RN399ODPRQSMJ

1. Związek potęgowania z pierwiastkowaniem

Przez wiele wieków ludziom wydawało się, że nasz świat jest co prawda duży, ale i tak wszelkie w nim odległości - nawet te do gwiazd - nie są dużo większe od tych, jakie spotykamy na Ziemi. Okazało się jednak, że żyjemy we Wszechświecie, którego wielkość i budowa musi być opisywana z użyciem zarówno naprawdę wielkich liczb, jak i bardzo małych.

RQ1TA2491VUS7

Na ilustracji przedstawiono nocne bezchmurne niebo, wypełnione gwiazdami. — W naszej Galaktyce jest około 100 miliardów gwiazd
Źródło: dostępny w internecie: freepik.com.

R13SVUFXNGQEE

Na ilustracji przedstawiono kobietę trzymającą w dłoniach szklankę z wodą. — W szklance wody znajduje się około 10 000 000 000 000 000 000 000 000 cząsteczek
Źródło: dostępny w internecie: freepik.com.

R1OOFX35E65CR

Na ilustracji przedstawiono przestrzeń kosmiczną z planetami i blaskiem światła. — We Wszechświecie jest około 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 protonów
Źródło: dostępny w internecie: freepik.com.

Swego rodzaju symbolem tego, co maleńkie, jest ziarenko maku. Ziarenko ma średnicę około $0, 0005 m$ . Ziarenko tej wielkości potrafimy jeszcze dostrzec, bez przyrządów optycznych, ale bakterii już nie możemy w ten sposób zobaczyć (choć są wyjątki).

Przykładów jeszcze mniejszych obiektów dostarcza fizyka.

Atomy mają rozmiary około $0, 0000000001 m$ . Jądro atomowe, choć zawiera $99, 9 %$ masy atomu, to jest jednak od niego około $100000$ razy mniejsze, a jego wielkość mierzona w metrach wyraża się w przybliżeniu liczbą $0, 000000000000001$ .

Wykorzystanie potęg do zapisu liczb notacji wykładniczejnotacja wykładniczanotacji wykładniczej i umiejętność wykonywania działań na potęgach jest już koniecznością.

Nadszedł czas na podsumowanie wiadomości dotyczących potęg i pierwiastków. Przypomnisz sobie poznane wcześniej definicje, wzory i własności działań oraz zastosujesz je w praktyce.

Twoje cele

Obliczysz wartości wyrażeń arytmetycznych i uprościsz wyrażenia algebraiczne, wykorzystując właściwą kolejność.
Obliczysz wartości wyrażeń arytmetycznych, korzystając z definicji potęgowania i pierwiastkowania.
Obliczysz wartości wyrażeń arytmetycznych i uprościsz wyrażenia algebraiczne, korzystając z praw działań na potęgach i pierwiastkach.
Sprawdzisz, czy dane równanie jest tożsamością.

Poniżej zostały przedstawione najważniejsze pojęcia, które warto sobie przypomnieć, przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań.

Definicja pierwiastka

Definicja: Definicja pierwiastka

Jeśli $n \geq 2$ i $a \geq 0$ to $\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^{n} = a$ .

Jeśli $m \geq 2$ , $m$ – jest liczbą nieparzystą i $a < 0$ to $\sqrt[n]{a} = - \sqrt[n]{|a|}$ .

Prawa działań na pierwiastkach, gdy $a, b \geq 0$ , $n \in ℕ$ , $n \geq 2$ .

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b}

\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}, b \neq 0

{(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}

\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}

Definicja potęgi

Definicja: Definicja potęgi

$a^{0} = 1$ , gdy $a \neq 0$

$a^{- 1} = \frac{1}{a}$ , gdy $a \neq 0$

$a^{1} = a$

$a^{n} = a \cdot \underset{n - czynników}{\underset{⏟}{. . . . . . . . . .}} \cdot a$ , $n \in ℕ_{+}$

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ , gdy $a \geq 0$ , $n$ , $m \in ℕ_{+}$ , $n > 1$

$a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$ , gdy $a > 0$ , $m$ , $n \in ℕ_{+}$ , $n > 1$

Działania na potęgach, gdy $a, b \in ℝ_{+} - \{0\}$ , $m, n \in ℝ$

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{n - m}$

${(a \cdot b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$

${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

${(a^{m})}^{n} = a^{n m}$

Przykład 1

Uprościmy wyrażenie $\frac{2^{32} \cdot \sqrt{2} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{4^{15} \cdot \sqrt[3]{2}}$ .

