1. Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30, 45, 60 stopni - Zastosowanie funkcji trygonometrycznych kąta ostrego

R1H5SCAMV8UD5

1. Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów $30 °$ , $45 °$ , $60 °$

Efekt Halo to jedno z najwspanialszych zjawisk widocznych na niebie. To świetlisty, biały lub zawierający kolor tęczy pierścień widoczny wokół Słońca lub Księżyca. Powstaje przy przejściu światła słonecznego lub księżycowego przez chmurę zawierającą bardzo drobne kryształki lodu z różnie zorientowanymi ścianami łamiącymi. Najczęściej występującym efektem Halo jest Halo $22 °$ powstające przez załamanie na powierzchniach kryształów o kącie łamiącym $60 °$ .

ROVPNKV33VHOA1

Fotografia prezentuje efekt halo wokół Słońca. Na niebie widoczne Słońce przebijające przez chmury. Wokół Słońca tworzy kolista tęcza.

Koloseum, czyli amfiteatr Flawiuszy, jest jednym z najbardziej znanych symboli Rzymu i jedną z najwspanialszych budowli antycznych. Jego budowę rozpoczęto prawdopodobnie ok. $72$ roku n.e. Nachylenie niższych poziomów widowni pod kątem $30 °$ umożliwiało widzom dokładną obserwację wydarzeń rozgrywających się na arenie.

W tym materiale wyprowadzimy wartości funkcji trygonometrycznych kątów $30 °$ , $45 °$ , $60 °$ .

Twoje cele

Wyprowadzisz wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów: $60 °$ , $30 °$ i $45 °$ .
Wykorzystasz wartości funkcji trygonometrycznych kątów $60 °$ , $30 °$ i $45 °$ do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich.
Zastosujesz funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

Definicje funkcji trygonometrycznych - przypomnienie

Wartości funkcji trygonometrycznych kątów $60 °$ i $30 °$

Aby wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych kątów $60 °$ i $30 °$ , posłużymy się trójkątem równobocznym $A B C$ o boku $a$ .

RDXE21FNHNKSK

Grafika przedstawia trójkąt. Podstawa trójkąta ma wierzchołki A i B. Trzeci wierzchołek jest podpisany literą C. W trójkącie narysowana jest wysokość. Wysokość jest podpisana literą h. Miejsce w którym odcinek, będący wysokością trójkąta, łączy się z podstawą trójkąta zaznaczono literą D. Ramiona trójkąta mają długość a. Odcinek AD ma długość jedna druga a. Wysokość jest pod kątem prostym do podstawy trójkąta. Pomiędzy podstawą trójkąta a jego ramieniem jest kąt 60 stopni. Pomiędzy ramieniem trójkąta a jego wysokością jest kąt 30 stopni. Obok trójkąta jest karteczka z napisem: Zauważmy, że w trójkącie prostokątnym długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30 stopni jest połową długości przeciwprostokątnej.

Zauważmy, że wysokość $C D$ dzieli trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne stąd $|A D| = |D B| = \frac{a}{2}$ oraz kąt $A C D$ ma miarę $30 °$ .

Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta $A D C$ wyznaczymy wysokość $C D$ trójkąta $A B C$ .

{(\frac{a}{2})}^{2} + h^{2} = a^{2}

h^{2} = a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{3}{4} a^{2}

h = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Wobec powyższego:

\sin 60 ° = \frac{|C D|}{|A C|} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos 60 ° = \frac{|A D|}{|A C|} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}

tg 60 ° = \frac{|C D|}{|A D|} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3}

Podobnie:

$\sin 30 ° = \frac{|A D|}{|A C|} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}$

$\cos 30 ° = \frac{|C D|}{|A C|} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$tg 30 ° = \frac{|A D|}{|C D|} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Zbierzmy wyliczone wartości funkcji trygonometrycznych w tabeli:

$α$	$30 °$	$60 °$
$\sin α$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos α$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg α$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$

Przykład 1

W trójkącie prostokątnym długość przeciwprostokątnej jest równa $9$ , a jeden z kątów ostrych jest równy $60 °$ . Obliczymy długości obu przyprostokątnych.

RQ2G8HVXC978C

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Pionowa przyprostokątna jest oznaczona literą a. Pozioma przyprostokątna jest oznaczona literą b. Przeciwprostokątna ma długość dziewięć. Kąt między poziomą przyprostokątną a przeciwprostokątną ma 60 stopni.

Rozwiązanie

Trójkąt jest prostokątny, możemy zastosować funkcje trygonometryczne.

Długość boku $a$ wyznaczymy z funkcji sinus:

$\sin 60 ° = \frac{a}{9}$ i $\sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{9}$

$2 \cdot a = \sqrt{3} \cdot 9$

$a = 4, 5 \sqrt{3} cm$

Bok $b$ wyznaczymy z funkcji cosinus:

$\cos 60 ° = \frac{b}{9}$ i $\cos 60 ° = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} = \frac{b}{9}$

$b = 4, 5$

Mogliśmy $b$ wyznaczyć, wykorzystując fakt, że długość przyprostokątnej trójkąta prostokątnego leżącej przy kącie $60 °$ jest równa połowie długości przeciwprostokątnej, czyli $b = 9 : 2 = 4, 5$ .

Odpowiedź:

Przyprostokątne mają długość: $a = 4, 5 \sqrt{3}$ i $b = 4, 5$ .

Przykład 2

Obliczymy pole romburombrombu mając daną długość jego boku $12 cm$ i kąt ostry $60 °$ .

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenia: $h$ – wysokość rombu,
$a$ – długość boku rombu.

R1V4O1ELRXVFG

Grafika przedstawia romb. Kąt ostry rombu ma 60 stopni. Długość boku rombu to a. W rombie narysowana jest jego krótsza przekątna, która dzieli równoległobok na dwa trójkąty. W trójkącie, składającym się z: dolnej podstawy rombu, boku rombu oraz jego przekątnej zaznaczono wysokość. Wysokość podpisana jest literą h. Wysokość jest pod kątem prostym do podstawy.

Z treści zadania: $a = 12 cm$ .

Wzór na pole rombu:

P = a \cdot h

Aby wyliczyć pole rombu musimy wyznaczyć jego wysokość $h$ .

Wysokość jest prostopadła do boku $a$ , możemy więc skorzystać z funkcji sinus.

$\frac{h}{a} = \sin 60 °$ i $\sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{h}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$h = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$h = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}$

$h = 6 \sqrt{3} cm$

$P = a \cdot h = 12 \cdot 6 \sqrt{3} = 72 \sqrt{3}$

$P = 72 \sqrt{3} {cm}^{2}$

Odpowiedź:

Pole rombu wynosi $72 \sqrt{3} {cm}^{2}$ .

Przykład 3

Przekątna prostokąta ma długość $2$ i tworzy z dłuższym bokiem kąt $30 °$ . Obliczymy pole tego prostokąta.

Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku:

R1F38MRQUP821

Rysunek przedstawia prostokąt. W prostokącie narysowana jest jego przekątna. Poziomy bok prostokąta podpisany jest literą b. Pionowy bok prostokąta podpisany jest literą a. Przekątna prostokąta ma długość dwa. Kąt pomiędzy przekątną a poziomą ścianą prostokąta to 30 stopni.

Pole prostokąta wyliczymy ze wzoru:

P = a \cdot b

Przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne – możemy do wyznaczenia długości boków zastosować funkcje trygonometryczne. Długość boku $a$ wyznaczymy z funkcji sinus:

$\sin 30 ° = \frac{a}{2}$ i $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ , więc $\frac{1}{2} = \frac{a}{2}$ ,

$2 \cdot a = 1 \cdot 2$ , stąd $a = 1$ .

Możemy $a$ wyznaczyć również wykorzystując fakt, że długość przyprostokątnej trójkąta prostokątnego leżącej naprzeciw kąta $30 °$ jest połową długości przeciwprostokątnej czyli $a = 2 : 2 = 1$ .

Bok $b$ wyznaczymy z funkcji cosinus:

$\cos 30 ° = \frac{b}{2}$ i $\cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , czyli $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b}{2}$ ,

$b \cdot 2 = \sqrt{3} \cdot 2$ , więc $b = \sqrt{3}$

Odpowiedź:

Przyprostokątne mają długość: $a = 1$ i $b = \sqrt{3}$ .

Przykład 4

Proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie $O$ i tworzą kąt o mierze $30 °$ . Na prostej $k$ obieramy punkt $A$ . Obliczmy odległość tego punktu od prostejodległość punktu $P$ od prostej $k$ odległość tego punktu od prostej $l$ wiedząc, że $|O A| = 8 cm$ .

Odległość punktu $P$ od prostej $k$ – długość odcinka prostej prostopadłej do $k$ , którego końcami są punkt $P$ i punkt przecięcia z prostą $k$ .

R1ZVC6X1EXMLQ

Rysunek przedstawia dwie proste l i k. Proste przecinają się w punkcie O. Mniejszy kąt między prostymi to 30 stopni. Po lewej stronie od przecięcia się prostych na prostej k jest punkt A, a na prostej l jest punkt B. Punkty A i B połączone są linią podpisaną literą x. Linia ta jest poprowadzona pod kątem prostym do prostej l.

Przyjmijmy następujące oznaczenie:

$x$ – odległość punktu $A$ od prostej $l$
$|O A| = 8 cm$

Trójkąt $O A B$ jest prostokątny – możemy, wykorzystując funkcję trygonometryczną sinus, obliczyć $x$ :

$\frac{x}{|O A|} = \sin 30 °$ , $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ i $|O A| = 8 cm$ , więc

$\frac{x}{8} = \frac{1}{2}$

$x = 8 \cdot \frac{1}{2}$ , stąd $x = 4 cm$ .

Odpowiedź:

Odległość punktu $A$ od prostej $l$ wynosi $4 cm$ .

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta $45 °$

Zacznijmy od przeanalizowania poniższego rysunku.

R1J659KSOGURP

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny równoramienny ABC. Przy wierzchołku A oznaczono kąt 90 stopni, przy wierzchołkach B i C oznaczono kąty 45 stopni. Bok AC będący podstawą ma długość 1, pionowy bok AB ma również długość 1, a przekątna BC ma długość pierwiastek kwadratowy z dwóch.

Przedstawiony został równoramienny i prostokątny trójkąt $A B C$ . Ramiona w takim trójkącie stanowią jednocześnie jego przyprostokątne i są równej długości. Ponadto, kąty $∢ A B C$ i $∢ B C A$ są sobie równe i wynoszą $45 °$ . Obliczymy wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla kąta $∢ A B C$ .

\sin 45 ° = \frac{|A C|}{|B C|} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos 45 ° = \frac{|A B|}{|B C|} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

tg 45 ° = \frac{|A C|}{|A B|} = \frac{1}{1} = 1

Znajomość powyższych wartości znajduje swoje zastosowania w różnych sytuacjach.

Przykład 5

Obliczymy pole trapezu równoramiennego $A B C D$ przedstawionego na poniższym rysunku.

R9N5EKE9FFJ5C

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Przy dolnych wierzchołkach A i B oznaczono kąty 45 stopni. Ramiona BC i AD mają długość pierwiastek kwadratowy z ośmiu każde. Górna podstawa CD ma długość trzy. Z wierzchołków C i D upuszczono wysokości: odpowiednio z wierzchołka C upuszczono wysokość do punktu F leżącego na dolnej podstawie, a z wierzchołka D upuszczono wysokość do punktu E leżącego na dolnej podstawie. Przy punktach E i F oznaczono kąty proste między wysokościami a dolną podstawą.

Zauważmy, że punkty $F B C$ tworzą trójkąt równoramienny prostokątny, gdzie odcinek $C F$ jest wysokością trapezu.

Znamy długość przeciwprostokątnej, zatem korzystając z wartości sinusa $45 °$ możemy znaleźć wysokość.

Oznaczając długość odcinka $C F$ przez $h$ mamy:

$\sin 45 ° = \frac{h}{\sqrt{8}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{2 \sqrt{2}}$

Mnożąc stronami równość przez $2 \sqrt{2}$ otrzymujemy wartość $h$ :

$h = \frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Zatem wysokość trapezu $A B C D$ wynosi $h = 2$ .

Aby obliczyć żądane pole powierzchni, brakuje nam jeszcze informacji o długości dolnej podstawy.

Możemy zauważyć, że odcinek $|F B| = |C F| = 2$ .

Ponadto odcinek $|A D| = \sqrt{8}$ , gdyż trapez $A B C D$ jest równoramienny.

W identyczny sposób jak dla trójkąta $F B C$ , możemy policzyć długości boków trójkąta $A E D$ .

Stąd otrzymamy, że odcinek $A E$ ma również długość $|A E| = 2$ .

Długość odcinka $E F$ też jest nam znana, albowiem $|E F| = |C D| = 3$ .

Wynika to z faktu, że $E F C D$ jest prostokątem.

Zatem długość dolnej podstawy wynosi $|A B| = 2 + 3 + 2 = 7$ .

Korzystając ze wzoru na pole trapezu, uzyskujemy końcowy wynik

$P = \frac{(3 + 7) \cdot 2}{2} = 10$ .

Czasami w zadaniu musimy skorzystać z funkcji trygonometrycznych kąta $45 °$ wielokrotnie by osiągnąć zamierzony cel. Dobrze ilustruje to następujący przykład.

Przykład 6

Bardzo prosty szkic muszli amonitu uzyskano poprzez narysowanie trójkąta prostokątnego równoramiennego $A B C$ , a następnie narysowaniu czterech trójkątów do niego podobnych. Każdy kolejny trójkąt dorysowywano w taki sposób, że przeciwprostokątna poprzedniego trójkąta stawała się przyprostokątną dla kolejnego z nich. Otrzymany rysunek widoczny jest poniżej.

R1XD8DHUMKKOM

Ilustracja przedstawia pięć trójkątów prostokątnych równoramiennych o wspólnym wierzchołku A i pewnych wspólnych bokach. Trójkąty są coraz większe i każdy kolejny trójkąt oparty jest na przeciwprostokątnej poprzedniego, mniejszego trójkąta. Łącznie figury układają się w spiralę. Pierwszy, najmniejszy trójkąt to trójkąt ABC, gdzie przy wierzchołku B oznaczono kąt prosty, a przy wierzchołku A kąt 45 stopni. Kolejny, większy trójkąt, to trójkąt ACD, gdzie przy wierzchołku C oznaczono kąt prosty, przy A kąt 45 stopni. Na przeciwprostokątnej AD oparto kolejny, większy trójkąt ADE. Przy wierzchołku D oznaczono kąt prosty, przy A 45 stopni. Na przeciwprostokątnej AE oparto kolejny, większy trójkąt AEF. Przy wierzchołku E oznaczono kąt prosty, przy A 45 stopni. Na przeciwprostokątnej AF oparto kolejny, większy trójkąt AFG. Przy wierzchołku G oznaczono kąt prosty, przy A 45 stopni.

Pole tego szkicu wynosi $P = 217 {cm}^{2}$ . Jaką długość ma odcinek $A B$ ? Oblicz obwód tego wielokąta.

Dla ułatwienia oznaczmy długość odcinka $A B$ przez $a$ .

Wówczas pole powierzchni trójkąta $A B C$ wynosi $P_{A B C} = \frac{a^{2}}{2}$ , zaś

$|C D| = |A C| = \frac{a}{\sin 45 °} = \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = a \sqrt{2}$ .

Zauważmy, że korzystając z tej samej wartości funkcji sinus jesteśmy w stanie wyznaczyć długości wszystkich pozostałych odcinków na tym rysunku:

$|D E| = |A D| = |A C| \cdot \sqrt{2} = 2 a$ ;
$|E F| = |A E| = |A D| \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} a$ ;
$|A F| = |F G| = |A E| \cdot \sqrt{2} = 4 a$ ;
$|A G| = |A F| \cdot \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} a$ .

Rozważany przez nas wielokąt jest podzielony na trójkąty, których pola w łatwy sposób jesteśmy w stanie obliczyć.

Mamy bowiem:

$P_{A C D} = \frac{|C D| \cdot |A C|}{2} = \frac{2 a^{2}}{2} = a^{2}$ ;
$P_{A D E} = \frac{|D E| \cdot |A D|}{2} = \frac{2 \cdot 2 a^{2}}{2} = 2 a^{2}$ ;
$P_{A E F} = \frac{|E F| \cdot |A E|}{2} = 4 a^{2}$ ;
$P_{A F G} = \frac{|F G| \cdot |A F|}{2} = 8 a^{2}$ .

Łączne pole powierzchni całego rozważanego wielokąta wynosi zatem:

$P = P_{A B C} + P_{A C D} + P_{A D E} + P_{A E F} + P_{A F G} = 15 \frac{1}{2} a^{2}$ .

Podstawiając znaną nam wartość $P$ otrzymujemy proste równanie kwadratowe, z którego jesteśmy w stanie wyliczyć długość boku $A B$ .

$217 {cm}^{2} = \frac{31 a^{2}}{2}$ ,

$\frac{434}{31} {cm}^{2} = a^{2}$ ,

$a^{2} = 14 {cm}^{2}$ ,

$a = \sqrt{14} cm \lor a = - \sqrt{14} cm$ .

Oczywiście długość boku trójkąta nie może być liczbą ujemną, więc

$|A B| = \sqrt{14} cm$ .

Obwód rozważanego wielokąta otrzymamy sumując odpowiednie długości boków rozpatrywanych w zadaniu trójkątów.

Mamy zatem

$l = |A B| + |B C| + |C D| + |D E| + |E F| + |F G| + |A G| =$

$= a + a + a \sqrt{2} + 2 a + 2 \sqrt{2} a + 4 a + 4 \sqrt{2} a =$

$= 8 a + 7 \sqrt{2} a = (8 \sqrt{14} + 7 \sqrt{28}) cm$ .

Ostatecznie obwód tego wielokąta wynosi $8 \sqrt{14} + 14 \sqrt{7} cm$ , zaś długość boku $A B$ to $\sqrt{14} cm$ .

Animacje multimedialne

Animacja przedstawia wyprowadzenie wartości funkcji trygonometrycznych kąta $60 °$ . Zapoznaj się z nią. Następnie rozwiąż polecenia i porównaj z odpowiedziami.

R1GTGVDTSJS19

Polecenie 1

Dane są trójkąty prostokątne:

R1BTAMK444BA5

Rysunek przedstawia 3 trójkąty prostokątne. Jedna przyprostokątna pierwszego trójkąta ma długość 5 pierwiastków kwadratowych z trzech. Przeciwprostokątna ma długość dziesięć. Kąt pomiędzy drugą przyprostokątną a przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Przyprostokątna drugiego trójkąta ma długość 4, przeciwprostokątna ma długość 8, kąt między przyprostokątną o długości 4 i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Jedna z przyprostokątnych trzeciego trójkąta ma długość pierwiastek kwadratowy z dwunastu, a druga przyprostokątna ma długość trzy. Kąt pomiędzy przyprostokątną o długości 3, a przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa.

Na których rysunkach kąt $α$ ma miarę $60 °$ ?

a) $\sin α = \frac{5 \sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60 °$ , czyli $α = 60 °$ ,

b) $\cos α = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = \cos 60 °$ , czyli $α = 60 °$ ,

c) $tg α = \frac{\sqrt{12}}{3} = \frac{\sqrt{4 \cdot 3}}{3} = \frac{\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3} \neq tg 60 ° = \sqrt{3}$ miara kąta $α$ nie wynosi $60 °$ .

Polecenie 2

Dany jest trójkąt $A B C$ , w którym $|A C| = 10$ , $|B C| = 4$ i $|∢ A C B| = 60 °$ . Na jakie odcinki wysokość poprowadzona z wierzchołka $B$ dzieli bok $A C$ ?

R1TS98LJTG5GX

Rysunek przedstawia trójkąt o wierzchołkach: A, B oraz C. Długość odcinka BC to cztery. Długość odcinka AC to 10, Kąt między odcinkiem BC i AC wynosi 60 stopni.

R1JFXHGVFZ7NT

Rysunek przedstawia trójkąt o wierzchołkach: A, B oraz C. Długość odcinka BC to 4, Długość odcinka AC to 10, Kąt między odcinkiem BC i AC wynosi 60 stopni. Z wierzchołka B poprowadzona została linia pod kątem prostym do odcinka AC. Punkt przecięcia tej linii z odcinkiem AC zaznaczono literą D. Odcinek C,D oznaczono literą x.

Trójkąt $B D C$ jest prostokątny (bo $B D$ jest wysokością):

$\frac{x}{4} = \cos 60 °$ i $\cos 60 ° = \frac{1}{2}$

$x = 4 \cdot \frac{1}{2}$

$x = 2$

$|C D| = 2$

$|A D| = |A C| - |D C|$

$|A D| = 10 - 2 = 8$

$|A D| = 8$

Odpowiedź:

Wysokość poprowadzona z wierzchołka $B$ dzieli bok $A C$ na odcinki o długościach $2$ i $8$ .

Animacja przedstawia wyprowadzenie wartości funkcji trygonometrycznych kąta $30 °$ . Zapoznaj się z nią, rozwiąż polecenia i porównaj z odpowiedziami.

R51N5FEOK8LOT

Polecenie 3

Dany jest trójkąt prostokątny:

RE5DNPQLETO1X

Rysunek przedstawia 3 trójkąty prostokątne. Pierwszy trójkąt podpisany jest literą a. Pierwsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość 2 pierwiastek z 3. Przeciwprostokątna ma długość 4. Kąt pomiędzy drugą przyprostokątną a przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Drugi trójkąt podpisany jest literą b. Pierwsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość 5. Przeciwprostokątna ma długość 10. Kąt między przyprostokątną o długości 5 i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Trzeci trójkąt jest podpisany literą c. Jego jedna przyprostokątna ma długość pierwiastek z 12, a druga przyprostokątna ma długość 6. Kąt pomiędzy przyprostokątną o długości 6 a przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa.

Czy kąt $α$ ma miarę $30 °$ ?

a) $\sin α = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq \sin 30 ° = \frac{1}{2}$ , czyli $α \neq 30 °$

b) $\cos α = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \neq \cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , czyli $α \neq 30 °$

c) $tg α = \frac{\sqrt{12}}{6} = \frac{\sqrt{4 \cdot 3}}{6} = \frac{\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{2 \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} = tg 30 °$ , czyli $α = 30 °$

Polecenie 4

Oblicz pole równoległoboku przedstawionego na rysunku:

R159ALLNMPNSM

Rysunek przedstawia równoległobok. Wierzchołki równoległoboku są podpisane literami: A, B, C, D. Dolna podstawa równoległoboku to AB. Górna podstawa to DC. Odcinek DB dzieli równoległobok na 2 trójkąty. Kąt ostry pomiędzy podstawą AB równoległoboku a jego bokiem AD to 30 stopni.

Gdy $|A D| = 6 cm$ , $|B D| = 5 cm$ .

R1H5OF334XK8N

Z trójkąta prostokątnego $A E D$ wyliczamy $h$ i $x$ :

Ponieważ $\frac{h}{6} = \sin 30 °$ i $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ , więc

$\frac{h}{6} = \frac{1}{2}$ , stąd $h = 3 cm$ .

Obliczamy $x$ :

$\frac{x}{6} = \cos 60 °$ i $\cos 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , więc

$\frac{x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , stąd otrzymujemy $x = 3 \sqrt{3} cm$ .

Z trójkąta prostokątnego $D E B$ , stosując twierdzenie Pitagorasa wyznaczamy $y$ :

$h^{2} + y^{2} = 5^{2}$ i $h = 3 cm$ , więc

$3^{2} + y^{2} = 25$ stąd $y = 4 cm$ .

Możemy teraz podać długość boku $A B$ :

$|A B| = x + y = (3 \sqrt{3} + 4) cm$ .

Do wzoru na pole równoległoboku:

$P = |A B| \cdot h$

podstawiamy $|A B| = (3 \sqrt{3} + 4) cm$ , $h = 3 cm$ i otrzymujemy

$P = 3 \cdot (3 \sqrt{3} + 4) {cm}^{2}$ .

Odpowiedź:

Pole równoległoboku wynosi $3 \cdot (3 \sqrt{3} + 4) {cm}^{2}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

fullpage

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R6S1FD9K28LAA

R1U49PH2J3UD2

Ćwiczenie 2

R1PFALASLCTM5

R12JR67ZCAE29

RRXO37C7AE3152

Ćwiczenie 3

RPDBQ9B9NXPMX2

Ćwiczenie 4

R1DND365JJK822

Ćwiczenie 5

R72BKPHZPTS2N2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Dany jest trapez prostokątny $A B C D$ (jak na rysunku poniżej), w którym krótsza przekątna jest równa $10 \sqrt{3}$ , a dłuższe ramię tworzy z dłuższą podstawą kąt $60 °$ .

ROUDUMO13ZD73

Rysunek przedstawia trapez prostokątny, którego wierzchołki oznaczone są literami: A, B, C i D. Przekątna trapezu dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Przekątna trapezu ma długość 10√3. Przekątna stanowi przeciwprostokątną trójkąta A, C, D. Przyprostokątne tego trójkąta do bok CD będący górną podstawą trapezu i bok DA będący prostopadłym bokiem trapezu. W drugim trójkącie przekątna trapezu stanowi jedną z jego przyprostokątnych, drugą przyprostokątną jest ramię BC trapezu. Przeciwprostokątna tego trójkąta to podstawa trapezu AB.

RRDLJX19U6VEZ

Ćwiczenie 8

RMCJBHADOS3PK

R1BT2BUD532KA1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

RD3RM2SBPFPXE

R1D7LUXU1AVV3

RVUASQO3MKVGA

Ćwiczenie 11

R1NS9DMFA3AX3

RB98QQL5THBOK

R1ETBP2C7847A

R1831M1ULPPEM

R15J5Q7Z2XADC

R3CEHCH4VA1UX2

Ćwiczenie 12

RM1S638TCLAOA2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Dany jest równoległobok o kącie ostrym $30 °$ , którego krótsza przekątna jest równa $10$ , a krótszy bok ma długość $8$ (jak na rysunku poniżej).

RMBL8BASBKS4F

Rysunek przedstawia równoległobok. Kąt ostry równoległoboku ma wartość 30 stopni. Bok równoległoboku ma długość 8, Krótsza przekątna równoległoboku ma długość 10

RNUD2HAB7HZPQ

R1QSER8L5MQOO1

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Na podstawie załączonego rysunku zaznacz poprawną odpowiedź.

R17XHM9KOZS22

Rysunek przedstawia trapez prostokątny A B C D. Z górnego prawego wierzchołka figury upuszczono wysokość C E o długości dwa. Kawałek dolnej podstawy, czyli odcinek A E ma długość pięć. Wysokość trapezu wraz z lewym ramieniem i kawałkiem dolnej podstawy tworzą trójkąt prostokątny równoramienny C E D, gdzie przy wierzchołku E znajduje się kąt prosty, a przy wierzchołkach C oraz D znajdują się kąty 45 stopni.

R19QPT7PCK4L7

Ćwiczenie 17

Na podstawie załączonego rysunku oblicz, ile wynosi pole poniższego trapezu.

RG8NQQ7SH7FZO

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny A B C D o górnej podstawie C D o długości 4 oraz ramionach A D i B C o długości pierwiastek z osiemnastu każde. Przy wierzchołkach dolnej podstawy, czyli przy A i B oznaczono kąty 45 stopni. Z wierzchołka D upuszczono wysokość D E, a z wierzchołka C upuszczono wysokość C F. Przy punktach E i F leżących na dolnej podstawie A B oznaczono kąty proste.

Pokaż podpowiedź

Zauważ, że punkty $F B C$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Zastosuj funkcje trygonometryczne w tym trójkącie.

Zauważmy, że połączone odcinkami punkty $F B C$ tworzą trójkąt równoramienny prostokątny, przy czym odcinek $C F$ jest wysokością tego trapezu.

Znamy długość przeciwprostokątnej, zatem korzystając z wartości sinusa $45 °$ możemy znaleźć wysokość. Oznaczmy odcinek $C F$ przez $h$ . Wówczas:

$\sin 45 ° = \frac{h}{\sqrt{18}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{3 \sqrt{2}}$

$h = \frac{3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Zatem wysokość $C F$ wynosi $h = 3$ .

Obliczenie pola powierzchni wymaga też, abyśmy znali długość odcinka $A B$ .

Możemy zauważyć, że odcinki $F B$ i $C F$ mają długość taką samą jak wysokość tego trapezu, czyli $3$ .

Ponadto odcinek $A D = \sqrt{18}$ , gdyż trapez $A B C D$ jest równoramienny.

W identyczny sposób jak dla trójkąta $F B C$ , możemy policzyć boki trójkąta $A E D$ .

Stąd otrzymamy, że odcinek $A E$ ma długość $3$ .

Analogicznie jak w poprzedniej sekcji, długość odcinka $E F$ jest taka sama jak długość krótszej z podstaw.

Ostatecznie jesteśmy w stanie obliczyć długość dłuższej podstawy jako sumę długości trzech odcinków:

$|A B| = 4 + 3 + 3 = 10$

Ostatecznie, powołując się na wzór na pole powierzchni trapezu, mamy:

$P = \frac{(10 + 4) \cdot 3}{2} = 21$

Ćwiczenie 18

Punkt $C$ jest punktem przecięcia się przekątnych kwadratu $A B D E$ .

R1B8Q3AM8LA6G

Ilustracja przedstawia figurę A B C D E, która jest kwadratem z wyciętym z góry trójkątem prostokątnym równoramiennym. Boki A B i D E to pionowe boki o długości dwa. Bok A E to pozioma podstawa o długości dwa. W górnej części mamy wyciętą ćwiartkę kwadratu wyznaczoną przez przecinające się przekątne. Ta ćwiartka to trójkąt prostokątny równoramienny B C D. Przy wierzchołku C oznaczono kąt prosty. Kąty A B C oraz C D E mają 45 stopni każdy.

RMXAX9OU3CR8L

R1VLS3GLATZQR2

Ćwiczenie 19

Słownik

romb

czworokąt o wszystkich bokach równych, jest szczególnym przypadkiem równoległoboku; przeciwległe boki rombu są równoległe, przekątne dzielą się na połowy i są wzajemnie prostopadłe; są one równocześnie dwusiecznymi kątów

trapez

czworokąt, którego ma przynajmniej jedną parę boków równoległych;

przystawanie figur

własność figur geometrycznych; dwie figury są przystające jeżeli jedną można otrzymać z drugiej przez wykonanie pewnej ilości przesunięć, obrotów i symetrii

wysokość trapezu

odległość między podstawami trapezu

środek ciężkości trójkąta

punkt przecięcia się środkowych trójkąta, czyli odcinków łączących wierzchołki trójkąta ze środkami przeciwległych boków

odległość punktu

P

od prostej

k

odległość punktu

P

od prostej

k

długość odcinka prostej prostopadłej do $k$ , którego końcami są punkt $P$ i punkt przecięcia z prostą $k$

środkowa trójkąta

odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku; każdy trójkąt ma trzy środkowe, odpowiadające poszczególnym jego wierzchołkom

2. Zastosowanie wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych - wielokąty

Zastosowanie funkcji trygonometrycznych kąta ostrego