1. Równania liniowe

R1E6J9B3H1ONV

R1JX3MBK9NB3Z1

Ilustracja przedstawia wagę. Na lewej szali wagi znajdują się dwa jabłka i obciążnik a na prawej szali trzy jabłka. Waga znajduje się w równowadze. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Patrząc na wagę, która pozostaje w równowadze, możesz spróbować zgadnąć, ile waży jabłko. Co należy zrobić, aby przekonać się, czy mamy rację?

W przypadku równań, podobnie jak w wyrażeniach algebraicznych, można podstawiać liczby w miejsce niewiadomych. Otrzymane wówczas równości mogą być prawdziwe lub fałszywe. Jest to czasochłonne i czasami wymaga wielu prób, ale daje możliwość odgadnięcia rozwiązania.

Otaczający nas świat jest bardzo złożony, różnorodny i bogaty. Aby można było opisać, jak powiązane są ze sobą różne zjawiska, które obserwujesz wokół siebie, zapisać pewne zależności występujące w przyrodzie, medycynie czy życiu codziennym wygodnie jest posługiwać się równaniami.

Mrówka ważąca $5 mg$ może podźwignąć listek o masie $50 mg$ . Jaki ciężar możesz podnieść, jeżeli jesteś tak silny jak mrówka, a Twoja siła jest wprost proporcjonalna do masy ciała?

Twoje cele

Odróżnisz równanie od wyrażenia algebraicznego.
Rozpoznasz równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
Porównasz zapis matematyczny równania z zapisem słownym.
Opiszesz za pomocą równania sytuację przedstawioną graficznie lub słownie.
Sprawdzisz, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania.

Na wadze szalkowej zostały ułożone:

jedna cegła,
jeden odważniki $0, 5$ -kilogramowy,
jeden odważniki $1$ -kilogramowy,
jeden odważniki $2$ -kilogramowy.

Wszystkie przedmioty zostały ułożone na wadze szalkowej, tak że waga pozostaje w równowadze. Na lewej szalce znalazła się cegła i odważnik $1 kg$ , natomiast na prawej szalce odważniki $2 kg$ i $0, 5 kg$ .

W sytuacji gdy waga pozostaje w równowadze masa przedmiotów umieszczonych po obu stronach wagi jest taka sama. Zatem masa jednej cegły i masa $1$ -kilogramowego odważnika równa jest masie $2$ -kilogramowego odważnika i masie $0, 5$ -kilogramowego odważnika.

Jeżeli oznaczysz przez $x$ masę jednej cegły to odpowiednio masę przedmiotów umieszczonych na lewej i prawej szalce wagi przedstawimy za pomocą następujących wyrażeń algebraicznych: lewa strona wagi: $x + 1$ , prawa strona wagi: $2 + 0,5$ .

Pamiętając o tym, że waga pozostaje w równowadze, możemy zapisać:

x + 1 = 2 + 0,5

Taki zapis nazywamy równaniem, a występującą w nim szukaną wielkość $x$ nazywamy niewiadomą.

Równanie

Definicja: Równanie

Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych, z których w przynajmniej jednym występuje co najmniej jedna zmienna.

Szukaną wielkość nazywamy niewiadomą i oznaczamy zwykle małymi literami alfabetu np.: $x, y, z, t, u .$

Równaniem z jedną niewiadomą nazywamy równanie, w którym występuje dokładnie jedna niewiadoma.

Na przykład: $4 x + 2 = x, 3 t^{2} = 1, x^{2} + 2 x + 1 = 0, t^{4} + 1 = 2 .$

Równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje w pierwszej potędze.

Na przykład: $2 x + 5 = 1 - 4, x + 4 = - 7 x, 2 z - 1 = 9 z, 2 (v - 1) = 0 .$

Przykład 1

W pewnym gospodarstwie wiejskim położonym w środkowej Polsce hodowane są gęsi. Właściciel hodowli jest również posiadaczem kilkunastu pięknych stróżujących psów portugalskich. Zwierzęta znajdujące się w tym gospodarstwie mają razem $300$ nóg i $135$ głów. Zapisz równanierównanierównanie, dzięki któremu będzie można ustalić liczbę gęsi i psów w tym gospodarstwie.

Gęsi i psy mają razem $135$ głów.

Zatem jeżeli oznaczymy przez $x$ liczbę hodowanych gęsi w gospodarstwie, to liczbę psów portugalskich przedstawimy za pomocą wyrażenia algebraicznego $(135 - x)$ .

Gęsi i psy mają razem $300$ nóg. Ponieważ każda gęś ma dwie nogi, to liczbę nóg wszystkich gęsi w tym gospodarstwie przedstawimy za pomocą wyrażenia algebraicznego $2 \cdot x .$

Ponieważ każdy pies ma cztery nogi, to liczbę nóg wszystkich psów w tym gospodarstwie przedstawimy za pomocą wyrażenia algebraicznego $4 (135 - x) .$

Znając łączną liczbę nóg wszystkich zwierząt w tym gospodarstwie wiejskim, możemy zapisać równanie z jedną niewiadomą $x$ .

2 \cdot x + 4 \cdot (135 - x) = 300

Rozwiązanie tego równania pozwoli ustalić liczbę gęsi i psów w tym gospodarstwie wiejskim.

Już wiesz

RównanierównanieRównanie można zapisać za pomocą proporcji.

Proporcja jest to równość dwóch ilorazów. Jeżeli ilorazy $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ dla $b \neq 0$ i $d \neq 0$ są równe to równość $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ jest proporcją. Wyrazy $a$ i $d$ nazywają się skrajnymi, a wyrazy $b$ i $c$ środkowymi.

Iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

a d = b c

Ważne!

Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy równość prawdziwą.

Przykład 2

Podstawmy do lewej i prawej strony równania $4 \cdot (x - 2) - x = 5 + x$ w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $- 3$ , a następnie odpowiemy na pytanie, czy otrzymaliśmy równość prawdziwą czy fałszywą.

Po podstawieniu liczby $- 3$ w miejsce niewiadomej $x$ do lewej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

$L = 4 (- 3 - 2) - (- 3) = 4 (- 5) + 3 = - 20 + 3 = - 17$

Po podstawieniu liczby $- 3$ w miejsce niewiadomej $x$ do prawej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

P = 5 + (- 3) = 5 - 3 = 2

Lewa i prawa strona równania przyjmują dla $x$ równego $- 3$ różną wartość. Wynika stąd, że $L \neq P$ . Zatem po podstawieniu liczby $- 3$ do obu stron równania otrzymaliśmy równość fałszywą. Liczba $- 3$ nie spełnia tego równania.

Przykład 3

Podstawmy do lewej i prawej strony równania $4 \cdot (x - 2) - x = 5 + x$ w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $6 \frac{1}{2}$ , a następnie odpowiemy na pytanie, czy otrzymaliśmy równość prawdziwą czy fałszywą.

Po podstawieniu liczby $6 \frac{1}{2}$ w miejsce niewiadomej $x$ do lewej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

L = 4 \cdot (6 \frac{1}{2} - 2) - 6 \frac{1}{2} = 4 \cdot 4 \frac{1}{2} - 6 \frac{1}{2} = 18 - 6 \frac{1}{2} = 11 \frac{1}{2}

Po podstawieniu liczby $6 \frac{1}{2}$ w miejsce niewiadomej $x$ do prawej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

P = 5 + 6 \frac{1}{2} = 11 \frac{1}{2}

Lewa i prawa strona równania przyjmują dla $x$ równego $6 \frac{1}{2}$ tą samą wartość. Wynika stąd, że $L = P$ . Zatem po podstawieniu liczby $6 \frac{1}{2}$ do obu stron równania otrzymaliśmy równość prawdziwą. Liczba $6 \frac{1}{2}$ spełnia to równanie.

Rozwiązanie równania

Definicja: Rozwiązanie równania

Liczbę, która spełnia dane równanie nazywamy rozwiązaniem równania lub pierwiastkiem równania.

Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.

Czy rozwiązaniem równaniarozwiązanie równaniarozwiązaniem równania może być tylko jedna liczba?

Odpowiemy na to pytanie, analizując poniższy przykład.

Przykład 4

Sprawdzimy, czy liczby $- 5$ , $- 3$ , $0$ , $3$ są pierwiastkami równaniapierwiastek równaniapierwiastkami równania $2 x (x + 5) (x^{2} - 9) = 0$ .

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $- 5$ otrzymujemy:

2 \cdot (- 5) (- 5 + 5) ({(- 5)}^{2} - 9) = - 10 \cdot 0 \cdot 16 = 0

Zatem $L = P$ , czyli liczba $- 5$ spełnia równanie.

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $- 3$ otrzymujemy:

2 \cdot (- 3) (- 3 + 5) ({(- 3)}^{2} - 9) = - 6 \cdot 2 \cdot 0 = 0

Zatem $L = P$ , czyli liczba $- 3$ spełnia równanie.

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $0$ otrzymujemy:

2 \cdot 0 \cdot (0 + 5) (0^{2} - 9) = 2 \cdot 0 \cdot 5 \cdot (- 9) = 0

Zatem $L = P$ , czyli liczba $0$ spełnia równanie.

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $3$ otrzymujemy:

2 \cdot 3 \cdot (3 + 5) (3^{2} - 9) = 6 \cdot 8 \cdot 0 = 0

Zatem $L = P$ , czyli liczba $3$ spełnia równanie.

Liczby $- 5$ , $- 3$ , $0$ , $3$ spełniają równanie, zatem są pierwiastkami równania $2 x (x + 5) (x^{2} - 9) = 0$ .

Pokazaliśmy, że równanie może mieć nawet cztery rozwiązania. Od czego zatem zależy liczba rozwiązań danego równania? Tego dowiesz się z późniejszych materiałów.

Infografiki

Poniżej przedstawiona jest infografika przedstawiająca klasyfikację równań ze względu na liczbę niewiadomych oraz stopień równania.

Infografika ma na celu sklasyfikowanie równań, ze względu na liczbę niewiadomych oraz stopień równania. Najpierw sprawdzamy ile niewiadomych występuje w równaniu. Na grafice występują równania z jedną niewiadomą oraz z więcej niż jedną niewiadomą. Rozpocznijmy od tych, w których występuje więcej niż jedna niewiadoma, są to: nawias, x, minus, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, równa się, zero, x, plus, y, równa się, dwaoraz początek ułamka, x, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, y indeks górny, dwa, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się, z. W drugiej grupie zwierającej równania z jedną niewiadomą przedstawiono aż sześć równań, są to: trzy x, plus, jeden, równa się, zero, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, równa się, dwadzieścia pięć, y indeks górny, sześć, plus, początek ułamka, y indeks górny, trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, trzy, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy a, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy a, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, początek ułamka, t, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, plus, zero przecinek dwa pięć, równa się, zerooraz dwa a, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, dwa a. Równania o jednej niewiadomej zostały podzielone ze względu na stopień równania, zatem grupa pierwsza to równania o niewiadomej występującej w pierwszej potędze: trzy x, plus, jeden, równa się, zero, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy a, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy a, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, początek ułamka, t, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, plus, zero przecinek dwa pięć, równa się, zero, dwa a, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, dwa a. W drugiej grupie znajdują się równania z jedną niewiadomą, ale nie będące równaniami pierwszego stopnia, czyli ich niewiadoma występuje w drugiej, trzeciej, czwartej lub wyższej potędze. W tej grupie znajdują się dwa równania takie jak: nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, równa się, dwadzieścia pięćoraz y indeks górny, sześć, plus, początek ułamka, y indeks górny, trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, trzy.

R1HM1E9U2RMOA

Klasyfikacja równań

Polecenie 1

RLJ1XE7XHOZCO

Przeanalizuj przykład przedstawiony na infografice. Odpowiedz na pytanie, kiedy dana liczba spełnia równanie?