Zamienimy najpierw pierwiastki na potęgi

$\frac{2^{32} \cdot \sqrt{2} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{4^{15} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{2^{32} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{4^{15} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$

Liczbę $4^{15}$ możemy przedstawić jako potęgę o podstawie $2$ : $4^{15} = {(2^{2})}^{15} = 2^{2 \cdot 15} = 2^{30}$ . Zatem:

$\frac{2^{32} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{4^{15} \cdot 2^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{32} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{2^{30} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$ .

Możemy teraz, korzystając z własności ilorazu potęg o tych samych podstawach, uprościć iloraz liczb $2^{32}$ i $2^{30}$ , otrzymując $2^{2}$ :

$\frac{2^{32} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{2^{30} \cdot 2^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}$

Do licznika powyższego ułamka zastosujemy własność iloczynu potęg o tych samych podstawach:

$\frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{2 + \frac{1}{2} - \frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{2 + \frac{3}{6} - \frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{1 \frac{4}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{1 \frac{2}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}$

Pozostaje już tylko zastosować własność ilorazu potęg o tych samych podstawach

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}} = 2^{\frac{5}{3} - \frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{16} = 2 \sqrt[3]{2}$

Zatem rozważane wyrażenie ma wartość równą $2 \sqrt[3]{2}$ .

Przykład 2

Zapiszemy w postaci jednej potęgi wyrażenie $\sqrt{5 \sqrt{5 \sqrt{5}}}$ .

Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym:

$\sqrt{5 \sqrt{5 \sqrt{5}}} = {[5 \cdot {(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}}$ .

Z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach:

${[5 \cdot {(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}} = {[5 \cdot {(5^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}}$ .

Z własności potęgowania potęgi:

${[5 \cdot {(5^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}} = {(5 \cdot 5^{\frac{3}{4}})}^{\frac{1}{2}}$ .

Z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach:

${(5 \cdot 5^{\frac{3}{4}})}^{\frac{1}{2}} = {(5^{\frac{7}{4}})}^{\frac{1}{2}}$ .

Z własności potęgowania potęgi:

${(5^{\frac{7}{4}})}^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{7}{8}}$ .

Polecenie zostało wykonane, ale uzyskane wyrażenie ponownie można byłoby zapisać przy pomocy pierwiastka korzystając z definicji potęgi o wykładniku wymiernym $5^{\frac{7}{8}} = \sqrt[8]{5^{7}}$ .

Przykład 3

Uprościmy wyrażenie $\sqrt[4]{2 \sqrt[3]{2}}$ .

Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym:

$\sqrt[4]{2 \sqrt[3]{2}} = {[2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}]}^{\frac{1}{4}}$ .

Z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach:

${[2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}]}^{\frac{1}{4}} = {[2^{\frac{4}{3}}]}^{\frac{1}{4}}$ .

Z własności potęgowania potęgi:

${[2^{\frac{4}{3}}]}^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{3}}$ .

Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym:

$2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$ .

Przykład 4

Wykażemy, że jeśli $x = 3^{4 \sqrt{2} + 2}$ i $y = 3^{2 \sqrt{2} + 3}$ , to $y = 9 \sqrt{x}$ .

Założenia: $x = 3^{4 \sqrt{2} + 2}$ i $y = 3^{2 \sqrt{2} + 3}$ .

Teza: $y = 9 \sqrt{x}$ .

Dowód

Rozważmy prawą stronę tezy. Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym mamy $9 \sqrt{x} = 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

Po podstawieniu danej wartości $x$ , otrzymujemy $9 x^{\frac{1}{2}} = 9 \cdot {(3^{4 \sqrt{2} + 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Możemy teraz skorzystać z własności potęgowania potęgi $9 \cdot {(3^{4 \sqrt{2} + 2})}^{\frac{1}{2}} = 9 \cdot 3^{(4 \sqrt{2} + 2) \cdot \frac{1}{2}} = 9 \cdot 3^{2 \sqrt{2} + 1}$ .

Zamienimy liczbę $9$ na potęgę o podstawie $3$ i skorzystamy z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach:

$9 \cdot 3^{2 \sqrt{2} + 1} = 3^{2} \cdot 3^{2 \sqrt{2} + 1} = 3^{2 + 2 \sqrt{2} + 1} = 3^{3 + 2 \sqrt{2}} = y$ , co kończy dowód.

Poniżej zastosujemy wzór $\sqrt[k \cdot m]{a^{m \cdot n}} = \sqrt[k]{a^{n}}$ , który jest prawdziwy dla liczb $a \geq 0$ , $k, m, n \in ℕ ∖ \{0, 1\}$ .

Przykład 5

Korzystając ze wzoru ${(a + b)}^{2} = a^{2} + {2 a b + b}^{2}$ , przekształcimy wyrażenie ${(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}^{2}$ .

${(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}^{2} = {(\sqrt[3]{2})}^{2} + 2 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} + {(\sqrt[3]{5})}^{2} = \sqrt[3]{4} + 2 \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25}$ .

Korzystając ze wzoru ${(a - b)}^{2} = a^{2} - {2 a b + b}^{2}$ , przekształcimy wyrażenie ${(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{5})}^{2}$ .

${(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{5})}^{2} = {(\sqrt[4]{2})}^{2} - 2 \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{5} + {(\sqrt[4]{5})}^{2} = {(2^{\frac{1}{4}})}^{2} - 2 \sqrt[4]{10} + {(5^{\frac{1}{4}})}^{2} =$

$= 2^{\frac{1}{2}} - 2 \sqrt[4]{10} + 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} - 2 \sqrt[4]{10} + \sqrt{5}$ .

Przykład 6

Korzystając ze wzoru ${(a + b)}^{2} = a^{2} + {2 a b + b}^{2}$ , uprościmy wyrażenie $\sqrt{\sqrt{5} + 2 \sqrt[4]{15} + \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{\sqrt{5} + 2 \sqrt[4]{15} + \sqrt{3}} = \sqrt{{(\sqrt[4]{5})}^{2} + 2 \sqrt[4]{15} + {(\sqrt[4]{3})}^{2}} = \sqrt{{(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{3})}^{2}} =$ $= \sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{3}$ .

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z filmem edukacyjnym, a następnie odpowiedz na pytania z Polecenia 1 i 2.

R1DXNRSZBDF2J

Polecenie 1

Co waży więcej: $6$ tysięcy kotów o wadze $4, 3 kg$ czy $8$ słoni o wadze $3, 7 \cdot 10^{3} kg$ ?

Koty: $25800$ . Słonie: $29600$ . Więcej ważą słonie.

Polecenie 2

Odległość z Ziemi do Księżyca nie jest stała, wynosi bowiem od $365000 km$ do $406000 km$ . W pewnym dniu wynosiła $384000 km$ . Ile to metrów? Wynik podaj w notacji wykładniczej.

$3, 84 \cdot 10^{8} m$

Polecenie 3

Sprawdź swoją wiedzę. Rozwiąż quiz.

1Sprawdź swoją wiedzę5470Brawo!Niestety, spróbuj jeszcze raz.1

Test

Sprawdź swoją wiedzę

Liczba pytań:

Limit czasu:

4 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Sprawdź swoją wiedzę

Pytanie 1/5

Twój ostatni wynik -

R5EP9GHGQVPQL1

RD66RZ9HJC5O11

R18TEZPK7OR3M1

RLXSVXDSTOANA1

RVUR3TQ878T4D1

RF5PX76FB68MH2

R3MSOK843GCNO2

RHLDBOVVZ3J132

RP1P3ZLHQF7U62

RG6D5PJMJ2JB82

R1LKLKDBJ9CQE3

R23E659C3OX433

Przeanalizuj informacje zawarte w filmie samouczku.

R15EJAH6DHSQ8

Polecenie 4

R1MMEP7ADUMT8

Na podstawie informacji zawartych w filmie rozwiąż test. W każdym pytaniu może być jedna lub więcej poprawnych odpowiedzi.

R11GK3ZPOZVTX

R1PEEADG9S2MM

RJ1AAOK6O877H

R11JO79H9S7A6

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Fullpage

Pokaż ćwiczenia:

RDSEBJHF5ZK751

Ćwiczenie 1

R843M1TJTQNC31

Ćwiczenie 2

RHVZTUJQETS231

Ćwiczenie 3

Połącz w pary odpowiedzi. dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, dwa indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, dwa indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, 5. dwa indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego dwa indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, dwa indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, dwa indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, dwa indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, dwa indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, 5. dwa indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego nawias, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, 5. dwa indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego cztery indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, 5. dwa indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego sześćdziesiąt cztery indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, 5. dwa indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego trzydzieści dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, 5. dwa indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego

R1ND4JEEGCCFM1

Ćwiczenie 4

RFGZ2ME1JKZUT2

Ćwiczenie 5

R13KPKULXTVO62

Ćwiczenie 6

RLOPXTFR1PX183

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ suma $5^{n} + 5^{n + 1} + 5^{n + 2} + 5^{n + 3} + 5^{n + 4} + 5^{n + 5} + 5^{n + 6} + 5^{n + 7}$ dzieli się przez iloczyn $(1 + 5^{2}) \cdot (1 + 5^{4})$ .

W podanej sumie wyłącz wspólny czynnik przed nawias i postaraj się wyrażenie w nawiasie przekształcić do postaci iloczynowej, wykorzystując fakt, że: $(1 + 5^{2}) \cdot (1 + 5^{4}) = 1 + 5^{2} + 5^{4} \cdot (1 + 5^{2}) = 1 + 5^{2} + 5^{4} + 5^{6}$ .

Zauważmy najpierw, że
$(1 + 5^{2}) \cdot (1 + 5^{4}) = 1 + 5^{2} + 5^{4} \cdot (1 + 5^{2}) = 1 + 5^{2} + 5^{4} + 5^{6}$ .

W podanej sumie wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, a następnie wyrazy w nawiasie grupujemy - odpowiednio - po cztery:
$5^{n} + 5^{n + 1} + 5^{n + 2} + 5^{n + 3} + 5^{n + 4} + 5^{n + 5} + 5^{n + 6} + 5^{n + 7} =$
$= 5^{n} \cdot (1 + 5^{1} + 5^{2} + 5^{3} + 5^{4} + 5^{5} + 5^{6} + 5^{7}) =$
$= 5^{n} \cdot ((1 + 5^{2} + 5^{4} + 5^{6}) + (5^{1} + 5^{3} + 5^{5} + 5^{7}))$ .

Wobec tego dana suma da się zapisać w postaci
$= 5^{n} \cdot ((1 + 5^{2} + 5^{4} + 5^{6}) + 5 \cdot (1 + 5^{2} + 5^{4} + 5^{6})) =$
$= 5^{n} \cdot (1 + 5^{2} + 5^{4} + 5^{6}) (1 + 5) =$
$= 5^{n} \cdot (1 + 5^{2}) (1 + 5^{4}) \cdot 6$ , zatem jest podzielna przez iloczyn $(1 + 5^{2}) \cdot (1 + 5^{4})$ .

Dana liczba jest iloczynem $(1 + 5^{2}) \cdot (1 + 5^{4})$ przez liczbę naturalną $5^{n} \cdot 6$ , czyli jest podzielna przez $(1 + 5^{2}) \cdot (1 + 5^{4})$ .

R1L5QK2VA84OX3

Ćwiczenie 9

RFVGVONBM1R7O1

Ćwiczenie 10

R5C48DQSJZJUS1

Ćwiczenie 11

R17H52PVLOS5H2

Ćwiczenie 12

RNAOBBSTQJJVB2

Ćwiczenie 13

R1QNPVDNTXEUJ2

Ćwiczenie 14

RAUNHPPHUJM5Z2

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

R1FEJFU96M8HK3

Wykorzystaj fakt, że:

9 = 3^{2}; 27 = 3^{3}; 81 = 3^{4}

8 = 2^{3}; 16 = 2^{4}

27^{3} \cdot 2 x - 3^{9} = 3^{10} \cdot x + 2 \cdot 3^{9}

{(3^{3})}^{3} \cdot 2 x - 3^{9} = 3^{10} \cdot x + 2 \cdot 3^{9}

3^{9} (2 x - 1) = 3^{9} (3 \cdot x + 2) / : 3^{9}

2 x - 1 = 3 x + 2

x = - 3

2^{17} x - 16^{4} \cdot 3 = 5 (4^{8} x - 3 \cdot 2^{17})

2^{17} x - {(2^{4})}^{4} \cdot 3 = 5 \cdot {(2^{2})}^{8} x - 15 \cdot 2^{17}

2^{17} x - 2^{16} \cdot 3 = 5 \cdot 2^{16} x - 15 \cdot 2^{17}

2^{17} x - 5 \cdot 2^{16} x = 2^{16} \cdot 3 - 30 \cdot 2^{16}

2^{16} (2 x - 5 x) = 2^{16} (3 - 30)

- 3 x = - 27

x = 9

Ćwiczenie 17

R1X7SV3DU21JF3

\frac{9 \cdot 2^{6} \cdot 2^{13} + 8 \cdot {(2^{3})}^{5}}{4^{9}} = \frac{9 \cdot 2^{19} + 2^{3} \cdot 2^{15}}{2^{18}} = 9 \cdot 2 + 1 = 19

{({(0, 25)}^{- 2, 5} \cdot 16^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{3}} - \sqrt{10^{2} - 8^{2}} =

= {({(\frac{1}{4})}^{- \frac{5}{2}} \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{3}} - \sqrt{100 - 36} =

{(4^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt{36} = {(2^{5} \cdot 2)}^{\frac{1}{3}} - 6 = \sqrt[3]{64} - 6 = 4 - 6 = - 2

Ćwiczenie 18

R1U5ODL7PS3A7

Połącz w pary wyrażenia, które mają równe wartości. pierwiastek sześcienny z trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek sześcienny z trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, razy, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, razy, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek sześcienny z pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, razy, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek sześcienny z pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, razy, pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego

RVQC3R58811UT

pierwiastek sześcienny z trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek sześcienny z trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego

RQE99ZG63TTC11

Ćwiczenie 19

Ćwiczenie 20

Zapisz wyrażenie $\frac{81 \cdot \sqrt[4]{27}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{81 \sqrt{3}}}$ w postaci potęgi liczby $3$ .

Wykorzystaj fakt, że:

9 = 3^{2}; 27 = 3^{3}; 81 = 3^{4}

$\frac{81 \cdot \sqrt[4]{27}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{81 \sqrt{3}}} = \frac{3^{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot {(3^{4} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}} = \frac{3^{4} \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot {(3^{4 \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}} = \frac{3^{4 \frac{3}{4}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{3^{4 \frac{3}{4}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}} = \frac{3^{4 \frac{3}{4}}}{3^{2}} = 3^{2 \frac{3}{4}}$ .

Ćwiczenie 21

RMJZCPAZTMKRD

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Możesz korzystać ze wzorów skróconego mnożenia:
nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a b, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego oraz nawias, a, minus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a b, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Wyrażenie nawias, pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego jest równe:
pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z osiemdziesiąt jeden koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, plus, sześć, plus, pierwiastek sześcienny z osiemdziesiąt jeden koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek sześcienny z dwadzieścia siedem koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z osiemdziesiąt jeden koniec pierwiastka

Wyrażenie dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, plus, cztery pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, plus, cztery jest równe:
nawias, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

Wyrażenie nawias, pierwiastek stopnia cztery z pięć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek stopnia cztery z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego jest równe:
pierwiastek stopnia cztery z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek stopnia cztery z dziewięć koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek stopnia cztery z piętnaście koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka

Wyrażenie dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek stopnia cztery z dwieście szesnaście koniec pierwiastka, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka jest równe:
nawias, pierwiastek stopnia cztery z dwanaście koniec pierwiastka, minus, pierwiastek stopnia cztery z osiemnaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z dwanaście koniec pierwiastka, minus, pierwiastek stopnia cztery z dwieście szesnaście koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z osiemnaście koniec pierwiastka pierwiastek stopnia cztery z sto czterdzieści cztery koniec pierwiastka, minus, pierwiastek stopnia cztery z dwieście szesnaście koniec pierwiastka, plus, pierwiastek stopnia cztery z trzysta dwadzieścia cztery koniec pierwiastka

Rozwiąż test składający się z czterech pytań. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Możesz korzystać ze wzorów skróconego mnożenia:
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ oraz ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

RB4AK71B8OLC2

R1UUNED53P6Q8

RJ5D987A3ZRJU

R1AGH5ESOGE3N

Ćwiczenie 22

R1FCT7G4PXZ8R

Wyrażenie $\sqrt{\sqrt[3]{6} + 2 \sqrt[6]{60} + \sqrt[3]{10}}$ zostało uproszczone w pięciu krokach. Przyporządkuj przekształceniom własności, na podstawie których ich dokonano.

R28B5C4M1G5AF

R12OG9S978VA3

R1VA6EDL8ORDP

R3CXUFK9LDE2Q

RSJZSKDTMQJ36

R16CXTZ1RM9FZ1

Ćwiczenie 23

Słownik

notacja wykładnicza

zapisanie liczby w postaci $a \cdot 10^{n}$ , gdzie $a \in ⟨ 1, 10)$ , $n \in ℤ$

Potęgi i pierwiastki

1. Związek potęgowania z pierwiastkowaniem

Animacje multimedialne

Sprawdź swoją wiedzę

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik