wysunięty na lewo

argument

element składni w określonym języku programowania, który w wyniku wywołania podprogramu zostaje utożsamiony (skojarzony) z określonym parametrem podprogramu

parametr

element składni języka, który jest definiowany przy deklaracji metody lub funkcji; deklarujemy go w nagłówku podprogramu; umożliwia komunikację pomiędzy podprogramem (funkcją/metodą), a programem go wywołującym

Na dobry początek

Implementacja algorytmu

Słownik