R1C92X1O7XJ8J
Zdjęcie przedstawia fragment łuku triumfalnego.

Równania i nierówności kwadratowe

Źródło: dostępny w internecie: maxpixel.net, domena publiczna.

3. Nierówności kwadratowe - wprowadzenie

Aby opisać zjawiska generujące dzisiejszy świat, wygodnie jest dysponować narzędziami, które ułatwiają te opisy. Do nich niewątpliwie należą równania i nierówności. W tym materiale poznasz zasadnicze różnice między zbiorem rozwiązań równania kwadratowego i nierówności kwadratowej. Do rozwiązania nierówności kwadratowej wykorzystamy wykres funkcji kwadratowej.

Twoje cele

  • Wyznaczysz wszystkie argumenty, dla których wartości funkcji są większe (mniejsze) od podanej liczby.

  • Korzystając z wykresu funkcji kwadratowej, wyznaczysz zbiór rozwiązań nierówności.

  • Odczytasz z wykresu, dla jakich argumentów funkcja kwadratowa przyjmuje wartości dodatnie, ujemne.

Nierówność kwadratowa
Definicja: Nierówność kwadratowa

Nierównością kwadratową z niewiadomą x nazywamy każdą nierówność postaci:

ax2+bx+c>0

lub

ax2+bx+c≥0

lub

ax2+bx+c<0

lub

ax2+bx+c≤0

gdzie: a, b, c – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i a≠0.

Wykresem funkcji kwadratowej fx=ax2+bx+c, dla a≠0 jest parabola. Wykres funkcji kwadratowej może mieć z  osią X dwa punkty wspólne, jeden punkt wspólny lub nie posiadać punktów wspólnych. Położenie paraboli w układzie współrzędnych jest uzależnione od współczynnika a oraz liczby miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

Podczas rozwiązywania nierówności kwadratowej pomocne jest odczytywanie z wykresu, dla jakich argumentów odpowiednia  funkcja kwadratowa przyjmuje wartości ujemne, dodatnie, nieujemne lub niedodatnie.

Interpretacja graficzna rozwiązań nierówności kwadratowej ax2+bx+c>0:

R1ERVEQ82Q745
Grafika przedstawia interpretacje graficzne rozwiązań nierówności kwadratowej. Wzór rozpatrywanej nierówności kwadratowej: ax^2+bx+c&gt;0. Wymienione zostało 6 przypadków rozwiązań. Każdy z rysunków, które odpowiadają przypadkom znajduje się na układzie współrzędnych, gdzie oś pionowa podpisana jest literą y, a oś pozioma podpisana jest literą x. Przypadek 1: Δ&gt;0, x_1=(-b-√Δ)/2a , x_2=(-b+√Δ)/2, Δ=b^2‑4ac, oraz a&gt;0. W tym przypadku na osi x zaznaczone zostały dwa punkty x_1 oraz x_2. Punkt x_1 znajduje się po lewej stronie osi y. Punkt x_2 znajduje się po prawej stronie osi y. Parabola ma ramiona skierowane do góry i przechodzi przez punkty x_1 oraz x_2. Część paraboli znajdująca się przed punktem x_1 znajduje się nad osią x i jest zaznaczona na kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Pomiędzy tymi punktami x_1 i x_2 parabola znajduje się pod osią x i jest zaznaczona na kolor niebieski. Za punktem x_2 parabola znajduje się nad osią x i ma kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Pod rysunkiem znajduje się podpis: x∈(-∞,x_1 )∪(x_2,+∞).Przypadek 2: Δ&gt;0, x_1=(-b-√Δ)/2a , x_2=(-b+√Δ)/2, Δ=b^2‑4ac, oraz a&lt;0. W tym przypadku na osi x zaznaczone zostały dwa punkty x_1 oraz x_2. Punkt x_1 znajduje się po lewej stronie osi y. Punkt x_2 znajduje się na przecięciu osi x oraz y. Parabola ma ramiona skierowane do dołu i przechodzi przez punkty x_1 oraz x_2. Część paraboli znajdująca się przed punktem x_1 znajduje się pod osią x i jest zaznaczona kolorem niebieskim. Pomiędzy tymi punktami x_1 i x_2 parabola znajduje się nad osią x i jest zaznaczona na kolor różowy, obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony na kolor niebieski. Za punktem x_2 parabola znajduje się pod osią x i ma kolor niebieski. Obok rysunku znajduje się podpis: x∈(x_1,x_2 ). Przypadek 3: Δ=0, x_0=(-b)/2a oraz a&gt;0. W tym przypadku na osi x zaznaczony został jeden punkt x_0.Punkt x_0 znajduje się po lewej stronie osi y. Parabola ma ramiona skierowane do góry i jej wierzchołek znajduje się w punkcie x_0. Część paraboli znajdująca się przed punktem x_0 znajduje się nad osią x i jest zaznaczona kolorem różowym. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Za punktem x_0 parabola również znajduje się nad osią x i ma kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Pod rysunkiem znajduje się podpis: x∈R∖(x_0 ). Przypadek 4: Δ=0, x_0=(-b)/2a oraz a&lt;0. W tym przypadku na osi x zaznaczony został jeden punkt x_0.Punkt x_0 znajduje się po lewej stronie osi y. Parabola ma ramiona skierowane do dołu a jej wierzchołek znajduje się w punkcie x_0. Cała parabola znajduje się pod osią x i ma kolor niebieski. Obok rysunku znajduje się podpis: nie ma rozwiązań. Przypadek 5: Δ0. Parabola znajduje się ponad osią x i nie ma z nią żadnych punktów wspólnych. Parabola ma ramiona skierowane do góry i kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony na kolor niebieski. Pod rysunkiem znajduje się podpis: x∈R. Przypadek 6: Δ&lt;0 oraz a&lt;0. W tym przypadku cała parabola znajduje się pod osią x i nie ma z nią żadnych punktów wspólnych. Ramiona paraboli są skierowane w dół i ma ona kolor niebieski. Obok rysunku jest napis: nie ma rozwiązań.

Interpretacja graficzna rozwiązań nierówności kwadratowej ax2+bx+c<0:

RPJUFC1F6VQEV
Grafika przedstawia interpretacje graficzne rozwiązań nierówności kwadratowej. Wzór rozpatrywanej nierówności kwadratowej: ax^2+bx+c&lt;0. Wymienione zostało 6 przypadków rozwiązań. Każdy z rysunków, które odpowiadają przypadkom znajduje się na układzie współrzędnych, gdzie oś pionowa podpisana jest literą y, a oś pozioma podpisana jest literą x. Przypadek 1: Δ&gt;0, x_1=(-b-√Δ)/2a , x_2=(-b+√Δ)/2, Δ=b^2‑4ac, oraz a&gt;0. W tym przypadku na osi x zaznaczone zostały dwa punkty x_1 oraz x_2. Punkt x_1 znajduje się po lewej stronie osi y. Punkt x_2 znajduje się po prawej stronie osi y. Parabola ma ramiona skierowane do góry i przechodzi przez punkty x_1 oraz x_2. Część paraboli znajdująca się przed punktem x_1 znajduje się nad osią x Grafika przedstawia interpretacje graficzne rozwiązań nierówności kwadratowej. Wzór rozpatrywanej nierówności kwadratowej: ax^2+bx+c&lt;0. Wymienione zostało 6 przypadków rozwiązań. Każdy z rysunków, które odpowiadają przypadkom znajduje się na układzie współrzędnych, gdzie oś pionowa podpisana jest literą y, a oś pozioma podpisana jest literą x. Przypadek 1: Δ&gt;0, x_1=(-b-√Δ)/2a , x_2=(-b+√Δ)/2, Δ=b^2‑4ac, oraz a&gt;0. W tym przypadku na osi x zaznaczone zostały dwa punkty x_1 oraz x_2. Punkt x_1 znajduje się po lewej stronie osi y. Punkt x_2 znajduje się po prawej stronie osi y. Parabola ma ramiona skierowane do góry i przechodzi przez punkty x_1 oraz x_2. Część paraboli znajdująca się przed punktem x_1 znajduje się nad osią x i jest zaznaczona kolorem niebieskim. Pomiędzy tymi punktami x_1 i x_2 parabola znajduje się pod osią x i jest zaznaczona na kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Za punktem x_2 parabola znajduje się nad osią x i ma kolor niebieski. Pod rysunkiem znajduje się podpis: x∈(x_i,x_2 ).Przypadek 2: Δ&gt;0, x_1=(-b-√Δ)/2a , x_2=(-b+√Δ)/2, Δ=b^2‑4ac, oraz a&lt;0. W tym przypadku na osi x zaznaczone zostały dwa punkty x_1 oraz x_2. Punkt x_1 znajduje się po lewej stronie osi y. Punkt x_2 znajduje się na przecięciu osi x oraz y. Parabola ma ramiona skierowane do dołu i przechodzi przez punkty x_1 oraz x_2. Część paraboli znajdująca się przed punktem x_1 znajduje się pod osią x i jest zaznaczona kolorem różowym. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Pomiędzy punktami x_1 i x_2 parabola znajduje się nad osią x i jest zaznaczona na kolor niebieski. Za punktem x_2 parabola znajduje się pod osią x i ma kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Pod rysunkiem znajduje się podpis: x∈(-∞,x_1 )∪(x_2+∞). Przypadek 3: Δ=0, x_0=(-b)/2a oraz a&gt;0. W tym przypadku na osi x zaznaczony został jeden punkt x_0.Punkt x_0 znajduje się po lewej stronie osi y. Parabola ma ramiona skierowane do góry i jej wierzchołek znajduje się w punkcie x_0. Część paraboli znajdująca się przed punktem x_0 znajduje się nad osią x i jest zaznaczona kolorem niebieskim. Za punktem x_0 parabola również znajduje się nad osią x i ma kolor niebieski. Pod rysunkiem znajduje się podpis: nie ma rozwiązań. Przypadek 4: Δ=0, x_0=(-b)/2a oraz a&lt;0. W tym przypadku na osi x zaznaczony został jeden punkt x_0. Punkt x_0 znajduje się po lewej stronie osi y. Parabola ma ramiona skierowane do dołu a jej wierzchołek znajduje się w punkcie x_0. Cała parabola znajduje się pod osią x i ma kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Pod rysunkiem znajduje się podpis: x∈R∖(x_0 ). Przypadek 5: Δ0. Parabola znajduje się ponad osią x i nie ma z nią żadnych punktów wspólnych. Parabola ma ramiona skierowane do góry i kolor niebieski. Pod rysunkiem znajduje się podpis: nie ma rozwiązań. Przypadek 6: Δ&lt;0 oraz a&lt;0. W tym przypadku cała parabola znajduje się pod osią x i nie ma z nią żadnych punktów wspólnych. Ramiona paraboli są skierowane w dół i mają kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony na kolor niebieski. Pod rysunkiem jest napis: x∈R. i jest zaznaczona kolorem niebieskim. Pomiędzy tymi punktami x_1 i x_2 parabola znajduje się pod osią x i jest zaznaczona na kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Za punktem x_2 parabola znajduje się nad osią x i ma kolor niebieski. Pod rysunkiem znajduje się podpis: x∈(x_i,x_2 ).Przypadek 2: Δ&gt;0, x_1=(-b-√Δ)/2a , x_2=(-b+√Δ)/2, Δ=b^2‑4ac, oraz a&lt;0. W tym przypadku na osi x zaznaczone zostały dwa punkty x_1 oraz x_2. Punkt x_1 znajduje się po lewej stronie osi y. Punkt x_2 znajduje się na przecięciu osi x oraz y. Parabola ma ramiona skierowane do dołu i przechodzi przez punkty x_1 oraz x_2. Część paraboli znajdująca się przed punktem x_1 znajduje się pod osią x i jest zaznaczona kolorem różowym. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Pomiędzy punktami x_1 i x_2 parabola znajduje się nad osią x i jest zaznaczona na kolor niebieski. Za punktem x_2 parabola znajduje się pod osią x i ma kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Pod rysunkiem znajduje się podpis: x∈(-∞,x_1 )∪(x_2+∞). Przypadek 3: Δ=0, x_0=(-b)/2a oraz a&gt;0. W tym przypadku na osi x zaznaczony został jeden punkt x_0.Punkt x_0 znajduje się po lewej stronie osi y. Parabola ma ramiona skierowane do góry i jej wierzchołek znajduje się w punkcie x_0. Część paraboli znajdująca się przed punktem x_0 znajduje się nad osią x i jest zaznaczona kolorem niebieskim. Za punktem x_0 parabola również znajduje się nad osią x i ma kolor niebieski. Pod rysunkiem znajduje się podpis: nie ma rozwiązań. Przypadek 4: Δ=0, x_0=(-b)/2a oraz a&lt;0. W tym przypadku na osi x zaznaczony został jeden punkt x_0. Punkt x_0 znajduje się po lewej stronie osi y. Parabola ma ramiona skierowane do dołu a jej wierzchołek znajduje się w punkcie x_0. Cała parabola znajduje się pod osią x i ma kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Pod rysunkiem znajduje się podpis: x∈R∖(x_0 ). Przypadek 5: Δ0. Parabola znajduje się ponad osią x i nie ma z nią żadnych punktów wspólnych. Parabola ma ramiona skierowane do góry i kolor niebieski. Pod rysunkiem znajduje się podpis: nie ma rozwiązań. Przypadek 6: Δ&lt;0 oraz a&lt;0. W tym przypadku cała parabola znajduje się pod osią x i nie ma z nią żadnych punktów wspólnych. Ramiona paraboli są skierowane w dół i mają kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony na kolor niebieski. Pod rysunkiem jest napis: x∈R.
Przykład 1

Korzystając z wykresu funkcji f rozwiążemy nierówność fx>0.

R8D93GRPO34DH
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 4 i pionową osią y od minus 3 do 4. Na płaszczyźnie zaznaczone są dwa punkty x_1 i x_2 oraz parabola. Punkt x_1 ma współrzędne: minus 1, 0. Punkt x_2 ma współrzędne: 2, 0. Parabola ma ramiona skierowane do góry i przechodzi przez punkty x_1 i x_2. Parabola jest podpisana literą f.

ParabolaparabolaParabola ma dwa punkty wspólne z osią odciętych - funkcja ma   dwa miejsca zerowe -1 i 2, czyli ∆>0. Uwzględniając znak nierówności interesuje nas ten fragment wykresu, który znajduje się powyżej osi X.

Zatem zbiorem rozwiązań nierówności są wszystkie liczby x takie, że

x∈-∞, -1∪2, ∞.

Przykład 2

Korzystając z wykresu funkcji f rozwiążemy nierówność x-42>0.

RJZLUK67VA95B
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 7 i pionową osią y od minus 2 do 5. Na płaszczyźnie zaznaczony jest jeden punkt x_0 oraz parabola. Punkt x_0 ma współrzędne: 4, 0. Parabola ma ramiona skierowane do góry i jej wierzchołek znajduje się w punkcie x_0. Parabola jest podpisana literą f.

Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe równe 4, czyli ∆=0.

Uwzględniając znak nierówności interesuje nas ten fragment wykresu, który znajduje się powyżej osi X.

Zatem zbiorem rozwiązań nierówności są wszystkie liczby x takie, że

x∈-∞, 4∪4, ∞.

Zbiór rozwiązań możemy zapisać również w postaci x∈ℝ∖4.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność -x2+4≤0, korzystając z wykresu odpowiedniej funkcji.

R1V7B6L2SQLOO
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 2 do 5. Na płaszczyźnie zaznaczone są dwa punkty x_1 i x_2 oraz parabola. Punkt x_1 ma współrzędne: minus 2, 0. Punkt x_2 ma współrzędne: 2, 0. Parabola ma ramiona skierowane do dołu i przechodzi przez punkty x_1 i x_2. Wierzchołek paraboli ma współrzędne: 0, 4. Parabola jest podpisana literą f.

Ramiona paraboli są skierowane do dołu, zatem a<0.

Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe -2 i 2, czyli ∆>0.

Uwzględniając znak nierówności interesuje nas ten fragment wykresu, który znajduje się poniżej osi X wraz z punktami leżącymi na osi X.

Zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby x takie, że

x∈-∞, -2∪2, ∞.

Przykład 4

Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej h(x)=x2+2

 rozwiążemy nierówności:

a) 

x 2   +   2 > 0

b)

x 2   +   2 < 0
RP3MU7PDBJ8JA
Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi w górę. Parabola znajduje się tylko w pierwszej i w drugiej ćwiartce i nie przecina osi poziomej. Wierzchołek paraboli znajduje się w  punkcie o współrzędnych nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x∈ℝ, ponieważ cały wykres funkcji znajduje się powyżej osi X.

a)

x 2   +   2 > 0

Zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby x takie, że x∈ℝ. 

b)

x 2   +   2 < 0

Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbór pusty, co zapisujemy x∈∅

Przykład 5

Rozwiążemy nierówność -x2-4<0, korzystając z wykresu odpowiedniej funkcji.

R1HFCUO8XS1Q7
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 7 do 1. Na płaszczyźnie zaznaczona jest parabola. Parabola ma ramiona skierowane do dołu. Wierzchołek paraboli ma współrzędne: 0, minus 4. Parabola jest podpisana literą f.

Ramiona paraboliparabolaparaboli są skierowane do dołu, zatem a<0.

Funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych, czyli ∆<0.

Uwzględniając znak nierówności interesuje nas ten fragment wykresu, który znajduje się poniżej osi X.

Zatem zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby x takie, że x∈ℝ.

Aplet

Polecenie 1

Obejrzyj aplet pokazujący sposoby odczytywania z rysunku wartości dodatnich lub ujemnych funkcji kwadratowej.

Zapoznaj się z opisem apletu pokazującym sposoby odczytywania z rysunku wartości dodatnich lub ujemnych funkcji kwadratowej.

R1ZG1BO3QAK8N
Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 4 do 4. Na płaszczyźnie zaznaczone są trzy punkty: x, x_1 i x_2 oraz parabola. Wzór funkcji kwadratowej ma postać: f(x)=ax^2+bx+c. Istnieje możliwość zmiany współczynników liczbowych a, b oraz c. Zakres zmian współczynników jest od -5 do 5. Zmieniając współczynniki otrzymujemy interpretację graficzną funkcji kwadratowej oraz jej wzór. Na płaszczyźnie kolorem pomarańczowym zaznaczony jest obszar w którym funkcja jest mniejsza od 0, a kolorem zielonym obszar, w którym funkcja jest większa od 0. Istnieje również możliwość poruszania punktem x, który pokazuje na paraboli miejsce odpowiadające wartości x. Ustawiając: a równe minus 1, b równe minus 3, oraz c równe minus 2 otrzymujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół i przecinającą oś x w punktach x_1 i x_2. Gdzie współrzędne punktu x_1 to: minus 2, 0. Współrzędne x_2 to: minus 1, 0. Obszar znajdujący się po lewej stronie od punktu x_1 pomiędzy parabolą a osią x ma kolor pomarańczowy. Obszar znajdujący się nad osią x pomiędzy punktami x_1 i x_2 jest zaznaczony kolorem zielonym. Obszar znajdujący się po prawej stronie od punktu x_2 pomiędzy parabolą a osią x ma kolor pomarańczowy. Wzór funkcji ma postać: f(x)=-1x^2‑3x‑2. Ustawiając: a równe 1, b równe 0, oraz c równe minus 4, otrzymujemy: parabolę o ramionach skierowanych w górę i przecinającą oś x w punktach x_1 i x_2. Gdzie współrzędne punktu x_1 to: minus 2, 0. Współrzędne x_2 to: 2, 0. Obszar znajdujący się po lewej stronie od punktu x_1 pomiędzy parabolą a osią x ma kolor zielony. Obszar znajdujący się pod osią x pomiędzy punktami x_1 i x_2 jest zaznaczony kolorem pomarańczowym. Obszar znajdujący się po prawej stronie od punktu x_2 pomiędzy parabolą a osią x ma kolor zielony. Wzór funkcji ma postać f(x)=1x^2+0x‑4. Ustawiając: a równe 5, b równe 2.5, oraz c równe 0 otrzymujemy: parabolę o ramionach skierowanych w górę i przecinającą oś x w punktach x_1 i x_2. Gdzie współrzędna x  punktu x_1 znajduje się pomiędzy minus 1 a 0. Współrzędne x_2 to: 0, 0. Obszar znajdujący się po lewej stronie od punktu x_1 pomiędzy parabolą a osią x ma kolor zielony. Obszar znajdujący się pod osią x pomiędzy punktami x_1 i x_2 jest zaznaczony kolorem pomarańczowym. Obszar znajdujący się po prawej stronie od punktu x_2 pomiędzy parabolą a osią x ma kolor zielony. Wzór funkcji ma postać f(x)=5x^2+2.5. Ustawiając: a równe 0, b równe 3, oraz c równe 6 otrzymujemy: prostą, która przecina oś x pomiędzy punktem minus 2 a minus 1 oraz przecina oś y na wysokości 5.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1NPEN17Z

Polecenie 2

Korzystając z apletu, rozwiąż nierówność.

a) x2-5x+6<0,

b) -x2+5x>0,

c) 2 x 2 − 8 > 0,

d) 3x2+1>0.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

1
Pokaż ćwiczenia:
R1A1QZ5Q7P9AD1
Ćwiczenie 1
Zaznacz wszystkie nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą. Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, jeden, mniejszy równy, zero, 2. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, dwa a b, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, x, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy równy, a, plus, jeden, 5. początek ułamka, dwa zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy, mianownik, zet, koniec ułamka, mniejszy niż, jeden, 6. nawias, zet, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, zet, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, mniejszy równy, zero
R3Z3MJ267HPLB1
Ćwiczenie 2
Przeciągnij nierówności do odpowiedniego obszaru. Nierówność kwadratowa z jedną niewiadomą. Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, a x, 2. a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, jeden, 3. minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mniejszy niż, minus, jeden, 4. dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy równy, jeden, 5. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, mniejszy niż, zero, 6. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy, mniejszy niż, zero, 7. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy równy, zero Nierówność kwadratowa z więcej niż jedną niewiadomą. Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, a x, 2. a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, jeden, 3. minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mniejszy niż, minus, jeden, 4. dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy równy, jeden, 5. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, mniejszy niż, zero, 6. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy, mniejszy niż, zero, 7. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy równy, zero
2
Ćwiczenie 3

Na podstawie wykresu funkcji fx=x-12 określ odpowiedni  zbiór rozwiązań dla każdej z danych nierówności.

R1A756HLLZD4H
Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi ku górze. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych: nawias, jeden, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Lewe ramię paraboli przcina pionową oś w punkcie o współrzędnych nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu.
R1PLU4ZAZUV3O
Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.
R1P3L3D6741MS3
Ćwiczenie 4
Zbiorem rozwiązań nierówności x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, minus, cztery, mniejszy niż, zero jest przedział nawias, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu. Korzystając z informacji w zadaniu, połącz nierówność z odpowiadającym jej zbiorem rozwiązań. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, minus, cztery, mniejszy równy, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias ostry, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu ostrego x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, większy niż, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias ostry, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu ostrego minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, cztery, mniejszy równy, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias ostry, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu ostrego minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, większy niż, minus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias ostry, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu ostrego
1
Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawione jest rozwiązanie nierówności:

R1DKKRAACBHL5
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 2 do 4. Na płaszczyźnie zaznaczone są dwa punkty o współrzędnych kolejno: minus 2, 0 i 3, 0. Parabola ma ramiona skierowane do góry i przechodzi przez obydwa punkty. Obszar znajdujący się pod osią x, pomiędzy punktami jest zaznaczona kolorem niebieskim. Parabola podpisana jest literą f.
R2MX22OKD148J
Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, mniejszy równy, zero, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero
2
Ćwiczenie 6
RV1VAF8L9QHGQ1
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
R16QKXBJQXOL2
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
2
Ćwiczenie 7

Interpretacja graficzna której nierówności jest przedstawiona na rysunku?

RPUHXQE5JA1EZ
Ilustracja przedstawia oś x. Na płaszczyźnie zaznaczony jest jeden punkt o współrzędnej minus 2. Parabola ma ramiona skierowane do góry i zaznaczony punkt jest jej wierzchołkiem. Obszar znajdujący się nad osią x, a pod parabolą zaznaczony jest kolorem niebieskim. Parabola podpisana jest literą f.
R18STNQQJPU8Z
Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, zero, 2. nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, zero, 3. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mniejszy niż, zero, 4. nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mniejszy niż, zero
2
Ćwiczenie 8
R1MKX3NHC8JN8
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Nierówność kwadratowa ma jedno rozwiązanie, dwa rozwiązania lub nie posiada rozwiązań., 2. Nierówność kwadratowa może mieć, zero, jedno lub nieskończenie wiele rozwiązań., 3. Jeżeli wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, to nierówność nie ma rozwiązania., 4. Jeżeli wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, to nierówność ma nieskończenie wiele rozwiązań., 5. Nierówność kwadratowa może mieć jedno rozwiązanie.
2
Ćwiczenie 9

Poniższy rysunek jest interpretację geometryczną nierówności:

RS932L7GH2F2M
Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczone są dwa zamalowane punkty o współrzędnych: 0 oraz dwa. Przez te punkty przechodzi parabola o ramionach skierowanych w dół. Obszar znajdujący się nad osią x, pomiędzy punktami jest zaznaczony na niebiesko. Parabola jest podpisana literą f.
RG2Z4OR5C9JJU
Możliwe odpowiedzi: 1. x nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, większy równy, zero, 2. minus, x nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, większy równy, zero, 3. minus, x nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, większy równy, zero, 4. minus, x nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero
1
Ćwiczenie 10
R1LP1X2M7APTV21
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
R6BSOZT6GR6OB
Dana jest ilustracja, na której znajduje się oś x. Na tej osi zaznaczone są dwa niezamalowane punkty o współrzędnych: 0 oraz trzy. Przez te punkty przechodzi parabola o ramionach skierowanych w górę. Obszar znajdujący się nad osią x, przed punktem 0 oraz za punktem 3 jest zaznaczony na niebiesko. Zastanów się jaki jest wzór tej nierówności kwadratowej i zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. x nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu, większy niż, zero, 2. minus, x nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu, większy niż, zero, 3. minus, nawias x, minus, cztery zamknięcie nawiasu nawias x, plus, dwa zamknięcie nawiasu, większy równy, zero, 4. nawias x, plus, cztery zamknięcie nawiasu nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, mniejszy równy, zero
3
Ćwiczenie 11

Korzystając z rysunku, na którym przedstawiony jest wykres funkcji f, wybierz rozwiązanie nierównościf(x)≥0 .

R9MA6U5B2GL4F
Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczone są dwa zamalowane punkty x_1 i x_2 o współrzędnych kolejno: minus 1 oraz 4. Przez te punkty przechodzi parabola o ramionach skierowanych w górę. Parabola jest podpisana literą f.
R1DS78ABHP22J
Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, liczby rzeczywiste, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu

Słownik

nierówność kwadratowa z niewiadomą x
nierówność kwadratowa z niewiadomą x

jest to każda nierówność postaci:

ax2+bx+c>0 lub ax2+bx+c≥0 lub ax2+bx+c<0 lub ax2+bx+c≤0

gdzie:
a, b, c – są dowolnymi liczbami rzeczywistymi i a≠0

parabola
parabola

wykres funkcji kwadratowej fx=ax2+bx+c, dla a≠0

2. Równania kwadratowe
4. Nierówności kwadratowe