4. Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej. - Wzór funkcji kwadratowej

RRT9G7ATZ54F6

4. Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej

Wiele czynności życiowych wykonujemy zgodnie z określonym schematem postępowania, czyli algorytmem. Podobnie jest z zapisywaniem wzoru funkcji kwadratowej w różnych postaciach. Mając daną postać funkcji kwadratowej, możemy na kilka różnych sposobów wyznaczyć lub odczytać punkty przecięcia z osią $X$ (o ile istnieją) lub podać współrzędne wierzchołka paraboli.

W tym materiale rozważymy warunki, które pozwolą (lub nie) zapisać wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.

Twoje cele

Zapiszesz wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynu.
Zamienisz postać iloczynową funkcji kwadratowej na postać ogólną oraz postać ogólną na postać iloczynową.
Wykorzystasz związki między różnymi postaciami funkcji kwadratowej.

Wzór funkcji kwadratowej $f$ możemy zapisać w postaci:

ogólnej: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , $x \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ ,

kanonicznej $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie $p = - \frac{b}{2 a}$ , $q = \frac{- ∆}{4 a}$ , $Δ = b^{2} - 4 a c$ oraz $a \neq 0$ .

Oprócz postaci ogólnej i kanonicznej, występuje również postać iloczynowapostać iloczynowa wzoru funkcji kwadratowej. Przedstawienie wzoru funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej jest równoznaczne z zapisaniem wzoru tej funkcji w postaci iloczynu czynników liniowych.

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Twierdzenie: Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Występowanie postaci iloczynowej wzoru funkcji kwadratowej zależy od wartości wyróżnika trójmianu kwadratowego.

Gdy $∆ > 0$

Wzór funkcji kwadratowej $f$ można zapisać w postaci iloczynowejpostaci iloczynowej: $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

gdzie: $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ oraz $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$ .

Gdy $∆ = 0$

Wtedy wzór funkcji kwadratowej $f$ można przedstawić w postaci iloczynowejpostaci iloczynowej: $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ .

gdzie: $x_{0} = \frac{- b}{a}$ .

Gdy $∆ < 0$

W tej sytuacji wzoru funkcji kwadratowej nie istnieje.

Dowód twierdzenia

Wykorzystując postać kanoniczną funkcji kwadratowej zapiszemy wzór funkcji w postaci iloczynowej oraz podamy warunki, w których taki zapis jest możliwy. Mamy zatem:

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q

gdzie

p = - \frac{b}{2 a}

q = \frac{- ∆}{4 a}

Δ = b^{2} - 4 a c

oraz

a \neq 0

f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a}

f (x) = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}]

f (x) = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{\sqrt{Δ}}{2 a})}^{2}]

W ostatnim przekształceniu wyłączyliśmy $a$ przed nawias i zapisaliśmy $\frac{Δ}{4 a^{2}}$ jako ${(\frac{\sqrt{Δ}}{2 a})}^{2}$ . Zapis $Δ = {(\sqrt{Δ})}^{2}$ jest możliwy tylko w sytuacji, gdy $Δ \geq 0$ .

Kontynuując przekształcanie, wykorzystamy wzór na różnicę kwadratów $n^{2} - k^{2} = (n - k) (n + k)$ :

f (x) = a (x + \frac{b}{2 a} - \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}) (x + \frac{b}{2 a} + \frac{\sqrt{Δ}}{2 a})

f (x) = a (x + \frac{b - \sqrt{Δ}}{2 a}) (x + \frac{b + \sqrt{Δ}}{2 a})

f (x) = a (x - \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}) (x - \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a})

Oznaczając $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ otrzymujemy postać iloczynową funkcji kwadratowej:

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Jeśli $Δ = 0$ , to:

a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a} = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}

Oznaczając $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ otrzymujemy:

f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}

Widzimy, że występowanie postaci iloczynowej wzoru funkcji kwadratowej zależy od wartości wyróżnika trójmianu kwadratowego.

Niektóre wzory funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej możemy zapisać w postaci iloczynowej bez wykonywania podanych wyżej obliczeń, tylko poprzez wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, czy wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.

