Nowy dokument

Promień orbity okołosłonecznej Ziemi i Wenus oznaczymy odpowiednio $r_{Z}$ oraz $r_{W}$. Zastosujemy III prawo Keplera:

$\frac{T_{Z}^{2}}{r_{Z}^{3}}=\frac{T_{W}^{2}}{r_{W}^{3}} \quad \rightarrow \quad T_{W}=\sqrt{\left(\frac{r_{W}}{r_{Z}}\right)^{3}} \cdot T_{Z} \quad \rightarrow \quad T_{W}=\sqrt{\left(\frac{r_{W}}{r_{Z}}\right)^{3}} \cdot 1 \mathrm{rok}$

Do obliczenia okresu orbitalnego Wenus potrzebujemy znać iloraz promieni orbitalnych. Ponieważ rysunek wykonany jest z zachowaniem skali pomiędzy rozmiarami orbit, to stosunki promieni orbit w rzeczywistości i na rysunku są w przybliżeniu równe (i takie jak stosunki średnic). Wyniki pomiaru linijką średnic okręgów odczytamy z dokładnością do 1 mm .

$\frac{r_{W}}{r_{Z}} \approx \frac{r_{\text {Wrys }}}{r_{\text {Zrys }}} \quad d_{\text {Wrys }} \approx 8,7 \mathrm{~cm} \quad d_{\text {Zrys }} \approx 12 \mathrm{~cm} \quad \rightarrow \quad \frac{r_{W}}{r_{Z}} \approx \frac{4,35 \mathrm{~cm}}{6,0 \mathrm{~cm}} \approx 0,725$

Wykonujemy obliczenia:

$T_{W} \approx \sqrt{\left(\frac{4,35}{6,0}\right)^{3}} \cdot 1 \mathrm{rok} \approx 0,617 \mathrm{roku} \approx 0,62 \mathrm{roku}$

Wyprowadzimy wzór na prędkość orbitalną. Siła grawitacji działająca na planetę (poruszającą się po orbicie o promieniu $r$ ) od Słońca pełni funkcję siły dośrodkowej, a zatem:

$\frac{m v_{o r}^{2}}{r}=\frac{G M_{S} m}{r^{2}} \quad \rightarrow \quad v_{o r}=\sqrt{\frac{G M_{S}}{r}} \quad \rightarrow \quad \frac{v_{o r W}}{v_{o r Z}}=\sqrt{\frac{r_{Z}}{r_{W}}}$

Skoro na rysunku zachowano skalę rozmiarów orbit, otrzymujemy:

$\frac{r_{Z}}{r_{W}} \approx \frac{r_{Z r y s}}{r_{W r y s}} \quad \rightarrow \quad \frac{v_{o r W}}{30 \frac{\mathrm{~km}}{\mathrm{~s}}} \approx \sqrt{\frac{6,0}{4,35}} \quad \rightarrow \quad v_{o r W} \approx 35 \frac{\mathrm{~km}}{\mathrm{~s}}$

Przykładowe pełne rozwiązania podano poniżej.

Ruch po orbicie eliptycznej prawidłowo zilustrowano rysunkiem nr 1.

Sposób 1. (Zastosowanie drugiej zasady dynamiki)

Porównamy zwroty wektorów: $\vec{v}$ - prędkości ciała i $\vec{F}_{g s}$ - stycznej składowej siły grawitacji, gdy ciało oddala się od masy $M$ (zobacz rysunek). Składowa grawitacji prostopadła do składowej stycznej, nie wpływa na przyśpieszenie wzdłuż toru.

R1FP1B1NAOB1J

Zauważmy, że poza punktami na orbicie leżącymi najbliżej i najdalej od gwiazdy (perycentrum i apocentrum) siła grawitacji $\vec{F}_{g}$działająca na ciało o masie $m$ma składową $\vec{F}_{g s}$styczną do elipsy oraz składową $\vec{F}_{g p}$prostopadłą do stycznej. Gdy ciało oddala się od masy $M$, to $\vec{F}_{g s}$ma przeciwny zwrot do wektora $\vec{v}$prędkości ciała poruszającego się po orbicie eliptycznej.

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki, w takiej sytuacji ciało ma przyśpieszenie (opóźnienie) w kierunku stycznym przeciwne do zwrotu prędkości. Zatem wartość prędkości od perycentrum do apocentrum maleje (położenia ciała na rysunku 1. są coraz gęściej).

Analogicznie opiszemy sytuację, gdy ciało zbliża się do masy $M$. Gdy ciało porusza się od apocentrum do perycentrum (czyli zbliża do $M$ ), to styczna do elipsy składowa siły grawitacji ma ten sam zwrot co wektor prędkości ciała - a zatem prędkość ciała rośnie (położenia ciała na rysunku 1. są coraz rzadziej).

