Wykonaj rysunek pomocniczy. Wykorzystaj fakt, że $EF$ i $GH$ są liniami środkowymi w trójkątach $ABD$ i $CBD$.

Skorzystajmy z rysunku.

RO8MXXPVATES5

Ilustracja przedstawia czworokąt A, B, C, D. W środkach jego boku oznaczono punkty E, F, G, H które wraz z punktami B i D tworzą sześciokąt.

Wtedy $EF$ i $GH$ są liniami środkowymi w trójkątach $ABD$ i $CBD$.

Pole sześciokąta jest równe polu prostokąta minus pola trójkątów $AFE$ i $CHG$. Ale pole każdego z tych trójkątów jest równe $\frac{1}{4}$ pola trójkąta $ABD$, czyli $\frac{1}{8}$ pola prostokąta.

Stąd pole sześciokąta jest równe $12·8-2·\frac{1}{8}·12·8=72$.

Aby policzyć obwód wyznaczamy długość odcinka $EF$ z twierdzenia Pitagorasa:

${\left|FE\right|}^2=4^2+6^2=52$. Stąd $\left|FE\right|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

Ostatecznie, obwód sześciokąta jest równy:

$2·4+2·6+2·2\sqrt{13}=20+4\sqrt{13}$.

Wykonaj rysunek pomocniczy. Zauważ, że każdy z boków czworokąta powstałego w wyniku połączenia środków boków rombu jest linią środkową pewnego trójkąta. Do uzasdnienia wykorzystaj równoległość tych odcinków.

Na rysunku czworokąt $ABCD$ jest rombem. Wtedy czworokąt $EFGH$ jest równoległobokiem, którego boki są równoległe do przekątnych rombu. Ponieważ przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym, to sąsiednie boki równoległoboku są też prostopadłe, a to dowodzi, że ten czworokąt jest prostokątem.

R1FL8M24TQMR8

Rysunek przedstawia romb A, B, C, D. W środku jest wpisany prostokąt E, F, G, H tak, że jego wierzchołki znajdują się w środkach boków rombu.

Z faktu, że linie środkowe w trójkącie mają długości równe połowie długości podstaw (w tym przypadku przekątnych rombu) wynika, że omawiany czworokąt będzie kwadratem, jeśli przekątne rombu będą miały równe długości. Stąd czworokąt $EFGH$ jest kwadratem wtedy i tylko wtedy, gdy romb $ABCD$ jest kwadratem.

Zauważ, że jeżeli  $\left|AB\right|=2\left|CD\right|$, to odcinek $CD$ jest linią środkową trójkąta $ABO$.

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o linii środkowej w trójkącie wynika, że $CD$ jest linią środkową trójkąta $ABO$. Stąd pole trapezu jest równe $\frac{3}{4}$ pola trójkąta $ABO$. Stąd pole trójkąta $ABO$ jest równe $\frac{4}{3}P$.

Do wykazania równoległości boków $DP$ i $FQ$ wykorzystaj trójkąty $ABO$ i  $AOC$ .

$DF\parallel BC$, bo $DF$ jest linią środkową w trójkącie $ABC$. Również $PQ\parallel BC$, bo $PQ$ jest linią środkową w trójkącie $BOC$. Stąd $DF\parallel PQ$.

Z drugiej strony $DP\parallel AO$, bo $DP$ jest linią środkową w trójkącie $ABO$. Również $FQ\parallel AO$, bo $FQ$ jest linią środkową w trójkącie $ACO$. Stąd $DP\parallel FQ$.

Zatem czworokąt $DPQF$ jest równoległobokiem, bo ma dwie pary boków równoległych.

Najkrótsza trasa będzie częściowo biegła parkiem od bramy $E$, potem przez park do bramy $F$. Oblicz długośc tego odcinka.

Najkrótsza trasa to: z przystanku idziemy do bramy $E$, potem przez park do bramy $F$ i wzdłuż ogrodzenia do domu.

Długość drogi jest sumą następujących wartości:

$10=\frac{60}{2}-20$ – odległość od przystanku do bramy $E$.

$50=\frac{100}{2}$ – $EF$ jest linią środkową w trójkącie $ABC$

$30=\frac{80}{2}-10$ – odległość od bramy $F$ do domu

Suma ta jest równa $90$.

Wykorzystaj fakt, że pole trójkąta wyznaczonego przez linię środkową jest $4$ razy mniejsze od pola trójkąta wyjściowego.

Na rysunku przedstawiliśmy trapez i odcinki łączące środki boków trapezu. Wtedy $EF$ jest linią środkową trójkąta $ACD$ i pozostałe boki czworokąta $EFGH$ są liniami środkowymi w odpowiednich trójkątach.

RNJE93JHOAFPH

Ilustracja przedstawia trapez A, B, C, D i odcinki łączące środki boków tego trapezu, które tworzą czworokąt E, F, G, H. Dodatkowo zaznaczone są przekątne tego trapezu AD oraz BC.

Z własności linii środkowych

$P_{ECF}=\frac{1}{4}{P}_{ACD}$, $P_{AEH}=\frac{1}{4}{P}_{ACB}$, $P_{DGF}=\frac{1}{4}{P}_{BCD}$, $P_{BGH}=\frac{1}{4}{P}_{ABD}$

Ponadto,

$2P_{ABCD}=\left(P_{ACD}+P_{ABD}\right)+\left(P_{ABC}+P_{BCD}\right)=4P_{ECF}+4P_{BGH}+4P_{AEH}+$$+4P_{DGF}$

Stąd $P_{ECF}+P_{BGH}+P_{AEH}+P_{DGF}=\frac{1}{2}{P}_{ABCD}$ i wtedy pole czworokąta $EFGH$ jest równe $\frac{1}{2}{P}_{ABCD}$.