8* Wiedza z plusem: Czy można wyglądać jak trójkąt i nie być trójkątem?

Czy wiesz, że przekrój poprzeczny jednego z najbardziej charakterystycznych nowojorskich wieżowców Flatiron Building, ma kształt trójkąta? Wpisany na listę UNESCO w 1990 roku gród warowny na wzgórzu w Moskwie znany jako Kreml, również jest na planie trójkąta. Litera alfabetu greckiego delta ma również kształt trójkąta. Czy znasz miejsca, przedmioty, symbole w kształcie trójkąta?

Trójkąt to figura płaska, w której suma kątów wewnętrznych jest równa $180°$, zaś suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego. Czy taka definicja trójkąta jest wystarczająca? Z matematycznego punktu widzenia tak, przecież opisuje własności figury w ten sposób ją definiując.

Jak zatem wyjaśnisz poniższy matematyczny paradoks?

R1CO3AO28RRUJ

Rysunek przedstawia zagadkę brakującego kwadratu. Na tło w kratkę naniesiono dwie figury. Pierwsza to trójkąt prostokątny o poziomej podstawie o długości 5 kratek, o pionowej przyprostokątnej o długości 13 kratek. Trójkąt podzielono na mniejsze kawałki. Przy lewym wierzchołku podstawy mamy mniejszy trójkąt prostokątny, którego podstawa i przeciwprostokątna pokrywają się z podstawą i przeciwprostokątną dużego trójkąta. Mały trójkąt ma podstawę na dwie kratki i pionową przyprostokątną na 5 kratek. Pionowy bok jest lewym bokiem drugiej figury. Jej dolny bok jest poziomy, długi na jedną kratkę i pokrywa się podstawą dużego trójkąta. Trzeci bok figury jest pionowy, biegnie w górę i jest długi na trzy kratki. Dalej mamy poziomy bok biegnący w prawo na długość jednej kratki. Dalej mamy pionowy bok biegnący w górę długi na dwie kratki. Ostatni bok domyka tę figurę, jest to poziomy bok długi na dwie kratki, a wierzchołek tej figury leży na przeciwprostokątnej dużego trójkąta. Trzeci element dużego trójkąta przylega do drugiej figury i  jest następująca: dolny poziomy bok ma długość dwóch kratek i pokrywa się z podstawą dużego trójkąta. Z prawej strony biegnie w górę pionowy bok na długość pięć kratek, kolejny bok jest pionowy i biegnie w lewo na długość jednej kratki. Trzeci bok biegnie w dół na długość dwóch kratek. Czwarty bok biegnie poziomo w lewo na długość jednej kratki. Ostatni bok biegnie pionowo w dół na długość trzech kratek. Czwarta część dużego trójkąta to trójkąt prostokątny, którego górny wierzchołek pokrywa się z górnym wierzchołkiem dużego trójkąta. Pokrywają się również ich przeciwprostokątne i pionowa przyprostokątna. W małym trójkącie ma ona długość ośmiu kratek, a pozioma podstawa tego trójkąta ma długość trzech kratek. Figura obok składa się z tych samych kawałków poukładanych w kształt takiego samego trójkąta jak wyjściowy, jednak kawałki ustawiono wewnątrz inaczej w taki sposób, że tworzy się dziura na jedną kratkę. Zamieniono miejscami małe wewnętrzne trójkąty. Drugi opisany element przesunięto o jedną kratkę w prawo i trzy w górę. Brakująca kratka znajduje się przy pionowej przyprostokątnej dużego trójkąta na wysokości sześciu kratek nad podstawą.

Uzasadnienie: powyższe figury nie są trójkątami, co pokażemy, i korzystając z własności kątów. W rzeczywistości w pierwszym przypadku narysowana figura nie jest trójkątem, lecz czworokątem. Stosunki długości przyprostokątnych obydwu trójkątów składowych są różne. W dolnym trójkącie wynoszą  $\frac{5}{2}=2,5$, a w górnym $\frac{8}{3}=2,\left(6\right)$. 

Trójkąty te nie są podobne, co oznacza, że nie mają równych kątów, a więc przeciwprostokątne te nie tworzą prostego odcinka, tylko załamują się na styku przeciwprostokątnych. 

Różnica w miarach dopowiadających sobie kątów ostrych jest niewielka, ok. $1°$, stąd mylne wrażenie, że figura ta jest trójkątem. 
Warto zatem rozważyć następujące pytanie:

Co to jest trójkąt i jakie własności posiada?

Trójkąt

R1KB7RMRXX8XS

Na rysunku znajduje się trójkąt, czyli figura rozrysowana między trzema punktami A, B oraz C, które są wierzchołkami. Punkty te połączono trzema odcinkami: A B, A C oraz B C. Odcinki te to boki trójkąta.

• $A$, $B$, $C$ – wierzchołki trójkąta

• $AC$, $CB$, $AB$ – boki trójkąta

• $L=\left|AC\right|+\left|CB\right|+\left|AB\right|$ – obwód trójkąta

Kąt zewnętrzny trójkąta

Definicja: Kąt zewnętrzny trójkąta

Każdy kąt przyległy do kąta wewnętrznego trójkąta nazywamy kątem zewnętrznym trójkątakąt zewnętrzny trójkątakątem zewnętrznym trójkąta.

RO3VR3GZJB97L

Grafika przedstawia trójkąt. Przy jednym z jego wierzchołków zaznaczono kąt wewnętrzny alfa. Boki tworzące ten kąt przedłużono linią przerywaną. Zaznaczono dwa kąty zewnętrzne: beta między jednym bokiem a przedłużeniem drugiego boku oraz gamma między przedłużeniem pierwszego boku i drugim bokiem. Kąty te są naprzeciwko siebie, a alfa znajduje się między nimi.

Nierówność trójkąta

Rodzaje trójkątów

R1HKSV81NSZQX

Grafika przedstawia trzy rodzaje trójkątów. Od lewej trójkąt ostrokątny z kątami: alfa mniejszym niż dziewięćdziesiąt stopni, beta mniejszym niż dziewięćdziesiąt stopni, gamma mniejszym niż dziewięćdziesiąt stopni. Środkowy trójkąt to trójkąt prostokątny z kątami: alfa równym dziewięćdziesiąt stopni, beta mniejszym niż dziewięćdziesiąt stopni, gamma mniejszym niż dziewięćdziesiąt stopni. Po prawej stronie grafiki trójkąt rozwartokątny z kątami: alfa większym niż dziewięćdziesiąt stopni, beta mniejszym niż dziewięćdziesiąt stopni, gamma mniejszym niż dziewięćdziesiąt stopni.

• Każdy kąt trójkąta ostrokątnego ma miarę mniejszą od $90°$.

• W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma miarę równą $90°$.

• W trójkącie rozwartokątnym miara jednego z kątów jest większa od $90°$.

Trójkąty można klasyfikować ze względu na długości ich boków.

• Trójkąt, który ma wszystkie boki tej samej długości nazywamy trójkątem równobocznymtrójkąt równobocznytrójkątem równobocznym.

• Jeśli w trójkącie dwa boki są tej samej długości, to trójkąt taki nazywamy trójkątem równoramiennymtrójkąt równoramiennytrójkątem równoramiennym.

• Trójkąt, w którym wszystkie boki są różnej długości, nazywamy trójkątem różnobocznymtrójkąt różnobocznytrójkątem różnobocznym.

R156H1L7XKHPU

Grafika przedstawia trójkąt z zaznaczonymi kątami ostrym alfa, osiemdziesiąt stopni i trzydzieści stopni.

Suma kątów w trójkącie

Twierdzenie: Suma miar kątów trójkąta

Twierdzenie: Twierdzenie: Suma miar kątów trójkąta

Suma miar kątów trójkąta jest równa $180°$.

R18BA3OTVJGXF

Grafika przedstawia trójkąt z zaznaczonymi kątami: kąt rozwarty beta i kąty ostre alfa i gamma. Poniżej zapisano alfa dodać beta dodać gamma równa się 180 stopni.

Przykład 1

Znajdiemy miarę kąta $\alpha$ przedstawionego na poniższym rysunku.

RtF4SPa1cAPja

Grafika przedstawia trójkąt z zaznaczonymi kątami ostrym alfa, osiemdziesiąt stopni i trzydzieści stopni.

Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.

Suma kątów trójkąta jest równa $180°$.

$$\alpha +80°+30°=180°$$

$$\alpha +110°=180°$$

$$\alpha =180°-110°$$

$$\alpha =70°$$

Mapa myśli

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik