1. Twierdzenie Pitagorasa

R1G37ZDKJ7T7T

Matematyka towarzyszy ludziom na co dzień i niemal w każdym momencie życia. Zanim jednak stała się pełnoprawną nauką, istniał nurt filozoficzny, który rozwijał jej zagadnienia. Twierdzenie Pitagorasa nauczane jest już na najwcześniejszych etapach edukacji. Warto zdać sobie sprawę, że zasady starożytnego matematyka skrywają głębszą, religijno‑mistyczną naukę, opisującą całą rzeczywistość.

Pitagoras zainaugurował ruch pitagorejski przypominający raczej sektę religijną lub zakon niż klasycznie rozumianą szkołę filozoficzną. Dziś nie da się rozróżnić, które twierdzenia pochodzą od inicjatora ruchu, a które od jego uczniów. Jest tak m.in. dlatego, że Pitagorasowi po śmierci oddawano niemal boską cześć i wszystkie późniejsze odkrycia oraz idee przypisano właśnie jemu. Inny powód to fakt, że nauki pitagorejskie były sekretem – nie wolno było ich spisywać ani dzielić się nimi z kimś, kto nie należał do stowarzyszenia. Wiadomo też, że dostać się do sekty było niesłychanie trudno, ponieważ oznaczało to wcześniejsze złożenie kilkuletnich ślubów milczenia, przestrzeganie rygorystycznych praw i wtajemniczanie się w misteria pitagorejskie. Z czasem ruch podzielił się na dwie, nieformalne części – akuzmatyków dążących do oczyszczenia duszy dzięki kultywowaniu pitagorejskich tradycji i obrzędów oraz matematyków, którzy chcieli osiągnąć ten sam cel, ale dzięki rozwijaniu nauki.

Twoje cele

Poznasz twierdzenie Pitagorasa.
Udowodnisz twierdzenie Pitagorasa na różne sposoby.
Wykorzystasz twierdzenie Pitagorasa do konstrukcji odcinków.
Zastosujesz twierdzenie Pitagorasa w zadaniach i dowodach geometrycznych.

Pitagorasa

Twierdzenie: Pitagorasa

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Przy oznaczeniach standardowych, jak na rysunku

R1NTMHG3XAFMX

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny A B C. Przyprostokątną B C oznaczono małą literą a. Przyprostokątną A C oznaczono małą literą b, natomiast przeciwprostokątną A B oznaczono literą c.

tezę twierdzenia możemy zapisać w postaci

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Równość ta oznacza geometrycznie, że suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Ilustrację tej sytuacji przedstawia kolejny rysunek.

R1HM6M437K6QV

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Obecnie znanych jest wiele dowodów tego twierdzenia, których większość opiera się na jego sensie geometrycznym.

Zaprezentujemy dwa dowody, z który pierwszy oparty jest na trójkątach podobnych, a drugi na wspomnianym sensie geometrycznym twierdzenia.

Dowód

Dowód 1

Poprowadźmy wysokość $C D$ trójkąta $A B C$ i oznaczmy długości odcinków $A D$ i $B D$ literami $x$ i $y$ , jak na rysunku.

RBVOBND6UN4K3

Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C z kątem prostym przy wierzchołku C. Przyprostokątną B C oznaczono małą literą a. Przyprostokątną A C oznaczono małą literą b, natomiast przeciwprostokątną A B oznaczono literą c. Z wierzchołka C opuszczono wysokość do punktu D, leżącego na przeciwprostokątnej.

Trójkąty $A C D$ i $A B C$ są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $A$ , więc dwa pozostałe kąty ostre tych trójkątów są równe. To oznacza, na mocy cechy $k k k$ , że te trójkąty są podobne. Tak samo trójkąty $C B D$ i $A B C$ są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $B$ , więc te trójkąty także są podobne.

Z tych podobieństw wynikają równości

\frac{|A D|}{|A C|} = \frac{|A C|}{|A B|}

oraz

\frac{|B D|}{|B C|} = \frac{|B C|}{|A B|}

czyli

\frac{x}{b} = \frac{b}{c}

oraz

\frac{y}{a} = \frac{a}{c}

Stąd otrzymujemy

x = \frac{b^{2}}{c}

oraz

y = \frac{a^{2}}{c}

Ponieważ $x + y = c$ , więc $\frac{b^{2}}{c} + \frac{a^{2}}{c} = c$ . Stąd, po pomnożeniu obu stron tej równości przez $c$ , otrzymujemy

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , co właśnie należało udowodnić.

Dowód 2

Dowód, który teraz zaprezentujemy, pochodzi od Euklidesa. Wykażemy, że suma pól kwadratów $B D E C$ i $C F G A$ jest równa polu kwadratu $A H I B$ .

R184DMZLZAEV8

Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C z kątem prostym przy wierzchołku C. Na przeciwprostokątnej A B zbudowano kwadrat A B H I. Na przyprostokątnej A C zbudowano trójkąt A C F G. Na przyprostokątnej B C zbudowano trójkąt B C D E.

Poprowadźmy najpierw odcinek $C J$ prostopadły do przeciwprostokątnej $A B$ , którego koniec $J$ leży na boku $H I$ kwadratu $A H I B$ .

R8J6ZUTM472VF

Pokażemy, że kwadrat $C B D E$ i prostokąt $B K J I$ to figury równoważne oraz kwadrat $C F G A$ i prostokąt $A H J K$ to figury równoważne. Wystarczy wykazać, że trójkąt $C B D$ – połowa kwadratu $C B D E$ i trójkąt $B J I$ – połowa prostokąta $B K J I$ to figury równoważne.

R1CUT2S6BLLBT

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny A B C z kątem prostym przy wierzchołku C. Na przeciwprostokątnej A B zbudowano kwadrat A B H I. Na przyprostokątnej A C zbudowano mniejszy kwadrat A C F G. Na przyprostokątnej B C zbudowano najmniejszy kwadrat B C D E. Z wierzchołka C, przez punkt K na przeciwprostokątnej A B, do punktu J na boku H I pierwszego kwadratu, poprowadzono odcinek prostopadły do przeciwprostokątnej i jednocześnie do boku H I. Zacieniowano trójkąt D B C, oraz A B D.

Trójkąty $C B D$ i $A B D$ są równoważne, gdyż mają taką samą podstawę $B D$ i równe wysokości opuszczone z wierzchołków $C$ i $A$ na prostą $B D$ .

W kolejnym kroku wykazujemy, że trójkąty $A B D$ i $I B C$ są równoważne.

RF4L6O1K8D3CK

Jest tak dlatego, że te trójkąty są przystające, co z kolei wynika z równości
$|A B| = |I B|$ , $|B D| = |B C|$ ,
$|∢ A B D| = |∢ A B C| + |∢ C B D| = |∢ A B C| + 90 ° =$
$= |∢ A B C| + |∢ A B I| = |∢ I B C|$
i cechy $b k b$ przystawania trójkątów.

Teraz pozostaje już tylko zauważyć, że trójkąty $I B C$ i $B J I$ są równoważne.

R1DBMSEEJLXFC

To wynika z faktu, że mają one wspólną podstawę $B I$ i równe wysokości opuszczone z wierzchołków $C$ i $J$ na prostą $B I$ .

W ten sam sposób wykazujemy równoważność trójkątów, kolejno: $C G A$ , $B G A$ , $H C A$ i $H J A$ .

To kończy dowód.

Pokażemy teraz kilka przykładów, w których zastosujemy twierdzenie Pitagorasa.

Przykład 1

Długości boków trójkąta są równe $17$ , $25$ i $28$ . Udowodnij, spodek najkrótszej wysokości tego trójkąta dzieli bok trójkąta na dwie części w stosunku $2 : 5$ .

Rozwiązanie

Ponieważ pole trójkąta to połowa iloczynu długości boku i wysokości opuszczonej na prostą zawierającą ten bok, więc iloczyn długości boku i odpowiadającej mu wysokości jest stały. Wobec tego najkrótsza wysokość trójkąta jest opuszczona na najdłuższy bok. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RU5N6PVT6XMQV

Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C. Długość boku A C wynosi siedemnaście. Długość boku B C wynosi dwadzieścia pięć. Długość boku A B wynosi dwadzieścia osiem. Z wierzchołka C, opuszczono wysokość h, do podstawy A B, w punkcie D. Długość odcinka A D oznaczono literą x, natomiast długość odcinka B D oznaczono literą y.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $A D C$ i dla trójkąta $B D C$ otrzymujemy

$x^{2} + h^{2} = 17^{2}$ oraz $y^{2} + h^{2} = 25^{2}$ .

Odejmując równania stronami, od drugiego pierwsze, dostajemy

$y^{2} - x^{2} = 25^{2} - 17^{2}$ .

Stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów możemy to równanie zapisać w postaci

$(y - x) (y + x) = (25 - 17) (25 + 17)$ ,

$(y - x) (y + x) = 8 \cdot 42$ .

Ponieważ $x + y = 28$ , więc otrzymujemy $(y - x) \cdot 28 = 8 \cdot 42$ , skąd $y - x = 12$ . Dodając stronami równania $x + y = 28$ i $y - x = 12$ , otrzymujemy $2 y = 40$ , więc $y = 20$ . Zatem $x + 20 = 28$ , czyli $x = 8$ .

Stosunek długości odcinka $A D$ do długości odcinka $B D$ jest równy $\frac{x}{y} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ .

To kończy dowód.

Przykład 2

Mając dany odcinek o długości $1$ , skonstruuj odcinek o długości $\sqrt{41}$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że $41 = 16 + 25 = 4^{2} + 5^{2}$ . Zatem trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości $4$ i $5$ ma przeciwprostokątną długości $\sqrt{41}$ , gdyż $4^{2} + 5^{2} = {(\sqrt{41})}^{2}$ . Ten właśnie fakt wykorzystamy w naszej konstrukcji.

RO3Z8NADPLRD6

Na ilustracji przedstawiono prostą k, oraz prostopadłą do niej prostą l. Proste przecinają się w punkcie A. Z punktu A odłożono 4 odcinki długości jeden na prostej l, orz pięć odcinków długości jeden na prostej k. Zaznaczono punkt B na prostej l, stanowiący koniec ostatniego odcinka i punkt C na prostej k. Połączono punkt B i C. Powstał trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej pierwiastek kwadratowy z czterdzieści jeden koniec pierwiastka.

Opis konstrukcji.

Rysujemy prostą $k$ i obieramy na niej punkt $A$ .

Konstruujemy prostą $l$ prostopadłą do prostej $k$ i przechodzącą przez punkt $A$ .

Odkładamy na prostych $l$ i $k$ takie punkty $B$ i $C$ , żeby $|A B| = 4$ , $|A C| = 5$ .

Kreślimy odcinek $B C$ . Jest to odcinek o długości $\sqrt{41}$ .

Przykład 3

Mając dany odcinek o długości $1$ , skonstruuj odcinek o długości $\sqrt{21}$ .

Rozwiązanie

Tym razem liczby $21$ nie można przedstawić w postaci sumy kwadratów dwóch liczb całkowitych, gdyż musiałyby to być kwadraty mniejsze od $21$ , a więc $1$ , $4$ , $9$ lub $16$ .

Ponieważ $21$ jest liczbą nieparzystą, więc jeden z tych kwadratów musiałby być liczbą parzystą, a drugi nieparzystą, ale $4 + 16 = 20 < 21$ , a $9 + 16 = 25 > 21$ . Wobec tego liczby $21$ nie można przedstawić jako sumy kwadratów dwóch liczb całkowitych dodatnich. Zauważmy jednak, że $21 = 25 - 4 = 5^{2} - 2^{2}$ .

Zatem trójkąt prostokątny, którego jedna z przyprostokątnych ma długość $2$ , a przeciwprostokątna ma długość $5$ ma drugą przyprostokątną długości $\sqrt{21}$ , gdyż $2^{2} + {(\sqrt{21})}^{2} = 5^{2}$ . W tej konstrukcji także wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa.

R6XGB8KPNEQPQ

Opis konstrukcji.

Rysujemy prostą $k$ i obieramy na niej punkt $A$ .

Konstruujemy prostą $l$ prostopadłą do prostej $k$ i przechodzącą przez punkt $A$ .

Odkładamy na prostej $k$ takie punkty $B$ i $C$ leżące po przeciwnych stronach punktu $A$ , żeby $|A B| = 4$ , $|A C| = 1$ .

Zataczamy łuk okręgu o środku $B$ przechodzący przez punkt $C$ , a punkt jego przecięcia z prostą $l$ oznaczamy przez $D$ .

Odcinek $A D$ jest szukanym odcinkiem. Jego długość jest równa $\sqrt{21}$ .

Ciekawym problemem, związanym z trójkątami prostokątnymi, jest poszukiwanie tzw. trójek pitagorejskich. Trójkami pitagorejskimi nazywamy takie ciągi $(a, b, c)$ liczb całkowitych dodatnich, które są długościami boków trójkąta prostokątnego. Przykładem takiej trójki jest ciąg $(3, 4, 5)$ .

Przykład 4

Wykaż, że w każdej trójce pitagorejskiej co najmniej jedna z liczb jest podzielna przez $5$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że $(a, b, c)$ jest trójką pitagorejskątrójka pitagorejskatrójką pitagorejską i że żadna z liczb $a$ , $b$ , $c$ nie jest podzielna przez $5$ . Wtedy każda z tych liczb daje przy dzieleniu przez $5$ resztę $1$ , $2$ , $3$ lub $4$ .

Jeśli liczba całkowita daje przy dzieleniu przez $5$ resztę $1$ , a więc ma postać $5 k + 1$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą, to jej kwadrat też daje przy dzieleniu przez $5$ resztę $1$ , gdyż ${(5 k + 1)}^{2} = 25 k^{2} + 10 k + 1 = 5 (5 k^{2} + 2 k) + 1$ .

Analogicznie: jeśli liczba całkowita daje przy dzieleniu przez $5$ resztę $4$ , a więc ma postać $5 k + 4$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą, to jej kwadrat daje przy dzieleniu przez $5$ resztę $1$ , gdyż ${(5 k + 4)}^{2} = 25 k^{2} + 40 k + 16 = 5 (5 k^{2} + 8 k + 3) + 1$ .

Tak samo, gdy liczba całkowita przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$ lub $3$ , to jej kwadrat przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4$ . Rzeczywiście ${(5 k + 2)}^{2} = 25 k^{2} + 20 k + 4 = 5 (5 k^{2} + 4 k) + 4$ oraz ${(5 k + 3)}^{2} = 25 k^{2} + 30 k + 9 = 5 (5 k^{2} + 6 k + 1) + 4$ .

Wynika stąd, że liczba $a^{2} + b^{2}$ albo jest podzielna przez $5$ (gdy reszty z dzielenia przez $5$ liczb $a^{2}$ i $b^{2}$ będą równe $1$ i $4$ ) albo reszta dzielenia tej liczby przez $5$ będzie równa $2$ (gdy reszty z dzielenia przez $5$ liczb $a^{2}$ i $b^{2}$ będą równe $1$ i $1$ ) albo reszta ta będzie równa $3$ (gdy reszty z dzielenia przez $5$ liczb $a^{2}$ i $b^{2}$ będą równe $4$ i $4$ , bo $4 + 4 = 8 = 5 + 3$ ). To jest jednak niemożliwe, gdyż reszta, jaką przy dzieleniu przez $5$ daje liczba $c^{2}$ może być równa $1$ albo $4$ .

Otrzymana sprzeczność oznacza, że założenie o tym, że żadna z liczb $a$ , $b$ , $c$ nie jest podzielna przez $5$ jest nieprawdziwe.

To kończy dowód.

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z animacją. Następnie na jej podstawie wykonaj poniższe polecenia.

ROX5VH12RV7KD

Polecenie 1

Uzasadnij, że pomarańczowy czworokąt przedstawiony w animacji jest rzeczywiście kwadratem.

Pomarańczowy czworokąt ma wszystkie boki długości $c$ , więc jest rombem. Wystarczy jeszcze wykazać, że jeden z jego kątów jest prosty.

RT79NR9U2CUTG

Na ilustracji przedstawiono kwadrat, którego każdy bok podzielono na odcinek a i b. W każdym rogu kwadratu zaznaczono trójkąt prostokątny, taki że jego przyprostokątne są równe a i b. Kąt między przeciwprostokątną a przyprostokątną wynosi beta, natomiast kąt między przeciwprostokątną a przyprostokątną a, wynosi alfa. Po zaznaczeniu trójkątów, w środku kwadratu powstał czworokąt o polu powierzchni wynoszącym c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Kąt między bokami czworokąta wynosi gamma.

Oznaczmy kąty ostre każdego z czterech trójkątów przez $α$ i $β$ , a kąt przy wierzchołku rombu przez $φ$ . Suma wszystkich tych trzech kątów jest kątem półpełnym, czyli $α + β + φ = 180 °$ . Suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa $90 °$ , czyli $α + β = 90 °$ °. Wobec tego $90 ° + φ = 180 °$ , skąd $φ = 90 °$ . To kończy dowód.

Polecenie 2

Uzasadnij, że animacja przedstawia dowód twierdzenia Pitagorasa.

Kwadrat o boku długości $a + b$ w położeniu wyjściowym składa się z kwadratów o bokach długości $a$ i $b$ oraz z czterech przystających trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątnej długości $c$ . Ten sam kwadrat w położeniu końcowym składa się z tych samych czterech przystających trójkątów prostokątnych i kwadratu o boku długości $c$ . Wynika stąd, że suma pól kwadratów o bokach długości $a$ i $b$ jest równa polu kwadratu o boku długości $c$ , czyli prawdziwa jest równość $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . To kończy dowód.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiona jest konstrukcja odcinka o długości $x$ , gdy dany jest odcinek $a$ .

R1OOTTUGBENT2

Ilustracja przedstawia konstrukcję składającą się z dwóch prostopadłych do siebie prostych: pionowej i poziomej. W górnej części rysunku zaznaczono wzorcowy odcinek o długości a, który odłożono trzykrotnie na prostych: pierwszy o początku w punkcie przecięcia prostych, biegnący do góry wzdłuż pionowej prostej, drugi o początku w punkcie przecięcia prostych, biegnący w prawo wzdłuż poziomej prostej i trzeci leżący za drugim, mający z nim wspólny koniec. Cyrklem wyznaczono środek pionowego odcinka a. Ze środka pionowego odcinka poprowadzono w prawo ukośny odcinek x, którego koniec znajduje się w prawym końcu trzeciego odcinka. Utworzono w ten sposób trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej a drugich, poziomej przyprostokątnej 2 a oraz o przeciwprostokątnej o długości x.

RV1X17RJRJCML

R4V74JVB2EJRV2

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Punkt $D$ jest spodkiem wysokości trójkąta prostokątnego $A B C$ opuszczonej z wierzchołka $C$ na przeciwprostokątną $A B$ . Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że długość odcinka $C D$ jest średnią geometryczną długości odcinków $A D$ i $B D$ , a więc, że – przy oznaczeniach jak na rysunku

R1M4ORSH7XLUB

Na ilustracji przedstawiono trójkąt z kątem prostym przy wierzchołku C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość oznaczoną h, do punktu D, leżącego na przeciwprostokątnej A B. Długość odcinka B D wynosi y, natomiast długość odcinka A D wynosi x.

prawdziwa jest równość $h = \sqrt{x y}$ .

Zastosuj twierdzenie Pitagorasa dla trójkątów $A D C$ , $C D B$ i $A B C$ .

Przyjmijmy standardowe oznaczenia długości przyprostokątnych trójkąta $A B C$ .

R6GSA9L1FCGR5

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów $A D C$ , $C D B$ i $A B C$ otrzymujemy

$x^{2} + h^{2} = b^{2}$ i $y^{2} + h^{2} = a^{2}$ i $a^{2} + b^{2} = {(x + y)}^{2}$ .

Ostatnie równanie możemy zapisać w postaci $a^{2} + b^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ , więc stąd i z dwóch pierwszych równań otrzymujemy $y^{2} + h^{2} + x^{2} + h^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ , czyli $2 h^{2} = 2 x y$ , więc $h^{2} = x y$ .

Stąd $h = \sqrt{x y}$ , co kończy dowód.

Ćwiczenie 4

Kwadraty zbudowane na przyprostokątnych trójkąta $A B C$ zostały rozcięte na osiem trójkątów prostą zawierającą przekątne tych kwadratów i prostymi prostopadłymi do przeciwprostokątnej trójkąta $A B C$ , tak jak na rysunku.

