5. Wzajemne położenie prostej i okręgu

Badanie archeologiczne wskazują, że już w $\mathrm{IV}$ tysiącleciu $\text{p. n. e.}$ w Mezopotamii wykorzystywano koło, a niedługo później trafiło ono do Europy. Zaskoczeniem dla badaczy cywilizacji prekolumbijskiej obu Ameryk, w okresie późniejszym o blisko pięć tysięcy lat, była nieznajomość koła, w kontekście jego technologicznego wykorzystania, np. w transporcie.

Podstawą funkcjonowania stosowanego w pojazdach koła jest możliwość znacznej redukcji tarcia i tym samym siły, jakiej potrzeba, by wprawić pojazd w ruch oraz stabilność, jaką gwarantuje fakt, że przymocowanie pojazdu do osi obrotu kół zapewnia niezmienność jego położenia względem poziomego podłoża, w szczególności stały prześwit (szerokość) między podłożem a podłogą pojazdu.

R17C4U2RV5UEZ

Ilustracja podzielona jest na dwie części. Po prawej stronie jest zdjęcie samochodu terenowego przedstawionego bokiem. Na samochód naniesiony jest schematyczny rysunek samochodu składający się z dwóch okręgów, poziomej osi narysowanej przerywaną linią. Nad osią są dwa prostokąty umieszczone poziomo. Po lewo przedstawiony jest sam schematyczny rysunek złożony z opisanych figur.

Pod koniec $\mathrm{XIX}$ wieku pokazano, że istnieją inne figury, które gwarantują tak zdefiniowaną niezmienność położenia. Rozważmy trójkąt równoboczny i trzy okręgi, których środkami są wierzchołki trójkąta, a które przechodzą odpowiednio przez dwa pozostałe wierzchołki, jak na rysunku.

R3X5J3GUQT8DG

Na rysunku przedstawione są trzy nachodzące na siebie okręgi. W części wspólnej wszystkich trzech okręgów narysowany jest trójkąt rozpięty na trzech punktach przecięcia okręgów. Cała część wspólna jest oznaczona kolorem, jest ona trójkątem Reuleaux.

Suma powstałych wycinków koła tworzy figurę, pokolorowaną na rysunku, zwaną trójkątem ReuleauxTrójkąt Reuleauxtrójkątem Reuleaux (od nazwiska jego twórcy).

Okazuje się, że tak zdefiniowaną figurę można toczyć między dwiema prostymi o stałej odległości.

R1H5R4NHBMEE2

Na rysunku przedstawione są dwie poziome linie, między którymi umieszczone są cztery trójkąty Reuleaux w różnym położeniu - są obrócone wokół własnej osi. Na tych trójkątach narysowane są strzałki obrotu.

Rozważmy prostą oraz okrąg. Prosta oraz okrąg, leżące w tej samej płaszczyźnie, mogą mieć jeden punkt wspólny, mogą mieć dwa punkty wspólne lub nie mają punktów wspólnych.

R3FlUWNOh1CNY

Rysunek przedstawia trzy możliwe położenia okręgu i prostej. Pierwsze to sytuacja, gdy prosta i okrąg są rozłączne. Wtedy odległość $d$ między środkiem okręgu $O$ a prostą $k$ jest większa, niż długość promienia okręgu $r$. Odległość $d$ wyprowadzona jest ze środka okręgu w taki sposób, że jest prostopadła do prostej $k$. Druga możliwość to sytuacja, gdy prosta i okrąg są styczne. Figury mają wtedy jeden punkt wspólny, jest to punkt styczności. Wtedy odległość $d$ jest równa promieniowi $r$ i oczywiście odległość jest poprowadzona ze środka okręgu i odcinek $d$ jest prostopadły do prostej. Trzecia sytuacja, to gdy okrąg i prosta się przecinają. Mają wtedy dwa punkty wspólne, są to punkty przecięcia, a prostopadła do prostej odległość $d$ jest mniejsza od długości promienia okręgu $r$.

Wzajemne położenie prostej i okręgu

Nazwa prostej	Liczba punktów wspólnych prostej i okręgu	Interpretacja graficzna
Sieczna okręgu	dwa	$A$, $B$ – punkty wspólne prostej i okręgu R1F5K1FVRA6B2 Na rysunku przedstawiony jest okrąg o środku O. Przez okrąg przechodzi pozioma prosta k, na której oznaczono punkt P. Ze środka okręgu linią przerywaną poprowadzono pionowy odcinek O P. Odcinek ten jest krótszy, niż promień okręgu. Na rysunku oznaczono także punkty przecięcia okręgu i prostej, są to punkty A oraz B.
Styczna do okręgu	jeden	$A$ – punkt wspólny prostej i okręgu Rol0B5FwQZ5wb Ilustracja przedstawia okrąg o środku oraz styczną do tego okręgu podpisaną literą k. Punkt styku okręgu i stycznej podpisano litera A. Punkty O i A połączono odcinkiem prostopadłym do stycznej k.
Rozłączna z okręgiem	zero	Prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych. R1EZCJ82O68MP Na rysunku przedstawiony jest okrąg o środku O. Pod okręgiem narysowana jest pozioma prosta k, na której oznaczono punkt P. Ze środka okręgu linią przerywaną poprowadzono pionowy odcinek O P. Odcinek ten jest dłuższy, niż promień okręgu.

Styczna do okręgu

Twierdzenie: Styczna do okręgu

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia tego okręgu poprowadzonego z punktu styczności.

Rol0B5FwQZ5wb

Ilustracja przedstawia okrąg o środku oraz styczną do tego okręgu podpisaną literą k. Punkt styku okręgu i stycznej podpisano litera A. Punkty O i A połączono odcinkiem prostopadłym do stycznej k.

Twierdzenie o odcinkach stycznych

Rozważmy okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ oraz punkt $P$ leżący na zewnątrz tego okręgu. Poprowadźmy dwie styczne do tego okręgu przechodzące przez punkt $P$. Punkty styczności oznaczmy $A$ i $B$.

RXUKZX3CX1Z6A

Ilustracja przedstawia punkt P oraz okrąg o środku w punkcie O. Punkt P leży poza okręgiem. Przecinają się w nim dwie proste styczne do okręgu. Punkty styczności to punkty A oraz B. Na rysunku wykreślono również odcinek P O oraz dwa promienie okręgu. Pierwszy z nich to O A, jest on prostopadły do prostej P A. Drugi promień to odcinek O B. Jest on prostopadły do prostej P B.

Przykład 1

Dany jest okrąg o środku $O$ i punkt $P$ leżący na tym okręgu. Przeprowadzimy konstrukcję stycznej do danego okręgu, która będzie przechodziła przez punkt $P$.

1. Prowadzimy prostą przechodząca przez środek okręgu i punkt styczności.

2. Rozwartością cyrkla równą promieniowi zaznaczamy na prostej punkt $D$ tak, aby  punkt $P$ był  środkiem odcinka $OD$.

3. Kreślimy symetralną odcinka $OD$ – zakreślając z punktów $O$ i $D$ łuki okręgów o tym samym promieniu, aż do przecięcia się.

4. Przez punkty $A$ i $B$ – przecięcia się łuków – kreślimy prostą. Jest to szukana styczna.

R1ZAAJC51GLVC

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Przez okrąg i jego środek przechodzi pionowa prosta narysowana linią przerywaną. Poniżej narysowana jest prosta pozioma styczna do okręgu. Punkt przecięcia prostych i okręgu oznaczono jako punkt P. Symetrycznie do punktu O względem poziomej prostej jest punkt D położony na prostej pionowej. Na prostej poziomej zaznaczono także dwa symetryczne punkty względem prostej pionowej. Te punkty to: po lewo punkt B i po prawo punkt A.

Przykład 2

Odległość siecznej od środka okręgu jest równa $2$. Długość odcinka, o końcach w punktach wspólnych tej siecznej i okręgu, jest równa promieniowi $R$ tego okręgu. Obliczymy $R$.

Rozwiązanie:

R1OTO4T64625J

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Przez okrąg i jego środek przechodzi pionowa półprosta narysowana linią przerywaną. Początek półprostej znajduje się w punkcie P, który leży na siecznej A B przecinającej okrąg. Punkt A leży po lewej stronie i jest punktem przecięcia siecznej z okręgiem. Punkt B leży po prawej stronie i jest drugim punktem przecięcia siecznej z okręgiem.Na rysunku zaznaczono następujące odcinki: O A oraz O B, które są jednocześnie promieniami okręgu, odcinek na siecznej A B, którego połowę wynacza leżący na nim punkt P, a także zaznaczony linią przerywaną należący do półprostej odcinek O P.

Zauważmy, że przy przyjętych na rysunku oznaczeniach mamy: $\left|AB\right|=R$.

Ale trójkąt $ABO$ jest trójkątem równobocznym, w którym $\left|OP\right|$ jest długością wysokości.

Zatem $\left|OP\right|=\frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Mamy więc $\frac{R\sqrt{3}}{2}=2$, a stąd $R=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej

Rozważmy okrąg o środku w punkcie $O$ i punkt $P$ leżący na zewnątrz okręgu. Z tego punktu poprowadźmy styczną oraz sieczną tego okręgu, jak na rysunku.

R1GXXLKQF9AK7

Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie O. Poprowadzono prostą, styczną do okręgu w punkcie A, oraz prostą przecinającą okrąg w punkcie Q i R. Proste przecinają się w punkcie P.

Niech $A$ będzie punktem styczności, a $Q$, $R$ będą punktami, w których sieczna przecina dany okrąg. Okazuje się, że $\left|PQ\right|·\left|PR\right|={\left|PA\right|}^2$ niezależnie od wyboru siecznej.

Dowód twierdzenia

Dowód twierdzenia

Dla dowodu pokażemy, że trójkąty $PRA$ i $PAQ$ są podobne. Skorzystamy w tym celu z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku i z faktu, że promień $OA$ jest prostopadły do stycznej $AP$.

RKH1VS76541CS

Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie O. Poprowadzono prostą, styczną do okręgu w punkcie A, oraz prostą przecinającą okrąg w punkcie Q i R. Proste przecinają się w punkcie P. Zielonym kolorem zaznaczono odcinek AO, oraz OR. Różowym kolorem zaznaczono odcinek A Q, oraz A R.

Oznaczmy $\left|\measuredangle PQA\right|=\alpha$. Wtedy $\left|\measuredangle AOR\right|=2\alpha$ oraz $\left|\measuredangle RAP\right|=90°-\frac{1}{2}·\left(180°-2\alpha \right)=\alpha$. Ale to oznacza, na mocy cechy $kkk$ podobieństwa trójkątów, że trójkąty $PRA$ i $PAQ$ są podobne. Stąd, w szczególności $\frac{\left|AP\right|}{\left|PR\right|}=\frac{\left|PQ\right|}{\left|AP\right|}$, czyli $\left|PQ\right|·\left|PR\right|={\left|PA\right|}^2$.

Powyższa zależność nosi nazwę twierdzenia o odcinkach stycznej i siecznej.

Z twierdzenia tego wynika prosty wniosek, dotyczący dwóch różnych siecznych. Niech $Q$, $R$ oraz $M$, $N$ będą punktami, w których dwie różne sieczne przecinają odpowiednio dany okrąg, jak na rysunku.

RUE7MNCRMJ7GE

Na ilustracji przedstawiono okrąg. Poprowadzono dwie proste. Pierwsza prosta przecina okrąg w punkcie M i N. Druga prosta przecina okrąg w punkcie Q i R. Proste przecinają się w punkcie P.

Wtedy $\left|PQ\right|·\left|PR\right|=\left|PM\right|·\left|PN\right|$.

Aby udowodnić ten fakt należy poprowadzić z punktu P dwie proste styczne do okręgu i powołać się na twierdzenie o odcinkach stycznych i twierdzenie o odcinkach stycznej i siecznej.

Aplet

Polecenie 1

Uruchom Aplet.

Naciśnij przycisk: „TWIERDZENIE O STYCZNYCH”. Ustal suwakiem wielkość $r$ promienia okręgu, a następnie ustaw położenie punktu $P$ na zewnątrz okręgu. Gdy dokonasz ustaleń, to naciśnij przycisk „KONSTRUKCJA”. Obserwuj kolejne etapy konstrukcji stycznych i zależności między długościami powstałych odcinków. Naciśnij przycisk: „ZASTOSOWANIE”. Zmieniaj położenie wyróżnionych punktów i obserwuj zależności między długościami odpowiednich odcinków stycznych i długościami boków sześciokąta.

RhNVPRTPpxA58

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D4NS2TG9O

Aplet ilustruje twierdzenie o stycznych oraz jego zastosowanie, które tu opiszemy.

1. Twierdzenie o stycznych.

Po lewej stronie umieszczono okrąg o śroku w punkcie $O$ i promieniu $r$. Po prawej stronie umieszczono punkt $P$. Przez punkt $P$ poprowadzono linią przerywaną dwie styczne do okręgu. Styczne te przecinają się w punkcie $P$. Górna styczna ma z okręgiem punkt styczności opisany jako $A$, natomiast dolna styczna w ma punkt styczności z okręgiem w punkcie opisanym jako $B$. Pogrubioną linią zaznaczono tak powstałe odcinki o równej długości: $AP$ oraz $BP$. Następnie trzy punkty: $A, P, B$ połączono ze środkiem okręgu, dzięki czemu powstały odcinki: $AO, PO, BO$. Dzięki wykreśleniu tych trzech nowych odcinków, mamy dwa trójkąty prostokątne: $OPA$ oraz $OPB$, w których kąt prosty znajduje się przy punktach styczności odcinków z okręgiem, czyli przy wierzchołkach $A$ i $B$. Jako, że powstałe trójkąty są trójkątami prostokątnymi, możemy zapisać: ${\left|PA\right|}^2={\left|OP\right|}^2-{\left|OA\right|}^2={\left|OP\right|}^2-{\left|OB\right|}^2={\left|PB\right|}^2$. Trójkąty $OPA$ oraz $OPB$ są więc przystające na mocy cechy bok bok bok.

2. Zastosowanie. Rysunek przedstawia wielokąt opisany na okręgu o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ równym początkowo $2$. Razem figury przypominają kształtem migdałowate oko. Na jego skrajnych krańcach znajdują się punkty: po lewo jest to punkt $A_4$ oraz po prawo znajduje się punkt $A_1$. Na górnej części okręgu znajdują się blisko siebie pukty kolejno od lewej: $P_3$, $A_3$, $P_2$, $A_2$, $P_1$. Punkty te są w bliskiej odległości. Na dolnej części okręgu osadzono również w bliskiej odległości od siebie punkty kolejno od lewej: $P_4$, $A_5$, $P_5$, $A_6$, $P_6$. Pewne boki powstałego wielokąta są równe. Ich relacje i długości są następujące:

$\left|A_1{P}_1\right|=\left|A_1{P}_6\right|=4,39$

$\left|A_2{P}_1\right|=\left|A_2{P}_2\right|=0,37$

$\left|A_3{P}_2\right|=\left|A_3{P}_3\right|=0,35$

$\left|A_4{P}_3\right|=\left|A_4{P}_4\right|=4,3$

$\left|A_5{P}_4\right|=\left|A_5{P}_5\right|=0,53$

$\left|A_6{P}_5\right|=\left|A_6{P}_1\right|=0,5$.

Jeśli będziemy zwiększać promień okręgu, długości odcinków na brzegu okręgu będą rosnąć, natomiast odcinki o końcach nie leżących na okręgu, czyli $A_1$ oraz $A_4$ będą się skracać, przy czym sama relacja równości między poszczególnymi odcinkami będzie niezmienna. Dla przykładu, jeśli promień okręgu zwiększymy z liczby $2$ do $4$, to długości odcinków będą następujące:

$\left|A_1{P}_1\right|=\left|A_1{P}_6\right|=2,7$

$\left|A_2{P}_1\right|=\left|A_2{P}_2\right|=2,02$

$\left|A_3{P}_2\right|=\left|A_3{P}_3\right|=1,92$

$\left|A_4{P}_3\right|=\left|A_4{P}_4\right|=2,54$

$\left|A_5{P}_4\right|=\left|A_5{P}_5\right|=2,43$

$\left|A_6{P}_5\right|=\left|A_6{P}_1\right|=2,29$.

Polecenie 2

Z punktu $P$ oddalonego od środka okręgu o $10 \mathrm{cm}$ poprowadzono styczne do okręgu, które przecięły się pod kątem $90°$ (rysunek poniżej). Ile jest równy promień tego okręgu?

R1EGUU1V2JN2K

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Poza okręgiem położony jest punkt P, w którym przecinają się dwie proste styczne do okregu. Proste przecinają się pod kątem prostym. Punkty styczności to A oraz B.

Pokaż odpowiedź

Promień okręgu jest równy $5\sqrt{2} \mathrm{cm}$.

Polecenie 3

Przez punkty $A$, $B$ poprowadzono styczne do danego okręgu, które przecięły się w punkcie $P$. Wyznacz długość promienia tego okręgu, jeśli $\left|AP\right|=4$ oraz $\left|\sphericalangle APB\right|=45°$.

Pokaż rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R1FJQ7VB14678

Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie O. Poprowadzono dwie proste, przecinające się w punkcie P i styczne do okręgu w punktach A i B. Na prostej stycznej do okręgu w punkcie B, zaznaczono punkt C, znajdujący się na przedłużeniu odcinka A O. ∠ A P C wynosi 45 stopni.

Wtedy $\left|CP\right|=4\sqrt{2}=\left|CB\right|+\left|BP\right|=r+4$.

Stąd $r=4\sqrt{2}-4$.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

1

Ćwiczenie 4

RDM1U5K968ZKP

RDXFZT9PJKXQM

Wskaż fałszywą równość: Możliwe odpowiedzi: 1. długość odcinka, B E, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, B F, koniec długości odcinka, 2. długość odcinka, A D, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, C F, koniec długości odcinka, 3. długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, E B, koniec długości odcinka, plus, długość odcinka, G C, koniec długości odcinka, 4. długość odcinka, D H, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, D C, koniec długości odcinka, minus, długość odcinka, G C, koniec długości odcinka

R1XDKMH1MO9CM

Punkt P leży poza okręgiem. Ile stycznych do okręgu można poprowadzić przechodzących przez ten punkt? Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. jedną, 3. dwie, 4. trzy

3

Ćwiczenie 7

Niech $P$ będzie punktem wspólnym cięciw $MN$ i $QR$ danego okręgu, jak na rysunku

R5LDF6F25KNOP

Na ilustracji przedstawiono okrąg, na którym zaznaczono dwie przecinające się cięciwy w punkcie P. Na okręgu zaznaczono cztery punkty. Cięciwa pierwsza łączy punkt Q z punktem R. Cięciwa druga łączy punkt M z punktem N.

Uzasadnij, że $\left|PM\right|·\left|PN\right|=\left|PQ\right|·\left|PR\right|$.

Ułóż w kolejności etapy dowodu.

R1MFPZA39ABXU

Elementy do uszeregowania: 1. Zatem trójkąty M P Q i R P N mają dwie pary kątów równych., 2. Na mocy cech k k k stwierdzamy, że trójkąty te są podobne., 3. Zauważmy, że kąty wpisane M Q R i M N R są oparte na tym samym łuku okręgu, zatem są równe., 4. Poprowadźmy odcinki Q M i N R i rozważmy trójkąty M P Q i R P N., 5. Stąd długość odcinka, P M, koniec długości odcinka, razy, długość odcinka, P N, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, P Q, koniec długości odcinka, razy, długość odcinka, P R, koniec długości odcinka, co należało wykazać., 6. Korzystając z podobieństwa, możemy zapisać w szczególności, że początek ułamka, długość odcinka, P R, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, P N, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, M P, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, P Q, koniec długości odcinka, koniec ułamka.

Elementy do uszeregowania: 1. Zatem trójkąty M P Q i R P N mają dwie pary kątów równych., 2. Na mocy cech k k k stwierdzamy, że trójkąty te są podobne., 3. Zauważmy, że kąty wpisane M Q R i M N R są oparte na tym samym łuku okręgu, zatem są równe., 4. Poprowadźmy odcinki Q M i N R i rozważmy trójkąty M P Q i R P N., 5. Stąd długość odcinka, P M, koniec długości odcinka, razy, długość odcinka, P N, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, P Q, koniec długości odcinka, razy, długość odcinka, P R, koniec długości odcinka, co należało wykazać., 6. Korzystając z podobieństwa, możemy zapisać w szczególności, że początek ułamka, długość odcinka, P R, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, P N, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, M P, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, P Q, koniec długości odcinka, koniec ułamka.

3

Ćwiczenie 8

Punkt $O$ jest środkiem okręgu, w którym $\left|PR\right|=12$, $\left|PN\right|=9$, $\left|PQ\right|=15$, jak na rysunku.

RzrlCPogxPhRK

Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie O. Zaznaczono średnicę łączącą punkty M i N, oraz cięciwę łączącą punkty Q i R. Zaznaczono punkt P w miejscu przecięcia średnicy i cięciwy.

Promień tego okręgu jest równy

R1DgEPvhsBjJs

Możliwe odpowiedzi: 1. dwadzieścia, 2. osiemnaście początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. czternaście początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. trzynaście

Słownik