3. Działania w zbiorze liczb wymiernych i rzeczywistych

RH4U4L9XXTASK

Wszystkie liczby, z którymi spotykasz się w szkole, należą do zbioru liczb rzeczywistych. Istnieją różne definicje liczb rzeczywistych: niektóre używają aksjomatów, inne granic, ale wszystkie one wykraczają poza program nauki szkolnej.

Dla nas zbiór liczb rzeczywistych będzie po prostu sumą zbioru liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych. W tej lekcji sklasyfikujemy wszystkie znane nam liczby oraz ponownie przyjrzymy się własnościom działań na nich.

Twoje cele

Wykonasz działania na liczbach rzeczywistych.
Rozpoznasz, czy liczba jest naturalna, całkowita, wymierna czy niewymierna.

Zbiór liczb rzeczywistych złożony jest ze wszystkich liczb wymiernych i wszystkich liczb niewymiernych.

Oznaczamy go symbolem $ℝ$ , który pochodzi od pierwszej litery angielskiego słowa real, oznaczającego rzeczywisty, realny.

“Najmniejszym” w sensie zawierania jest zbiór liczb naturalnych.

Liczby całkowite możemy skonstruować z liczb naturalnych: wystarczy do liczb naturalnych dodać liczby do nich przeciwne.

Liczby wymierne powstają jako ilorazy liczb całkowitych przy założeniu że dzielnik nie jest równy $0$ .

Liczby niewymierne “dopełniają” zbiór liczb wymiernych do całej osi liczbowej.

Zbiór liczb wymiernych i zbiór liczb niewymiernych nie mają wspólnych elementów, ale razem tworzą zbiór liczb rzeczywistych. Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować dokładnie jeden punkt na osi liczbowej i odwrotnie każdy punkt osi odpowiada jednej liczbie rzeczywistej.

Na podstawie powyższych faktów możemy sporządzić rysunek:

RUUDT1U26FOPA

Ilustracja przedstawia graficzną interpretację zbiorów liczb jako elipsy zawierające się w kolejnych elpisach. Największtm zbiorem jest tu zbiór liczb rzeczywistych oznaczny jako jako wielka podwójna litera R. Zbiór ten dzieli się na rozłączne podzbiory: liczb wymiernych oznaczonych podwójną wielką literą Q oraz liczb niewymiernych, oznaczonych wielkimi podwójnymi literami R odjąć Q, przy czym odjąć jest różnicą zbiorów, czyli ukośnikiem. Zbiór liczb niewymiernych nie ma dalszych podzbiorów, natomiast zbiór liczb wymiernych zawiera podzbiór liczb całkowitych oznaczonych podwójną wielką literą Z, a jego podzbiorem z kolei jest zbiór liczb naturalnych oznaczonych wielką podwójna literą N.

Ciekawostka

Jako ciekawostkę podamy fakt, że liczb naturalnych jest dokładnie tyle samo co liczb całkowitych i dokładnie tyle samo co liczb wymiernych.

Liczb niewymiernych jest “więcej” niż liczb wymiernych. Wydawać by się mogło, że skoro każdy z omawianych zbiorów jest nieskończony, to wszystkie mają tyle samo elementów – nieskończenie wiele. Okazuje się jednak, że istnieją różne nieskończoności, a bada je dział matematyki o nazwie teoria mnogości.

Sformułowanie “w zbiorze $A$ jest tyle samo elementów co w zbiorze $B$ ” oznacza tu, że każdemu elementowi zbioru $A$ możemy przyporządkować dokładnie jeden element ze zbioru $B$ i odwrotnie – każdemy elementowie ze zbioru $B$ możemy przyporządkować dokładnie jeden element ze zbioru $A$ .

Innymi słowy elementy zbiorów $A$ i $B$ możemy połączyć w pary. Jeżeli w żadnym ze zbiorów nie zostanie element bez pary, to zbiory mają tyle samo elementów. Jeżeli w jednym ze zbiorów wykorzystamy wszystkie elementy, a w drugim zostaną elementy bez pary, to powiemy, że w tym drugim elementów jest więcej.

Aby pokazać, że w zbiorze liczb całkowitych jest tyle samo elementów, co w zbiorze liczb naturalnych ustawmy liczby całkowite w nieskończony ciąg o wyrazach np. $0, - 1, 1, - 2, 2, - 3, 3, - 4, 4, . . .$ . Zauważmy, że każda liczba całkowita pojawi się w nim dokładnie jeden raz, co oznacza że jest ich tyle ile liczb naturalnych. Na tej samej zasadzie można pokazać, że liczb wymiernych jest tyle samo, co liczb naturalnych ustawiając liczby wymierne w ciąg o niepowtarzających się wyrazach.

Własność trychotomii

Własność: Własność trychotomii

Jeśli $x$ i $y$ są liczbami rzeczywistymi, to zachodzi dokładnie jedna z trzech możliwości:

albo $x < y$ , albo $x = y$ , albo $x > y$ .

Innymi słowy własność trychotomii orzeka, że dowolne dwie liczby rzeczywiste można porównać.

Prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych

Prawo: Prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych

Dla porządku przypomnijmy podstawowe prawa działań na liczbach rzeczywistych:

zbiórzbiór zamknięty na działaniezbiór liczb rzeczywistych jest zamknięty na dodawanie, mnożenie, odejmowanie i dzieleniezbiór zamknięty na działaniezamknięty na dodawanie, mnożenie, odejmowanie i dzielenie (poza dzieleniem przez zero);
dodawanie jest łącznedziałanie łącznedodawanie jest łączne;
liczba $0$ jest elementem neutralnym dodawaniaelement neutralny działaniaelementem neutralnym dodawania;
każda liczba rzeczywista $x$ posiada dokładnie jedną liczbę przeciwną $(- x)$ ;
dodawanie jest przemienne;
mnożenie jest łącznedziałanie łącznemnożenie jest łączne;
liczba $1$ jest elementem neutralnym mnożenia;
mnożenie jest przemiennedziałanie przemiennemnożenie jest przemienne;
mnożenie jest rozdzielne względem dodawania;
każda niezerowa liczba rzeczywista $x$ posiada dokładnie jedną liczbę rzeczywistą odwrotną $\frac{1}{x}$ .

Przykład 1

a) Wyznaczymy liczbę przeciwną do liczby $x = 2 - 3 \sqrt{2}$ .

Liczbą przeciwnąliczba przeciwnaLiczbą przeciwną jest liczba $- x = - (2 - 3 \sqrt{2}) = - 2 + 3 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} - 2$ .

b) Wyznaczymy liczbę odwrotną do liczby $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Liczbą odwrotnąliczba odwrotnaLiczbą odwrotną jest liczba $\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Przykład 2

Zauważmy, że:

$\sqrt{3^{2}} = \sqrt{9} = 3$

$\sqrt{{(- 3)}^{2}} = \sqrt{9} = 3$

$\sqrt{5^{2}} = \sqrt{25} = 5$

$\sqrt{{(- 5)}^{2}} = \sqrt{25} = 5$

$\sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} = \sqrt{2} - 1$

$\sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} = - (1 - \sqrt{2}) = - 1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$ (liczba $1 - \sqrt{2}$ jest ujemna, zaś wynik pierwiastkowania z definicji jest nieujemny – liczba $\sqrt{2} - 1$ jest przeciwna do $1 - \sqrt{2}$ i dodatnia, więc to ona jest wynikiem tego działania)

$\sqrt{{(\sqrt{5} - 2)}^{2}} = \sqrt{5} - 2$

$\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} = - (2 - \sqrt{5}) = - 2 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 2$ (liczba $2 - \sqrt{5}$ jest ujemna, zaś wynik pierwiastkowania z definicji jest nieujemny – liczba $\sqrt{5} - 2$ jest przeciwna do $2 - \sqrt{5}$ i dodatnia, więc to ona jest wynikiem tego działania)

Ale

$\sqrt[3]{2^{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$

$\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} = \sqrt[3]{- 8} = - 2$

$\sqrt[3]{5^{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$

$\sqrt[3]{{(- 5)}^{3}} = \sqrt[3]{- 125} = - 5$

$\sqrt[3]{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}} = \sqrt{3} - 1$

$\sqrt[3]{{(1 - \sqrt{3})}^{3}} = 1 - \sqrt{3}$

$\sqrt[3]{{(\sqrt{7} - 2)}^{3}} = \sqrt{7} - 2$

$\sqrt[3]{{(2 - \sqrt{7})}^{3}} = 2 - \sqrt{7}$

Przykład 3

Wykonamy mnożenie, dodawanie i odejmowanie liczb $x = \frac{1}{\sqrt{5} - 1}$ oraz $y = \frac{1}{\sqrt{5} + 1}$ .

a) $x \cdot y = \frac{1}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{5} + 1}$

Aby pomnożyć te liczby, wystarczy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego oraz mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego. Otrzymane iloczyny stają się odpowiednio licznikiem i mianownikiem iloczynu liczb $x$ i $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{1}{(\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1)} = \frac{1}{5 + \sqrt{5} - \sqrt{5} - 1} = \frac{1}{4}$

b) $x + y = \frac{1}{\sqrt{5} - 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + 1}$

Aby dodać te liczby, sprowadzamy je do wspólnego mianownika. W tym celu pierwszy składnik rozszerzamy przez $\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1}$ , zaś drugi przez $\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1}$ :

$\frac{1}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + 1} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1)} + \frac{\sqrt{5} - 1}{(\sqrt{5} + 1) (\sqrt{5} - 1)} =$

$= \frac{\sqrt{5} + 1}{5 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1} + \frac{\sqrt{5} - 1}{5 + \sqrt{5} - \sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} + \frac{\sqrt{5} - 1}{4} =$

$= \frac{\sqrt{5} + 1 + \sqrt{5} - 1}{4} = \frac{2 \sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

c) $x - y = \frac{1}{\sqrt{5} - 1} - \frac{1}{\sqrt{5} + 1}$

Aby odjąć te liczby, sprowadzamy je do wspólnego mianownika. W tym celu pierwszy składnik rozszerzamy przez $\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1}$ , zaś drugi przez $\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1}$ :

$\frac{1}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} - \frac{1}{\sqrt{5} + 1} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1)} - \frac{\sqrt{5} - 1}{(\sqrt{5} + 1) (\sqrt{5} - 1)} =$

$= \frac{\sqrt{5} + 1}{5 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1} - \frac{\sqrt{5} - 1}{5 + \sqrt{5} - \sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} - \frac{\sqrt{5} - 1}{4} =$

$= \frac{\sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Przykład 4

Wykonamy działania

$\sqrt{1 + \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{144}{144} + \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{169}{144}} = \frac{13}{12}$

$\sqrt{\frac{45}{9} - 1} = \sqrt{\frac{45}{9} - \frac{9}{9}} = \sqrt{\frac{36}{9}} = \sqrt{4} = 2$

$\sqrt{12^{2} + 16^{2}} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$

$\sqrt{15^{2} - 9^{2}} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$

Przykład 5

Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania)rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania) opuścimy nawiasy:

$\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} + 3) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot \sqrt{2} = 2 + 3 \sqrt{2}$

$\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{8}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{12} + \sqrt{16} =$

$= \sqrt{4 \cdot 3} + 4 = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} + 4 = 2 \sqrt{3} + 4$

$\sqrt{3} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3 \cdot 6} - \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{18} - \sqrt{9} =$

$\sqrt{9 \cdot 2} - \sqrt{9} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} - 3 = 3 \sqrt{2} - 3$

Przykład 6

Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania wyłączymy wspólny czynnik przed nawias.

$\sqrt{10} + \sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 2} + \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5} \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3})$

$10 + \sqrt{10} = \sqrt{100} + \sqrt{10} = \sqrt{10 \cdot 10} + \sqrt{10} =$

$= \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} + \sqrt{10} = \sqrt{10} \cdot (\sqrt{10} + 1)$

$\sqrt{12} - 4 = \sqrt{4 \cdot 3} - 4 = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} - 4 = 2 \sqrt{3} - 2 \cdot 2 = 2 \cdot (\sqrt{3} - 2)$

Przypomnijmy, że aby wyznaczyć rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej, wystarczy przedstawić ją w postaci ułamka zwykłego (być może niewłaściwego), a następnie wykonać dzielenie licznika przez mianownik tego ułamka. Przy czym dzielenia nie kończymy w chwili, gdy pojawia się reszta z dzielenia. Wówczas w ilorazie stawiamy przecinek (separator) dziesiętny równocześnie dopisując zero po prawej stronie reszty i kontynuujemy dzielenie.

Rozważmy kilka przykładów.

Przykład 7

Obliczymy:

R75K334VZ5JPJ

Dzielenie pisemne 253 podzielić na 5, nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. Rozważamy dwie początkowe liczby, dzielnej czyli 25 i dzielimy ją przez 5, nad linią wyniku nad 5 zapisujemy 5, następnie mnożymy 5 razy 5 i wynik zapisujemy pod dwoma pierwszymi liczbami dzielnej , pod 25 kreślimy poziomą linię. Odejmujemy 25 odjąć 25 , wynik jest równy zero czego nie zapisujemy tylko przepisujemy liczbę 3 pod linią; teraz dzielimy 3 przez 5; wynik 0 zapisujemy nad linią wynikową nad 3, mnożymy 0 razy 5 i wynik 0 zapisujemy pod liczbą 3, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 3 odjąć zero i zapisujemy pod nią wynik 3, dopisujemy 0, otrzymując 30, teraz dzielimy 30 przez 5; wynik 6 zapisujemy na linią wynikową po przecinku, mnożymy 6 razy 5 i wynik 30 zapisujemy pod liczbą 30, poniżej kreślimy poziomą linię i odejmujemy 30 odjąć 30, co równa się 0. Dzielenie zostało zakończone, czyli 253 podzielić na 5 równa się 50 przecinek 6.

RKFZKQAH3GSMR

Dzielenie pisemne 2347 podzielić na 4, nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. Rozważamy dwie początkowe liczby, dzielnej czyli 23 i dzielimy ją przez 4, nad linią wyniku nad 3 zapisujemy 5, następnie mnożymy 5 razy 4 i wynik zapisujemy pod dwoma pierwszymi liczbami dzielnej , pod 20 kreślimy poziomą linię. Odejmujemy 23 odjąć 20; pod linią zapisujemy wynik 3 i dopisujemy liczbę 4 ;otrzymujemy 34; teraz dzielimy 34 przez 4; wynik 8 zapisujemy nad linią wynikową nad 4, mnożymy 8 razy 4 i wynik 32 zapisujemy pod liczbą 34, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 34 odjąć 32 i zapisujemy pod nią wynik 2, dopisujemy 7, otrzymując 27, teraz dzielimy 27 przez 4; wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową nad 7, mnożymy 6 razy 4 i wynik 24 zapisujemy pod liczbą 27, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 27 odjąć 24 i zapisujemy pod nią wynik 3 i dopisujemy zero; otrzymujemy liczbę 30; teraz dzielimy 30 przez 4; wynik 7 zapisujemy nad linią wynikową po przecinku, mnożymy 7 raz 4 i zapisujemy wynik 28 pod liczbą 30, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 30 odjąć 28 i zapisujemy wynik 2 i dopisujemy 0, otrzymujemy liczbę 20; teraz dzielimy 20 przez 4; wynik 5 zapisujemy nad linią wynikową obok 7, mnożymy 5 razy 4 i zapisujemy wynik 20 pod liczbą 20, poniżej kreślimy poziomą linię i odejmujemy 20 odjąć 20. Dzielenie zostało zakończone, zatem 2347 podzielić na 4 równa się 586 przecinek 75.

R55RCLMAC6ZSM

Dzielenie pisemne 56785 podzielić na 8, nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. Rozważamy dwie początkowe liczby, dzielnej czyli 56 i dzielimy ją przez 8, nad linią wyniku nad 6 zapisujemy 7, następnie mnożymy 7 razy 8 i wynik zapisujemy pod dwoma pierwszymi liczbami dzielnej , pod 56 kreślimy poziomą linię. Odejmujemy 56 odjąć 56 ; pod linią zapisujemy wynik 0 i dopisujemy liczbę 7 ;otrzymujemy 7; teraz dzielimy 7 przez 8; wynik 0 zapisujemy nad linią wynikową nad 7, mnożymy 0 razy 8 i wynik 0 zapisujemy pod liczbą 7, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 7 odjąć 0 i zapisujemy pod nią wynik 7, dopisujemy 8, otrzymując 78, teraz dzielimy 78 przez 8; wynik 9 zapisujemy nad linią wynikową nad 8, mnożymy 9 razy 8 i wynik 72 zapisujemy pod liczbą 78, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 78 odjąć 72 i zapisujemy pod nią wynik 6 i dopisujemy 5; otrzymujemy liczbę 65; teraz dzielimy 65 przez 8; wynik 8 zapisujemy nad linią wynikową nad 5, mnożymy 8 raz 8 i zapisujemy wynik 64 pod liczbą 65, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 65 odjąć 64 i zapisujemy pod nią wynik 1 i dopisujemy 0, otrzymujemy liczbę 10; teraz dzielimy 10 przez 8; wynik 1 zapisujemy nad linią wynikową po przecinku, mnożymy 1 razy 8 i zapisujemy wynik 8 pod liczbą 10, poniżej kreślimy poziomą linię i odejmujemy 10 odjąć 8, pod nią zapisujemy wynik 2 i dopisujemy 0, otrzymujemy liczbę 20 i dzielimy ją przez 8, wynik2 zapisujemy nad linią wynikową na prawo od liczby 1, mnożymy 2 razy 8 i zapisujemy wynik 16 pod liczbą 20, poniżej kreślimy poziomą linię i odejmujemy 20 odjąć 16, otrzymujemy 4 i dopisujemy 0; otrzymaliśmy liczbę 40, dzielimy 40 przez 8 , wynik 5 zapisujemy nad linią wynikową na prawo od liczby 2, mnożymy 5 razy 8 i wynik 40 zapisujemy pod liczbą 40, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy od 40 liczbę 40 i zapisujemy pod nią wynik 0. Dzielenie zostało zakończone, czyli 56785 podzielić na 8 równa się 7098 przecinek 125.

R1KR9PKCZT6MC

Dzielenie pisemne 123457 podzielić na 6 nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. Rozważamy dwie początkowe liczby, dzielnej czyli 12 i dzielimy ją przez 6, nad linią wyniku nad 2 zapisujemy 2, następnie mnożymy 2 razy 6 i wynik zapisujemy pod dwoma pierwszymi liczbami dzielnej , pod 12 kreślimy poziomą linię. Odejmujemy 12 odjąć 12 ; pod linią zapisujemy wynik 0 i dopisujemy liczbę 3 ;otrzymujemy 3; teraz dzielimy 3 przez 6; wynik 0 zapisujemy nad linią wynikową nad 3, mnożymy 0 razy 6 i wynik 0 zapisujemy pod liczbą 3, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 0 od liczby 3 i zapisujemy pod nią wynik 3, dopisujemy 4, otrzymując 34, teraz dzielimy 34 przez 6; wynik 5 zapisujemy nad linią wynikową nad 4, mnożymy 5 razy 6 i wynik 30 zapisujemy pod liczbą 34, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 34 odjąć 30 i zapisujemy pod nią wynik 4 i dopisujemy 5; otrzymujemy liczbę 45; teraz dzielimy 45 przez 6; wynik 7 zapisujemy nad linią wynikową nad 5, mnożymy 7 raz 6 i zapisujemy wynik 42 pod liczbą 45, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 45 odjąć 42 i zapisujemy pod nią wynik 3 i dopisujemy 7, otrzymujemy liczbę 37; teraz dzielimy 37 przez 6; wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową, mnożymy 6 razy 6 i zapisujemy wynik 36 pod liczbą 37, poniżej kreślimy poziomą linię i odejmujemy 37 odjąć 36, pod nią zapisujemy wynik 1 i dopisujemy 0, otrzymujemy liczbę 10 i dzielimy ją przez 6, wynik 1 zapisujemy nad linią wynikową po przecinku, mnożymy 1 razy 6 i zapisujemy wynik 6 pod liczbą 10, poniżej kreślimy poziomą linię i odejmujemy 10 odjąć 6, otrzymujemy 4 i dopisujemy 0; otrzymaliśmy liczbę 40, dzielimy 40 przez 6, wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową na prawo od liczby 6, mnożymy 6 razy 6 i wynik 36 zapisujemy pod liczbą 40, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy od 40 liczbę 36 i zapisujemy pod nią wynik 4, dopisujemy 0; otrzymaliśmy liczbę 40, dzielimy 40 przez 6 , wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową na prawo od liczby 6, mnożymy 6 razy 6 i wynik 36 zapisujemy pod liczbą 40, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy od 40 liczbę 36 i zapisujemy pod nią wynik 4. Dzielenie jest nieskończone, zatem 123457 podzielić na 6 równa się 20576 przecinek 1 i 6 w okresie.

Zwróć uwagę na ostatni przykład. Po postawieniu przecinka dziesiętnego od pewnego miejsca zaczyna powtarzać się cyfra $6$ .

Przypomnijmy, że grupę powtarzających się cyfr w rozwinięciu dziesiętnym nazywamy okresem, zaś liczbę tych cyfr – długością okresudługość okresudługością okresu.

OkresokresOkres zapisujemy zwykle w nawiasie okrągłym lub z kreską ponad nim:

$20576, 1 (6) = 20576, 1 \bar{6}$

W powyższym przykładzie okres ma długość $1$ .

Rozważając przykłady możemy zauważyć pewną prawidłowość.

Po zamianie liczby wymiernej $a$ na ułamek zwykły (być może niewłaściwy) i skróceniu go do ułamka nieskracalnego $\frac{p}{q}$ , rozłóżmy mianownik $q$ na czynniki pierwsze. Jeżeli w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby $q$ występują tylko potęgi liczb $2$ i $5$ , to rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej $a$ jest skończone. Zaś jeśli w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby $q$ występują liczby różne od potęg liczb $2$ i $5$ , wówczas rozwinięcie dziesiętne liczby $a$ jest okresowe.

Przykład 8

Rozważmy liczbę $1 \frac{3}{20} = \frac{23}{20}$ .

Ponieważ w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby $20$ występują tylko potęgi liczb $2$ i $5$ $(20 = 2^{2} \cdot 5)$ , więc rozwinięcie dziesiętne liczby $\frac{23}{20}$ jest skończone.

Mianownik liczby $2 \frac{5}{6} = \frac{17}{6}$ w rozkładzie na czynniki pierwsze zawiera liczbę $3$ $(6 = 2 \cdot 3)$ oraz ułamek ten jest nieskracalny.

Oznacza to, że jego rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone okresowe.

Przykład 9

Zamienimy liczby o podanym rozwinięciu dziesiętnym na ułamek zwykły.

a) $2,13 = 2 \frac{13}{100}$ lub $2,13 = \frac{213}{100}$

b) $12,468 = 12 \frac{468}{1000} = 12 \frac{117}{250}$ lub $12,468 = \frac{12468}{1000} = \frac{3117}{250}$

Na przykładzie przypomnimy, w jaki sposób można liczby o rozwinięciach okresowych przedstawiać w postaci ułamków zwykłych. Więcej przykładów znajdziesz w animacji uzupełniającej lekcję.

Przykład 10

Przedstawimy podane liczby w postaci ułamków zwykłych.

$0, 1 (23)$

Niech $x = 0,123232323 . . .$

Możemy pomnożyć obie strony równości przez potęgę dziesiątki o wykładniku, który jest równy długości okresudługość okresudługości okresu liczby $0, 1 (23)$ , czyli przez $10^{2} = 100$ .

Otrzymamy wówczas równość

$100 x = 12,323232323 . . .$

Po odjęciu lewej strony pierwszej równości od lewej strony drugiej równości i prawej strony pierwszej równości od prawej strony drugiej równości, otrzymujemy

$100 x - x = 12,323232323 . . . - 0,123232323 . . .$

$99 x = 12,2$

$x = \frac{12,2}{99}$

$x = \frac{122}{990}$

$x = \frac{61}{495}$

R18E4CNK9MQKQ1

Ilustracja przedstawia zeszyt, kalkulator naukowy oraz długopis położone na trawie. — Źródło: Anshraf Ali, dostępny w internecie: www.unsplash.com.

Bawiąc się zwykłym kalkulatorem, możemy się przekonać, jak postrzega ułamki zwykłe nasza elektroniczna „maszynka”.

Jeśli, naciskając odpowiednie przyciski, podzielimy $4$ przez $25$ , to zobaczymy na ekranie kalkulatora liczbę:

RPTEZPEV38XAG

Ilustracja przedstawia wyświetlacz kalkulatora z liczbą zero przecinek 16 setnych. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 4.0.

Po rozkazie „ $21$ podzielić przez $90$ ” ujrzymy z kolei:

R114L21AUBKOU

Ilustracja przedstawia wyświetlacz kalkulatora z liczbą 0 przecinek 2 i 10 trójek. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 4.0.

W pierwszym przykładzie otrzymaliśmy ułamek dziesiętny skończonyułamek dziesiętny skończonyułamek dziesiętny skończony, czyli taki, którego zapis dziesiętny kończy się na pewnym miejscu po przecinku (po przecinku występuje skończona liczba cyfr).

W drugim przykładzie kalkulator nieco nas „oszukał”. Wykorzystując bowiem własne obliczenia, widzimy, że: $\frac{21}{90} = 0, 23333 \dots$ , gdzie trójki po przecinku nigdy się nie kończą. Mamy więc w rzeczywistości do czynienia z ułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowymułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowym. Oznaczamy go następująco: $0, 2333 \dots = 0, 2 (3)$ .

Ważne!

Jeśli w ułamku dziesiętnym nieskończonym okresowym powtarza się np. grupa cyfr $345$ , to powtarza się także grupa $345345$ , czy też $345345345$ . Stąd jest sens mówić o najkrótszej z powtarzających się grup cyfr.

Uwaga. Zamiast mówić: „ułamek dziesiętny” używamy też terminu: „rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego”.

Pamiętasz zapewne umowę, według której w nawias bierzemy zawsze najkrótszą z powtarzających się w nieskończoność grup cyfr rozwinięcia dziesiętnego. Tę grupę cyfr nazywamy okresem rozpatrywanego ułamka, a liczbę cyfr występujących w tej najkrótszej grupie nazywamy długością okresu.

Przykład 11

Rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{11}{16}$ jest skończone: $\frac{11}{16} = 0, 6875$ i powstaje w wyniku przedstawionego poniżej dzielenia. Zauważmy, że dzielenie zostało zakończone, gdy pojawiła się reszta zero.

R11HPUCS4Q22D

Przykład 12

Rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{4}{11}$ jest nieskończone i okresowe: $\frac{4}{11} = 0, 363636 . . .$

R1K2O6GP7NNQ9

Na podstawie powyższych przykładów możemy zrozumieć, na czym polega mechanizm, który sprawia, że każdy ułamek zwykły daje się zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego. Otóż, reszt z dzielenia przez mianownik jest skończenie wiele (gdy dzielimy przez liczbę naturalną dodatnią $q$ , wtedy jedyne możliwe reszty, jakie mogą się pojawić, to: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , . .. itd. aż do $q - 1$ ) i w końcu:

albo któraś z reszt jest równa zeru i rozwinięcie dziesiętne jest skończone,
albo każda reszta jest niezerowa, a wtedy któraś z reszt musi się powtórzyć i w efekcie rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone, okresowe.

o rozwinięciu dziesiętnym ułamka zwykłego

Twierdzenie: o rozwinięciu dziesiętnym ułamka zwykłego

Każdy ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.

Uwaga!

Rozwinięcie dziesiętne skończone można też zapisać w postaci nieskończonej, dopisując zera po jego ostatniej niezerowej cyfrze. W praktyce szkolnej z tej możliwości nie korzystamy i wyraźnie odróżniamy rozwinięcia dziesiętne skończone od nieskończonych, okresowych.

Uwaga!

Jeśli ułamek $\frac{p}{q}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe, to w jego okresie jest mniej niż $q$ cyfr.

Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły jest najprostsza w sytuacji, gdy rozpatrujemy ułamek dziesiętny skończonyułamek dziesiętny skończonyułamek dziesiętny skończony.

Przykład 13

$0, 175 = \frac{175}{1000} = \frac{7}{40}$ .

Gdy zamieniamy na ułamek zwykły rozwinięcie dziesiętne nieskończonerozwinięcie dziesiętne nieskończone, sytuacja jest już nieco trudniejsza.

Już wiesz

Aby pomnożyć ułamek dziesiętny przez potęgę liczby $10$ , wystarczy odpowiednio w prawo przesunąć przecinek w zapisie dziesiętnym danego ułamka, np.: $23, 456 \cdot 100 = 2345, 6$ .

Aby podzielić ułamek dziesiętny przez potęgę liczby $10$ , wystarczy odpowiednio w lewo przesunąć przecinek w zapisie dziesiętnym danego ułamka, np.: $98, 76 : 1000 = 0, 09876$ .

Przykład 14

Zapiszemy ułamek $0, (9)$ w postaci ułamka zwykłego. Przyjmijmy, że $x = 0, (9)$ . Wtedy:

$10 x = 9, (9) = 9 + 0, (9)$ ,

$10 x = 9 + x$ .

Stąd: $9 x = 9$

i ostatecznie: $x = 1$ .

Prawdziwa jest zatem równość $0, (9) = 1$ .

Ważne!

Równość $0, (9) = 1$ należy rozumieć następująco: $0, 999 . . .$ jest innym sposobem zapisu liczby $1$ , podobnie, jak $0, 333 . . .$ jest innym zapisem liczby $\frac{1}{3}$ .

Uwaga!

Powyższy przykład pokazuje, że rozwinięcie dziesiętne skończone można też zapisać w postaci okresowej, nie używając do tego celu zer dopisywanych w nieskończoność po jego ostatniej niezerowej cyfrze.

W ten sposób zapiszemy na przykład

$0, 16 = 0, 15 + 0, 01 = 0, 15 + 0, 00 (9) = 0, 15 (9)$ ,

$0, 6875 = 0, 6874 + 0, 0001 = 0, 6874 + 0, 0000 (9) = 0, 6874 (9)$ .

Powyższe przykłady proponujemy jedynie jako ciekawostkę. W zastosowaniach szkolnych pozostaniemy przy wygodnym dla nas zapisywaniu rozwinięć dziesiętnych liczb wymiernych z podziałem na skończone i nieskończone okresowe.

Dowody niewymierności liczb

Dowody niewymierności liczb często przeprowadzamy metodą nie wprost. W metodzie tej zaprzeczamy tezie, którą chcemy udowodnić i wyciągamy z tego zaprzeczenia wnioski. Jeżeli otrzymane wnioski stoją w sprzeczności z założeniami twierdzenia lub innymi faktami matematycznymi, oznacza to, że teza jest prawdziwa.

O niewymierności liczby

\sqrt{2}

Twierdzenie: O niewymierności liczby

\sqrt{2}

Liczba $\sqrt{2}$ jest liczbą niewymierną.

Dowód:

Sprawdźmy, do czego doprowadzi nas zaprzeczenie tezy.

Do czego doprowadziłoby przypuszczenie, że $\sqrt{2}$ jest liczbą wymierną?

Gdyby $\sqrt{2}$ był liczbą wymierną, wówczas (z definicji) istniałyby liczby całkowite $m$ i $n$ takie, że $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ , przy czym $n \neq 0$ . Ponieważ $\sqrt{2}$ jest liczbą dodatnią możemy przyjąć, że $m$ i $n$ są liczbami naturalnymi dodatnimi. Ponadto przyjmijmy, że $\frac{m}{n}$ jest ułamkiem nieskracalnym, czyli że jedynym wspólnym dzielnikiem liczb $m$ i $n$ jest liczba $1$ (o takich liczbach mówimy, że są to liczby względnie pierwszeliczby względnie pierwszeliczby względnie pierwsze). Ponieważ obie strony równości $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ są dodatnie, można je podnieść do kwadratu otrzymując $2 = \frac{m^{2}}{n^{2}}$ , co jest równoważne równości $2 n^{2} = m^{2}$ . Zauważmy, że lewa strona równości jest liczbą podzielną przez $2$ .

Aby równość była prawdziwa, prawa strona też musi dzielić się przez $2$ . Ponieważ prawa strona jest pełnym kwadratem, więc dzieli się przez $4$ . Wynika stąd, że lewa strona również dzieli się przez $4$ , czyli $2$ dzieli $n^{2}$ . Zatem $2$ dzieli $n$ . Okazuje się, że zarówno $n$ jaki i $m$ są podzielne przez $2$ , co jest sprzeczne z założeniem, że ułamek $\frac{m}{n}$ jest nieskracalny. Do sprzeczności doprowadziło nas założenie, że $\sqrt{2}$ jest liczbą wymierną.

Oznacza to, że $\sqrt{2}$ nie jest liczbą wymierną, czyli jest liczbą niewymierną.

Przykład 15

Wiedząc że $\sqrt{7}$ jest liczbą niewymierną, udowodnimy, że $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 3}$ jest liczbą niewymierną.

Dowód ponownie przeprowadzimy metodą nie wprost.

Zbadajmy, do czego doprowadziłoby założenie, że $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 3}$ jest liczbą wymierną. Wówczas istniałaby taka liczba wymierna $w$ , dla której $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 3} = w$ .

Otrzymaną równość możemy przekształcić następująco:

\sqrt{7} - 2 = w (\sqrt{7} + 3)

\sqrt{7} - 2 = w \sqrt{7} + 3 w

\sqrt{7} - w \sqrt{7} = 2 + 3 w

\sqrt{7} (1 - w) = 2 + 3 w

\sqrt{7} = \frac{2 + 3 w}{1 - w}

Ponieważ iloczyn, iloraz, suma i różnica liczb wymiernych są liczbami wymiernymi, zatem cała prawa strona równości jest liczbą wymierną. Ponieważ $\sqrt{7}$ jest liczbą niewymierną, otrzymujemy sprzeczność (liczba wymierna nie jest równa żadnej liczbie niewymiernej). Do sprzeczności doprowadziło nas założenie, że liczba $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 3}$ jest wymierna.

Oznacza to, że liczba $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 3}$ jest niewymierna.

Działania na liczbach niewymiernych

Zbiór liczb niewymiernych nie jest zamknięty na żadne z działań: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Oznacza to, że suma, różnica iloczyn i iloraz liczb niewymiernych może być wymierny.

Przykład 16

Podamy przykłady par liczb niewymiernych, dla których iloczyn, iloraz, suma i różnica są liczbami wymiernymi, oraz par liczb niewymiernych, dla których iloczyn, iloraz, suma i różnica są liczbami niewymiernymi.

Przykłady par liczb niewymiernych, dla których suma, różnica, iloczyn i iloraz są liczbami niewymiernymi	Przykłady par liczb niewymiernych, dla których suma, różnica, iloczyn i iloraz są liczbami wymiernymi
$\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$	$(1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 2$
$2 \sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$	$(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 1$
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$	$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3$
$\sqrt{10} : \sqrt{2} = \sqrt{10 : 2} = \sqrt{5}$	$\sqrt{8} : \sqrt{2} = \sqrt{8 : 2} = \sqrt{4} = 2$

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z poniższą animacją. Bazując na rozwiązanych w niej przykładach rozwiąż kolejne polecenia.

R19NHKSZSN3281

Polecenie 1

Wynik działania $(0, (135) + \frac{11}{37}) \cdot 7 \frac{2}{5} - 2, (36)$ zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

$(0, (135) + \frac{11}{37}) \cdot 7 \frac{2}{5} - 2, (36) = (\frac{135}{999} + \frac{11}{37}) \cdot \frac{37}{5} - (2 + \frac{36}{99}) =$

$= (\frac{5}{37} + \frac{11}{37}) \cdot \frac{37}{5} - (2 + \frac{4}{11}) = \frac{16}{37} \cdot \frac{37}{5} - \frac{26}{11} = \frac{16}{5} - \frac{26}{11} = \frac{16 \cdot 11 - 26 \cdot 5}{5 \cdot 11} = \frac{46}{55}$

Polecenie 2

Rozpatrujemy rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{41}{54}$ . Przez $a$ , $b$ , $c$ , $d$ oznaczamy cyfry tego rozwinięcia, które znajdują się na miejscach odpowiednio: pierwszym, drugim, trzecim oraz setnym. Oblicz wartość wyrażenia $a \cdot (b + c + d)$ .

Sprawdzamy, że $\frac{41}{54} = 0, 7592592 . . . = 0, 7 (592)$ . Wynika stąd, że

$a = 7$ ,
$b = 5$ ,
$c = 9$ ,
$d = 2$ .

Zatem $a \cdot (b + c + d) = 7 \cdot (5 + 9 + 2) = 7 \cdot 16 = 112$ .

Polecenie 3

Dane są liczby: $x = 0, (176834)$ oraz $y = 0, (34)$ . Zapisz w postaci ułamka nieskracalnego iloraz $\frac{x}{y}$ . Podaj rozwinięcie dziesiętne (skończone lub nieskończone okresowe) tego ilorazu.

$\frac{x}{y} = \frac{0, (176834)}{0, (34)} = \frac{0, (176834)}{0, (343434)} = \frac{176834}{343434} = \frac{17 \cdot 10402}{17 \cdot 20202} = \frac{17 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 743}{17 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 37} = \frac{743}{1443} = 0, (514899)$

Przeanalizuj informacje zawarte w prezentacji multimedialnej, a następnie wykonaj kolejne polecenie.

