1. Określenie logarytmu

R545LXMOFK652

R1CVH9LANU1E51

Zdjęcie przedstawia pomnik brodatego mężczyzny. — Pomnik Jana Napiera, szkocka Narodowa Galeria Portretów
Źródło: Stephencdickson, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 4.0.

W siedemnastowiecznej Europie nie było jeszcze telewizji i Internetu, zatem intelektualiści czytali książki. Bestsellerem było wtedy dzieło szkockiego arystokraty Johna Napiera Mirifici Logarithmorum Canonis (Opis zdumiewającej reguły logarytmów).

Napier był prawdziwym człowiekiem Renesansu zaprojektował między innymi czołg napędzany przez ukrytych w nim ludzi, w rolnictwie propagował wykorzystanie nawozów sztucznych. Wynalazł też tzw. pałeczki Napiera – przyrząd do mechanicznego mnożenia i dzielenia liczb oraz wyciągania pierwiastków kwadratowych i sześciennych.

W dziele które opublikował zawarł opis logarytmów – nowatorskiego pomysłu, dzięki któremu między innymi można zastąpić mnożenie i dzielenie odpowiednio dodawaniem i odejmowaniem. Wynalezienie logarytmów uznano za krok milowy, który znacząco ułatwił prace rachunkowe żeglarzom, inżynierom i matematykom.

W tym materiale poznamy logarytmy, ich związki z potęgowaniem i najprostsze sposoby ich obliczania.

Twoje cele

Zapiszesz potęgę w postaci logarytmu.
Zapiszesz logarytm w postaci potęgi.
Obliczysz wartość logarytmu, korzystając z definicji.
Porównasz wartości logarytmów.

Z własności potęgowania wynika, że jeśli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ i $c$ jest liczbą rzeczywistą, to w sposób jednoznaczny możemy obliczyć potęgę $a^{c}$ , czyli znaleźć taką liczbę $b$ , że $a^{c} = b$ .

Zastanowimy się teraz, czy można w sposób jednoznaczny określić wykładnik potęgi $a^{c}$ , gdy znana jest podstawa $a$ i wartość $b$ potęgi.

W niektórych przypadkach odpowiedź na to pytanie jest łatwa.

Na przykład jeśli $5^{c} = 25$ , to od razu odpowiemy, że $c = 2$ .

Podobnie, jeśli $4^{c} = \frac{1}{4}$ , to $c = - 1$ .

Znacznie trudniej jest odgadnąć liczbę $c$ , gdy liczba ta nie jest liczbą całkowitą.

Na przykład jeśli $27^{c} = 9$ , czyli gdy $c = \frac{2}{3}$ .

Sytuacja się jeszcze bardziej komplikuje, gdy $c$ jest liczbą niewymierną.

Na przykład, jeśli $5^{c} = 2$ .

Określenie przybliżonej wartości takiego wykładnika ułatwią nam logarytmy.

Logarytmowanie jest zatem działaniem polegającym na obliczaniu wykładnika potęgi, gdy dana jest podstawa oraz wartość tej potęgi.

Przykład 1

Wykładnik $c$ spełniający równanie $6^{c} = 10$ nazywamy logarytmem liczby $10$ przy podstawie $6$ .

Wykładnik $x$ spełniający równanie $4^{x} = \frac{1}{2}$ nazywamy logarytmem liczby $\frac{1}{2}$ przy podstawie $4$ .

Logarytm

Definicja: Logarytm

Logarytmem liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ dodatniej i różnej od jedności, nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$ .

LogarytmlogarytmLogarytm oznaczamy symbolem $\log_{a} b$ .

Liczbę $a$ nazywamy podstawą logarytmu, liczbę $b$ – liczbą logarytmowaną.

Zapis $\log_{a} b = c$ oznacza, że $a^{c} = b$ .

Powyższą definicję można zapisać symbolicznie:

\log_{a} b = c \Leftrightarrow a^{c} = b

a > 0

a \neq 1

b > 0

Szukanie rozwiązania równania $a^{c} = b$ , gdy $a > 0$ , $b > 0$ , $a \neq 1$ , jest więc szukaniem logarytmu liczby $b$ przy podstawie $a$ .

c = \log_{a} b

Przykład 2

Rozwiązaniem równania $9^{c} = 9$ jest $c = 1$ , zatem $\log_{9} 9 = 1$ .

Rozwiązaniem równania $10^{c} = 1000$ jest $c = 3$ , zatem $\log_{10} 1000 = 3$ .

Rozwiązaniem równania $7^{c} = 1$ jest $c = 0$ , zatem $\log_{7} 1 = 0$ .

Rozwiązaniem równania ${\sqrt{2}}^{c} = 8$ jest $c = 6$ , zatem $\log_{\sqrt{2}} 8 = 6$ .

Przykład 3

Zapiszemy potęgowanie za pomocą logarytmowania.

$2^{4} = 16$ możemy zapisać jako $\log_{2} 16 = 4$

$8^{\frac{1}{3}} = 2$ możemy zapisać jako $\log_{8} 2 = \frac{1}{3}$

$9^{- 1} = \frac{1}{9}$ możemy zapisać jako $\log_{9} \frac{1}{9} = - 1$

Ważne!

Każda liczba dodatnia ma dokładnie jeden logarytmlogarytmlogarytm przy danej podstawie dodatniej i różnej od $1$ . Dla liczb ujemnych i zera logarytmów nie określamy.

Podamy teraz przykłady wyznaczania wartości logarytmów, korzystając z definicji.

Przykład 4

$\log_{3} 9 = 2$ , bo $3^{2} = 9$

$\log_{2} 16 = 4$ , bo $2^{4} = 16$

$\log_{5} 5 = 1$ , bo $5^{1} = 5$

$\log_{6} 1 = 0$ , bo $6^{0} = 1$

$\log_{7} \frac{1}{49} = - 2$ , bo $7^{- 2} = \frac{1}{49}$

$\log_{64} 4 = \frac{1}{3}$ , bo $64^{\frac{1}{3}} = 4$

$\log_{\sqrt{2}} 2 \sqrt{2} = 3$ , bo ${(\sqrt{2})}^{3} = 2 \sqrt{2}$

Przykład 5

Obliczamy $\log_{4} 64$ .

Oznaczamy:

$\log_{4} 64 = x$

Stąd $4^{x} = 64$ , czyli $x = 3$ .

Odpowiedź:

$\log_{4} 64 = 3$

Obliczamy $\log_{10} 0,01$ .

Oznaczamy:

$\log_{10} 0,01 = x$

Stąd $10^{x} = 0,01$ , czyli $x = - 2$ .

Odpowiedź:

$\log_{10} 0,01 = - 2$

Obliczamy $\log_{36} 6$ .

Oznaczamy:

$\log_{36} 6 = x$ .

Stąd $36^{x} = 6$ , czyli $x = \frac{1}{2}$ .

Odpowiedź:

$\log_{36} 6 = \frac{1}{2}$

Obliczamy $\log_{27} \frac{1}{3}$ .

Oznaczamy:

$\log_{27} \frac{1}{3} = x$ .

Stąd $27^{x} = \frac{1}{3}$ , czyli $x = - \frac{1}{3}$ .

Odpowiedź:

$\log_{27} \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}$

We wszystkich powyższych przykładach, w wyniku logarytmowanialogarytmowanielogarytmowania otrzymaliśmy liczby wymierne. Istnieją jednak logarytmy, które są liczbami niewymiernymi.

Przykład 6

Rozważmy $\log_{2} 3$ . Udowodnimy, że jest to liczba niewymierna. Dowód przeprowadzimy metodą nie wprost.

Sprawdźmy, do czego doprowadziłoby nas przypuszczenie, że $\log_{2} 3$ jest liczbą wymierną. Ponieważ każdą liczbę wymierną można zapisać jako ułamek zwykły nieskracalny, to istnieją liczby całkowite $p$ i $q$ , dla których $\log_{2} 3 = \frac{p}{q}$ .

Zauważmy ponadto, że $\log_{2} 3 > \log_{2} 2 = 1$ . Zatem $\log_{2} 3$ jest liczbą dodatnią, możemy więc przyjąć założenie, że $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi dodatnimi. Wprost z definicji logarytmu wynika, że $2^{\frac{p}{q}} = 3$ . Obie strony tego równania są nieujemne, możemy je podnieść do potęgi $q$ , otrzymując równanie równoważne $2^{p} = 3^{q}$ .

Ponieważ $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi, więc lewa strona równania jest iloczynem samych dwójek, zaś prawa – iloczynem samych trójek. Zatem nie jest możliwe, aby obie strony były równe.

Przypuszczenie, że $\log_{2} 3$ jest liczbą wymierną, doprowadziło do sprzeczności, zatem $\log_{2} 3$ nie może być liczbą wymierną, czyli $\log_{2} 3$ jest liczbą niewymierną.

Ciekawostka

W matematyce bardzo ważną rolę odgrywa liczba $e$ (stała Eulera, liczba Nepera) w przybliżeniu równa $2, 718281828459$ … Pod pewnymi względami przypomina ona liczbę $π$ . Jedną z ich cech wspólnych jest to, że obie są niewymierne. Wykorzystuje się ją również w fizyce. Liczba ta jest m.in. podstawą logarytmów zwanych naturalnymi. Do zapisu logarytmu naturalnego używamy nieco innej konwencji:

\log_{e} a = \ln a, a > 0

Przykład 7

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie $W = \frac{\log_{3} 81 - 2 \cdot \log_{16} 4}{\sqrt{\log_{2} 512}}$ .

Obliczamy najpierw każdy z logarytmów.

$\log_{3} 81 = 4$ , bo $3^{4} = 81$

$\log_{16} 4 = \frac{1}{2}$ , bo $16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$

$\sqrt{\log_{2} 512} = \sqrt{9} = 3$ , bo $2^{9} = 512$

Wyznaczamy teraz wartość danego wyrażenia

$W = \frac{4 - 2 \cdot \frac{1}{2}}{3} = 1$

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z animacją przedstawiającą pochodzenie logarytmów.

R7N2FX8CLKEB1

Polecenie 1

Wiedząc, że $a > 0$ i $a \neq 1$ , oblicz wartość wyrażenia $W = \log_{3 a} 9 a^{2} + \log_{\sqrt{a}} a \sqrt{a}$ .

$W = 2 + 3 = 5$

Polecenie 2

Zapoznaj się z informacjami na temat logarytmów i odpowiedz na poniższe pytania.

R1SFA7T1G5DBG

Definicja logarytmu

Od bardzo dawna naukowcy, między innymi astronomowie i fizycy, używają do swoich obliczeń dużych liczb. Często pojawia się też potrzeba wykonywania na nich pewnych obliczeń. W czasach, kiedy na świecie nie było jeszcze kalkulatorów ani komputerów, mnożenie takich liczb było bardzo uciążliwe. Dlatego do pewnych operacji używano logarytmów, które pozwalały zamienić pracochłonne mnożenie na łatwiejsze dodawanie.

Za ojca logarytmów uważa się Johna Napiera - bogatego szkockiego właściciela ziemskiego. W swoim dziele z 1614 roku Napier rozpowszechnił podany przez Josta Bürgiego sposób budowy tablic umożliwiających mnożenie liczb za pomocą dodawania innych liczb. Logarytmy dziesiętne zostały wprowadzone trzy lata później przez Henry'ego Briggsa zainspirowanego lekturą dzieła Napiera i dyskusjami z jego autorem.

Wynalezienie logarytmów było krokiem milowym, który znacząco ułatwił prace rachunkowe astronomom, żeglarzom, inżynierom i matematykom, między innymi Johannowi Keplerowi oraz Izaakowi Newtonowi.

Dzisiejsza formalna definicja logarytmu brzmi:

Logarytm o dodatniej i różnej od jedynki podstawie a z dodatniej liczby b to wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby uzyskać liczbę b.

Logarytmy mają mnóstwo własności analogicznych do własności potęgowania. Do najważniejszych wzorów należą: logarytm iloczynu, logarytm ilorazu, logarytm potęgi oraz zamiana podstawy logarytmu.

Obecnie logarytmy stosuje się w chemii - do definiowania skali pH, w fizyce - na przykład do definiowania poziomu natężenia dźwięku oraz wysokości dźwięku, w statystyce, ekonomii, astronomii, a nawet psychologii. Skala Richtera, za pomocą której mierzy się natężenie trzęsienia ziemi, również ma związek z logarytmami.

Ciekawym zastosowaniem logarytmów jest Prawo Benforda sformułowane po raz pierwszy w 1881 roku przez kanadyjskiego astronoma i matematyka Simona Newcomba. Zauważył on, że w tablicach logarytmicznych znajdujących się w bibliotece pierwsze strony są brudniejsze, a co za tym idzie częściej przeglądane, niż dalsze. Swoim odkryciem podzielił się ze światem na łamach American Journal of Mathematics, jednak nie zostało ono docenione. Po 57 latach podobną obserwację poczynił Frank Benford. Sformułował on prawo, które orzeka, że w dużych zbiorach liczbowych cyfra x występuje z częstością równą logarytmowi dziesiętnemu z odwrotności liczby x powiększonej o 1. Swoje obserwacje poparł empirycznie, weryfikując je na zestawach takich danych jak: powierzchnie rzek, liczby drukowane w gazetach i ceny. Dziś prawo Benforda stosuje się między innymi do wykrywania defraudacji oraz sprawdzania poprawności zeznań podatkowych.

Źródło: Contentplus.pl sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Polecenie 3

R14MCQACGHCDT

RPNXDCE5HMGCJ

R198RAZGOPHM2

R1LH7B5RQ2U5E

Polecenie 4

R1DEM19UDQT3A

RDT7JS8GKXL7P

Polecenie 5

R1EPJRT9RDVC6

R15NB7196N3U5

Polecenie 6

R8SRR85F6UMJL

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Fullpage

Pokaż ćwiczenia:

Rp40oF4N2n4qC1

Ćwiczenie 1

R75qHdW540AOG1

Ćwiczenie 2

R101lwQt3BXDg2

Ćwiczenie 3

R1Voauo9fryB12

Ćwiczenie 4

R1QnBsoyEsYPj2

Ćwiczenie 5

R19aiFZmiNTLB2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Oblicz $x$ .

a) $\log_{x} 10 = - 4$

b) $\log_{x} 2 = - 0,5$

c) $\log_{x} 121 = 2$

Wykorzystaj fakt, że $\log_{a} b = c$ oznacza, że $a^{c} = b$ .

a) $x^{- 4} = 10$ , stąd $x = \sqrt[4]{0,1}$

b) $x^{- 0,5} = 2$ , stąd $x = 0,25$

c) $x^{2} = 121$ , stąd $x = 11$

Ćwiczenie 8

Określ, dla jakich liczb $x$ określona jest wartość wyrażenia $\log_{x} (x - 4)$ .

$x > 0$ , $x \neq 1$ , $x - 4 > 0$

$x > 4$

R1NTmyPlOHhSZ2

Ćwiczenie 9

R1Wa6aFslg7KO2

Ćwiczenie 10

R1DAhMNqS3fi0

R1Z0Xa55jwqWM2

Ćwiczenie 11

R19AX69BiEgM2

REkmrxpkMzNDj2

Ćwiczenie 12

RB7j97ZpjOhKa2

Ćwiczenie 13

RG33jWukfFMFl2

Ćwiczenie 14

RASr0z3IWeiw43

Ćwiczenie 15

RYcB5dGoM5v7F3

Ćwiczenie 16

Przenieś logarytmy do obszarów odpowiadających ich wartości. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. logarytm o podstawie szesnaście z osiem, 2. logarytm o podstawie dwadzieścia siedem z dziewięć, 3. logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, z sześćdziesiąt cztery, 4. logarytm o podstawie dwa z nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, sześćdziesiąt cztery, koniec ułamka, z początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. logarytm o podstawie osiemdziesiąt jeden z dwadzieścia siedem, 7. logarytm o podstawie cztery z nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 8. logarytm o podstawie osiem z cztery minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. logarytm o podstawie szesnaście z osiem, 2. logarytm o podstawie dwadzieścia siedem z dziewięć, 3. logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, z sześćdziesiąt cztery, 4. logarytm o podstawie dwa z nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, sześćdziesiąt cztery, koniec ułamka, z początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. logarytm o podstawie osiemdziesiąt jeden z dwadzieścia siedem, 7. logarytm o podstawie cztery z nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 8. logarytm o podstawie osiem z cztery początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. logarytm o podstawie szesnaście z osiem, 2. logarytm o podstawie dwadzieścia siedem z dziewięć, 3. logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, z sześćdziesiąt cztery, 4. logarytm o podstawie dwa z nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, sześćdziesiąt cztery, koniec ułamka, z początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. logarytm o podstawie osiemdziesiąt jeden z dwadzieścia siedem, 7. logarytm o podstawie cztery z nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, 8. logarytm o podstawie osiem z cztery

Ćwiczenie 16

R1HzB2E8I8YkR

Ćwiczenie 17

R10KmYGZIMPae1

Wykorzystaj fakt, że $\log_{a} b = c$ oznacza, że $a^{c} = b$ .

Ćwiczenie 18

RTXAQJyLVoVT21

Ćwiczenie 19

R1U73TJMcS3Z52

Wykorzystaj fakt, że $\log_{a} b = c$ oznacza, że $a^{c} = b$ .

Rh6t6hQrB31CD3

Ćwiczenie 20

R1G8C8Fnre4Dd3

Ćwiczenie 21

Słownik

logarytmowanie

działanie polegające na określeniu do jakiej potęgi należy podnieść podstawę logarytmu aby uzyskać liczbę logarytmowaną

logarytm

wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę potęgi, aby otrzymać liczbę logarytmowaną:

$\log_{a} b = c \Leftrightarrow a^{c} = b$ , $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$

2. Własności logarytmów

Logarytmy