• Określisz  własnośc i funkcji kwadratowej.

• Odczytasz własności funkcji kwadratowej z jej wykresu i wykorzystasz je w zadaniach.

• Zastosujesz poznaną wiedzę do rozwiązywania zadań.

• Zastosujesz różne własności funkcji kwadratowej do naszkicowania jej wykresu.

Na podstawie wykresu funkcji $y=a{x}^2+bx+c$ ustalimy znaki liczb: $a$, $b$, $c$, $\Delta$, $p$, $q$, $x_1$, $x_2$, gdzie $p$ jest argumentem, w którym funkcja przyjmuje wartość największą równą  $q$, natomiast $x_1$, $x_2$ to miejsca zerowe funkcji.

RO19V8HP5VGKA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 5 i pionową osią y od minus 4 do jeden. W układzie zaznaczono wykres funkcji o równaniu y, równa się, a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, wykres ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do dołu. Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne nawias dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu. Lewe ramię przecina oś y w punkcie nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie

Z wykresu odczytujemy:

• ramiona paraboli skierowane są w dół, co oznacza, że $a<0$;

• funkcja ma dwa miejsca zerowe, więc $\Delta >0$;

• punkt, w którym przyjmowana jest wartość największa funkcji, leży w I ćwiartce układu współrzędnych: $p>0$ i $q>0$;

• wykres przecina oś $Y$ pod osią $X$, czyli: $c<0$,
  $f\left(0\right)=a·0^2+b·0+c=c$: punkt $\left(0;c\right)$ jest punktem przecięcia z osią $Y$;

• wykres funkcji przecina oś $X$ w części dodatniej, stąd: $x_1>0$ i $x_2>0$;

• ponieważ $b=-2ap$ oraz $a<0$ i $p>0$, więc $b>0$.

Na podstawie wykresu funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej $f$ określimy: 

R183MDL539QFR

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 8 do 12 i pionową osią y od minus 6 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do góry. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w czwartej ćwiartce układu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez punkt A o współrzędnych nawias zero średnik minus cztery zamknięcie nawiasu i punkt B o współrzędnych nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt C o współrzędnych nawias osiem średnik zero zamknięcie nawiasu.

• współrzędne wierzchołka i postać kanoniczną; 

• równanie osi symetrii; zbiór wartości funkcji; 

• miejsca zerowe funkcji i postać iloczynową; 

• przedziały monotoniczności; 

• przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe od $0$; 

• zbiór wartości, jakie przyjmuje funkcja w przedziale $⟨-2;10⟩$

•  najmniejszą i największą wartość funkcji w tym przedziale.

Rozwiązanie

Na wykresie zaznaczamy oś symetrii paraboli oraz zaznaczamy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

R1TGJ324Q52B5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 8 do 12 i pionową osią y od minus 6 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do góry. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w czwartej ćwiartce układu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez punkt A o współrzędnych nawias zero średnik minus cztery zamknięcie nawiasu i punkt B o współrzędnych nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt C o współrzędnych nawias osiem średnik zero zamknięcie nawiasu. W układzie za pomocą linii przerywanej zaznaczono również pionową prostą o równaniu x, równa się, dwa. Wierzchołek paraboli leży na tej prostej. Na osi x zaznaczono obszary od minus nieskończoności do minus czterech oraz od ośmiu do plus nieskończoności.

Z wykresu możemy odczytać:

• miejsca zerowe funkcji: $x_1=-4$ i $x_2=8$;

• oś symetrii paraboli: $x=2$ (ponieważ przechodzi przez środek odcinka $BC$);

• pierwszą współrzędną wierzchołka $p=2$ (ponieważ leży na osi symetrii paraboli);

• przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie: $f\left(x\right)>0$ dla $x\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(8;+\infty \right)$;

• przedział, w którym funkcja jest malejąca: $x\in \left(-\infty ;2\right)$;

• przedział, w którym funkcja jest rosnąca: $x\in \left(2;+\infty \right)$.

Odpowiedzi do pozostałych poleceń określimy po podaniu wzoru funkcji, której wykres jest przedstawiony na rysunku.

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

$f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.

Miejsca zerowe to: $x_1=-4$ i $x_2=8$, więc wzór  funkcji możemy zapisać następująco:

$f\left(x\right)=a\left(x+4\right)\left(x-8\right)$.

Podstawiając współrzędne punktu $A =\left(0;-4\right)$ do wzoru funkcji $f\left(x\right)=a\left(x+4\right)\left(x-8\right)$, otrzymujemy:

$f\left(0\right)=a·\left(0+4\right)·\left(0-8\right)=-32a$,

a ponieważ

$f\left(0\right)=-4$, czyli

$a=\frac{1}{8}$.

Funkcja, której wykres przedstawiony jest na rysunku, ma postać:

$f\left(x\right)=\frac{1}{8}\left(x+4\right)\left(x-8\right)$.

Zapisujemy teraz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$.

Ponieważ $p=2$, więc $q=f\left(p\right)$, czyli

$q=f\left(2\right)=\frac{1}{8}·\left(2+4\right)·\left(2-8\right)=\frac{1}{8}·\left(6\right)·\left(-6\right)=-\frac{36}{8}=-\frac{9}{2}$.

Wartość najmniejsza  $q=-\frac{9}{2}$ osiągana jest dla argumentu $p=2$.

Wzór funkcji w postaci kanonicznej zapisujemy następująco:

$f\left(x\right)=\frac{1}{8}{\left(x-2\right)}^2-\frac{9}{2}$.

A ponieważ $a>0$, to $Z{W}_f=\left.⟨q;+\infty \right)$, więc $Z{W}_f=\left.⟨\frac{-9}{2};+\infty \right)$.

Z wykresu wynika, że funkcja w przedziale $⟨-2;10⟩$ przyjmuje wartości od $f\left(p\right)$ do $f\left(10\right)$.

Wyliczamy wartość funkcji dla $x=10$:

$f\left(10\right)=\frac{1}{8}·\left(10+4\right)·\left(10-8\right)=\frac{1}{8}·\left(14\right)·\left(2\right)=\frac{28}{8}=\frac{7}{2}$.

R1EK7NHVZRCAZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 8 do 12 i pionową osią y od minus 6 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do góry. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w czwartej ćwiartce układu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez punkt A o współrzędnych nawias zero średnik minus cztery zamknięcie nawiasu i punkt B o współrzędnych nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt C o współrzędnych nawias osiem średnik zero zamknięcie nawiasu. Na osi x zaznaczono obszar od minus dwóch do dziesięciu, przy czym końce tego obszaru połączono z wykresem funkcji f. Za pomocą klamry zaznaczono wartości od wierzchołka paraboli do wartości funkcji odpowiadającej wartości x równej dziesięć. Klamrę podpisano literą y.

Widzimy, że funkcja przyjmuje w tym przedziale wartości: $y\in ⟨\frac{-9}{2};\frac{7}{2}⟩$.

Najmniejszą wartość w przedziale $⟨-2;10⟩$ funkcja przyjmuje dla $x=2$: $y_{\min }=-\frac{9}{2}$, największą dla $x=10$: $y_{\max }=\frac{7}{2}$.

Na podstawie wykresu określimy: współrzędne wierzchołka, oś symetrii paraboli, zbiór wartości funkcji, przedziały monotoniczności, miejsca zerowe, przedział, w którym funkcja przyjmuje wartości nie mniejsze od $6$.

R1FBQRXHFD8BM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 4 i pionową osią y od minus 1 do osiem. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do dołu. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie A o współrzędnych nawias jeden średnik osiem zamknięcie nawiasu. Prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt B o współrzędnych nawias dwa średnik sześć zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie

Z wykresu odczytujemy:

• punkt $A$ jest wierzchołkiem paraboli, współrzędne wierzchołka: $p=1$, $q=8$;

• oś symetrii paraboli: $x=1$ (ponieważ wierzchołek leży na osi paraboli);

• zbiór wartości funkcji $Z{W}_f=\left(-\infty ;8\right.⟩$;

• przedziały monotoniczności: funkcja jest rosnąca w przedziale $x\in \left(-\infty ;1\right)$, a malejąca w przedziale $x\in \left(1;+\infty \right)$.

Miejsca zerowe możemy odczytać z wykresu, ale możemy też wyliczyć je ze wzoru funkcji. W tym celu teraz wyznaczymy  wzór funkcji – ponieważ znamy współrzędne wierzchołka paraboli najlepiej skorzystać z postaci kanonicznej.

Zapiszmy wzór  funkcji  w postaci kanonicznej.

Aby podać miejsca zerowe, musimy podać wzór funkcji. Wykorzystamy w tym celu współrzędne punktu $B=\left(2;6\right)$.

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$.

Podstawiając $p=1$ i $q=8$, otrzymujemy:

$f\left(x\right)=a{\left(x-1\right)}^2+8$.

Punkt $B=\left(2;6\right)$ leży na paraboli będącej wykresem funkcji $f\left(x\right)=a{\left(x-1\right)}^2+8$, czyli $f\left(2\right)=6$, więc

$f\left(2\right)=a{\left(2-1\right)}^2+8$, czyli

$a+8=6$.

Ostatecznie otrzymujemy: $a=-2$.

Wzór funkcji w postaci kanonicznej jest postaci: $f\left(x\right)=-2{\left(x-1\right)}^2+8$.

Wyliczamy miejsca zerowe, korzystając ze wzorów:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ i $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$.

Aby wyliczyć $x_1$ i $x_2$, potrzebujemy wartości $b$ i $\Delta$, które możemy wyznaczyć, wykorzystując przekształcone wzory:

$p=-\frac{b}{2a}$ i $q=-\frac{\Delta }{4a}$.

Skoro $p=-\frac{b}{2a}$, to $b=-2ap$, a po podstawieniu $p=1$ i $a=-2$, mamy:

$b=-2·\left(-2\right)·1=4$.

Skoro $q=-\frac{\Delta }{4a}$, to $\Delta =-4aq$, a po podstawieniu $q=8$ i $a=-2$, mamy:

$\Delta =-4·\left(-2\right)·8=64$.

Obliczone wartości $b$ i $\Delta$ podstawiamy do wzorów:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-4+\sqrt{64}}{2\left(-2\right)}=\frac{-4+8}{-4}=-1$,

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-4-\sqrt{64}}{2\left(-2\right)}=\frac{-4-8}{-4}=3$.

Możemy również wyznaczyć $x_1$ i $x_2$, opierając się na wzorze funkcji zapisanej w postaci ogólnej.

Wykorzystując wzór skróconego mnożenia ${\left(m-n\right)}^2=m^2-2mn+n^2$, przechodzimy ze wzoru zapisanego w postaci kanonicznej do postaci ogólnej:

$f\left(x\right)=-2{\left(x-1\right)}^2+8=-2\left(x^2-2x+1\right)+8=$

$=-2x^2+4x-2+8=-2x^2+4x+6$.

Otrzymujemy $b=4$ i $\Delta =b^2-4ac=4^2-4·\left(-2\right)·6=16+48=64$.

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-4+\sqrt{64}}{2\left(-2\right)}=\frac{-4+8}{-4}=-1$,

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-4-\sqrt{64}}{2\left(-2\right)}=\frac{-4-8}{-4}=3$.

Określimy teraz przedział, w którym funkcja przyjmuje wartości nie mniejsze od $6$, czyli $f\left(x\right)\ge 6$.

R1D1Z8DG6Q8CS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 4 i pionową osią y od minus 1 do osiem. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do dołu. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie A o współrzędnych nawias jeden średnik osiem zamknięcie nawiasu. Prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt B o współrzędnych nawias dwa średnik sześć zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono również poziomą prostą o współrzędnych y, równa się, sześć, przechodzi ona przez punkt B. Z punktu B poprowadzono pionowy odcinek prowadzący do osi x. Na osi x zaznaczono obszar od zero do dwóch.

Funkcja przyjmuje wartości nie mniejsze od $6$, $f\left(x\right)⩾6$, gdy $x\in ⟨0;2⟩$.

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f\left(x\right)=2x^2-x-1$.

Rozwiązanie:

Podajemy wartości współczynników: $a=2$, $b=-1$, $c=-1$.

Ponieważ $a>0$, zatem ramiona paraboli są skierowane do góry.

Obliczamy współrzędne wierzchołka $W=\left(p,q\right)$.

$∆={\left(-1\right)}^2-4·2·\left(-1\right)=9$

$p=-\frac{-1}{2·2}=\frac{1}{4}$

$q=\frac{-9}{8}=-\frac{9}{8}$

Ponieważ $∆>0$, to funkcja ma dwa miejsca zerowe:

$x_1=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$

$x_2=\frac{1+3}{4}=1$

Wyznaczymy współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $Y$:

$f\left(0\right)=2·0^2-0-1=-1$.

Zatem punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $\left(0,-1\right)$.

Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej:

R11KNXN46BS2U

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias jedna czwarta średnik minus dziewięć ósmych koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi do góry. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus jedna druga średnik zero koniec nawiasu oraz w punkcie nawias jeden średnik zero koniec nawiasu. Wykres przecina także pionową oś Y w punkcie nawias zero średnik minus jeden koniec nawiasu.

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f\left(x\right)=-3{\left(x+2\right)}^2+3$.

Rozwiązanie:

Wzór funkcji jest zapisany w postaci kanonicznej, zatem wierzchołek wykresu tej funkcji ma współrzędne $\left(-2,3\right)$.

Ponieważ $a=-3<0$, zatem parabola ma ramiona skierowane do dołu.

Miejsca zerowe obliczymy rozwiązując równanie:

$0=-3{\left(x+2\right)}^2+3$.

Przekształcając otrzymujemy ${\left(x+2\right)}^2=1$.

Zatem $x+2=1$ lub $x+2=-1$.

Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $-1$ oraz $-3$.

Druga współrzędna punktu przecięcia tej paraboli z osią $Y$ wynosi:

$f\left(0\right)=-3{\left(0+2\right)}^2+3=-9$.

Zatem punkt przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $\left(0,-9\right)$.

Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej:

R5883T73F6AMD

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias minus dwa średnik trzy koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi w dół. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus trzy średnik zero koniec nawiasu oraz w punkcie nawias minus jeden średnik zero koniec nawiasu.

Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=-\left(x+2\right)\left(x+1\right)$.

Rozwiązanie:

Wzór funkcji jest zapisany w postaci iloczynowej, zatem miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $-2$ oraz $-1$.

Ponieważ $a=-1<0$, zatem parabola ma ramiona skierowane do dołu.

Do wyznaczenia pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji wykorzystamy wzór $p=\frac{x_1+x_2}{2}$, gdzie $x_1, x_2$ są miejscami zerowymi funkcji.

Zatem $p=\frac{-2+\left(-1\right)}{2}=-\frac{3}{2}$.

Współrzędna $q$ wierzchołka paraboli wynosi:

$q=f\left(-\frac{3}{2}\right)=-\left(-\frac{3}{2}+2\right)\left(-\frac{3}{2}+1\right)=\frac{1}{4}$

Druga współrzędna punktu przecięcia tej paraboli z osią $Y$ wynosi:

$f\left(0\right)=-\left(0+2\right)\left(0+1\right)=-2$.

Zatem punkt przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $\left(0,-2\right)$.

Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej:

R67N2URJ8Q117

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus pięciu do dwóch. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias minus trzy drugie średnik jedna czwarta koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi w dół. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus dwa średnik zero koniec nawiasu oraz w punkcie nawias minus jeden średnik zero koniec nawiasu. Wykres przecina także pionową oś Y w punkcie nawias zero średnik minus dwa koniec nawiasu.

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej, jeżeli wiadomo, że:

• miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $0$ oraz $4$,

• wartość największa funkcji wynosi $6$.

Rozwiązanie:

Jeżeli funkcja osiąga wartość największą, to ramiona wykresu tej funkcji są skierowane do dołu.

Zauważmy, że współrzędna $p$ wierzchołka tej paraboli wynosi:

$p=\frac{0+4}{2}=2$.

W przypadku funkcji kwadratowej wartość największa lub najmniejsza jest osiągana w wierzchołku, zatem wierzchołek paraboli, będącej wykresem tej funkcji ma współrzędne $\left(2,6\right)$.

Jeżeli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $0$ oraz $4$, zatem do paraboli, będącej wykresem tej funkcji należą punkty o współrzędnych $\left(0,0\right)$ oraz $\left(4,0\right)$.

Zatem wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

R126VGGVMFKPQ

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do sześciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias dwa średnik sześć koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi w dół. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz w punkcie nawias dwa średnik zero koniec nawiasu.

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej, jeżeli:

• funkcja przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów należących do przedziału $\left(-1,3\right)$,

• wartość najmniejsza tej funkcji wynosi $-4$.

Rozwiązanie:

Jeżeli funkcja osiąga wartość najmniejszą, to ramiona wykresu tej funkcji są skierowane do góry.

Zauważmy, że miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $-1$ oraz $3$.

Zatem współrzędna $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji wynosi $p=\frac{-1+3}{2}=1$.

Czyli wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $\left(1,-4\right)$ oraz do paraboli należą punkty o współrzędnych $\left(-1,0\right)$ oraz $\left(3,0\right)$.

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

ROF241OR2ORGK

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus czterech do czterech. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias jeden średnik minus cztery koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi do góry. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus jeden średnik zero koniec nawiasu oraz w punkcie nawias trzy średnik zero koniec nawiasu.

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej, jeżeli:

• funkcja jest określona wzorem $f\left(x\right)=-x^2+4x+1$,

• współrzędna $p$ wierzchołka wynosi $2$.

Rozwiązanie:

Ponieważ $a<0$, zatem ramiona paraboli, będącej wykresem tej funkcji są skierowane do dołu.

Obliczamy współrzędną $q$ wierzchołka paraboli:

$q=f\left(2\right)=-2^2+4·2+1=-4+8+1=5$.

Zatem wierzchołek wykresu tej funkcji ma współrzędne $\left(2,5\right)$.

Zauważmy, że $f\left(1\right)=f\left(3\right)=4$, zatem do wykresu tej funkcji należą punkty o współrzędnych $\left(1,4\right)$ oraz $\left(3,4\right)$.

Punkt przecięcia z osią $Y$ ma współrzędne $\left(0,1\right)$.

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RKXUTX65NAMMM

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do sześciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias dwa średnik pięć koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi w dół. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe i przechodzi przez punkty nawias jeden średnik cztery koniec nawiasu, nawias trzy średnik cztery koniec nawiasu oraz punkty przecięcia się wykresu z pionowa osią Y od nawias zero średnik jeden koniec nawiasu.

funkcja $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, gdzie $a$, $b$, $c$ są liczbami rzeczywistymi, przy czym $a\ne 0$

wykres funkcji $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ dla $x\in \mathrm{ℝ}$, gdzie $a\ne 0$ jest krzywa zwana parabolą

krzywa stożkowa, będąca zbiorem punktów równo odległych od prostej zwanej kierownicą paraboli i punktu nazywanego ogniskiem paraboli