R1PKTRU5E995E

Ilustracja przedstawia elipsę reprezentującą zbiór liczb rzeczywistych R zawierający następujące podzbiory: zbiór liczb wymiernych Q oraz niewymiernych. Podzbiorem liczb wymiernych Q jest zbiór liczb całkowitych Z, a podzbiorem liczb całkowitych Z jest z kolei zbiór liczb naturalnych N. Liczby naturalne odpowiadają na pytanie, ile elementów ma dany zbiór skończony? Na przykład liczba słoni w piwnicy zwykle jest równa zero, liczba nauczycieli podczas lekcji najczęściej jest równa jeden, liczba miejsc siedzących w przedziale pociągu to sześć. W przypadku pytań dotyczącej przyrody, rzadko podajemy odpowiedź wyrażającą się liczbą inną, niż naturalna: na drzewie rośnie "naturalna" liczba jabłek, stado antylop składa się z naturalnej liczby osobników, i tak dalej. Zbiór liczb naturalnych można zapisać następująco: nawias klamrowy, jeden przecinek dwa, przecinek, trzy przecinek cztery, przecinek, pięć przecinek sześć, przecinek, siedem przecinek osiem, przecinek, dziewięć, przecinek, . . ., przecinek, sto przecinek jeden zero jeden, przecinek, . . ., zamknięcie nawiasu klamrowego. Rysunek ilustrujący zbiór liczb naturalnych przedstawia trzy okręgi reprezentujące zbiory. Rysunek zatytułowany jest "Liczby określające, ile elementów ma dany zbiór". Zbiór pierwszy to okrąg zawierający pięć prostokątów i podpisany jest liczbą naturalną pięć. Drugi zbiór to okrąg zawierający osiem małych okręgów i jest podpisany liczbą naturalną osiem. Zbiór trzeci to pusty okrąg podpisany liczbą naturalną zero. Przejdźmy teraz do zbioru liczb całkowitych. Jeśli do liczb naturalnych dołączymy do nich przeciwne, czyli liczby ujemne, otrzymamy zbiór liczb całkowitych. Liczby ujemne mają zastosowanie, kiedy chcemy wyrazić matematycznie brak czegoś, na przykład brak ciepła można określić przy pomocy temperatury ujemnej. Zbiór liczb całkowitych ma następującą postać: nawias klamrowy, . . ., przecinek, minus, cztery, przecinek, minus, trzy, przecinek, minus, dwa, przecinek, minus, jeden przecinek zero, przecinek, jeden przecinek dwa, przecinek, trzy przecinek cztery, przecinek, . . ., zamknięcie nawiasu klamrowego. Ilustracja przedstawiająca przykład zastosowania liczb całkowitych. Na rysunku znajduje się termometr, a obok niego zapisana jest temperatura, którą wskazuje, czyli minus siedem stopni Celsjusza. Przejdźmy teraz do zbioru liczb wymiernych. Liczbami wymiernymi są na przykład minus, cztery, średnik, zero, średnik, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, jeden, przecinek, nawias, trzy, zamknięcie nawiasu, średnik, pięć początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, średnik, dwieście siedemdziesiąt jeden. Liczbą wymierną nazywamy każdą liczbę, którą można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, czyli liczbę, którą można przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych, przy czym mianownik jest różny od zera. Liczby o rozwinięciu dziesiętnym skończonym lub okresowym są również wymierne. Pomiędzy dwiema dowolnymi liczbami całkowitymi znajduje się nieskończenie wiele liczb wymiernych. W życiu codziennym stosujemy je do wskazania części całości oraz aby wyrazić wielkość niecałkowitą. Przykłady przedstawiono na ilustracji. Liczbą wymierną jest jedna szósta pizzy, cena mleka w wysokości trzy pięćdziesiąt, składniki w przepisie jak na przykład pół kilograma mąki, ćwierć litra mleka, jedno jajko czy trzecia część kostki masła. Przejdźmy teraz zbioru liczb niewymiernych. Są to liczby, które dopełniają liczby wymierne z zbiorze liczb rzeczywistych. Nie można ich dokładnie wyrazić liczbami wymiernymi, ale można je nimi przybliżać z dowolnie dużą dokładnością. Liczby wymiernej nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego. Rozwinięcie liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Przykłady liczb niewymiernych to na przykład: minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, średnik, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, jeden przecinek jeden dwa trzy cztery pięć sześć siedem osiem dziewięć jeden zero jeden zero jeden dwa . . ., średnik, l o g indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, trzy, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, e. Przejdźmy teraz do zbioru liczb rzeczywistych. Zbiór ten interpretujemy zwykle jako prostą z określonym zwrotem oraz z z liczbami w określonych odległościach od siebie. Tak skonstruowaną prostą nazywamy osią liczbową. Przyporządkowanie liczb rzeczywistych punktom na osi liczbowej jest wzajemne jednoznaczne, co oznacza, że każdemu punktowi na osi odpowiada dokładnie jedna liczba rzeczywista i każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden punkt na osi liczbowej. Przypomnijmy prawa działań na liczbach rzeczywistych. 1. Łączność dodawania. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi równość nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, plus, c, równa się, a, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu. Obliczając wartość sumy trzech lub większej liczby składników, możemy wykonywać dodawanie dowolnych dwóch sąsiadujących liczb bez konieczności wykonywania działań od lewej strony do prawej. 2. Przemienność dodawania. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodzi równość a, plus, b, równa się, b, plus, a. Przemienność dodawania oznacza, że możemy składniki zamieniać miejscami. 3. Element neutralny dodawania. Dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi równość a, plus, zero, równa się, a. Zero jest elementem neutralnym dodawania, ponieważ dodane do dowolnej liczby nie zmienia jej wartości. 4. Istnienie elementu przeciwnego. Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje liczba rzeczywista b, dla której zachodzi równość a, plus, b, równa się, zero. Każda liczba rzeczywista ma liczbę przeciwną, a ich suma równa jest zero. 5. Łączność mnożenia. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi równość nawias, a • b, zamknięcie nawiasu, • c, równa się, a • nawias, b • c, zamknięcie nawiasu. Obliczając iloczyn trzech lub większej liczby czynników, możemy wykonywać mnożenie dowolnych dwóch sąsiadujących ze sobą liczb bez konieczności wykonywania działań od lewej do prawej strony. 6. Przemienność mnożenia. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi równość a • b, równa się, b • a. Przemienność mnożenia oznacza, że możemy zamieniać czynniki miejscami. 7. Element neutralny mnożenia. Dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi równość a • jeden, równa się, a. Jeden jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ pomnożenie dowolnej liczby przez jeden nie zmienia jej wartości. 8. Istnienie elementu odwrotnego. Dla każdej niezerowej liczby rzeczywistej a istnieje liczba b, dla której zachodzi równość a • b, równa się, jeden. 9. Rozdzielność mnożenia względem dodawania. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi równość: a • nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, równa się, a • b, plus, a • c. Jeśli pomnożymy sumę przez liczbę a, to otrzymana wartość będzie równa sumie iloczynów każdego ze składników sumy przez liczbę a.

Polecenie 4

R1ZPQF135P91V

Przeanalizuj informacje zawarte w animacji.

R1OMVLQKUEEMV

Polecenie 5

R17Z812LO5AUZ

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1NPS1HJN74FO1

Ćwiczenie 1

R1RQR1QMPUQTA1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Przedstaw liczbę $0, (37)$ w postaci ułamka zwykłego.

Niech $x = 0,37373737 . . .$

Mnożymy obie strony równości przez potęgę liczby $10$ o wykładniku równym długości okresu, czyli przez $10^{2} = 100$ .

Otrzymamy wówczas równość

$100 x = 37,37373737 . . .$

Po odjęciu stronami obu równości otrzymujemy

$100 x - x = 37,37373737 . . . - 0,37373737 . . .$

$99 x = 37$

$x = \frac{37}{99}$

RTJ1DG2DDFC2Z2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Częścią całkowitą (lub podłogą) liczby $x$ nazywamy największą liczbę całkowitą niewiększą od liczby $x$ . Część całkowitą liczby $x$ oznaczamy $[x]$ .

Na przykład:

$[4] = 4$

$[3, 14] = 3$

$[\sqrt{2}] = 1$

$[- 1, 5] = - 2$

$[- π] = - 4$

RJS7GXRZMF7ZA

RNGXVQUCCNZAF2

Ćwiczenie 6

R17BNO9NO87N93

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Częścią ułamkową (mantysą) liczby $x$ nazywamy liczbę $\{x\} = x - [x]$ ,

gdzie:
$[x]$ – oznacza część całkowitą liczby $x$ .

Przykłady:

$\{π\} = π - [π] = π - 3 = 0,141592653589732 . . .$

$\{2, 123\} = 2, 123 - [2, 123] = 2, 123 - 2 = 0, 123$

$\{- 4, 3\} = - 4, 3 - [- 4, 3] = - 4, 3 - (- 5) = - 4, 3 + 5 = 0, 7$

RQLFUQK7HN18M

R1QFCD2JS77RX1

Ćwiczenie 9

R1TCG4P1B5ORV1

Ćwiczenie 10

Każdy z ułamków: początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, początek ułamka, jedenaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, początek ułamka, dwadzieścia dziewięć, mianownik, czterdzieści, koniec ułamka, początek ułamka, pięćdziesiąt jeden, mianownik, sześćdziesiąt cztery, koniec ułamka, początek ułamka, dwadzieścia cztery, mianownik, siedemdziesiąt pięć, koniec ułamka, początek ułamka, sto jeden, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka zamień na ułamek dziesiętny skończony. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. zero przecinek siedem dziewięć sześć osiem siedem pięć, 2. zero przecinek trzy dwa, 3. zero przecinek osiem zero osiem, 4. zero przecinek siedem dwa pięć, 5. zero przecinek cztery cztery, 6. zero przecinek sześć dwa pięć początek ułamka, jedenaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. zero przecinek siedem dziewięć sześć osiem siedem pięć, 2. zero przecinek trzy dwa, 3. zero przecinek osiem zero osiem, 4. zero przecinek siedem dwa pięć, 5. zero przecinek cztery cztery, 6. zero przecinek sześć dwa pięć początek ułamka, dwadzieścia dziewięć, mianownik, czterdzieści, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. zero przecinek siedem dziewięć sześć osiem siedem pięć, 2. zero przecinek trzy dwa, 3. zero przecinek osiem zero osiem, 4. zero przecinek siedem dwa pięć, 5. zero przecinek cztery cztery, 6. zero przecinek sześć dwa pięć początek ułamka, pięćdziesiąt jeden, mianownik, sześćdziesiąt cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. zero przecinek siedem dziewięć sześć osiem siedem pięć, 2. zero przecinek trzy dwa, 3. zero przecinek osiem zero osiem, 4. zero przecinek siedem dwa pięć, 5. zero przecinek cztery cztery, 6. zero przecinek sześć dwa pięć początek ułamka, dwadzieścia cztery, mianownik, siedemdziesiąt pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. zero przecinek siedem dziewięć sześć osiem siedem pięć, 2. zero przecinek trzy dwa, 3. zero przecinek osiem zero osiem, 4. zero przecinek siedem dwa pięć, 5. zero przecinek cztery cztery, 6. zero przecinek sześć dwa pięć początek ułamka, sto jeden, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. zero przecinek siedem dziewięć sześć osiem siedem pięć, 2. zero przecinek trzy dwa, 3. zero przecinek osiem zero osiem, 4. zero przecinek siedem dwa pięć, 5. zero przecinek cztery cztery, 6. zero przecinek sześć dwa pięć

R1K2U2XORZMO62

Ćwiczenie 11

RVQFNEF42B3GU2

Ćwiczenie 12

R1MF18R2S2MLO2

Ćwiczenie 13

RTJUCZ3Z4TZKG2

Ćwiczenie 14

RBNDQU4BLTBLF3

Ćwiczenie 15

R1E2ZM6B72LX53

Ćwiczenie 16

R1Q8ZQPGQCJ8C1

Ćwiczenie 17

R15T44BNFOHNS1

Ćwiczenie 18

RAHS97X7ZMDHP1

Ćwiczenie 19

R1CX4R9ZOOZN62

Ćwiczenie 20

Opuść nawiasy. Połącz w pary liczby równe. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. cztery, plus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. dwa, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 5. osiem, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 6. cztery, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 7. cztery, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 8. cztery, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. cztery, plus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. dwa, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 5. osiem, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 6. cztery, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 7. cztery, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 8. cztery, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. cztery, plus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. dwa, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 5. osiem, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 6. cztery, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 7. cztery, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 8. cztery, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, cztery, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. cztery, plus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. dwa, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 5. osiem, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 6. cztery, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 7. cztery, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 8. cztery, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. cztery, plus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. dwa, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 5. osiem, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 6. cztery, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 7. cztery, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 8. cztery, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. cztery, plus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. dwa, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 5. osiem, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 6. cztery, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 7. cztery, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 8. cztery, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. cztery, plus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. dwa, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 5. osiem, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 6. cztery, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 7. cztery, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 8. cztery, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, cztery, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. cztery, plus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. dwa, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 5. osiem, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 6. cztery, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 7. cztery, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 8. cztery, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa

R1AV6L7B3OAR42

Ćwiczenie 21

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias. Połącz w pary liczby równe. pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 2. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 5. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 6. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, 7. trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, zamknięcie nawiasu dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 2. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 5. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 6. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, 7. trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, zamknięcie nawiasu pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z sześć Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 2. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 5. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 6. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, 7. trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, zamknięcie nawiasu pierwiastek kwadratowy z sześć, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 2. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 5. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 6. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, 7. trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, zamknięcie nawiasu pierwiastek kwadratowy z trzy, plus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 2. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 5. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 6. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, 7. trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, zamknięcie nawiasu trzy pierwiastek kwadratowy z trzy, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 2. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 5. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 6. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, 7. trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, zamknięcie nawiasu pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 2. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 5. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 6. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, 7. trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, zamknięcie nawiasu dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 2. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 5. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, 6. dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, 7. trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 22

Oblicz:

$\frac{(1 \frac{16}{75} + 2, 46) : 11, 02}{1 \frac{2}{3} : [1 \frac{8}{9} : (\frac{2}{15} + 0, 15)]}$

$\frac{(1 \frac{16}{75} + 2 \frac{46}{100}) : 11 \frac{2}{100}}{\frac{5}{3} : [\frac{17}{9} : (\frac{2}{15} + \frac{15}{100})]} = \frac{(1 \frac{16}{75} + 2 \frac{23}{50}) : 11 \frac{1}{50}}{\frac{5}{3} : [\frac{17}{9} : (\frac{2}{15} + \frac{3}{20})]} = \frac{(\frac{91}{75} + \frac{123}{50}) : \frac{551}{50}}{\frac{5}{3} : [\frac{17}{9} : (\frac{8}{60} + \frac{9}{60})]} = \frac{(\frac{91}{75} + \frac{123}{50}) \cdot \frac{50}{551}}{\frac{5}{3} : [\frac{17}{9} : (\frac{17}{60})]} =$

$= \frac{\frac{91}{75} \cdot \frac{50}{551} + \frac{123}{50} \cdot \frac{50}{551}}{\frac{5}{3} : [\frac{17}{9} \cdot \frac{60}{17}]} = \frac{\frac{91}{3} \cdot \frac{2}{551} + \frac{123}{1} \cdot \frac{1}{551}}{\frac{5}{3} : [\frac{1}{3} \cdot \frac{20}{1}]} = \frac{\frac{182}{1653} + \frac{123}{551}}{\frac{5}{3} : \frac{20}{3}} = \frac{\frac{182}{1653} + \frac{369}{1653}}{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{20}} = \frac{\frac{551}{1653}}{\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{4}} =$

$= \frac{\frac{551}{3 \cdot 551}}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{4}{3}$

Ćwiczenie 23

W zbiorze liczb rzeczywistych definiujemy działanie $\ast$ w następujący sposób $a\ast b=a+b+2$ . Sprawdź, czy działanie $\ast$ jest przemienne. Sprawdź, czy działanie $\ast$ jest łączne.

Działanie $\ast$ będzie przemienne, gdy dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych $x$ , $y$ spełniony będzie warunek

$x\ast y=y\ast x$

Zauważmy, że

$x\ast y=x+y+2$ oraz $y\ast x=y+x+2$ .

Ponieważ dodawanie liczb rzeczywistych jest przemienne, więc

$x + y + 2 = y + x + 2$ .

Zatem dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ , $y$ zachodzi równość

$x\ast y=y\ast x$ ,

co oznacza, że działanie $\ast$ jest przemienne.

Działanie $\ast$ będzie łączne, gdy dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ , $y$ , $z$ spełniony będzie warunek

$\left(x\ast y\right)\ast z=x\ast\left(y\ast z\right)$

Zauważmy, że

$\left(x\ast y\right)\ast z=\left(x+y+2\right)\ast z=\left(x+y+2\right)+z+2=x+y+z+4$

oraz

$x\ast\left(y\ast z\right)=x\ast \left(y+z+2\right)=x+\left(y+z+2\right)+2=x+y+z+4$ .

Ponieważ dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ , $y$ , $z$ zachodzi równość

$\left(x\ast y\right)\ast z=x\ast \left(y\ast z\right)$ ,

więc działanie $\ast$ jest łączne.

Ćwiczenie 24

W zbiorze liczb rzeczywistych definiujemy działanie $#$ w następujący sposób $a # b = \frac{a + b}{3}$ . Sprawdź, czy działanie $#$ jest przemienne. Sprawdź, czy działanie $#$ jest łączne.

Działanie $#$ będzie przemienne, gdy dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych $x$ , $y$ spełniony będzie warunek

$x # y = y # x$

Zauważmy, że

$x # y = \frac{x + y}{3}$ oraz $y # x = \frac{y + x}{3}$ .

Ponieważ dodawanie liczb rzeczywistych jest przemienne, więc

$x + y = y + x$

Zatem dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ , $y$ zachodzi równość $x # y = y # x$ , co oznacza, że działanie $#$ jest przemienne.

Działanie $#$ będzie łączne, gdy dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ , $y$ , $z$ spełniony będzie warunek

$(x # y) # z = x # (y # z)$

Zauważmy, że

$(x # y) # z = (\frac{x + y}{3}) # z = \frac{\frac{x + y}{3} + z}{3} = \frac{\frac{x + y + 3 z}{3}}{3} = \frac{x + y + 3 z}{9}$

oraz

$x # (y # z) = x # (\frac{y + z}{3}) = \frac{x + \frac{y + z}{3}}{3} = \frac{\frac{3 x + y + z}{3}}{3} = \frac{3 x + y + z}{9}$ .

Wydaje się, że działanie $#$ nie jest łączne.

Aby się o tym przekonać wskażemy trzy liczby rzeczywiste $x$ , $y$ , $z$ , dla których wyrażenia $(x # y) # z$ oraz $x # (y # z)$ przyjmują różne wartości.

Niech

$x = 1$ , $y = 2$ , $z = 3$ .

Wówczas

$(1 # 2) # 3 = (\frac{1 + 2}{3}) # 3 = 1 # 3 = \frac{1 + 3}{3} = \frac{4}{3}$

zaś

$1 # (2 # 3) = 1 # (\frac{2 + 3}{3}) = 1 # \frac{5}{3} = \frac{1 + \frac{5}{3}}{3} = \frac{\frac{8}{3}}{3} = \frac{8}{9}$

Ponieważ wyrażenia $(1 # 2) # 3$ oraz $1 # (2 # 3)$ mają różne wartości, działanie $#$ nie jest łącze.

Ćwiczenie 25

R15S34J53MS2P1

Oceń prawdziwość zdań wykonując działania na konkretnych liczbach np:

a = \sqrt{8}, b = \sqrt{2}, c = 5

RBPPR59U9V69M1

Ćwiczenie 26

Rozstrzygnij, czy podane liczby są wymierne czy niewymierne. Przeciągnij i upuść. Liczby wymierne Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy przecinek pięć koniec pierwiastka, 2. jeden przecinek dwa trzy cztery pięć sześć siedem osiem dziewięć jeden zero jeden jeden . . ., 3. pierwiastek kwadratowy z jeden koniec pierwiastka, 4. minus, pięć przecinek osiem, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, minus, cztery, 6. jeden przecinek sześć sześć sześć . . ., 7. minus, osiem początek ułamka, siedem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 8. minus, cztery, przecinek, nawias, piętnaście, zamknięcie nawiasu, 9. pierwiastek kwadratowy z zero koniec pierwiastka, 10. siedem pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 11. pierwiastek kwadratowy z PI koniec pierwiastka, 12. sześć, przecinek, nawias, osiemdziesiąt cztery, zamknięcie nawiasu, 13. pierwiastek kwadratowy z sto sześćdziesiąt dziewięć koniec pierwiastka, 14. pierwiastek kwadratowy z osiemnaście koniec pierwiastka, minus, pięć przecinek sześć Liczby niewymierne Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy przecinek pięć koniec pierwiastka, 2. jeden przecinek dwa trzy cztery pięć sześć siedem osiem dziewięć jeden zero jeden jeden . . ., 3. pierwiastek kwadratowy z jeden koniec pierwiastka, 4. minus, pięć przecinek osiem, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, minus, cztery, 6. jeden przecinek sześć sześć sześć . . ., 7. minus, osiem początek ułamka, siedem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 8. minus, cztery, przecinek, nawias, piętnaście, zamknięcie nawiasu, 9. pierwiastek kwadratowy z zero koniec pierwiastka, 10. siedem pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 11. pierwiastek kwadratowy z PI koniec pierwiastka, 12. sześć, przecinek, nawias, osiemdziesiąt cztery, zamknięcie nawiasu, 13. pierwiastek kwadratowy z sto sześćdziesiąt dziewięć koniec pierwiastka, 14. pierwiastek kwadratowy z osiemnaście koniec pierwiastka, minus, pięć przecinek sześć

R1R79UN2E1KMA1

Ćwiczenie 27

Ćwiczenie 28

R1EA59UHUU6E42

R1KOGP4KMAR962

Ćwiczenie 29

R1RQ3OGDVKTLD3

Ćwiczenie 30

R5TXKBZTABAUT3

Ćwiczenie 31

Słownik

zbiór zamknięty na działanie

mówimy, że zbiór $A$ jest zamknięty na działanie (*), gdy dla dowolnych elementów $x$ , $y$ należących do zbioru $A$ element ( $x$ * $y$ ) również należy do zbioru $A$

działanie łączne

mówimy, że działanie (*) jest łączne, gdy dla dowolnych elementów $x$ , $y$ , $z$ zachodzi równość ( $x$ * $y$ ) * $z$ = $x$ * ( $y$ * $z$ )

element neutralny działania

mówimy, że element $e$ jest elementem neutralnym działania (*), jeśli dla dowolnego elementu $x$ zachodzi warunek $x$ * $e$ = $e$ * $x$ = $x$

liczba przeciwna

mówimy, że liczba $a$ jest przeciwna do liczby $b$ , gdy $a + b = 0$ ; możemy tez powiedzieć, że liczby $a$ i $b$ są wzajemnie przeciwne

liczba odwrotna

mówimy, że niezerowa liczba $a$ jest odwrotna do niezerowej liczby $b$ , gdy $a \cdot b = 1$

działanie przemienne

mówimy, że działanie (*) jest przemienne, gdy dla dowolnych elementów $x$ , $y$ zachodzi równość $x$ * $y$ = $y$ * $x$

rozdzielność działania * względem działania #

mówimy, że działanie (*) jest rozdzielne względem działania #, gdy dla dowolnych elementów $x$ , $y$ , $z$ zachodzi równość $x$ * ( $y$ # $z$ ) = ( $x$ * $y$ ) # ( $x$ * $z$ )

ułamek dziesiętny skończony

ułamek, w którego rozwinięciu dziesiętnym po przecinku występuje skończona liczba cyfr różnych od zera

ułamek dziesiętny nieskończony okresowy

ułamek, w którego rozwinięciu dziesiętnym, począwszy od pewnego miejsca po przecinku, cyklicznie powtarza się pewna grupa cyfr (zwana okresem tego ułamka)

okres

grupa cyfr w określonej kolejności, która powtarza się w rozwinięciu dziesiętnym liczby wymiernej

długość okresu

liczba cyfr w okresie

liczby względnie pierwsze

przynajmniej dwie liczby naturalne, których największy wspólny dzielnik to $1$

liczba niewymierna

liczba rzeczywista, której nie można przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych

2. Działania w zbiorze liczb całkowitych

4. Dzielniki i wielokrotności