Wykorzystaj wzór łączący prędkość liniową z okresem:

$r=384000\text{km};T=27,3\text{dnia}=27,3\cdot 24\cdot 3600\text{s}=2358720\text{s}$

$v=\frac{2\pi r}{\mathrm{\text{T}}}$

$v=\frac{2\pi \cdot 384000\mathrm{k}\mathrm{m}}{2358720\mathrm{s}}\cong 1,02\frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Zauważ, że otrzymana prędkość ma bardzo dużą wartość. Czy znasz jakiś obiekt, który na Ziemi pokonywałby dystans jednego kilometra w ciągu jednej sekundy? Najszybszy motocykl uzyskał w 2010 roku prędkość 605 km/h, co stanowi około 0,17 km/s – czyli ponad sześć razy mniej!

Wykorzystaj wzór na prędkość liniową

$t_1=68\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{t}$

$t_2=89\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{t}$

$h=240\mathrm{k}\mathrm{m}=240000\mathrm{m}=2,4\cdot {10}^5\mathrm{m}$

$R_z=6370\mathrm{k}\mathrm{m}=6,37\cdot {10}^6\mathrm{m}$

$v=\frac{2\pi r}{\text{T}}$

$r=R_z+h$

Wyznacz wartość prędkości liniowej w trakcie całego lotu.

$v=\frac{2\pi (R_z+h)}{t_2}$

$v=\frac{2\pi (6370000\mathrm{m}+240000\mathrm{m})}{89\cdot 60\mathrm{s}}\cong 7773,6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Następnie wyznacz drogę pokonaną w czasie tIndeks dolny 1₁.

$s=v\cdot t_1$

$s=7773,6\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 68\cdot 60\text{s}=31716,12\text{km}\cong 31700\text{km}$

Wiemy, że prędkość kątowa wyraża się wzorem:

$\omega =\frac{2\pi }{T}.$

Wyznaczmy zatem T. W tym celu skorzystajmy z faktu, że na Księżyc działają dwie równoważące się siły - grawitacyjna i dośrodkowa:

$F_d=F_g,$

$\frac{m{v}^2}{R}=G\frac{m{M}_z}{R^2},$

$v^2=G\frac{M_z}{R}.$

Wiedząc, że wartość prędkości wyraża się jako:

$v=\frac{2\pi R}{T},$

możemy zapisać, że:

$\frac{4{\pi }^2{R}^2}{T^2}=G\frac{M_z}{R}.$

Zatem:

$T=\sqrt{\frac{4{\pi }^2{R}^3}{G{M}_z}}=2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G{M}_z}}.$

Wstawiając otrzymane wyrażenie do wzoru na prędkość kątową otrzymujemy:

$\omega =\frac{2\pi }{2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G{M}_z}}}=\sqrt{\frac{G{M}_z}{R^3}}.$

$t=4\mathrm{h}=4\cdot 3600\mathrm{s}=14400\mathrm{s}.$

$g=9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2};R_Z=6370\mathrm{k}\mathrm{m}=6,37\cdot {10}^6\mathrm{m}.$

$h=?$

$F_{odśr}=F_g\frac{m{v}^2}{r}=G\frac{\text{m~}{M}_z}{r^2}{v}^2=G\frac{M_z}{r}.$

Wiedząc, że siła grawitacyjna, w przypadku opisanym w zadaniu, pełni rolę siły dośrodkowej, porównaj wzory opisujące te siły:

$mg=G\frac{m{M}_z}{R_z^2}.$

$g=G\frac{M_z}{R_z^2}.$

$g{R}_z^2=G{M}_z$.

Po dokonaniu przekształceń otrzymujemy zależność:

$v^2=\frac{g{R}_Z^2}{R_Z+h}.$

Dodatkowo wiemy, że:

$v=\frac{2\pi (R_z+h)}{T}.$

Możemy wyznaczyć h:

$\frac{4{\pi }^2(R_Z+h{)}^2}{T^2}=\frac{g{R}_Z^2}{R_Z+h},$

$h=\sqrt[3]{\frac{g{R}_Z^2{T}^2}{4{\pi }^2}}-R_Z.$

$h=\sqrt[3]{\frac{g{R}_Z^2{T}^2}{4{\pi }^2}}-R_Z.$

$h=\sqrt[3]{\frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot (6,37\cdot {10}^6\text{m}{)}^2\cdot (1,44\cdot {10}^4\text{s}{)}^2}{4{\pi }^2}}-6,37\cdot {10}^6\text{m}\cong 6420\text{km}$.

Wypisz dane z zadania:

$T=365,25\text{dni}=365,25\cdot 24\cdot 3600\text{s}=31557600\text{s},$

$r=1,5\cdot {10}^{11}\text{m}.$

Wiemy, że prędkość liniowa w ruchu po okręgu wyraża się wzorem:

$v=\frac{2\pi r}{T}.$

Wykonując działania na liczbach otrzymujemy wynik:

$v=\frac{2\pi r}{T}\approx 30\frac{\text{km}}{\text{s}}.$

Wiedząc, że siła grawitacyjna, w przypadku opisanym w zadaniu, pełni rolę siły dośrodkowej, porównaj wzory opisujące te dwie siły.

$h=1000\mathrm{k}\mathrm{m}={10}^6\mathrm{m}$.

$R_w=6052\mathrm{k}\mathrm{m}=6,052\cdot {10}^6\mathrm{m}$.

$M_W=4,87\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

$T=?$

$F_d=F_g$.

$\frac{m{v}^2}{r}=G\frac{m{M}_z}{r^2}$.

$v^2=G\frac{M_z}{r}$.

$r=R_W+h$.

Wzór na prędkość liniową w ruchu po okręgu:

$v=\frac{2\pi (R_W+h)}{T},$

porównaj ze wzorem zapisanym wcześniej:

$\frac{4{\pi }^2(R_W+h{)}^2}{T^2}=G\frac{M_W}{R_w+h}.$

$T=\sqrt{\frac{4{\pi }^2(R_Z+h{)}^3}{G{M}_W}}=2\pi \sqrt{\frac{(R_Z+h{)}^3}{G{M}_W}}$.

$T=2\pi \sqrt{\frac{(6,052\cdot {10}^6\mathrm{m}+{10}^6\mathrm{m}{)}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{s}}^2}\cdot 4,87\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}}}\cong 109min$.

Zapisz wzór na prędkość liniową satelity.

$R_Z=6370\mathrm{k}\mathrm{m}=6,37\cdot {10}^6\mathrm{m}$.

$g=9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

$v=\frac{2\pi r}{T}$.

Pamiętaj, że okres obiegu satelity jest równy jednej dobie ziemskiej:

$T=23\mathrm{h}56\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}4\mathrm{s}=23\cdot 3600\mathrm{s}+56\cdot 60\mathrm{s}+4\mathrm{s}=86164\mathrm{s},$

zaś r:

$r=R_z+h.$

Wiedząc, że siła grawitacyjna w przypadku opisanym w zadaniu pełni rolę siły dośrodkowej, porównaj wzory je opisujące. Następnie, łącząc ze sobą zapisane wyrażania, wyznacz r.

Wiedząc, że:

$F_d=F_g,$

$\frac{m{v}^2}{r}=G\frac{m{M}_z}{r^2},$

$v^2=G\frac{M_z}{r},$

$v=\frac{2\pi r}{T},$

$\frac{4{\pi }^2{r}^2}{T^2}=G\frac{M_z}{r}$

zauważ, że na powierzchni Ziemi:

$mg=G\frac{m{M}_z}{R_z^2}.$

Łącząc powyższe zależności, uprość wzór na prędkość.

$g=G\frac{M_z}{R_z^2}$.

$g{R}_z^2=G{M}_Z$.

$r=\sqrt[3]{\frac{g{R}_z^2{T}^2}{4{\pi }^2}}$.

$v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi \sqrt[3]{\frac{g{R}_z^2{T}^2}{4{\pi }^2}}}{T}=\sqrt[3]{8{\pi }^3\frac{g{R}_z^2{T}^2}{4{\pi }^2{T}^3}}=\sqrt[3]{2\pi \frac{g{R}_z^2}{T}}$.

$r=\sqrt[3]{\frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}(6,37\cdot {10}^6\text{m}{)}^2(86164\text{s}{)}^2}{4{\pi }^2}}\cong 42100000\text{m}=4,21\cdot {10}^4\text{km}.$ $v=\sqrt[3]{2\pi \frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}(6,37\cdot {10}^6\text{m}{)}^2}{86164\text{s}}}\cong 3070\frac{\text{m}}{\text{s}}=1,11\cdot {10}^4\frac{\text{km}}{\text{h}}$.