R7QNE9DRH5PFL1

Sprawdzimy, czy liczba jeden oraz czy liczba trzy są rozwiązaniami równania: dwa nawias, x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, plus, x, równa się, dwa nawias, jeden, minus, dwa x, zamknięcie nawiasu, plus, trzy nawias, jeden, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, x. W celu rozwiązania zadania, podstawimy za x dwie przykładowe wartości i prześledzimy rozwiązania równania dla tych wartości. 1. Podstawmy do lewej i prawej strony równania w miejsce niewiadomej x liczbę jeden, a następnie odpowiedzmy na pytanie, czy otrzymaliśmy równość prawdziwą czy fałszywą. Po podstawieniu liczby jeden w miejsce niewiadomej x do lewej strony równania otrzymujemy wyrażenie: P, równa się, dwa nawias, jeden, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, plus, jeden, równa się, minus, siedem. Po podstawieniu liczby jeden w miejsce niewiadomej x do prawej strony równania otrzymujemy wyrażenie: P, równa się, dwa nawias, jeden, minus, dwa, razy, jeden, zamknięcie nawiasu, plus, trzy nawias, jeden, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, minus, jeden, równa się, trzy. Lewa strona równania przyjmuje dla x równego jeden inną wartość niż prawa strona, co zapisujemy następująco: L, nie równa się, P. Zatem po podstawieniu liczby jeden do obu stron równania otrzymaliśmy równość fałszywą. Liczba jeden nie spełnia tego równania. 2. Podstawmy do lewej i prawej strony równania w miejsce niewiadomej x liczbę trzy, a następnie odpowiedzmy na pytanie, czy otrzymaliśmy równość prawdziwą czy fałszywą. Po podstawieniu liczby trzy w miejsce niewiadomej x do lewej strony równania otrzymujemy wyrażenie: L, równa się, dwa nawias, trzy, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, plus, trzy, równa się, minus, jeden. Po podstawieniu liczby trzy w miejsce niewiadomej x do prawej strony równania otrzymujemy wyrażenie: P, równa się, dwa nawias, jeden, minus, dwa, razy, trzy, zamknięcie nawiasu, plus, trzy nawias, jeden, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, minus, trzy, równa się, minus, jeden. Lewa strona równania przyjmuje dla x równego trzy wartość taką samą, jak prawa strona, czyli L, równa się, P. Zatem po podstawieniu liczby trzy do obu stron równania otrzymaliśmy równość prawdziwą. Liczba trzy spełnia to równanie.

Polecenie 2

Sprawdź, czy liczba $x = - 3$ spełnia równanie $3 \cdot (x - 1) = 2 x + 3$ .

Polecenie 3

Sprawdź, czy liczba $x = 6$ spełnia równanie $3 \cdot (x - 1) = 2 x + 3$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

fullpage

Pokaż ćwiczenia:

R6JN7UG8RE93Z1

Ćwiczenie 1

R1Z8M53QODV3T1

Ćwiczenie 2

ROE86LLSXNGJZ2

Ćwiczenie 3

R7MJ2SV4ALBX62

Ćwiczenie 4

R1MZXZFE52XGZ2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Oznaczmy masę jabłka jako $x$ . Które z poniższych równań będzie wówczas opisywać sytuację przedstawioną na rysunku?

R1PX99T2S2X38

Grafika przedstawia wagę szalkową. Na lewej szalce znajdują się dwa jabłka i odważnik z cyfrą pięć. Na prawej szalce znajdują się 3 jabłka.

R19ZSN2FJQAAT

RS9Q7QDZ1RBVR2

Ćwiczenie 7

RRSTR7EMDRZ4S2

Ćwiczenie 8

RRMPFQQQXAC9X2

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Na podstawie ilustracji uzupełnij równania.

R6NH62UP6GSH7

Ilustracja przedstawia figurę geometryczną o kształcie litery L. Na figurze oznaczono: długość podstawy figury dwa a, plus, jeden, szerokość podstawy a, wysokość prawej strony ramienia litery L a, plus, dwa, szerokość pionowego ramienia figury a. — Wielokąt
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R16LB69QQ9OFU

Ćwiczenie 11

Zapisz równanie do zadania o mrówce przedstawionego we wstępie lekcji. Czy potrafisz przewidzieć jaki ciężar podniesiesz, gdy poczujesz się wielką mrówką?

Jest to zadanie korzystające z proporcjonalności wprost proporcjonalnej. Pamiętając, że mrówka waży $5 mg$ i podnosi listek o masie $50 mg$ może to utworzyć jedną stronę proporcji. Druga strona proporcji będzie składać się z twojej masy ciała i niewiadomej $x$ , która będzie oznaczać masę jaką jesteś w stanie podnieść.

Z treści zadania powstaje nam lewa strona proporcji mianowicie masę mrówki dzielimy przez masę listka, czyli $\frac{5 mg}{50 mg} = \frac{5}{50} = \frac{1}{10}$ . Druga strona proporcji to twoja masa podzielona (oznaczmy ją jako $m$ i jest ona nam znana) przez niewiadomą $x$ , która będzie oznaczać masę jaką jesteś w stanie podnieść. Dostajemy zatem proporcję $\frac{1}{10} = \frac{m}{x}$ . Mnożąc na krzyż dostajemy równanie $x = 10 m$ . Jesteś w stanie z niego bez problemu obliczyć jak wielki ciężar jesteś w stanie podnieść gdybyś był „wielką mrówką”.

RP2KK99ZDOXNB1

Ćwiczenie 12

R1H6F5TXJMQBP1

Ćwiczenie 13

Połącz w pary równanie i liczbę, która jest jego rozwiązaniem. dwa x, minus, cztery, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, trzy, 4. dwa, 5. minus, dwa, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka trzy v, równa się, v, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, trzy, 4. dwa, 5. minus, dwa, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka y, równa się, dwa y, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, trzy, 4. dwa, 5. minus, dwa, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka trzy zet, równa się, minus, dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, trzy, 4. dwa, 5. minus, dwa, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, trzy, 4. dwa, 5. minus, dwa, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka t, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, trzy, 4. dwa, 5. minus, dwa, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, trzy, 4. dwa, 5. minus, dwa, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, trzy, 4. dwa, 5. minus, dwa, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka

RR7A9RVSKHUSH

Ćwiczenie 14

R1BM35N8A6RKB2

Ćwiczenie 15

R1LRLJEC1OU6D2

Ćwiczenie 16

R2OSVQLHACF2O2

Ćwiczenie 17

RJ3129NSXSTLR3

Ćwiczenie 18

RM4N5U4HDQT643

Ćwiczenie 19

Przeciągnij do odpowiedniego obszaru wszystkie liczby, które spełniają dane równanie. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto dwadzieścia jeden Możliwe odpowiedzi: 1. minus, trzy, 2. jeden, 3. jedenaście, 4. minus, jeden, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. dwa, 7. zero, 8. zero, 9. minus, dwa, 10. minus, jedenaście, 11. cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. minus, trzy, 2. jeden, 3. jedenaście, 4. minus, jeden, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. dwa, 7. zero, 8. zero, 9. minus, dwa, 10. minus, jedenaście, 11. cztery a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, minus, dwadzieścia siedem Możliwe odpowiedzi: 1. minus, trzy, 2. jeden, 3. jedenaście, 4. minus, jeden, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. dwa, 7. zero, 8. zero, 9. minus, dwa, 10. minus, jedenaście, 11. cztery dwa y nawias, minus, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, trzy y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. minus, trzy, 2. jeden, 3. jedenaście, 4. minus, jeden, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. dwa, 7. zero, 8. zero, 9. minus, dwa, 10. minus, jedenaście, 11. cztery nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. minus, trzy, 2. jeden, 3. jedenaście, 4. minus, jeden, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. dwa, 7. zero, 8. zero, 9. minus, dwa, 10. minus, jedenaście, 11. cztery nawias, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, sześćdziesiąt cztery, zamknięcie nawiasu, zet, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. minus, trzy, 2. jeden, 3. jedenaście, 4. minus, jeden, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. dwa, 7. zero, 8. zero, 9. minus, dwa, 10. minus, jedenaście, 11. cztery

Słownik

równanie

równość dwóch wyrażeń algebraicznych, z których w przynajmniej jednym występuje co najmniej jedna zmienna

rozwiązanie równania

liczba, która spełnia dane równanie

liczba spełniająca równanie

liczba, po podstawieniu której w miejsce niewiadomej do danego równania otrzymamy równość prawdziwą

pierwiastek równania

liczba, po podstawieniu której w miejsce niewiadomej do danego równania otrzymamy równość prawdziwą. Inna nazwa liczby spełniającej równanie.

2. Liczba rozwiązań równania liniowego

Równania liniowe