Przeczytaj - Jak definiuje się przyspieszenie grawitacyjne?

RBrl9KQWHmIKP

To ciekawe

Jak długo będzie spadała piłka z wysokości 5 metrów na Ziemi, Marsie i na Księżycu? Z jaką prędkością uderzy o ich powierzchnię? Na pozór są to trudne pytania, jednak okazuje się, że można na nie łatwo odpowiedzieć znając zależność pomiędzy masą i promieniem danej planety oraz przyspieszeniem grawitacyjnym. Więcej na ten temat w niniejszym materiale.

Twoje cele

Przeczytanie materiału i wykonanie ćwiczeń sprawi, że:

przypomnisz sobie, jaką rolę odgrywa przyspieszenie grawitacyjne w spadku swobodnym,
poznasz związek pomiędzy przyspieszeniem grawitacyjnym na powierzchni planety a jej masą i promieniem,
zastosujesz poznaną zależność w zadaniach rachunkowych.

Warto przeczytać

RKodBxsxIP1Ys

Rys. 1. Zdjęcie poglądowe przedstawia austriackiego spadochroniarza w locie. Felix Baumgartner jest znany z wykonywania szczególnie niebezpiecznych akrobacji. Trenował spadochroniarstwo w austriackiej armii, gdzie uczono go m.in. lądowania na małych obszarach. 14 października 2012 wykonał skok ze stratosfery z wysokości 38 969,4 metrów w ramach przedsięwzięcia Red Bull Stratos. Pobił trzy rekordy – najwyższy lot załogowy balonem, najwyższy skok spadochronowy oraz największa prędkość swobodnego lotu. 24 października 2014 r. jego rekord wysokości skoku pobił 57‑letni Alan Eustace, nie używając przy tym specjalnej kapsuły. — Rys. 1. Felix Baumgartner - człowiek, który pobił rekord świata skacząc ze spadochronem ze stratosfery.
Źródło: dostępny w internecie: https://www.flickr.com/photos/benoitduchatelet/8087834857/ [dostęp 18.04.2022], licencja: CC BY 2.0.

Siła oddziaływania grawitacyjnego działająca na ciała znajdujące się w pobliżu danej planety może być wyrażona wzorem:

F = m \cdot a

gdzie $m$ to masa ciała [kg], zaś $a$ to przyspieszenie grawitacyjnePrzyspieszenie grawitacyjneprzyspieszenie grawitacyjne planety [m/sIndeks górny 2].

Jak ten wzór ma się do prawa powszechnego ciążenia, mówiącego, że każde dwa ciała posiadające masę przyciągają się siłą o wartości:

F = G \frac{M \cdot m}{r^{2}}

gdzie $r$ definiowana jest ogólnie jako odległość pomiędzy masami, zaś $G$ jest stałą grawitacyjną ?

Powyższe wyrażenia są sobie równe, zatem:

m \cdot a = G \frac{M \cdot m}{r^{2}}

Ze względu na to, że rozpatrujemy sytuację na powierzchni danej planety, to literę $r$ zastępujemy wielką literą, która oznacza promień tej konkretnej planety.

Przy powierzchni planety przyspieszenie grawitacyjne ma wartość stałą i jest oznaczane aIndeks dolny g.

a_{g} = G \frac{M}{R^{2}}

Wróćmy więc do pytań postawionych we wstępie. Jak długo będzie spadała piłka z wysokości 5 metrów na Ziemi, Marsie i na Księżycu? Z jaką prędkością uderzy o powierzchnię? Aby udzielić odpowiedzi na te pytania, należy obliczyć przyspieszenia grawitacyjne na powierzchni wspomnianych ciał niebieskich. By było to jednak możliwe, musimy poznać ich masy i promienie. Wyszukując je w Internecie, dowiemy się, iż wynoszą one odpowiednio:

dla Ziemi:

M_{Z} = 5, 97 \cdot 10^{24} k g

R_{Z} = 6371 k m

zatem przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni naszej planety wynosi:

a_{g} = 6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{k g \cdot s^{2}} \cdot \frac{5, 97 \cdot 10^{24} k g}{(6371 \cdot 10^{3} m)^{2}} \approx 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

dla Marsa:

M_{M} = 6,4 \cdot 10^{23} k g

R_{M} = 3390 k m

czyli przyspieszenie grawitacyjne Marsa ma wartość:

a_{g} = 6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{k g \cdot s^{2}} \cdot \frac{6, 4 \cdot 10^{23} k g}{(3390 \cdot 10^{3} m)^{2}} \approx 3, 7 \frac{m}{s^{2}}

dla Księżyca:

M_{K} = 7,35 \cdot 10^{22} k g

R_{K} = 1737 k m

przyspieszenie grawitacyjne Księżyca ma więc wartość:

a_{g} = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} \frac{m^{3}}{k g \cdot s^{2}} \cdot \frac{7, 35 \cdot 10^{22} k g}{{(1737 \cdot 1 0^{3} m)}^{2}} \approx 1, 6 \frac{m}{s^{2}}

Znając wartości przyspieszenia dla rozważanych ciał niebieskich, możemy skorzystać ze wzorów opisujących ruch jednostajnie przyspieszony (jakim jest właśnie spadek swobodnySpadek swobodnyspadek swobodny), by odpowiedzieć na postawione wcześniej pytania:

h = \frac{a t^{2}}{2} \to t = \sqrt{\frac{2 h}{a}}

z definicji przyspieszenia wiemy, że:

a = \frac{Δ v}{Δ t} \to Δ t = a t

gdzie $Δ t$ to przyrost prędkości w czasie.

Przy swobodnym spadku prędkość początkowa jest równa zero, więc:

v = a t

Zatem:

dla Ziemi:

t = \sqrt{\frac{2 \cdot 5 m}{9, 8 \frac{m}{s^{2}}}} \approx 1 s

v = 9, 8 \frac{m}{s^{2}} \cdot 1 s = 9, 8 \frac{m}{s}

dla Marsa:

t = \sqrt{\frac{2 \cdot 5 m}{3, 7 \frac{m}{s^{2}}}} \approx 1, 64 s

v = 3, 7 \frac{m}{s^{2}} \cdot 1, 64 s \approx 6 \frac{m}{s}

dla Księżyca:

t = \sqrt{\frac{2 \cdot 5 m}{1, 6 \frac{m}{s^{2}}}} \approx 2, 5 s

v = 1, 6 \frac{m}{s^{2}} \cdot 2, 5 s = 4 \frac{m}{s}

Widać więc, że możemy obliczyć czas swobodnego spadania i prędkość uderzenia w powierzchnię na poszczególnych planetach znając przyspieszenie grawitacyjne.

Słowniczek

Przyspieszenie grawitacyjne

(ang. gravitational acceleration) – wielkość wektorowa wyrażająca zmianę prędkości ciała w czasie wynikająca z działania na ciało przyciągania grawitacyjnego.

Spadek swobodny

(ang. free fall) – ruch odbywający się wyłącznie pod wpływem siły grawitacji. Przyjmuje się, że spadek rozpoczyna się od spoczynku, w odróżnieniu od ruchu w polu grawitacyjnym z prędkością początkową zwanego rzutem.

Przemyśl

Jak definiuje się przyspieszenie grawitacyjne?

To ciekawe

Warto przeczytać

Słowniczek