Sposób 2. (Zastosowanie prawa pól Keplera)

Zastosujemy II prawo Keplera (prawo pól).

Zgodnie z II prawem Keplera promień wodzący $r$, łączący ciało ze środkiem masy centralnej $M$, zakreśla w jednakowych odstępach czasu $\Delta t$ powierzchnie o równych polach $\Delta S$ (zobacz rysunek poniżej).

R13NA17HRUHA8

Gdy $r$ rośnie, to z równości pól wynika, że ciało zakreśla wzdłuż orbity eliptycznej w jednakowych odstępach czasu coraz mniejsze łuki: $\Delta l_{1}>\Delta l_{2}$. Jeśli więc droga przebyta w jednakowych odstępach czasu maleje, to znaczy, że wartość prędkości ciała maleje.

Analogicznie można udowodnić, że wartość prędkości rośnie, gdy $r$ maleje.

Sposób 3. (Zastosowanie zasady zachowania energii)

Wykorzystamy zasadę zachowania energii mechanicznej w ruchu ciała jedynie pod wpływem siły grawitacji. W tym celu przeanalizujemy wzór na energię mechaniczną:

$E=E_{k i n}+E_{p o t}=\frac{1}{2} m v^{2}+\left(-\frac{G M m}{r}\right)=\mathrm{const}$

Gdy ciało oddala się od centrum grawitacyjnego (masy $M$ ), to energia potencjalna rośnie (rośnie w zakresie wartości ujemnych). Ponieważ energia mechaniczna musi być zachowana, to przy wzroście energii potencjalnej maleje energia kinetyczna. To z kolei oznacza, że maleje wartość prędkości ciała. Analogicznie dowodzimy wzrostu prędkości, gdy ciało zbliża się do masy $M$.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz (krok 1.)

Zapiszemy wzór na mimośród. Skorzystamy z dwóch ostatnich informacji w zadaniu. Wynik wyrazimy za pomocą stosunku odległości:

$e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{r_{A}-r_{P}}{2}}{\frac{r_{A}+r_{P}}{2}}=\frac{r_{A}-r_{P}}{r_{A}+r_{P}}=\frac{1-\frac{r_{P}}{r_{A}}}{1+\frac{r_{P}}{r_{A}}}$

Komentarz (krok 2.)

Powyższy wzór wyrazimy za pomocą prędkości. Skorzystamy z zasady zachowania momentu pędu punktu materialnego poruszającego się pod działaniem siły centralnej. Przyrównamy momenty pędu w peryhelium i aphelium: $L_{P}=L_{A}$, zatem:

$m v_{P} r_{P}=m v_{A} r_{A} \quad \rightarrow \quad \frac{r_{P}}{r_{A}}=\frac{v_{A}}{v_{P}}$

Wyrazimy wzór na mimośród za pomocą stosunku prędkości:

$e=\frac{1-\frac{r_{P}}{r_{A}}}{1+\frac{r_{P}}{r_{A}}}=\frac{1-\frac{v_{A}}{v_{P}}}{1+\frac{v_{A}}{v_{P}}}$

Komentarz (krok 3.)

Obliczymy mimośród orbity:

$e=\frac{1-\frac{2,25}{5,81}}{1+\frac{2,25}{5,81}} \approx \frac{1-0,387}{1+0,387} \approx 0,44$

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz

Zastosujemy III prawo Keplera dla orbity eliptycznej Eris i dla orbity kołowej Ziemi. Półoś wielką orbity Eris oznaczymy $a_{E}$, a promień orbity Ziemi oznaczymy $a_{Z}$. Analogicznie oznaczymy okresy obiegu planet dookoła Słońca. Zapiszemy równanie III prawa Keplera:

$\frac{T_{E}^{2}}{a_{E}^{3}}=\frac{T_{Z}^{2}}{a_{Z}^{3}}$

Skorzystamy ze znanych parametrów ruchu Ziemi po orbicie kołowej dookoła Słońca:

$T_{Z}=1 \mathrm{rok} \quad a_{Z}=1 \mathrm{au}$

$\frac{557^{2} \mathrm{lat}^{2}}{a_{E}^{3}}=\frac{1^{2} \mathrm{rok}^{2}}{1^{3} \mathrm{au}^{3}} \rightarrow a_{E} \approx 67,7 \mathrm{au}$

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz (krok 1.)

Wykorzystamy zasadę zachowania momentu pędu oraz zasadę zachowania energii mechanicznej. Moment pędu $\vec{L}$ planety względem centrum grawitacyjnego nie zmienia się podczas jej ruchu orbitalnego, ponieważ siła grawitacji jest siłą centralną. Energia mechaniczna $E$ planety jest stała podczas jej ruchu orbitalnego, ponieważ siła grawitacji jest siłą zachowawczą. Przyrównamy obie wielkości do siebie w punkcie peryhelium $P$ i punkcie aphelium $A$ :

$\left\{\begin{array}{l} L_{P}=L_{A} \\ E_{P}=E_{A} \end{array}\right.$

Komentarz (krok 2.)

Wykorzystamy wzory na moment pędu oraz energię mechaniczną w punktach $P$ i $A$ :

$\left\{\begin{array}{l} m v_{P} r_{P}=m v_{A} r_{A} \\ > > > > \frac{1}{2} m v_{P}^{2}-\frac{G M m}{r_{P}}=\frac{1}{2} m v_{A}^{2}-\frac{G M m}{r_{A}} \end{array}\right.$

Komentarz (krok 3.)

Z powyższego układu równań wyznaczymy prędkości w funkcji parametrów orbity i masy Słońca:

$\left\{\begin{array}{l} > > > > v_{P}=v_{A} \frac{r_{A}}{r_{P}} \\ > > > > \frac{1}{2} v_{P}^{2}-\frac{G M}{r_{P}}=\frac{1}{2} v_{A}^{2}-\frac{G M}{r_{A}} > > > > \end{array}\right.$

$\frac{1}{2}\left(v_{A} \cdot \frac{r_{A}}{r_{P}}\right)^{2}-\frac{1}{2} v_{A}^{2}=\frac{G M}{r_{P}}-\frac{G M}{r_{A}}$

$\frac{1}{2} v_{A}^{2}\left(\frac{r_{A}^{2}}{r_{P}^{2}}-1\right)=G M\left(\frac{1}{r_{P}}-\frac{1}{r_{A}}\right)$

$\frac{1}{2} v_{A}^{2}\left(\frac{r_{A}^{2}-r_{P}^{2}}{r_{P}^{2}}\right)=G M\left(\frac{r_{A}-r_{P}}{r_{A} r_{P}}\right)$

$\frac{1}{2} v_{A}^{2} \frac{\left(r_{A}-r_{P}\right)\left(r_{A}+r_{P}\right)}{r_{P}}=G M\left(\frac{r_{A}-r_{P}}{r_{A}}\right)$

$v_{A}^{2} \frac{\left(r_{A}+r_{P}\right)}{2 r_{P}}=\frac{G M}{r_{A}} \quad \frac{a=\frac{r_{A}+r_{P}}{2}}{v_{A}^{2}}=\frac{G M}{a} \frac{r_{P}}{r_{A}}=\frac{G M}{r_{A}}$

$v_{P}=v_{A} \cdot \frac{r_{A}}{r_{P}} \quad \rightarrow \quad \sqrt{\frac{G M}{a}} \cdot \frac{r_{P}}{r_{A}} \quad \rightarrow \quad v_{P}=\sqrt{\frac{G M}{a}} \frac{r_{P}}{r_{A}} \cdot \frac{r_{A}}{r_{P}} \cdot \frac{r_{A}}{r_{P}}$

Spostrzeżenie

Zauważmy, że gdy orbita eliptyczna zbliża się kształtem do okręgu, to wtedy wszystkie trzy długości: $a, r_{P}, r_{A}$ stają się równe promieniowi $r$ okręgu, a wyprowadzone wzory na prędkości w perycentrum i apocentrum przechodzą we wzór na prędkość orbitalną (zob. wyprowadzenie tego wzoru w zadaniu 5.2.):

$v_{A}=\sqrt{\frac{G M}{a} \cdot \frac{r_{P}}{r_{A}}} \quad \xrightarrow{r_{A} \rightarrow r \quad r_{P} \rightarrow r \quad a \rightarrow r} \quad v_{\text {or }}=\sqrt{\frac{G M}{r}}$ $v_{P}=\sqrt{\frac{G M}{a} \cdot \frac{r_{A}}{r_{P}}} \quad \xrightarrow{r_{A} \rightarrow r \quad r_{P} \rightarrow r \quad a \rightarrow r} \quad v_{\text {or }}=\sqrt{\frac{G M}{r}}$

Przykładowe pełne rozwiązanie

Zastosujemy prawo Hubble'a - prędkość względna $v$ między oddalającymi się galaktykami (związana z rozszerzaniem się Wszechświata) jest proporcjonalna do odległości $d$ między nimi:

$v=H d$

Wielkość $H$ jest stałą Hubble'a. Zatem iloraz prędkości względnych będzie równy stosunkowi odległości między galaktykami wyrażonymi w umownych jednostkach odległości:

$\frac{v_{\alpha \beta}}{v_{\beta \gamma}}=\frac{H \cdot d_{\alpha \beta}}{H \cdot d_{\beta \gamma}}=\frac{4}{3}$

Rozwiązanie

B

Przykładowe pełne rozwiązanie

Analizujemy dane na rysunkach. Długości fal odpowiadające liniom widmowym na rysunku 1. są wprost proporcjonalne do długości fal na rysunku 2., a współczynnik proporcjonalności wynosi około 1,09. Dla każdej pary linii zachodzi:

$\frac{\lambda}{\lambda_{z}}>1$

Z tej relacji oraz ze związku $c=\lambda f$ wynika, że:

$\frac{f}{f_{Z}}<1$

Zatem częstotliwość promieniowania zarejestrowanego od ruchomego źródła jest mniejsza od częstotliwości promieniowania w układzie spoczynkowym źródła. Zgodnie ze wzorami Dopplera, to oznacza, że źródło fali się oddala.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz (krok 1.)

Zastosujemy wzór na efekt Dopplera dla światła, gdy źródło fali się oddala. W tym celu przekształcimy podany wzór z częstotliwościami na wzór z długościami fal. Skorzystamy ze związku między długością fali i jej częstotliwością a prędkością:

$c=\lambda f \quad c=\lambda_{Z} f_{Z} \quad f=f_{Z} \sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}} \quad \rightarrow \quad \lambda=\lambda_{Z} \sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}$

Komentarz (krok 2.)

Z powyższego wzoru wyznaczymy prędkość $v$ oddalania się źródła w funkcji długości emitowanej i rejestrowanej fali:

$\lambda^{2}=\lambda_{Z}^{2}\left(\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}\right) \rightarrow \lambda^{2}-\lambda^{2} \frac{v}{c}=\lambda_{Z}^{2}+\lambda_{Z}^{2} \frac{v}{c} \rightarrow$ $v=c \frac{\lambda^{2}-\lambda_{Z}^{2}}{\lambda^{2}+\lambda_{Z}^{2}}$

Do obliczenia $v$ z powyższego wzoru wykorzystamy długość fali promieniowania w układzie źródła (z rysunku 2.) i rejestrowanego przez detektor (rysunek 1.). Do obliczeń możemy wykorzystać dowolną parę linii widmowych.

Komentarz (krok 3.)

Odczytujemy dane z rysunku i podstawiamy do wyprowadzonego wzoru:

Sposób 1.

Obliczenia dla linii $\mathrm{L}_{1} \mathrm{i} \mathrm{L}_{1 \mathrm{z}}$ : $\lambda_{1}=530 \mathrm{~nm} \quad \lambda_{1 Z}=486 \mathrm{~nm}$ $v=3 \cdot 10^{8} \frac{530^{2}-486^{2}}{530^{2}+486^{2}} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \approx 2,59 \cdot 10^{7} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \approx 2,6 \cdot 10^{7} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Sposób 2.

Obliczenia dla linii $\mathrm{L}_{2} \mathrm{i} \mathrm{L}_{2 \mathrm{z}}$ : $\lambda_{2}=473 \mathrm{~nm} \quad \lambda_{2 Z}=434 \mathrm{~nm}$ $v=3 \cdot 10^{8} \frac{473^{2}-434^{2}}{473^{2}+434^{2}} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \approx 2,58 \cdot 10^{7} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \approx 2,6 \cdot 10^{7} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Sposób 3.

Obliczenia dla linii $\mathrm{L}_{3} \mathrm{i} \mathrm{L}_{3 \mathrm{z}}$ : $\lambda_{3}=447 \mathrm{~nm} \quad \lambda_{3 Z}=410 \mathrm{~nm}$ $v=3 \cdot 10^{8} \frac{447^{2}-410^{2}}{447^{2}+410^{2}} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \approx 2,59 \cdot 10^{7} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \approx 2,6 \cdot 10^{7} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Przykładowe pełne rozwiązanie

Do obliczenia odległości $d$, pomiędzy źródłem a detektorem, zastosujemy prawo Hubble'a:

$v=H d \quad \rightarrow \quad d=\frac{v}{H}$

gdzie $H$ jest stałą Hubble'a odczytaną z tablic, a $v$ jest prędkością względną źródła i detektora:

$d \approx \frac{26 \cdot 10^{3} \frac{\mathrm{~km}}{\mathrm{~s}}}{70 \frac{\mathrm{~km}}{\mathrm{~s} \cdot \mathrm{Mpc}}} \approx 370 \mathrm{Mpc}$