Przykład 1

Zapiszemy w postaci iloczynowej wzór funkcji kwadratowej $f$ :

$f (x) = x^{2} - 25$
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, wzór funkcji $f$ przedstawiamy w postaci iloczynowej:
$f (x) = (x - 5) (x + 5)$
$f (x) = 2 x^{2} - 10 x$
Rozwiązanie:
Po wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias otrzymujemy wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej:
$f (x) = 2 x (x - 5)$
$f (x) = x^{2} - 12 x + 36$
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, wzór funkcji $f$ przedstawiamy w postaci iloczynowej:
$f (x) = {(x - 6)}^{2}$

W celu zamiany wzoru funkcji kwadratowej z postaci ogólnej na postać iloczynową, użyjemy podanych wcześniej zależności.

Przykład 2

Zapiszemy wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej, jeżeli $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 3$ .

Rozwiązanie:

Współczynniki we wzorze funkcji $f$ wynoszą odpowiednio: $a = 2$ , $b = - 7$ , $c = 3$ .

Obliczamy wyróżnik:

$∆ = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25$ .

Ponieważ $∆ > 0$ , to istnieje postać iloczynowa..

Zatem: $\sqrt{∆} = 5$ oraz $x_{1} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ i $x_{2} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$ .

Postać iloczynowa wzoru funkcji $f$ wynosi $f (x) = 2 (x - \frac{1}{2}) (x - 3)$ .

Przykład 3

Bez obliczania wartości wyróżnika, podamy jego znak, jeżeli funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f (x) = - 3 (x + 8) (x - 2)$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wzór funkcji $f$ jest zapisany w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , zatem $∆ > 0$ .

Postać iloczynową funkcji kwadratowej możemy w łatwy sposób zamienić na postać ogólną.

Przykład 4

Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 3 (x - 2) (x + 1)$ w postaci ogólnej.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wystarczy wykonać mnożenie jednomianów, a następnie uporządkować je tak, aby otrzymać postać ogólną wzoru funkcji kwadratowej.

Otrzymujemy, że: $f (x) = - 3 (x^{2} + x - 2 x - 2) = - 3 (x^{2} - x - 2) = - 3 x^{2} + 3 x + 6$ .

Przykład 5

Zapiszemy wzór funkcji $f (x) = {(x + 3)}^{2} - 4$ w postaci ogólnej i iloczynowej.

Rozwiązanie

Przekształcenie do postaci ogólnej.

$I$ sposób:

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

$f (x) = {(x + 3)}^{2} - 4$

$f (x) = (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) - 4$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9 - 4$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 5$

$II$ sposób

Wykorzystujemy informacje o wartościach $p$ i $q$ :

$f (x) = {(x + 3)}^{2} - 4$ , zatem: $a = 1$ , $p = - 3$ , $q = - 4$ .

Wykorzystamy wzór: $p = - \frac{b}{2 a}$ .

Podstawiając: $a = 1$ i $p = - 3$ otrzymujemy:

$- 3 = - \frac{b}{2 \cdot 1}$ , czyli: $b = 6$ .

Ponadto $Δ = b^{2} - 4 a c = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c = 36 - 4 c$ , zaś $q = - \frac{Δ}{4 a}$ , zatem, po podstawieniu:

$- 4 = - \frac{36 - 4 c}{4 \cdot 1}$ , co daje: $c = 5$ .

Zatem postać ogólna funkcji $f (x) = {(x + 3)}^{2} - 4$ to:

$f (x) = x^{2} + 6 x + 5$ .

Przekształcenie do postaci iloczynowej

$I$ sposób:

Wykorzystamy wyliczone wartości współczynników: $a = 1$ , $b = 6$ i $c = 5$ oraz wzory:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

$Δ = b^{2} - 4 a c = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c = 36 - 4 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$ ,

stąd:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{- 6 + 4}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{- 6 - 4}{2} = \frac{- 10}{2} = - 5$ .

Zatem:

$f (x) = 1 \cdot (x - (- 1)) (x - (- 5))$

$f (x) = 1 \cdot (x + 1) (x + 5)$ .

$II$ sposób

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

${(x + 3)}^{2} - 4 = ((x + 3) - 2) ((x + 3) + 2) =$

$= (x + 3 - 2) (x + 3 + 2) = (x + 1) (x + 5)$

$f (x) = (x + 1) (x + 5)$

Przykład 6

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, gdy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji to $W = (2, - 5)$ oraz jedno z miejsc zerowych, to $x = 4$ .

Rozwiązanie

Na początku zapiszemy wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ . Z treści zadania wiemy, że $p = 2$ oraz $q = - 5$ . Zatem $f (x) = a {(x - 2)}^{2} - 5$ .

Musimy wyznaczyć teraz współczynnik $a$ . Ponieważ dla argumentu $x = 4$ funkcja przyjmuje wartość równą $0$ , to

$0 = a {(4 - 2)}^{2} - 5$

$4 a = 5$

$a = \frac{5}{4}$ .

Wzór funkcji w postaci kanonicznej, to $f (x) = \frac{5}{4} {(x - 2)}^{2} - 5$ .

Przejdziemy teraz do postaci ogólnej wzoru funkcji $f$ :

$f (x) = \frac{5}{4} {(x - 2)}^{2} - 5 = \frac{5}{4} (x^{2} - 4 x + 4) - 5 = \frac{5}{4} x^{2} - 5 x$ .

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z animacją prezentującą związki między postacią iloczynową, kanoniczną i ogólną funkcji kwadratowej, a następnie rozwiąż polecenia.

RFBJEOATCQMJC

Polecenie 1

Wzór funkcji $f (x) = - 2 x^{2} - 3 x - 2$ przedstaw w postaci kanonicznej. Czy wzór ten można zapisać w postaci iloczynowej?

Zauważ, że $a = - 2$ , $b = - 3$ , $c = - 2$ .

Zatem:

$Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 2) = 9 - 16 = - 7$ ,

co oznacza, że wzoru tej funkcji nie można przedstawić w postaci iloczynowej.

Wyznaczmy:

$p = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 3}{2 \cdot (- 2)} = - \frac{3}{4}$ ,

$q = - \frac{Δ}{4 a} = - \frac{- 7}{4 \cdot (- 2)} = - \frac{7}{8}$ .

Stąd postać kanoniczna wyraża się wzorem: $f (x) = - 2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{7}{8}$ .

Polecenie 2

Wzór funkcji $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ przedstaw w postaci iloczynowej.

Aby zapisać wzór w postaci iloczynowej, musimy sprawdzić znak wyróżnika trójmianu kwadratowego $Δ$ .

Ponieważ $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 3$ , to:

$Δ = b^{2} - 4 a c = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$ .

$Δ > 0$ , więc dany trójmian kwadratowy możemy zapisać w postaci iloczynowej. Wyznaczmy jego miejsca zerowe:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- (- 4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ ,

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- (- 4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ ,

$f (x) = 1 \cdot (x - 3) (x - 1)$ .

Postać iloczynowa funkcji $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ wyraża się więc wzorem:

$f (x) = 1 \cdot (x - 3) (x - 1)$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

ROCQEX69M8HUS1

Ćwiczenie 1

Dopasuj wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej do odpowiadającej jej postaci iloczynowej: f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwanaście Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu nawias x, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 4. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, plus, dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu nawias x, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 4. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu nawias x, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 4. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu nawias x, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 4. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

RKOOE53EEUR371

Ćwiczenie 2

RAQG6V4AAD77F1

Ćwiczenie 3

R11U2S8PPC5MZ2

Ćwiczenie 4

R1FTN8NKU2PD52

Ćwiczenie 5

RT5XRDSCVBVKX3

Ćwiczenie 6

RKB93SNRHZUJ61

Ćwiczenie 7

Dobierz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej do odpowiadającego jej wzoru w postaci iloczynowej. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, plus, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu k nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem x, plus, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu

R1CFGMABG2UR91

Ćwiczenie 8

R748CJPE2T43F2

Ćwiczenie 9

REGLFL9328VTQ2

Ćwiczenie 10

R1DPOAH551FKX3

Ćwiczenie 11

R2SAND1L8Q1K93

Ćwiczenie 12

Słownik

postać iloczynowa wzoru funkcji kwadratowej

$f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , gdy $∆ > 0$ , $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$

$f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ , gdy $∆ = 0$ , $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$

brak postaci iloczynowej, gdy $∆ < 0$

funkcja kwadratowa

funkcja określona na zbiorze $ℝ$ wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$

3. Postać ogólna i kanoniczna wzoru funkcji kwadratowej.

Wzór funkcji kwadratowej