R8UEBPPPLL5PA

Jak ułożyć te osiem trójkątów, aby zbudować kwadrat na przeciwprostokątnej trójkąta $A B C$ ? To kolejny dowód twierdzenia Pitagorasa.

R1UXXSMN36EHO2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Wykaż, że w trapezie prostokątnym suma kwadratu długości dłuższej podstawy i kwadratu długości krótszej przekątnej jest równa sumie kwadratu długości krótszej podstawy i kwadratu długości dłuższej przekątnej.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R1RAUHKTSBE2P

Na ilustracji przedstawiono trapez prostokątny A B C D. Dolną podstawę A B oznaczono literą a, natomiast górną podstawę C D oznaczono literą b. Bok A D oznaczono h. Poprowadzono przekątną A C, oznaczoną literą c, oraz przekątną B D, oznaczoną literą d.

Wtedy tezę możemy zapisać w postaci $a^{2} + c^{2} = b^{2} + d^{2}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów $A B D$ i $A C D$ otrzymujemy

$h^{2} + a^{2} = d^{2}$ oraz $h^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Odejmując stronami te równania, otrzymujemy

$a^{2} - b^{2} = d^{2} - c^{2}$ .

Stąd

$a^{2} + c^{2} = b^{2} + d^{2}$ .

To kończy dowód.

Ćwiczenie 6

Punkt $P$ leży wewnątrz kwadratu $A B C D$ .

R1SSUGPCV53KR

Ilustracja przedstawia kwadrat A B C D. W jego dolnej lewej części zaznaczono punkt P i poprowadzono cztery odcinki: A P oraz B P oraz C P o raz D P.

Udowodnij, że ${|A P|}^{2} + {|C P|}^{2} = {|B P|}^{2} + {|D P|}^{2}$ .

Narysuj wysokości w trójkatach $A B P$ , $B C P$ , $C D P$ i $A D P$ . Zastosuj twierdzenie Piragorasa do powstałych trójkatów prostokątnych.

Poprowadźmy przez punkt $P$ proste równoległe do boków kwadratu, punkty ich przecięcia z bokami kwadratu oznaczmy przez $E$ , $F$ , $G$ i $H$ oraz niech $a = |A B|$ , $x = |H P|$ , $y = |P E|$ , jak na rysunku.

R2BSXP9LTDDZN

Ilustracja przedstawia kwadrat A B C D. W jego dolnej lewej części zaznaczono punkt P i poprowadzono cztery odcinki: A P oraz B P oraz C P o raz D P. Przez punkt P poprowadzono dwa prostopadłe odcinki o końcach znajdujących się na bokach kwadratu. Odcinek G E, gdzie punkt G leży na górnym boku C D, a punkt E leży na dolnym boku A B. Poziomy odcinek przechodzący przez punkt P to odcinek H F, gdzie punkt H leży na lewym boku A D, a punkt F leży na prawym boku B C. Poziomy odcinek H P oznaczono jako x, a pionowy odcinek P E oznaczono literą y, odcinek leżący na dolnym boku kwadratu E B oznaczono literą a.

Wtedy $|P F| = a - x$ oraz $|P G| = a - y$ .

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów $A E P$ , $E B P$ , $P F C$ i $H P D$ otrzymujemy równości

${|A P|}^{2} = x^{2} + y^{2}$ ,

${|B P|}^{2} = {(a - x)}^{2} + y^{2}$ ,

${|C P|}^{2} = {(a - x)}^{2} + {(a - y)}^{2}$ ,

${|D P|}^{2} = x^{2} + {(a - y)}^{2}$ .

Zatem

${|A P|}^{2} + {|C P|}^{2} = x^{2} + y^{2} + {(a - x)}^{2} + {(a - y)}^{2} =$

$= {(a - x)}^{2} + y^{2} + x^{2} + {(a - y)}^{2} = {|B P|}^{2} + {|D P|}^{2}$ .

To kończy dowód.

Słownik

trójka pitagorejska

ciąg $(a, b, c)$ liczb całkowitych dodatnich, które są długościami boków trójkąta prostokątnego nazywamy trójką pitagorejską

2. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa