R12pAN4ZqjyGD

5. Wiedza z plusem: Podatek progresywny

Podatki bezpośrednie są związane z osiąganym przez podmiot gospodarczy (osobę fizyczną bądź prawną) dochodem lub majątkiem. Im większy jest dochód lub zgromadzony majątek, tym większa jest kwota płaconego podatku. Podatek bezpośredni może być progresywny (im wyższy dochód lub majątek, tym wyższa krańcowa stawka opodatkowania) albo liniowy (krańcowa stawka opodatkowania jest jednolita i nie zależy od wysokości dochodu lub majątku).

Twoje cele

Zastosujesz własności funkcji kawałkami liniowej w zadaniach z kontekstem praktycznym.
Wykorzystasz własności funkcji do matematycznego modelowania rzeczywistości.
Porównasz ze sobą parametry mierzone za pomocą dwóch różnych funkcji opisujących jeden problem.

Przykład 1

W pewnym przybliżeniu możemy powiedzieć, że podatek dochodowy jest funkcją osiągniętego dochodu, bowiem danemu dochodowi $D$ w ustalonym roku możemy przypisać w jednoznaczny sposób odpowiadający mu podatek $P$ . Oznaczmy przez $K$ roczną kwotę wolną od podatku. Jeżeli wszyscy płatnicy indywidualni płacą w ramach obowiązku podatkowego ten sam procent $p$ od dochodu osiągniętego ponad kwotę wolną od podatku, to zachodzi wzór:

$P = \frac{p}{100} (D - K)$

i mamy do czynienia z podatkiem liniowym. Jego nazwa bierze się stąd, że zależność między $D$ i $P$ jest zależnością liniową. Wzór ten dokładniej przeanalizujemy w kolejnym przykładzie.

Ważne!

W rzeczywistości system podatkowy jest bardziej skomplikowany chociażby ze względu na rozmaite ulgi podatkowe takie jak zwolnienie z płacenia podatków przez osoby do $26$ roku życia, odliczenie od kwoty naliczonego podatku składki zdrowotnej w wysokości $7, 75 %$ , czy wiele innych ulg, które możemy odliczać od podatku. W kolejnych przykładach i zadaniach będziemy jednak rozważać uproszczony model, w którym w gruncie rzeczy dochód i podstawę obliczenia podatku można utożsamiać.

Przykład 2

W wielu krajach osoby o wyższych dochodach płacą wyższe podatki od zarobków powyżej pewnej kwoty. W Polsce w $2022$ roku wyróżnia się dwa progi podatkowe. Dochody poniżej $120000 zł$ rocznie obłożono podatkiem w wysokości $17 %$ , a powyżej tej kwoty $32 %$ . Ponadto, kwota wolna od podatku wynosi $30000 zł$ rocznie.

Od naliczonego podatku odejmujemy tzw. kwotę zmniejszającą podatek, która wynosi $5100 zł$ (kwota ta wynika stąd: $30000 zł \cdot 17 % = 5100 zł$ ).

Aby lepiej zrozumieć istotę kwoty pomniejszającej podatek, obliczymy (w modelu uproszczonym), ile podatku zapłaci osoba, która zarobiła w poprzednim roku $200000 zł$ .

Osoba wpada w drugi próg podatkowy, więc podatek jaki zapłaci wyniesie:

$120000 \cdot 0, 17 - 5100 + (200000 - 120000) \cdot 0, 32 = 20400 - 5100 + 25600 = 40900$ .

Możemy obliczyć podatek również inaczej, dzieląc całkowity przychód na progi. Wtedy nie będzie trzeba odejmować kwoty zmniejszającej podatek.

Oznaczmy też dla ułatwienia kwotę całkowitą przychodu jako $x$ , część nieopodatkowaną tej kwoty jako $x_{0}$ , część wpadającą do pierwszego progu podatkowego jako $x_{1}$ oraz część wpadającą do drugiego progu podatkowego jako $x_{2}$ .

Oczywiście zachodzi: $x = x_{0} + x_{1} + x_{2}$ .

Wyobraźmy sobie $200000 zł$ jako oś, na której zaznaczamy cztery punkty: punkt początkowy $0$ , punkt $30000$ , punkt $120000$ i punkt $200000$ . Dzielą one oś na trzy odcinki o długościach: $30000$ , $90000$ i $80000$ . Odcinek pierwszy reprezentuje nieopodatkowaną część dochodu, odcinek drugi reprezentuje część dochodu opodatkowaną na $17 %$ , a odcinek trzeci część opodatkowaną na $32 %$ . Czyli zgodnie z naszymi oznaczeniami mamy trzy odcinki o następujących długościach:
$x_{0} = 30000 - 0 = 30000$ ,
$x_{1} = 120000 - 30000 = 90000$ ,
$x_{2} = 200000 - 120000 = 80000$ .

R1ecq9mP9Jhg8

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od zera do dwustu dziesięciu tysięcy. Na osi naniesiono trzy odcinki jeden po drugim. Pierwszy opisany jest jako x indeks dolny 0 równa się 30000 i biegnie od zera do współrzędnej 30000; drugi podpisany jest jako x indeks dolny 1 równa się 90000; ma on początek w punkcie o współrzędnej 30000 i o końcu w punkcie 120000; trzeci odcinek podpisano jako x indeks dolny 2 równa się 80000; jego początek znajduje się w punkcie o współrzędnej 120000, a koniec 200000

Jest to bardziej skomplikowany przypadek z Przykładu $1$ . Tutaj również korzystamy ze wzoru $P = \frac{p}{100} (D - K)$ , przy czym różnica w nawiasie to nasze długości odcinków na osi. Zatem w warunkach naszego zadania wzór ten wygląda tak:

$P = \frac{p_{0}}{100} \cdot K + \frac{p_{1}}{100} (D_{1} - K) + \frac{p_{2}}{100} (D_{2} - (D_{1} - K) - K)$ ,

przy czym $P$ – to kwota należnego podatku,
$p_{0} = 0$ ,
$p_{1} = 17$ ,
$p_{2} = 32$ ,
$K = 30000$ ,
$D_{1} = 120000$ ,
$D_{2} = 200000$ .

W takim modelu nie potrzeba odejmować kwoty zmniejszającej podatek. Prześledźmy kolejne kroki rozwiązania.

Od kwoty $30000 zł$ osoba ta nie zapłaci podatku.
W pierwszym progu mamy do rozliczenia $90000 zł$ – jest to drugi odcinek na osi. Zatem
$90000 zł \cdot 17 % = 15300 zł$
Reszta kwoty rozliczana jest w drugim progu podatkowym bez dodatkowych ulg.
$80000 zł \cdot 32 % = 25600 zł$

Zatem osoba zapłaci $0 zł + 15300 zł + 25600 zł = 40900 zł$ podatku.

Lub też, korzystając ze wzoru:

$P = \frac{0}{100} \cdot 30000 + \frac{17}{100} (120000 - 30000) + \frac{32}{100} (200000 - (120000 - 30000) - 30000) =$

$= 0 + \frac{17}{100} \cdot 90000 + \frac{32}{100} \cdot (200000 - 120000 + 30000 - 30000) =$

$= 0 + 15300 + \frac{32}{100} \cdot 80000 = 0 + 15300 + 25600 = 40900$ .

W rezultacie, jeśli przez $x$ oznaczymy podstawę obliczenia podatku (wyrażoną w złotych), a przez $P (x)$ należny od niej podatek w roku $2022$ , to okaże się, iż funkcję $P (x)$ opisać możemy za pomocą poniższej tabeli.

Progi podatkowe (przychód całkowity) $[zł]$	Naliczony podatek	Obliczenia	Kwota podatku $[zł]$
$0$ – $30000$	$0 %$	$x_{0} \cdot 0$	$0$
$30000$ – $120000$	$17 %$	$x_{0} \cdot 0 + x_{1} \cdot 0, 17$	$0$ – $15300$
$120000$ i wzwyż	$32 %$	$x_{0} \cdot 0 + x_{1} \cdot 0, 17 + x_{2} \cdot 0, 32$	$15300 + 0, 32 x_{2}$

Funkcja $P (x)$ , mimo że sama nie jest funkcją liniową, to jednak w każdym z wypisanych wyżej przedziałów dana jest przez zależność liniową, a jej wykres złożony jest z dwóch odcinków i półprostej.

R1euagKlBn98K

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych z poziomą osią X od zera do dwustu dziesięciu tysięcy z podziałką co 10000 oraz z pionową osią Y od zera do sześćdziesięciu tysięcy z podziałką co 10 tysięcy. Na płaszczyźnie narysowano wykres o początku w punkcie o współrzędnych nawias 0 przecinek 0 zamknięcie nawiasu. Wykres w pierwszej części biegnie po osi X do punktu o współrzędnej 30000; poniżej podpisano tę część wykresu jako x indeks dolny 0 równa się 30 tysięcy. Przez punkt o współrzędnej 30000 poprowadzono linią przerywaną pionową oś oddzielającą pierwszą część wykresu. Druga część wykresu to ukośny odcinek biegnący od punktu o współrzędnych nawias 30000 przecinek 0 zamknięcie nawiasu do punktu nawias 120000 przecinek 15300; przez prawy koniec odcinka poprowadzono linią przerywaną prostą oddzielającą drugą część wykresu. Część ta podpisana jest jako x indeks dolny 1 równa się 90 tysięcy. Trzecia część wykresu jest ukośną półprostą o początku w punkcie o współrzędnych nawias 120000 przecinek 15300 zamknięcie nawiasu. Półprosta ta biegnie między innymi przez punkt o współrzędnych nawias 200000 przecinek 40900 zamknięcie nawiasu. Przez ten punkt również poprowadzono linią przerywaną pionową prostą. Ta część wykresu podpisana jest jako x indeks dolny 2 równa się 80 tysięcy. Poprowadzono także linią przerywaną trzy poziome pomocnicze proste określające wysokość podatku od danej kwoty. Proste te leżą na wysokościach: 5100 oraz 15300 i 40900

Powyższy wykres funkcji opisać możemy następującym układem równań:

$\{\begin{cases} 0, dla x < 30000 \\ 0, 17 \cdot x - 5100, dla 30000 ⩽ x < 120000 \\ 0, 32 \cdot (x - 120000) - 15300, dla x ⩾ 120000 \end{cases}$ .

Jak możemy zauważyć, funkcja liniowa w tym przypadku rozbija się na trzy przedziały. Zatem im bardziej złożony problem, tym bardziej złożony nasz model.

Przykład 3

Korzystając z tabelki z przykładu $2$ , obliczymy, ile wynosi w roku $2022$ w Polsce należny podatek od podstawy obliczenia podatku równej $36789 zł$ .

Rozwiązanie:

Liczba $36789$ jest mniejsza od $120000$ i większa od $30000$ , zatem wpada do pierwszego progu podatkowego. Rozbijmy więc odpowiednio kwotę przychodu.

$x = x_{0} + x_{1} = 30000 + 6789$

Zatem wiemy już, że opodatkowana kwota to $x_{1} = 6789$ .

Obliczmy teraz jak opodatkowanie przedstawia się w całości.

W ogólności mamy:

$P (x) = P (x_{0} + x_{1}) = 0 \cdot x_{0} + 0, 17 \cdot x_{1}$ .

Podstawmy do powyższego równania dane z zadania.

$P (36789) = P (30000 + 6789) = 0 \cdot 30000 + 0, 17 \cdot 6789 = 0 + 1154, 13 = 1154, 13$

Odpowiedź: Należny podatek wynosi $1154, 13 zł$ .

Test interaktywny

Uwaga! Pytania związane z podatkiem dotyczą systemu podatkowego z przykładu $2$ .

Zastosowania funkcji liniowej51555Brawo! Udało Ci się zaliczyć test!Niestety, nie udało Ci się zaliczyć testu. Spróbuj ponownie.

Test

Zastosowania funkcji liniowej

Liczba pytań:

Limit czasu:

15 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Zastosowania funkcji liniowej

Pytanie 1/5

Twój ostatni wynik -

R75a7nRN12gsa

R1UiF4CficNDj

RKRIaKdx5mcHC

R18626Ii9BHpk

R1R5MF1N7DADL

R1IqhuX50U8eT

Polecenie 1

W pewnym państwie kwota wolna od podatku wynosi $3600 €$ rocznie, a podatek jest równy $15 %$ . Reformatorzy proponują, aby kwotę wolną od podatku znieść, a podatek obniżyć do $10 %$ .

a) Określ funkcje $f$ oraz $g$ , które miesięcznym zarobkom w wysokości $x €$ przypisują roczny podatek (wyrażony w euro) odpowiednio w systemie zreformowanym i niezreformowanym.

b) Naszkicuj wykresy funkcji $f$ oraz $g$ w przedziale $⟨0, 1000⟩$ .

c) Oblicz, ile trzeba miesięcznie zarabiać, by po reformie płacić niższy podatek.

a) Oznaczmy zarobki miesięczne przez $x$ . W systemie niezreformowanym w ogóle nie zapłacimy podatku, jeśli miesięcznie zarabiamy nie więcej niż:

$\frac{3600}{12} = 300 (€)$ .

A zatem $g (x) = 0$ dla wszystkich $x$ z przedziału $⟨0, 300⟩$ . Jeśli zarabiamy miesięcznie więcej niż $300 €$ , to nasz całoroczny podatek wynosi:

$g (x) = \frac{15}{100} (12 x - 3600) = \frac{9}{5} x - 540 (€)$ .

Tymczasem po reformie od każdego zarobku odprowadzimy całoroczny podatek zgodnie ze wzorem:

$f (x) = \frac{1}{10} \cdot 12 x = \frac{6}{5} x$ .

b) Funkcja $f$ jest funkcją liniową, więc jej wykresem na rozważanym przedziale jest fragment linii prostej, w naszym przypadku przechodzącej przez początek układu współrzędnych i np. punkt $(500, 600)$ .

Z kolei wykres funkcji $g$ rysujemy oddzielnie dla przedziału $⟨0, 300⟩$ oraz $⟨300, 1000⟩$ . Na pierwszym z tych przedziałów funkcja $g$ jest stale równa zeru. Na drugim z tych przedziałów wykresem funkcji $g$ jest odcinek przechodzący przez punkt $(300, 0)$ i np. punkt $(800, 900)$ .

c) Podatnik zapłaci po reformie mniejszy podatek, gdy spełniona będzie nierówność:

$f (x) < g (x)$

czyli: $\frac{6}{5} x < \frac{9}{5} x - 540$ .

$\frac{3}{5} x > 540$ ,

$x > 900$ .

R18nfb9aNUEUg

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych z poziomą osią X od zera do 1100 z podziałką co 100 oraz z pionową osią Y od zera do 1100 z podziałką co sto. Na płaszczyźnie przedstawiono wykresy dwóch funkcji. Funkcja f to ukośna półprosta o początku w punkcie nawias 0 przecinek 0 zamknięcie nawiasu. Wykres biegnie w prawo w górę. Drugi wykres zaczyna się w tym samym punkcie co pierwszy i początkowo biegnie po poziomej osi do współrzędnej x równa się trzysta. Z tego punktu wykres odbija w górę w prawo. Wykresy przecinają się w punkcie o współrzędnych nawias 900 przecinek 1060 zamknięcie nawiasu.

Po reformie niższy podatek zapłacą ci, którzy zarabiają ponad $900 €$ miesięcznie.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

pullpage

Pokaż ćwiczenia:

RjZIdtI8mPije1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

W porannym konkursie telewizyjnym występują dwuosobowe drużyny kucharzy amatorów. W drużynie $A$ jest dwóch aktorów, z których każdy obiera $50$ ziemniaków na godzinę. Drużyna $B$ składa się z dwóch dziennikarzy, z których jeden obiera $60$ ziemniaków na godzinę, a drugi – $42$ . W konkursie trzeba w jak najkrótszym czasie obrać $100$ ziemniaków. Kto wygra konkurs, jeśli:

a) zawodnicy każdej drużyny mogą jednocześnie obierać ziemniaki;

b) każdy zawodnik obiera po $50$ ziemniaków, przy czym drugi zawodnik drużyny zaczyna obierać ziemniaki dopiero od momentu, gdy pierwszy z zawodników tej drużyny skończył obierać swoje $50$ ziemniaków?

R1GNw3pL7Nk4t

a) W drużynie aktorów $100$ ziemniaków zostało obranych w czasie jednej godziny. W drużynie dziennikarzy jeden z nich obiera jednego ziemniaka na minutę, drugi z nich obiera $\frac{42}{60} = 0, 7$ ziemniaka na minutę. Zatem razem obiorą $100$ ziemniaków w czasie $1 x + 0, 7 x = 100$ , $x \approx 59$ minut.

b) W drużynie aktorów $100$ ziemniaków zostało obranych w czasie dwóch godzin. W drużynie dziennikarzy pierwszy z nich obrał $50$ ziemniaków w ciągu $50$ minut, drugi z nich obrał $50$ ziemniaków w ciągu $0, 7 x = 50$ , $x \approx 71$ minut. Oznacza, to że razem obierali $100$ ziemniaków około $2 h 1 \min$ .

Słownik

współczynnik proporcjonalności

stała $a \in ℝ ∖ \{0\}$ będąca ilorazem dwóch zmiennych $x$ i $y$ , o których mówi się, że są wprost proporcjonalne lub że zachodzi między nimi proporcjonalność prosta, co zapisujemy następująco

$a = \frac{y}{x}$

4. Przykłady innych funkcji, kawałkami liniowych

Własności funkcji liniowej

5. Wiedza z plusem: Podatek progresywny

Test interaktywny

Zastosowania funkcji liniowej

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik