1. Figury podobne

R18BDEYAm91yH

W życiu codziennym bardzo często spotykamy się z przekształceniem, które nosi nazwę podobieństwa. Na przykład możemy zaobserwować wieżę Eiffla w rzeczywistych rozmiarach w Paryżu oraz jej pomniejszenie w parku miniatur.

R1GeZTTOa9aT3

Na ilustracji przedstawiono panoramę Paryża. W centrum fotografii znajduje się wieża Eiffla, na tle malowniczego nieba. — Wieża Eiffla, Paryż, Francja
Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

W materiale omówimy, czym jest podobieństwo, podamy jego cechy oraz wprowadzimy pojęcie skali podobieństwa figur, chociaż nie tylko figury płaskie, ale bryły geometryczne też mogą być podobne. Opierając się na części teoretycznej oraz omówionych przykładach, rozwiążemy ćwiczenia interaktywne.

Twoje cele

Określisz definicję podobieństwa dwóch figur.
Uzasadnisz podobieństwo dwóch figur.
Obliczysz skalę podobieństwa figur podobnych za pomocą różnych zależności.
Wykorzystasz zdobytą wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

O figurach, mających ten sam kształt, a różniących się co najwyżej wielkością mówimy, że są podobne.

Wprowadźmy definicję wielokątów podobnych.

Wielokąty podobne

Definicja: Wielokąty podobne

O dwóch wielokątach mówimy, że są podobne, jeśli miary ich kątów są odpowiednio równe, a długości odpowiednich boków są proporcjonalne.

R1YUQXOJCZ9OT

Na ilustracji przedstawiono dwa pięciokąty, różniące się długością boków. Długości boków mniejszego pięciokąta oznaczono a, b, c, d, e. Długości boków drugiego pięciokąta oznaczono a', b', c', d', e'. Kąty w obu pięciokątach między odpowiadającymi sobie bokami, są takie same. Zaznaczono kąt α, β, γ, ϖ, ε.

Zatem

\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = \frac{d'}{d} = \frac{e'}{e}

Współczynnik proporcjonalności odpowiadających sobie boków w wielokątach podobnych będziemy nazywać skalą podobieństwaskala podobieństwaskalą podobieństwa i oznaczać jako $k$ .

Załóżmy, że trójkąty $A' B' C'$ i $A B C$ z rysunków są podobne.

R1NiwyoLXXA9D

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC, oraz A'B'C'. W obu trójkątach zaznaczono kąty α, β i γ. Odpowiednio przy wierzchołkach A i A' znajduje się kąt α. Przy wierzchołkach B i B' znajduje się kąt β. Przy wierzchołkach C i C' znajduje się kąt γ.

Wówczas skalę podobieństwa $k$ tych trójkątów obliczamy z zależności:

k = \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}

o skali podobieństwa

Twierdzenie: o skali podobieństwa

Jeżeli figura o obwodzie długości $L'$ jest podobna do figury o obwodzie długości $L$ , to skalę podobieństwa tych figur obliczamy ze wzoru:

k = \frac{L'}{L}

Dowód

Załóżmy bez utraty ogólności, że trójkąt $A' B' C'$ jest podobny do trójkąta $A B C$ w skali $k$ .

R14UACUIs1Arn

Zatem:

$k = \frac{a'}{a}$ , czyli $a' = k \cdot a$

$k = \frac{b'}{b}$ , czyli $b' = k \cdot b$

$k = \frac{c'}{c}$ , czyli $c' = k \cdot c$

Wobec tego:

$\frac{L'}{L} = \frac{a' + b' + c'}{a + b + c} = \frac{k \cdot a + k \cdot b + k \cdot c}{a + b + c} = \frac{k \cdot (a + b + c)}{a + b + c} = k$

Jeżeli skala podobieństwa $k = 1$ , to przekształcenie jest izometriąizometriaizometrią.

o skali figur podobieństwa figur podobnych

Twierdzenie: o skali figur podobieństwa figur podobnych

Jeżeli figura $F$ jest podobna do figury $G$ w skali $k$ , to figura $G$ jest podobna do figury $F$ w skali $\frac{1}{k}$ .

Ważne!

Każde dwa wielokąty foremne, mające tę samą liczbę boków są podobne.

Każde dwa odcinki są podobne.

Każde dwa koła są podobne.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy równoległoboki przedstawione na poniższych rysunkach są podobne.

RA4xrb3LBSYmx

Na ilustracji przedstawiono dwa równoległoboki różniące się długością boków. Zaznaczono ich kąty wewnętrzne. W równoległoboku pierwszym, długość dłuższego boku jest równa 9, natomiast długość krótszego boku wynosi 43. Kąt ostry między bokami wynosi 50°, natomiast kąt rozwarty jest równy β. W drugim równoległoboku, długość krótszego boku wynosi 273, natomiast długość dłuższego boku wynosi trzydzieści sześć. Kąt ostry między bokami wynosi α, natomiast kąt rozwarty między bokami wynosi 130°.

Rozwiązanie:

Ponieważ figury przedstawione na rysunkach są równoległobokami, zatem $α = 50 °$ oraz $β = 130 °$ .

Jeżeli figury mają te same kąty, to wystarczy sprawdzić, czy odpowiednie boki są proporcjonalne.

Wobec tego:

$\frac{36}{4 \sqrt{3}} = \frac{27 \sqrt{3}}{9}$

Ponieważ równość jest prawdziwa, zatem równoległoboki z rysunku są podobne.

Przykład 2

Trójkąt prostokątny $T_{1}$ o przyprostokątnych długości $12$ i $16$ jest podobny do trójkąta prostokątnego $T_{2}$ o przeciwprostokątnej długości $40 \sqrt{2}$ . Obliczymy obwód trójkąta $T_{2}$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy rysunki pomocnicze trójkątów $T_{1}$ i $T_{2}$ i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

RU3u65mRyKZx5

Na ilustracji przedstawiono dwa trójkąty prostokątne, które są względem siebie podobne. Mniejszy trójkąt T1, oraz większy T2. W trójkącie T1, przyprostokątne są długości 12 i 16, natomiast przeciwprostokątną oznaczono małą literą c. W trójkącie T2a, przyprostokątne oznaczono a i b, natomiast długość przeciwprostokątnej jest równa 402.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość przeciwprostokątnej $c$ trójkąta $T_{1}$ .

Zatem

$12^{2} + 16^{2} = c^{2}$

$c^{2} = 400$

$c = 20$

Obliczamy skalę podobieństwa $k$ trójkąta $T_{2}$ do trójkąta $T_{1}$ .

Wobec tego:

$k = \frac{40 \sqrt{2}}{20} = 2 \sqrt{2}$

$2 \sqrt{2} = \frac{a}{16}$

$a = 32 \sqrt{2}$

$2 \sqrt{2} = \frac{b}{12}$

$b = 24 \sqrt{2}$

Zatem obwód trójkąta $T_{2}$ jest równy:

$L = 24 \sqrt{2} + 32 \sqrt{2} + 40 \sqrt{2} = 96 \sqrt{2}$

Ważne!

Jeżeli dwie figury są podobne, to każde odpowiadające sobie odcinki w obu figurach są do siebie proporcjonalne. Tymi odcinkami są (o ile istnieją) wysokości, przekątne, środkowe itp.

Przykład 3

Dwa romby są podobne w skali $\frac{5}{3}$ . Obliczymy obwód każdego z nich, jeżeli długości przekątnych mniejszego rombu są równe $4 \sqrt{3}$ i $4$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy dwa romby $R_{1}$ i $R_{2}$ , które są podobne i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższych rysunkach.

RzZ7AmHKF8iY9

Na ilustracji przedstawiono dwa romby które są względem siebie podobne. Mniejszy romb R1 i większy romb R2. W rombie R1 długość boku oznaczono małą literą a. Długość dłuższej przekątnej wynosi 43, natomiast długość krótszej przekątnej jest równa cztery. W rombie R2 oznaczono jedynie bok a'.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość boku mniejszego rombu.

Zatem:

$a^{2} = {(2 \sqrt{3})}^{2} + 2^{2}$

$a^{2} = 16$

$a = 4$

Ponieważ skala $k = \frac{5}{3}$ , zatem:

$k = \frac{a'}{a}$

$\frac{5}{3} = \frac{a'}{4}$

$a' = \frac{20}{3}$

Wobec tego obwody rombów $R_{1}$ i $R_{2}$ wynoszą odpowiednio:

$L = 4 \cdot 4 = 16$

$L' = 4 \cdot \frac{20}{3} = \frac{80}{3}$

Przykład 4

Dane są równoległoboki $A B C D$ oraz $A' B' C' D'$ , które są podobne. Krótsza przekątna równoległoboku $A B C D$ tworzy z jego krótszym bokiem kąt prosty. Obliczymy obwody obu równoległoboków, jeżeli boki równoległoboku $A B C D$ wynoszą $6$ i $12$ , a krótsza przekątna równoległoboku $A' B' C' D'$ ma długość $8 \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy równoległoboki $A B C D$ oraz $A' B' C' D'$ , które są podobne oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunkach.

R1KdOoyVg6A4G

Na ilustracji przedstawiono mniejszy równoległobok ABCD, oraz większy A'B'C'D'. Równoległoboki są względem siebie podobne. W równoległoboku ABCD, długość krótszego boku wynosi 6, natomiast długość dłuższego boku jest równa dwanaście. Wewnątrz tego równoległoboku zaznaczono przekątną x. W równoległoboku A'B'C'D' zaznaczono przekątną wewnątrz figury, jest równa 83.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przekątnej $x$ w równoległoboku $A B C D$ .

Zatem

$x^{2} + 6^{2} = 12^{2}$

$x^{2} + 36 = 144$

$x^{2} = 108$

$x = 6 \sqrt{3}$ .

Niech $k$ będzie skalą podobieństwa równoległoboku $A' B' C' D'$ do równoległoboku $A B C D$ .

Wtedy $k = \frac{8 \sqrt{3}}{6 \sqrt{3}} = \frac{4}{3}$ .

Obwód $L$ równoległoboku $A B C D$ wynosi:

$L = 2 \cdot 6 + 2 \cdot 12 = 12 + 24 = 36$ .

Niech $L'$ będzie obwodem równoległoboku $A' B' C' D'$ .

Jeżeli skala podobieństwa $A' B' C' D'$ do równoległoboku $A B C D$ wynosi $\frac{4}{3}$ , to:

$\frac{4}{3} = \frac{L'}{36}$ .

Wobec tego $L' = 48$ .

Zatem obwody omawianych równoległoboków wynoszą odpowiednio $36$ i $48$ .

Przykład 5

Trójkąt $A B C$ jest podobny do trójkąta $D E F$ w skali $4$ , trójkąt $K L M$ jest podobny do trójkąta $D E F$ w skali $3$ . Obliczymy skalę podobieństwa trójkąta $K L M$ do trójkąta $A B C$ .

Rozwiązanie

R1NCX653SX2GL

Ilustracja przedstawia trzy trójkąty podobne o różnych wielkościach, trójkąt A B C największy, trójkąt D E F najmniejszy oraz trójkąt K L M . Boki podobne wszystkich trzech trójkątów zostały zaznaczone tym samym kolorem. Boki A B, D E i K L na niebiesko. Boki A C, D F i K M na żółto oraz boki B C, E F i L M na czerwono.

Ponieważ skala podobieństwa trójkąta $A B C$ do trójkąta $D E F$ jest równa $4$ , więc $|A B| = 4 \cdot |D E|$ .

Skala podobieństwa trójkąta $K L M$ do trójkąta $D E F$ jest równa $3$ , więc $|K L| = 3 \cdot |D E|$ .

Skala podobieństwa trójkąta $K L M$ do trójkąta $A B C$ jest równa $\frac{|K L|}{|A B|} = \frac{3 \cdot |D E|}{4 \cdot |D E|} = \frac{3}{4}$ .

Galeria multimedialna

Zapoznaj się z przykładami figur podobnych, które możemy zauważyć w różnych figurach geometrycznych.

R1OoYtt5SPpQ6

RE7GOHXp5q1wG

R1bqVsULyvJtU

RBPdtHYQiQ0rm

R5kJuvaK94rLN

Polecenie 1

Wyznacz długość odcinka $x$ w każdym z poniższych trójkątów.

RsRe3QjFmeakl

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny ABC, z kątem prostym przy wierzchołku A. Przyprostokątna AB ma długość 12, a przyprostokątna AC ma długość pięć. Poprowadzono odcinek DE równoległy do przyprostokątnej AB, oraz odcinek EF, równoległy do przyprostokątnej AC. Punkt E, jest punktem wspólnym obu odcinków i leży na przyprostokątnej BC. Odcinek BF ma długość cztery. Odcinek EE ma długość x.

RwHh9hNkng5OJ

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC o podstawie AB równej dwadzieścia cztery. Zaznaczono punkt D, dzielący bok trójkąta w stosunku 1 do trzech, na odcinek 2y oraz y. Odcinek x, jest odcinkiem równoległym do podstawy AB, łączącym punkt D z punktem E. Kąty CAB oraz CDE są równe alfa.

RjuCI4onzm1w1

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny ABC, z kątem prostym przy wierzchołku A. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną BC z wierzchołka A, wynosi x. Wysokość dzieli przeciwprostokątną na odcinek długości 2 i x+4.

a) Z podobieństwa odpowiednich trójkątów prostokątnych wynika zależność:

$\frac{5}{12} = \frac{x}{4}$

Zatem $x = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ .

b) Z podobieństwa odpowiednich trójkątów wynika zależność:

$\frac{24}{x} = \frac{3 y}{y}$

Zatem

$x = 8$

c) Z podobieństwa odpowiednich trójkątów prostokątnych otrzymujemy zależność:

$\frac{x}{2} = \frac{x + 4}{x}$

$x^{2} = 2 \cdot (x + 4)$

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

$∆ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 4 + 32 = 36$

$x_{1} = \frac{2 - 6}{2} = - 2 < 0$

$x_{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 > 0$

Zatem $x = 4$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1eJXZbhdPHy91

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

R1cZmDWJ7diCi

RP8C3D6GGZZED1

Ćwiczenie 3

RAERCTHNH134Z1

Ćwiczenie 4

R1JHO8JK3RMFL1

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Wskaż wszystkie zdania, które są prawdziwe.

Trójkąty równoboczne przedstawione na poniższych rysunkach są podobne w skali $k = \sqrt{2}$ .

RWruTUc0W2kZh

Na ilustracji przedstawiono dwa trójkąty równoboczne, w które wpisano okrąg. Figury są do siebie podobne i różnią się rozmiarem. Długości boków większego trójkąta oznaczono a. Promień okręgu wpisanego oznaczono r. W drugim, mniejszym trójkącie, długości boków oznaczono a prim, natomiast promień okręgu wpisanego r prim.

RHb7rN9o4K44F

Ćwiczenie 7

RLTq1wonN9rWt

Ćwiczenie 8

Trójkąty $A B C$ i $D E F$ są podobne. Obwód trójkąta $D E F$ jest o $20 %$ mniejszy od obwodu trójkąta $A B C$ . Oblicz skalę podobieństwa trójkąta $D E F$ do trójkąta $A B C$ .

Zauważ, że obwód trójkata $D E F$ stanowi $80 %$ obwodu trójkąta $A B C$ . Wykorzystaj te obowdy do obliczenia skali podobieństwa.

Obwód $L_{D E F}$ trójkąta $D E F$ jest o $20 %$ mniejszy od obwodu trójkąta $A B C$ , więc $L_{D E F} = 80 % \cdot L_{A B C} = \frac{8}{10} L_{A B C}$ .

Skala podobieństwa trójkątów jest równa stosunkowi ich obwodów.

Zatem skala $s$ podobieństwa trójkąta $D E F$ do trójkąta $A B C$ jest równa $s = \frac{L_{D E F}}{L_{A B C}} = \frac{\frac{8}{10} \cdot L_{A B C}}{L_{A B C}} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ .

Ćwiczenie 9

Boki czworokąta $A B C D$ mają długości: $8$ , $10$ , $12$ , $14$ . Suma dwóch najkrótszych boków czworokąta $A' B' C' D'$ , który jest podobny do czworokąta $A B C D$ wynosi $45$ . Oblicz długości boków w czworokącie $A' B' C' D'$ .

Oznacz np. jako $x$ długość najkrótszego boku. Wykorzystując fakt, że suma dwóch najkrótszych boków wynosi $45$ zapisz, w zalezności od $x$ , długość kolejnego z boków. Zapisane wyrażenia wykorzystaj do ułożenia proporcji.

Narysujmy dwa czworokąty, które są podobne i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunkach.

RYyAH2R8zO5q6

Na ilustracji przedstawiono dwa czworokąty podobne. Pierwszy czworokąt ABCD jest mniejszy. Zaznaczono długości boków. Długość boku AB równa się 14, długość boku BC równa się 10, długość boku CD równa się 8, długość boku AD równa się 12. Zaznaczono kąty wewnętrzne. Kąt α przy wierzchołku A, kąt β przy wierzchołku B, kąt γ przy wierzchołku C, oraz kąt δ przy wierzchołku D. Drugi czworokąt oznaczono A’B’C’D’. Długości boków oznaczono małymi literami alfabetu. Bok A’B’ oznaczono z, bok B’C’ oznaczono y, bok C’D’ oznaczono x, bok A’D’ oznaczono t. Zaznaczono kąty wewnętrzne. Kąt α przy wierzchołku A', kąt β przy wierzchołku B', kąt γ przy wierzchołku C', oraz kąt δ przy wierzchołku D'.

Z przyjętych oznaczeń oraz z treści zadania wynika, że $x + y = 45$ .

Zatem $y = 45 - x$ .

Wobec faktu, że czworokąty są podobne, zachodzą następujące zależności:

$\frac{8}{x} = \frac{10}{45 - x}$

$8 \cdot (45 - x) = 10 \cdot x$

$360 - 8 x = 10 x$

Zatem $x = 20$ .

Wobec tego obliczamy długości pozostałych boków:

$y = 45 - 20 = 25$

$\frac{t}{12} = \frac{20}{8}$

$t = 30$

$\frac{z}{14} = \frac{20}{8}$

$z = 35$

Ćwiczenie 10

Kwadrat $K_{1}$ , w którym przekątna jest o $2$ dłuższa od boku jest podobny do kwadratu $K_{2}$ w skali $k = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Oblicz obwód kwadratu $K_{2}$ .

Oznacz np. jako $a$ długość boku kwadratu $K_{1}$ . Ułóż i rozwiąż równanie wykorzystujące fakt, że przekątna tego kwadratu jest o $2$ dłuższa od jego boku.

Jeżeli $a$ jest długością boku kwadratu $K_{1}$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a \sqrt{2} = a + 2$

$a \sqrt{2} - a = 2$

$a \cdot (\sqrt{2} - 1) = 2$

$a = \frac{2}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2 - 1} = 2 \sqrt{2} + 2$

Wobec tego obwód kwadratu $K_{1}$ jest równy:

$L_{1} = 4 \cdot (2 \sqrt{2} + 2) = 8 \sqrt{2} + 8$

Z podobieństwa tych kwadratów zachodzi zależność $k = \frac{L_{1}}{L_{2}}$ , gdzie $L_{2}$ jest obwodem kwadratu $K_{2}$ .

Zatem:

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 \sqrt{2} + 8}{L_{2}}$

$L_{2} = \frac{16 \sqrt{2} + 16}{\sqrt{3}} = \frac{16 \sqrt{6} + 16 \sqrt{3}}{3}$

Ćwiczenie 11

RmnzrcQD6u5XZ

RreBaDKXDkk9c

Słownik

podobieństwo

przekształcenie geometryczne, które zachowuje stosunek odległości punktów płaszczyzny

przystawanie

identyczność kształtu i wielkości figur

cechy podobieństwa trójkątów

warunki konieczne i wystarczające, aby dwa trójkąty były podobne

izometria

przekształcenie geometryczne, przy którym odległość punktów nie ulega zmianie, np. przesunięcie równoległe, obrót, symetria względem prostej, punktu lub płaszczyzny

skala podobieństwa

liczba dodatnia, wyrażająca stosunek odpowiadających sobie odcinków w figurach podobnych

2. Cechy podobieństwa trójkątów

Twierdzenie Talesa, podobieństwo trójkątów

1. Figury podobne

Galeria multimedialna

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik