2. Okrąg wpisany w trójkąt

REE44ZVQL1X1E

Mamy zakupić narożną szafkę w kształcie graniastosłupa, którego podstawą jest trójkąt prostokątny równoramienny. Jakie mają być minimalne rozmiary podstawy tej szafki, żeby zmieściły się w niej okrągłe półmiski o średnicy $40 cm$ ?

Pytanie powyższe sprowadza się do problemu znalezienia najmniejszego trójkąta spełniającego określone wymagania, w którym zmieści się dany okrąg. W języku planimetrii jest to problem opisania trójkąta na okręgu.

Twoje cele

Podasz własności okręgu wpisanego w trójkąt.
Wyznaczysz środek okręgu wpisanego w dowolny trójkąt.
Wyznaczysz wzory na długości promieni okręgów wpisanych w trójkąty szczególne.
Wykorzystasz własności okręgu wpisanego w trójkąt w zadaniach geometrycznych.

Wiemy, że dwusieczną kąta nazywamy półprostą, której początkiem jest wierzchołek tego kąta i która dzieli ten kąt na dwa równe kąty. Prawdziwe jest twierdzenie, które orzeka, że jeżeli punkt leży na dwusiecznej kąta wypukłego, to jest on równo oddalony od ramion tego kąta. Oznacza to, że środki okręgów stycznych do ramion kąta leżą na dwusiecznej tego kąta.

RSVGnJu9NdXA4

Ilustracja przedstawia cztery okręgi o środkach S1, S2. S3 oraz S4, przy czym okrąg o środku S1 jest najmniejszy, a kolejne okręgi są coraz większe. Środki tych okręgów leżą na dwusiecznej kąta, którego ramiona są stycznymi do okręgów. Najmniejszy okrąg znajduje się najbliżej wierzchołka kąta a największy najdalej.

o punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta

Twierdzenie: o punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta

W dowolnym trójkącie dwusieczne wszystkich trzech kątów wewnętrznych przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem okręgu stycznego do każdego z boków trójkąta.

REQR55CSUJGRM

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, w który wpisano okrąg, środek okręgu I leży na przecięciu przerywanych prostych, w których zawierają się wysokości trójkątów. Punkty styczne trójkąta i okręgu są następujące: na boku BC leży punkt D, na boku AC leży punkt E, na boku AB leży punkt F. Odcinki: DI, EI i FI są podpisane literą r. Proste przechodzące przez punkt A oraz punkt B zaznaczono kolorem. Odcinki o długości r są pod kątem prostym do boków.

Dowód twierdzenia

Dwusieczna kątadwusieczna kątaDwusieczna kąta jest zawarta w osi symetrii kąta, a więc jest zbiorem punktów równoodległych od ramion tego kąta.

Rozważmy punkt przecięcia dwusiecznych kątów $B A C$ i $A B C$ - nazwijmy go $I$ .
Ponieważ punkt $I$ leży na dwusiecznej kąta w trójkąciedwusieczna kąta w trójkąciedwusiecznej kąta w trójkącie $B A C$ , to jest on równoodległy od boków $A B$ i $A C$ , czyli $|I F| = |I E|$ . Podobnie, ponieważ leży też na dwusiecznej kąta $A B C$ to jest on równoodległy od boków $A B$ i $B C$ (czyli $|I F| = |I D|$ ). Z równości $|I F| = |I E|$ oraz $|I F| = |I D|$ wynika, że $|I E| = |I D|$ , czyli, ze punkt $I$ jest równoodległy od ramion $C A$ i $C B$ , więc leży na dwusiecznej kąta $A C B$ .

Zatem dwusieczne kątów przecinają się w punkcie $I$ . Odcinki $I D$ , $I E$ , $I F$ są równej długości, nazwijmy ją $r$ . Odcinki te są również prostopadłe do boków, więc okrąg o środku w punkcie $I$ i promieniu $r$ jest styczny do każdego z boków trójkąta.

okrąg wpisany w trójkąt

Definicja: okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta.

R1BE6FXTQ2JCM

Odcinki łączące środek okręgu wpisanego z punktami styczności znajdującymi się na bokach trójkąta są do tych boków prostopadłe i są promieniami tego okręgu.

Czasem używa się także pojęcia koła wpisanego w trójkąt – jest to koło, zawarte w trójkącie i którego brzeg jest styczny do wszystkich boków wielokąta.

Trójkąt opisany na okręgu

Definicja: Trójkąt opisany na okręgu

Trójkąt opisany na okręgu, jest to trójkąt, którego wszystkie boki są styczne do danego okręgu.

Trójkąt jest opisany na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy ten okrąg jest wpisany w ten trójkąt.

W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Wynika to z twierdzenia, że dwusieczne kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu stycznego do wszystkich boków trójkąta.

Własność punktów styczności okręgu wpisanego w trójkąt

Niech $D$ , $E$ , $F$ będą punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt z bokami tego trójkąta. Wtedy przy oznaczeniach z rysunku zachodzą równości:

R12PKUvQA1uTT

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny ABC w który wpisano okrąg o środku S. Bok AB ma długość c bok BC ma długość a oraz bok AC ma długość b. Okrąg styka się z trójkątem w punkcie D dzieląc bok AB na odcinki AD i DB, puncie E dzieląc bok BC na odcinki BE i EC oraz punkcie F dzieląc bok AC na odcinki AF i FC . Promienie okręgu o długości R tworzą odcinki SD , SE i SF. Zaznaczono kąty proste między bokami trójkąta a promieniami okręgu. Odcinki AD i AF oznaczone na niebiesko mają długość w , odcinki DB i BE oznaczone na różowo mają długość v natomiast odcinki EC i FC oznaczone na zielono mają długość u.

$|A D| = |A F| = w$ , $|B D| = |B E| = v$ , $|C E| = |C F| = u$

Zależność ta wynika wprost z twierdzenia o odcinkach stycznychtwierdzenie o odcinkach stycznychtwierdzenia o odcinkach stycznych.

Przykład 1

W równoramienny trójkąt $A B C$ , w którym $|A C| = |B C| = 5$ i $|A B| = 8$ , wpisano okrąg. Ustal, w jakim stosunku punkty styczności dzielą każdy z boków trójkąta.

RN3anrwObyoXF

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC, w który jest wpisany okrąg o środku w punkcie O. Ze środka okręgu poprowadzono trzy promienie, każdy jest prostopadły do jednego z boków. I tak kolejno mamy: promień OM jest prostopadły do podstawy AB trójkąta ABC. Promień OL jest prostopadły do boku BC, a promień OK do boku AC

Rozwiązanie

Zgodnie z twierdzeniem o odcinkach stycznych, możemy wprowadzić oznaczenia jak na rysunku poniżej.

R36JfOFFMQZ2V

Ponieważ trójkąt $A B C$ jest równoramienny, więc:

$x + z = z + y$ ,

czyli $x = y$ . A zatem punkt $M$ dzieli bok $A B$ w stosunku $1 : 1$ . Wynika stąd, że skoro $|A B| = x + y = 8$ . Wobec tego:

$|C K| = |A C| - |A K| = 5 - 4 = 1$ ,

$|C L| = |B C| - |B L| = 5 - 4 = 1$ .

Zatem punkt styczności $K$ dzieli bok $A C$ w stosunku $4 : 1$ , podobnie jak punkt $L$ dzieli bok $B C$ .

Odpowiedź: Punkt $M$ dzieli bok $A B$ w stosunku $1 : 1$ . Punkt $K$ dzieli bok $A C$ w stosunku $4 : 1$ . Punkt $L$ dzieli bok $B C$ także w stosunku $4 : 1$ .

Przykład 2

Wyznaczymy wzór na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątnytrójkąt prostokątnytrójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $a$ i $b$ .

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R134BKT4GCM7C

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, w który wpisano okrąg, środek okręgu zaznaczono literą I. AB jest przeciwprostokątną. Punkty styczne trójkąta i okręgu są następujące: na boku BC leży punkt D, na boku AC leży punkt E, na boku AB leży punkt F. Odcinki: DI, EI i FI są podpisane literą r. Odcinki CD o CE mają długość r. Odcinek AE ma długość b minus r, odcinek BD ma długość a minus r, odcinek FB ma długość a minus r, a odcinek AF ma długość b minus r.

Z twierdzenia o odcinkach stycznych $|C E| = |C D|$ , ponadto kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty oraz proste $I E$ i $I D$ są prostopadłe do przyprostokątnych. Zatem czworokąt $C E I D$ jest kwadratem o boku długości $r$ . Podobnie, z twierdzenia o odcinkach stycznych otrzymujemy $|B F| = |B D| = a - r$ oraz $|A F| = |A E| = b - r$ . Wiemy, że $|A F| + |F B| = c$ , zatem:

$a - r + b - r = c$

$2 r = a + b - c$

$r = \frac{a + b - c}{2}$ .

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $c$ i przyprostokątnych $a$ , $b$ ma długość:

r = \frac{a + b - c}{2}

Pole trójkąta opisanego na okręgu o promieniu $r$

R1X136RC8K67Q

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, w który wpisano okrąg, środek okręgu zaznaczono literą I. Punkty styczne trójkąta i okręgu są następujące: na boku BC leży punkt D, na boku AC leży punkt E, na boku AB leży punkt F. Odcinki: DI, EI i FI są podpisane literą r. Bok BC podpisano literą a, bok AC podpisano literą b, bok AB podpisano literą c. W trójkącie A B C zaznaczono trzy trójkąty: AIC, AIB oraz BIC.

Widzimy, że pole trójkąta $A B C$ jest sumą pól trzech zaznaczonych trójkątów. Zatem:

$P = P_{Δ A B I} + P_{Δ B C I} + P_{Δ C A I} = \frac{1}{2} c \cdot r + \frac{1}{2} a \cdot r + \frac{1}{2} b \cdot r = \frac{1}{2} (a + b + c) \cdot r$

Przedstawione rozumowanie jest dowodem dwóch równoważnych sobie twierdzeń:

Pole trójkąta

Twierdzenie: Pole trójkąta

Pole trójkąta o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ oraz promieniu $r$ okręgu wpisanego w ten trójkąt wyraża się wzorem

P = \frac{a + b + c}{2} r

Gdy oznaczymy $\frac{a + b + c}{2} = p$ , wzór przyjmuje postać $P = p r$ .

Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt

Twierdzenie: Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt

Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach $a$ , $b$ , $c$ i polu $P$ wynosi

$r = \frac{2 P}{a + b + c} = \frac{2 P}{L}$

gdzie $L$ oznacza obwód trójkąta.

Przykład 3

Wyznaczymy promień okręgu wpisanego w trójkąt taki, jak na rysunku, o kątach $α = 30 °$ , $β = 45 °$ i boku $b = 6$ .

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R93OHamfb1gqc

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC w który wpisany jest okrąg o środku O. Bok AB ma długość c , bok BC ma długość a natomiast bok AC ma długość b . Kąt CAB ma wartość α kąt ABC ma wartość β z kolei kąt BCA ma wartość γ. Z wierzchołka C opuszczona jest wysokość , oznaczona przerywaną linią ,do punktu D który dzieli bok AB na odcinki AD i DB.

Poprowadźmy wysokość $h = |C D|$ w trójkącie $A B C$ . Jeżeli $α = 30 °$ , to trójkąt $A D C$ jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej $b = 6$ i kątach ostrych $30 °$ i $60 °$ .

Wtedy $h = \frac{b}{2} = 3$ oraz $|A D| = 3 \sqrt{3}$ .

Jeżeli $β = 45 °$ , to trójkąt $B D C$ jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnej $h$ i kącie ostrym $45 °$ . Stąd $a = 3 \sqrt{2}$ oraz $|D B| = 3$ .

Zatem obwód trójkąta $A B C$ wynosi $a + b + c = 3 \sqrt{2} + 6 + 3 \sqrt{3} + 3 = 9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3}$ a pole tego trójkąta $P = \frac{h \cdot c}{2} = \frac{3 (3 + 3 \sqrt{3})}{2} = \frac{9 (1 + \sqrt{3})}{2}$ .

Ostatecznie, promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość

$r = \frac{2 P}{a + b + c} = \frac{9 (1 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3}} = \frac{3 (1 + \sqrt{3})}{3 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$

Przykład 4

Wyznaczymy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoramiennytrójkąt równoramiennytrójkąt równoramienny o podstawie długości $|A B| = a$ i ramionach długości $|B C| = |C A| = b$ .

Rozwiązanie

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

R1TFTOCRCQV2F

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, w który wpisano okrąg, środek okręgu zaznaczono literą I. Na boku BC zaznaczono punkt E. Na boku AB zaznaczono punkt D. Odcinek CD jest wysokością i podpisano go literą h. Odcinek ID podpisano literą r, odcinek IE również podpisano literą r. Bok AB podpisano literą a, boki AC oraz BC podpisano literą b.

Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość wysokości trójkąta:

$h = \sqrt{b^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{4 b^{2} - a^{2}}}{2}$ .

Mamy długości wszystkich boków i wysokości, zatem możemy obliczyć połowę obwodu i pole trójkąta, a więc i długość promienia okręgu wpisanego:

$P = p r$

$\frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} (a + 2 b) r$

$r = \frac{a h}{a + 2 b} = \frac{a \frac{\sqrt{4 b^{2} - a^{2}}}{2}}{a + 2 b} = \frac{a \sqrt{4 b^{2} - a^{2}}}{2 a + 4 b}$ .

Uwaga! Gdy zauważymy, że trójkąt $I C E$ jest podobny do „połowy” trójkąta równoramiennegotrójkąt równoramiennytrójkąta równoramiennego $A B C$ i zapiszemy odpowiednią proporcję boków, np.:

$\frac{r}{\frac{a}{2}} = \frac{h - r}{b}$ ,

to po przekształceniu również otrzymujemy

$r = \frac{a h}{a + 2 b}$ .

Ważne!

Powyższy wzór jest prawdziwy dla dowolnego wielokąta opisanego na okręgu o promieniu $r$ .

Na koniec dwa ciekawe przykłady związane z zagadnieniem okręgu wpisanego w trójkąt.

Przykład 5

Przez środek $I$ okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ poprowadzono prostą równoległą do boku $A B$ , która przecina boki $C A$ i $C B$ odpowiednio w punktach $E$ i $D$ . Wykażemy, że: $|E D| = |E A| + |D B|$ .

R18ZF32UJ4GJA

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, na boku AC zaznaczono punkt D, na boku BC zaznaczono punkt D. W trójkącie zaznaczono odcinek ED, na którym leży punkt I. Odcinki AE, ED oraz Db zaznaczono kolorem.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

RMLUQSUE4BKSE

Środek okręgu wpisanego $I$ leży w punkcie przecięcia dwusiecznych, stąd wnioskujemy równość miar kątów: $|∢ E A I| = |∢ I A B|$ oraz $|∢ D B I| = |∢ I B A|$ . Wiemy, z założeń zadania, że proste $E D$ i $A B$ są równoległe, więc mamy też równość kątów naprzemianległych: $|∢ I A B| = |∢ A I E|$ oraz $|∢ I B A| = |∢ B I D|$ . Z poprzednich równości otrzymujemy równość kątów $|∢ E A I| = |∢ E I A|$ oraz $|∢ D B I| = |∢ D I B|$ . Trójkąty $A E I$ i $B D I$ są zatem równoramienne.

$|E D| = |E I| + |I D| = |A E| + |D B|$ .

Przykład 6

Mamy zakupić narożną szafkę w kształcie graniastosłupa, którego podstawą jest trójkąt prostokątny taki, że stosunek długości przyprostokątnych jest $3:4$ . Wyznaczymy minimalne rozmiary podstawy tej szafki tak, żeby zmieściły się w niej okrągłe półmiski o średnicy $40 cm$ .

RBKD44N1BR4TH

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym ACB, w który wpisany jest okrąg o środku O . Okrąg styka się z trójkątem w punkcie D na boku AB , tworząc odcinki AD i DB , w punkcie E na boku CB tworząc odcinki CE i EB oraz w punkcie F na boku AC tworząc odcinki AF i FC . Promienie okręgu tworzą odcinki OE i OF o długości 20. Punkty OECF tworzą kwadrat.

Ponieważ stosunek długości przyprostokątnych jest $3:4$ , to niech $|C B| = 3 x$ , $|C A| = 4 x$ . Wtedy $|A B| = 5 x$ .

Korzystając z własności odcinków stycznych dostajemy

$5 x = 3 x - 20 + 4 x - 20 = 7 x - 40$

$2 x = 40$

$x = 20$

Ostatecznie, wymiary szafki wynoszą $60 cm$ , $80 cm$ , $100 cm$ .

Aplet

Polecenie 1

Zapoznaj się z symulacją interaktywną. Przedstawiono w niej okrąg wpisany w trójkąt prostokątny. Za pomocą suwaków możesz zmieniać długości przyprostokątnych trójkąta.

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu, który dotyczy okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.

R1FLDCZEK7X7L

Polecenie 2

Ustaw długości przyprostokątnych tak, aby były liczbami naturalnymi. Dla przyjętych wartości oblicz długość promienia okręgu wpisanego. Sprawdź swoje obliczenia za pomocą przycisku „Pokaż długość promienia $r$ ”.

RPCB217NTPHP5

Animacja multimedialna

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją, starając się przyswoić treści w niej zawarte. Możesz wracać do niej wielokrotnie.

RS35LO5RLDDD6

Polecenie 4

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

R2X759QNNRQ2E

RHCDH13JGCOCZ

R2X759QNNRQ2E

RHCDH13JGCOCZ

R4XFFJ8ULTKH4

RTKM5V628AJ8F

R4XFFJ8ULTKH4

RTKM5V628AJ8F

Polecenie 5

RSD29FLTL94QH

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RRbMAfyGO0u3F1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

R1HQ9T2UQL8KE

Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu 1. początek ułamka, dwa P, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a b c, mianownik, dwa R nawias, a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. opisanego, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, nawias, p, minus, a, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, c, zamknięcie nawiasu, mianownik, p, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, a b c, mianownik, cztery R p, koniec ułamka, 6. dwusiecznych, 7. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka tego trójkąta. Długość promienia takiego okręgu dla dowolnego trójkąta możemy obliczyć ze wzoru 1. początek ułamka, dwa P, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a b c, mianownik, dwa R nawias, a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. opisanego, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, nawias, p, minus, a, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, c, zamknięcie nawiasu, mianownik, p, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, a b c, mianownik, cztery R p, koniec ułamka, 6. dwusiecznych, 7. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka,1. początek ułamka, dwa P, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a b c, mianownik, dwa R nawias, a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. opisanego, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, nawias, p, minus, a, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, c, zamknięcie nawiasu, mianownik, p, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, a b c, mianownik, cztery R p, koniec ułamka, 6. dwusiecznych, 7. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka. Jeśli trójkąt jest prostokątny posługujemy się uproszczonym wzorem 1. początek ułamka, dwa P, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a b c, mianownik, dwa R nawias, a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. opisanego, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, nawias, p, minus, a, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, c, zamknięcie nawiasu, mianownik, p, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, a b c, mianownik, cztery R p, koniec ułamka, 6. dwusiecznych, 7. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka. Natomiast jeżeli trójkąt jest równoboczny to promień okręgu możemy opisać uproszczonym wzorem 1. początek ułamka, dwa P, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a b c, mianownik, dwa R nawias, a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. opisanego, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, nawias, p, minus, a, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, c, zamknięcie nawiasu, mianownik, p, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, a b c, mianownik, cztery R p, koniec ułamka, 6. dwusiecznych, 7. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka. Jeżeli znamy promień okręgu 1. początek ułamka, dwa P, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a b c, mianownik, dwa R nawias, a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. opisanego, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, nawias, p, minus, a, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, c, zamknięcie nawiasu, mianownik, p, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, a b c, mianownik, cztery R p, koniec ułamka, 6. dwusiecznych, 7. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka na trójkącie to promień okręgu wpisanego w ten trójkąt obliczamy ze wzoru 1. początek ułamka, dwa P, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a b c, mianownik, dwa R nawias, a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. opisanego, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, nawias, p, minus, a, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, c, zamknięcie nawiasu, mianownik, p, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, a b c, mianownik, cztery R p, koniec ułamka, 6. dwusiecznych, 7. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka, 1. początek ułamka, dwa P, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a b c, mianownik, dwa R nawias, a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. opisanego, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, nawias, p, minus, a, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, c, zamknięcie nawiasu, mianownik, p, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, a b c, mianownik, cztery R p, koniec ułamka, 6. dwusiecznych, 7. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka.

R1D4FggGQUQPg1

Ćwiczenie 3

Rv9AIknfB5ZKQ2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Janusz i Agata mają działkę w kształcie trójkąta prostokątnego równoramiennego o ramionach długości $10$ metrów. Chcieliby na tej działce umieścić okrągły basen. Jaką maksymalną długość może mieć promień tego basenu? Odpowiedź podaj w centymetrach.

Należy wyznaczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny o ramionach długości $10$ metrów. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość $10 \sqrt{2}$ . Korzystamy ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{10 + 10 - 10 \sqrt{2}}{2} = 10 - 5 \sqrt{2}$ .

Wyznaczamy przybliżoną wartość długości tego promienia szacując $1, 414 < \sqrt{2} < 1, 415$ .

Wtedy $10 - 5 \cdot 1, 414 = 2, 93$ oraz $10 - 5 \cdot 1, 415 = 2, 925$ .

Promień basenu może mieć maksymalnie około $293$ centymetry.

Ćwiczenie 6

W trójkąt prostokątny $A B C$ o kącie prostym przy wierzchołku $C$ i wysokości $C D$ wpisano okrąg o promieniu $r$ (rysunek). Okrąg ten jest styczny do przeciwprostokątnej w punkcie $E$ . Niech $P$ oznacza pole trójkąta $A B C$ .

RKLD15NBRVG7Q

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym ACB w który wpisany przerywaną linią jest okrąg o promieniu oznaczonym na zielono, stykającym się z trójkątem w punkcie E i dzielącym bok AB na odcinki AE oraz EB . Wysokość h opuszczona z punktu C dzieli odcinek EB na odcinki ED i DB. W mniejszym trójkącie BCD kątem prostym jest CDB.

R1S76S46ZJP6U

Ćwiczenie 7

Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach $5$ i $8$ jest równy $\sqrt{3}$ , a obwód tego trójkąta jest liczbą całkowitą. Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta.

Oznacz np. jako $x$ długość szukanego boku trójkata. Wykorzystaj wzór Herona i wzór $P = p r$ do ułożenia równania z jedną niewiadomą. Znajdź liczbę natruralną spełniającą to równanie.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R17DBJ499PJOH

Grafika przedstawia trójkąt ABC w który wpisany został okrąg o środku I . Bok AB ma długość 8 , bok BC długość x a bok AC długość pięć.

Wyznaczmy połowę obwodu: $p = \frac{5 + 8 + x}{2} = \frac{13 + x}{2}$ .

Korzystając ze wzoru Herona

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ oraz wzoru $P = p r$

otrzymujemy: $\sqrt{\frac{13 + x}{2} (\frac{13 + x}{2} - 8) (\frac{13 + x}{2} - 5) (\frac{13 + x}{2} - x)} = \frac{13 + x}{2} \sqrt{3}$ .

Popodnosimy obie strony równości do kwadratu:

$\frac{13 + x}{2} (\frac{13 + x}{2} - 8) (\frac{13 + x}{2} - 5) (\frac{13 + x}{2} - x) = {(\frac{13 + x}{2})}^{2} \cdot 3$

$\frac{x - 3}{2} \cdot \frac{x + 3}{2} \cdot \frac{13 - x}{2} = \frac{13 + x}{2} \cdot 3$

$(x - 3) (x + 3) (13 - x) = (13 + x) \cdot 12$ .

Wiemy, że obwód trójkąta $A B C$ równy $13 + x$ jest liczbą całkowitą, czyli $x$ jest liczbą całkowitą. Musimy więc wyznaczyć rozwiązanie ostatniego równania w zbiorze liczb całkowitych. Warto też zauważyć, że z nierówności trójkąta, długość $x$ musi być większa od $3$ i mniejsza od $13$ .

Wystarczy więc sprawdzić, która z liczb $\{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ jest rozwiązaniem równania:

$(x - 3) (x + 3) (13 - x) = 12 (13 + x)$

$x^{3} - 13 x^{2} + 3 x + 273 = 0$ .

Ponieważ wyraz wolny $273 = 3 \cdot 7 \cdot 13$ , a pierwiastek całkowity wielomianu o współczynnikach całkowitych jest dzielnikiem wyrazu wolnego, to wystarczy sprawdzić rozwiązanie dla $x = 7$ :

$7^{3} - 13 \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 + 273 = 7 (49 - 91 + 3 + 39) = 7 \cdot 0 = 0$ .

Długość trzeciego boku jest równa $7$ .

R5ZGXB2KF8RT32

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Na okręgu o promieniu $10$ opisano trójkąt równoramienny o podstawie $30$ . Następnie poprowadzono odcinek $D E$ styczny do okręgu i równoległy do podstawy trójkąta. W powstały trójkąt $C D E$ wpisano okrąg. Wyznacz promień tego okręgu.

R11HRAUDPF7TK

Na ilustracji przedstawiony jest trójkąt ABC z podstawą AB o długości 30 . Na boku AC znajduje się punkt D dzielący bok na odcinki AD i DC , na boku CB jest punkt E dzielący bok na odcinki CE i EB a na boku AB punkt N dzielący bok na odcinki AN i NB . Linia DE równoległa do podstawy trójkąta AB , dzieli trójkąt ABC na trójkąt CED oraz trapez ABED . W trójkąt CED i trapez wpisane są okręgi , w trapezie jest to okrąg o środku O. Odcinek ON będący promieniem okręgu ma długość 10 . Na odcinku AD znajduje się punkt M do którego również dochodzi promień oznaczony linią przerywaną . Również linią przerywaną oznaczony jest odcinek OC przechodzący przez środek okręgu wpisanego w trójkąt DCE.

Wykorzystaj podobieństwo trójkątów $A N C$ i $C M O$ do obliczenia długości odcinków $O C$ i $C M$ oraz podobieństwo trójkątów $A B C$ i $D E C$ do obliczenia poszukiwanego promienia.

Niech $M$ będzie punktem styczności okręgu i boku $A C$ . Wtedy trójkąty $A N C$ i $C M O$ są podobne na mocy cechy $kkk$ oraz $|A M| = |A N| = 15$ . Niech $x = |O C|$ , $y = |C M|$ .

Z podobieństwa trójkątów wynika, że $\frac{10}{15} = \frac{x}{y + 15} = \frac{y}{x + 10}$ .

Stąd:

$\{\begin{cases} 10 y + 150 = 15 x \\ 10 x + 100 = 15 y \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 y + 30 = 3 x \\ 2 x + 20 = 3 y \end{cases}$

$\{\begin{cases} 6 x - 4 y = 60 \\ - 6 x + 9 y = 60 \end{cases}$

$5 y = 120$ , więc $y = 24$

$2 x = 3 \cdot 24 - 20 = 72 - 20 = 52$ , więc $x = 26$ .

Teraz zauważamy, że trójkąty $A B C$ i $D E C$ są podobne na mocy cechy $kkk$ .

Wyznaczymy stosunek ich wysokości $k = \frac{x - 10}{x + 10} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$ .

Niech $r'$ będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $D E C$ . Wtedy $\frac{r'}{10} = k = \frac{4}{9}$ .

Stąd $r' = \frac{40}{9}$ .

Ćwiczenie 10

Prosta przechodząca przez środek okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ przecięła boki $A C$ i $B C$ w punktach odpowiednio $D$ i $E$ . Prosta ta podzieliła obwód tego trójkąta na połowy. Przyjmijmy, że pole trójkąta $D E C$ jest równe $S_{1}$ , natomiast pole czworokąta $A B E D$ jest równe $S_{2}$ .

R2V3SVF1KQP58

Grafika przedstawia trójkąt ABC . Punkt D dzieli bok AC na odcinki AD i DC a punkt E bok BC na odcinki BE i EC . Punkty D i E połączone są przerywaną linią na której leży punkt I . Dzieli ona trójkąt ABC na trójkąt CDE oraz wielobok ABED o polach opisany odpowiednio S1 i S2.

R18A8Z9D9QAVK

Słownik

trójkąt równoramienny

trójkąt o (co najmniej) dwóch bokach równej długości. Te dwa boki nazywane są ramionami trójkąta, trzeci bok podstawą. Kąty przy podstawie są przystające a ich miara jest mniejsza od miary kąta prostego

trójkąt prostokątny

trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną

dwusieczna kąta

zbiór punktów płaszczyzny leżących w równej odległości od ramion kąta płaskiego

dwusieczna kąta w trójkącie

odcinek będący częścią wspólną dwusiecznej kąta trójkąta i trójkąta

podobieństwo figur

dwie figury nazywamy podobnymi, gdy istnieje podobieństwo o skali $k > 0$ , które przekształca jedną figurę w drugą.

cechy podobieństwa trójkątów

warunki konieczne i wystarczające na to, aby dwa trójkąty były podobne

kąt środkowy okręgu o środku

O

oparty na cięciwie

A B

kąt środkowy okręgu o środku

O

oparty na cięciwie

A B

kąt $A O B$ oparty na łuku $A B$ znajdujący się wewnątrz okręgu

kąt wpisany okręgu o środku

O

oparty na cięciwie

A B

kąt wpisany okręgu o środku

O

oparty na cięciwie

A B

kąt $A P B$ , gdzie $P$ jest punktem na okręgu leżącym po tej samej stronie cięciwy $A B$ co środek okręgu

Twierdzenie o odcinkach stycznych

Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych do danego okręgu z punktu P leżącego na zewnątrz okręgu, wyznaczone przez punkt P i punkty styczności, są sobie równe.

RoiXzFebxMHsw

Ilustracja przedstawia punkt P oraz okrąg o środku w punkcie O. Punkt P leży poza okręgiem. Przecinają się w nim dwie proste styczne do okręgu. Punkty styczności to punkty A oraz B. Na rysunku wykreślono również odcinek PO oraz dwa promienie okręgu. Pierwszy z nich to OA, jest on prostopadły do prostej PA. Drugi promień to odcinek OB. Jest on prostopadły do prostej PB.

1. Okrąg opisany na trójkącie

3*. Wiedza z plusem: Wybrane konstrukcje geometryczne