7.* Wiedza z plusem: Twierdzenie o stycznej i siecznej

O pewnym kącie w trójkącie. Rozważmy trójkąt, w którym kąty przy podstawie mają miary $40°$ i $74°$, a okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do dwóch jego boków odpowiednio w punktach $P$ i $Q$, jak na rysunku.

RX8QXOGXQU6KV

Ilustracja przedstawia trójkąt, w który wpisano okrąg. Oznaczono dwa kąty wewnętrzne w trójkącie: kąt 40 stopni oraz kąt 74 stopnie. Literą R oznaczono wierzchołek trójkąta, przy którym nie zaznaczono kąta wewnętrznego. Zaznaczono również dwa punkty na okręgu, w których okrąg styka się z bokami trójkąta rozpinającymi nieopisany kąt. Punkty te oznaczono literami P i Q. Punkty te połączono odcinkiem, który znajduje się całkowicie w okręgu. Oznaczono kąt R P Q jako kąt alfa.

Wyznaczenie miary kąta $\alpha$, jaki tworzy cięciwa $PQ$ z bokiem trójkąta, sprowadza się do wykorzystania bilansu kątów w trójkącie oraz twierdzenia o odcinkach stycznych.

Ponieważ $\left|PR\right|=\left|RQ\right|$, jako odcinki stycznych poprowadzone z jednego punktu, to trójkąt $PRQ$ jest równoramienny oraz $\left|\sphericalangle PQR\right|=\alpha$. Stąd

$\alpha =\frac{1}{2}·\left(180°-\left|\sphericalangle PRQ\right|\right)=\frac{1}{2}·\left(180°-\left(180°-74°-40°\right)\right)=\frac{1}{2}·114°=57°$.

Kąt $\alpha$, zaznaczony na rysunku, jest w istocie kątem, jaki cięciwa okręgu tworzy ze styczną do tego okręgu poprowadzoną w punkcie, który jest końcem tej cięciwy i jest znany, jako kąt między styczną i cięciwą lub krótko, jako kąt dopisany do okręgu, co będzie tematem niniejszej lekcji.

Rozważmy okrąg i dowolną jego cięciwę oraz poprowadźmy styczną przez jeden z końców tej cięciwy, jak na rysunku.

RF4F2RHBODQPJ

Ilustracja przedstawia okrąg z poprowadzoną cięciwą P Q krótszą od średnicy okręgu. Przez punkt P poprowadzono styczną i oznaczono kąt ostry alfa znajdujący się między prostą a cięciwą.

Możemy wówczas zaznaczyć miarę kąta $\alpha$, jaki cięciwa $PQ$ tego okręgu tworzy ze styczną do tego okręgu poprowadzoną w punkcie $P$. Zauważmy, że jeśli cięciwa $PQ$ nie jest średnicą, to styczna w punkcie $P$ tworzy z tą cięciwą dwa kąty, z których jeden jest ostry, a drugi – przyległy do niego – jest rozwarty.

Możemy powiedzieć, że kąt ostry jest oparty na krótszym z łuków o końcach w punktach $P$ i $Q$, a kąt rozwarty – na dłuższym z łuków o tych końcach. O kącie $\alpha$ mówimy, że jest to kąt między styczną i cięciwą lub jako o kącie zdefiniowanym poniżej.

Twierdzenie o kącie dopisanym

Twierdzenie: Twierdzenie o kącie dopisanym

Miara kąta dopisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowegokąt środkowykąta środkowego opartego na odpowiednim łuku wyznaczonym przez cięciwę zawartą w jednym z ramion kąta dopisanego.

Dowód

Dowód przeprowadzimy w przypadku, gdy kąt dopisany jest ostry. W przypadku kąta rozwartego wystarczy rozważyć kąt przyległy. Przypadek, gdy kąt dopisany jest prosty jest trywialny.

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku. Kąt $\alpha$ jest kątem dopisanym, a kąt $\beta$ jest kątem środkowym opartym na tym z łuków $PQ$, który zawiera się w kącie dopisanym $\alpha$. Punkt $R$ leży na stycznej, a $PQ$ jest cięciwą okręgu o środku w punkcie $O$.

RV8LK3DMMD4PD

Ilustracja przedstawia okrąg o środku w punkcie O z poprowadzoną cięciwą P Q krótszą od średnicy okręgu. Ze środka poprowadzono dwa promienie: O P oraz O Q. Zaznaczono kąt rozwarty P O Q. Przez punkt P poprowadzono styczną i oznaczono kąt ostry alfa znajdujący się między prostą a cięciwą.

Wtedy kąt $RPO$ jest prosty oraz $\alpha +\left|\sphericalangle OPQ\right|=90°$.

Ale $\left|\sphericalangle OPQ\right|=\frac{1}{2}·\left(180°-\beta \right)=90°-\frac{\beta }{2}$.

Stąd $\alpha =90°-\left(90°-\frac{\beta }{2}\right)=\frac{\beta }{2}$.

Co było do udowodnienia.

Prostą konsekwencją powyższego twierdzenia i twierdzenia o kącie środkowymkąt środkowykącie środkowym i wpisanym jest stwierdzenie poniższe.

Twierdzenie o kącie dopisanym i wpisanym

Twierdzenie: Twierdzenie o kącie dopisanym i wpisanym

Miara kąta dopisanego jest równa mierze kąta wpisanegokąt wpisanykąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

R1P78JZEP6ELV

Ilustracja przedstawia okrąg z poprowadzoną cięciwą krótszą od średnicy. Przez końce cięciwy poprowadzono dwie styczne do okręgu, przy czym każda z prostych nachylona jest do cięciwy pod kątem ostrym alfa. W okręgu narysowano trzy trójkąty o wspólnej podstawie będącej cięciwą. Wierzchołki trójkątów znajdują się w różnych miejscach na okręgu, przy czym wszystkie znajdują się w większej części okręgu wydzielonej cięciwą. Każdy z trójkątów ma kąt wewnętrzny alfa przy wierzchołku nienależącym do podstawy.

Przykład 1

Dane są dwa okręgi, które przecinają się w punktach $Q$ i $R$. Przez punkt $R$ poprowadzono odcinek, który przecina dane okręgi odpowiednio w punktach $A$ i $B$. Miarą kąta $AQB$ jest równa $74°$. Wyznaczymy miarę kąta $APB$, pod jakim przecinają się styczne do odpowiednich okręgów, poprowadzone w punktach $A$ i $B$, jak na rysunku.

R1743UFK4SE81

Ilustracja przedstawia dwa przecinające się w punktach Q i R okręgi. Wyżej narysowano mniejszy, a niżej większy okrąg. Na mniejszym zaznaczono punkt A na łuku leżącym poza dużym okręgiem. Na większym okręgu zaznaczono punkt B na łuku leżącym poza mniejszym okręgiem. Oba punkty zaznaczono w prawej części okręgów. Po prawej stronie poza okręgami zaznaczono punkt P. Poprowadzono między punktami następujące odcinki: zielone Q B oraz Q A, różowe A R oraz R B, które tworzą wspólnie jeden odcinek A B oraz żółte A P oraz B P. Punkty A P B Q wyznaczają trapez o przekątnej A B.

Zauważmy, że z twierdzenia o kącie dopisanym dla stycznej $AP$ i cięciwy $AR$ mamy, że $\left|\sphericalangle AQR\right|=\left|\sphericalangle RAP\right|$.

Podobnie dla stycznej $BP$ i cięciwy $BR$ mamy, że $\left|\sphericalangle BQR\right|=\left|\sphericalangle RBP\right|$.

Ale $\left|\sphericalangle BQR\right|+\left|\sphericalangle AQR\right|=74°=\left|\sphericalangle RBP\right|+\left|\sphericalangle RAP\right|=180°-\left|\sphericalangle APB\right|$.

Stąd $\left|\sphericalangle APB\right|=180°-74°=106°$.

Aplet 

R1ZDP8SZLROX3

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D4GD726GS

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

1

Ćwiczenie 1

Na rysunku podane są miary dwóch kątów dopisanych. Wyznacz miarę kąta $\alpha$ między odpowiednimi cięciwami tego okręgu.

R29F9BVQVE7EA

Ilustracja przedstawia okrąg wraz z jego dwiema stycznymi. Prosta leżąca powyżej jest nachylona do cięciwy A B krótszej od średnicy pod kątem 40 stopni. Prosta poniżej jest nachylona do cięciwy C D krótszej od średnicy pod kątem 62 stopni, przy czym druga z cięciw jest dłuższa. Proste połączono odcinkiem A D o końcach w punktach styczności. Odcinek ten przecięto czwartą cięciwą B C łączącą prawy koniec pierwszej cięciwy, czyli punkt B i lewy koniec drugiej cięciwy, czyli punkt C. Cięciwa B C przecina cięciwę A D w punkcie P. Zaznaczono kąt alfa będący kątem C P D.

Pokaż podpowiedź

Znajdź na rysunku miary kątów, które są równe odpowiednim kątom dopisanym. Wykorzystaj twierdzenia o kątach w trójkącie.

Pokaż rozwiązanie

Zaznaczmy na rysunku miary kątów, które są równe odpowiednim kątom dopisanym.

R1TU2U735NR9G

Ilustracja przedstawia okrąg i dwie jego styczne z treści zadania. W okręgu wykreślono cięciwy A B, C D, A D oraz B C i zaznaczono szukany kąt alfa znajdujący się w przecięciu cięciw A D oraz B C, czyli kąt C P D, gdzie P jest punktem przecięcia cięciw. W rozwiązaniu dorysowano linią przerywaną cięciwę A C i oznaczono kąty: kąt C A P tożsamy z kątem C A D ma miarę 62 stopni. Kąt A C P tożsamy z kątem A C B ma miarę 40 stopni.

Wtedy kąt $\alpha$, jako kąt zewnętrzny w trójkącie, ma miarę $\alpha =40°+62°=102°$.

1

Ćwiczenie 2

Kąt, jaki tworzą sieczne, ma miarę równą $40°$, a zaznaczony na rysunku kąt dopisany ma miarę $30°$.

R1LVQF48CTLRB

Ilustracja przedstawia okrąg i jego styczną w punkcie A. W okręgu wykreślono trzy cięciwy. Cięciwa A B  krótsza od średnicy jest nachylona do stycznej pod kątem 30 stopni. Następnie mamy cięciwę B C krótszą od średnicy. Linią przerywaną narysowano cięciwę C A i oznaczono kąt ostry A C B jako alfa. Następnie narysowano cięciwę D A i kąt ostry D A C oznaczono jako beta. Linią przerywaną przedłużono cięciwy C B oraz D A w kierunku ich zwężania. Proste pokrywające cięciwy przecięły się pod kątem 40 stopni.

Oblicz miarę każdego z kątów $\alpha$ i $\beta$.

Pokaż podpowiedź

Zastanów się, który z kątów ma miarę równą mierze danego kąta dopisanego.

Pokaż rozwiązanie

Z twierdzenia o kącie zewnętrznym w trójkącie wynika, że przy przyjętych oznaczeniach mamy: $\beta =\alpha +40°$.

Ale kąt $\alpha$ jest równy mierze danego kąta dopisanego, stąd $\alpha =30°$ oraz $\beta =70°$.

2

Ćwiczenie 3

Dany jest okrąg opisany na trójkącie. Kąty trójkąta mają odpowiednio miary $\alpha$, $\beta$ oraz $\gamma$, a miary wybranych kątów dopisanych, których wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami trójkąta, są podane na rysunku. Jakie będą miary kątów $\alpha$ i $\beta$?

R1LBXHRKE799U

Ilustracja przedstawia okrąg i trzy jego styczne. Punkty styczności wyznaczyły następujące cięciwy: A B, B C oraz C A. Styczne w punktach A i B są blisko siebie i przecinają się blisko okręgu. Styczna w punkcie C leży naprzeciw pozostałych stycznych. Na rysunku zaznaczono sześć kątów. Kąt między styczną w punkcie A i cięciwą A B  wynosi 39 stopni, a kąt leżący obok niego i mający z nim wspólny wierzchołek, czyli kąt wpisany B A C oznaczono jako alfa. Kąt między prostą styczną w punkcie B i cięciwą B C wynosi 71 stopni, a kąt leżący obok niego i mający z nim wspólny wierzchołek, czyli kąt C B A oznaczono jako beta. Kąt między styczną w punkcie C i cięciwą C A  wynosi 70 stopni, a kąt leżący obok niego, mający z nim wspólny wierzchołek, czyli kąt A C B oznaczono jako gamma.

RTZD2BTDX7SKX

Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. alfa, równa się, trzydzieści dziewięć stopni, BETA, równa się, siedemdziesiąt jeden stopni, 2. alfa, równa się, siedemdziesiąt jeden stopni, BETA, równa się, trzydzieści dziewięć stopni, 3. alfa, równa się, siedemdziesiąt stopni, BETA, równa się, siedemdziesiąt jeden stopni, 4. alfa, równa się, siedemdziesiąt jeden stopni, BETA, równa się, siedemdziesiąt stopni

2

Ćwiczenie 4

Sieczne danego okręgu przecinają się pod kątem $54°$. Kąt wpisany, którego wierzchołek pokrywa się z wierzchołkiem kąta dopisanego ma miarę $78°$, jak na rysunku. Jaką miarę ma kąt dopisany $\alpha$?

R3OLSEDE9QSVN

Ilustracja przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Zaznaczono średnicę A B okręgu oraz dwie cięciwy o wspólnym końcu: cięciwę A C oraz C D. Cięciwa C D jest dłuższa i przecina się ze średnicą A B w punkcie P pod kątem 4 stopnie. Kąt między styczną w punkcie C a cięciwą C D to kąt ostry alfa. Kąt wpisany A C D  ma miarę 78 stopni.

R1VFZ6ETVGP17

Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. alfa, równa się, czterdzieści osiem stopni, 2. alfa, równa się, pięćdziesiąt cztery stopnie, 3. alfa, równa się, sześćdziesiąt stopni, 4. alfa, równa się, dwadzieścia cztery stopnie

Słownik