4. Układy równań liniowych - prędkość, droga, czas - Zastosowanie układów równań liniowych

R1ZGR48B6HTV7

4. Układy równań liniowych - prędkość, droga, czas

Czym jest prędkość? Intuicyjnie czujemy, że prędkość ma związek z długością pokonanego dystansu w określonym czasie. Na przykład samolot poruszający się z dużą prędkością w krótkim czasie pokona dużą odległość, a żółw, który porusza się z małą prędkością, pokona niewielką odległość w długim czasie. W przypadku żółwia moglibyśmy powiedzieć, że to nie mała prędkość lecz „duża wolność”... Ale w fizyce nie używamy słowa „wolność”. Jest tylko prędkość lub szybkość.

W niniejszym materiale będziemy się zajmować średnią prędkościąprędkość średniaśrednią prędkością w ruchu jednostajnym prostoliniowym, a więc będziemy zakładać, że prędkość to stosunek długości przebytej drogi do czasu, w którym dany obiekt przebył tę drogę.

Twoje cele

Opiszesz zależności pomiędzy drogą, czasem i prędkością w postaci układu równań liniowych.
Wyznaczysz średnią prędkość poruszających się ciał.
Dowiesz się, jak prędkość wiatru wpływa na prędkość samolotu, a prędkość nurtu rzeki – na prędkość łodzi.
Rozwiązesz zadania na prędkość, drogę i czas.

Ważne!

Przy oznaczeniach:

$s$ – długość drogi (w $km$ ),
$t$ – czas (w $h$ ),
$v$ – prędkość (w $\frac{km}{h}$ ),

zachodzą zależności:

v = \frac{s}{t}

s = v \cdot t

Według Międzynarodowego Układu Jednostek Miar (SI), jednostką prędkości jest metr na sekundę, czyli $[\frac{m}{s}]$ , ale częściej będziemy używać kilometrów na godzinę, a więc $[\frac{km}{h}]$ .

Warto przypomnieć, że $1 km = 1000 m$ , a $1 h = 60 \min = 3600 s$ .

Poniżej rozwiążemy klasyczne zadania związane z problematyką ruchu ciał, których rozwiązanie prowadzi do układu równań liniowych.

Przykład 1

Biuro Pani Moniki znajduje się w odległości $18 km$ od jej domu. Aby dostać się do biura, Pani Monika najpierw idzie z prędkością $5 \frac{km}{h}$ na przystanek metra, a potem jedzie metrem z prędkością $66 \frac{km}{h}$ . Cała droga zajmuje jej $33$ minuty. Obliczymy, ile minut Pani Monika jedzie metrem.

Rozwiązanie

Oznaczymy przez $t$ czas (w $h$ ) jazdy metrem. Wówczas czas potrzebny do przebycia drogi na przystanek zajmuje Pani Monice $\frac{33}{60} - t = \frac{11}{20} - t$ godzin.

Przez $s$ oznaczymy długość (w $km$ ) drogi, którą Pani Monka pokonuje metrem. Wtedy $18 - s$ to długość drogi (w $km$ ), którą Pani Monika pokonuje pieszo.

Zapiszemy układ równań, korzystając ze wzoru $s = v \cdot t$ .

$\{\begin{cases} 18 - s = 5 (\frac{11}{20} - t) \\ s = 66 \cdot t \end{cases}$

$\{\begin{cases} 18 - 66 t = \frac{11}{4} - 5 t | + 66 t \\ s = 66 t \end{cases}$

$\{\begin{cases} 18 = \frac{11}{4} + 61 t | - \frac{11}{4} \\ s = 66 t \end{cases}$

$\{\begin{cases} \frac{61}{4} = 61 t | : 61 \\ s = 66 t \end{cases}$

$\{\begin{cases} t = \frac{1}{4} h \\ s = 16, 5 k m \end{cases}$

Pani Monika jedzie metrem $15$ minut.

Przykład 2

Maciek i Kuba mieszkają w domach oddalonych od siebie o $1100 m$ . Postanowili razem pójść na boisko. Wyszli jednocześnie ze swoich domów i poruszali się naprzeciw siebie. Obliczymy po ilu minutach się spotkali, jeśli Maciek szedł z prędkością $5 \frac{km}{h}$ , a Kuba z prędkością $6 \frac{km}{h}$ . Obliczymy, ile metrów przeszedł każdy z chłopców.

Rozwiązanie

Domy były oddalone od siebie o $1100 m$ , czyli o $1, 1 km$ .

Niech $t$ oznacza czas (w $h$ ), po jakim chłopcy się spotkają, a $s$ niech oznacza długość drogi (w $km$ ), jaką przejdzie Maciek do momentu spotkania z Kubą. Droga Kuby wówczas będzie miała długość $1, 1 - s$ .

Zapiszemy układ równań:

$\{\begin{cases} 5 \cdot t = s \\ 6 \cdot t = 1, 1 - s \end{cases}$

$\{\begin{cases} 5 t = s \\ 6 t = 1, 1 - 5 t | + 5 t \end{cases}$

$\{\begin{cases} 5 t = s \\ 11 t = 1, 1 | : 11 \end{cases}$

${\begin{cases} s = 0, 5 \\ t = 0, 1 \end{cases}$

Koledzy spotkali się po $6$ minutach. Maciek przeszedł $0, 5 km$ czyli $500$ metrów, a Kuba przeszedł $600$ metrów.

Przykład 3

Z miast $A$ i $B$ oddalonych od siebie o $70 km$ wyruszają jednocześnie naprzeciw siebie dwa pociągi i spotykają się po $20$ minutach. Gdyby pociąg, który wyjechał z miasta $A$ , jechał z prędkością o $50 %$ większą, a pociąg, który wyruszył z miasta $B$ , jechał z prędkością o $45 \frac{km}{h}$ mniejszą, to pociągi również spotkałyby się po $20$ minutach. Obliczymy, z jakimi prędkościami średnimiprędkość średniaprędkościami średnimi poruszały się pociągi.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $v_{1}$ i $v_{2}$ prędkości pociągów (w $\frac{km}{h}$ ), które wyruszyły odpowiednio z miasta $A$ i z miasta $B$ . Niech $s$ oznacza długość drogi (w kilometrach), którą pokonał pociąg wyruszający z miasta $A$ do momentu spotkania z pociągiem wyruszającym z miasta $B$ . Długość drogi pociągu jadącego z $B$ wynosi zatem $(70 - s) km$ . Czas, po którym spotkały się pociągi, to $20$ minut, czyli $\frac{1}{3}$ godziny. Zapiszmy dane w tabeli:

Pociąg	Droga w $[km]$	Czas w $[h]$	Prędkość w $[\frac{km}{h}]$
Pociąg jadący z $A$	$s$	$\frac{1}{3}$	$v_{1}$
Pociąg jadący z $B$	$70 - s$	$\frac{1}{3}$	$v_{2}$

Wykorzystamy zależność między drogą, prędkością i czasem:

$s = \frac{1}{3} v_{1}$

$70 - s = \frac{1}{3} v_{2}$

Jeśli dodamy do siebie powyższe równania, to otrzymamy:

$\frac{1}{3} v_{1} + \frac{1}{3} v_{2} = 70 | \cdot 3$

$v_{1} + v_{2} = 210$

Zapiszmy tabelę dla drugiej sytuacji opisanej w treści zadania, oznaczając przez $s'$ drogę, którą pokonałby pociąg jadący z miasta $A$ do momentu spotkania z pociągiem jadącym z miasta $B$ . Czas pozostaje taki sam, natomiast zmieniają się prędkości z $v_{1}$ na $150 % v_{1} = \frac{3}{2} v_{1}$ i z $v_{2}$ na $v_{2} - 45$ .

Pociąg	Droga w $[km]$	Czas w $[h]$	Prędkość w $[\frac{km}{h}]$
Pociąg jadący z $A$	$s'$	$\frac{1}{3}$	$\frac{3}{2} v_{1}$
Pociąg jadący z $B$	$70 - s'$	$\frac{1}{3}$	$v_{2} - 45$

Zapisując zależności podane w tabeli w formie równań, otrzymujemy:

$s' = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} v_{1}$

$70 - s' = \frac{1}{3} (v_{2} - 45)$ ,

a stąd

$s' = \frac{1}{2} v_{1}$

$70 - s' = \frac{1}{3} v_{2} - 15$ .

Jeśli dodamy do siebie powyższe równania, to otrzymamy:

$\frac{1}{2} v_{1} + \frac{1}{3} v_{2} - 15 = 70 | \cdot 6$

$3 v_{1} + 2 v_{2} - 90 = 420 | + 90$

$3 v_{1} + 2 v_{2} = 510$

Teraz zapiszmy równania opisujące zależności pomiędzy $v_{1}$ i $v_{2}$ w formie układu równań:

$\{\begin{cases} v_{1} + v_{2} = 210 | \cdot (- 2) \\ 3 v_{1} + 2 v_{2} = 510 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 2 v_{1} - 2 v_{2} = - 420 \\ 3 v_{1} + 2 v_{2} = 510 \end{cases}$

Gdy dodamy do siebie równania stronami, otrzymamy:

$v_{1} = 90$ , a $v_{2} = 210 - v_{1} = 210 - 90 = 120$ .

Odpowiedź:

Pociąg, który wyruszył z miasta $A$ jechał z prędkością $90 \frac{km}{h}$ , a pociąg, który wyruszył z miasta $B$ – z prędkością $120 \frac{km}{h}$ .

Zdarza się, że samolot latający ze stałą prędkością pokonuje tę samą trasę w różnym czasie. Przyczyną tego może być wiatr. Otóż – jeśli samolot leci pod wiatr, to jego prędkość względem ziemi zmniejsza się, pomimo, że jego prędkość względemprędkość względnaprędkość względem powietrza się nie zmienia. Analogicznie – samolot lecący z wiatrem zwiększa swoją prędkość względem ziemi. Wówczas, jeśli przez $v_{s}$ oznaczymy prędkość samolotu względem powietrza, a przez $v_{w}$ – prędkość wiatru, to prędkość samolotu względem ziemi wynosi

v = v_{s} + v_{w}

gdy samolot leci z wiatrem i

v = v_{s} - v_{w}

gdy samolot leci pod wiatr. Dalej, przez prędkość samolotu będziemy rozumieć jego prędkość względem powietrza (inaczej prędkość własną).

Przykład 4

Samolot, lecąc ze stałą prędkością pod wiatr, pokonał trasę długości $3600 km$ w czasie $10$ godzin. Drogę powrotną, podczas której wiatr wiał z tą samą prędkością, ale w kierunku lotu, samolot (lecąc z tą samą prędkością własną) pokonał w czasie o godzinę krótszym. Obliczymy, jaka była prędkość samolotu, a jaka prędkość wiatru.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $v_{s}$ prędkość własną samolotu (w $\frac{km}{h}$ ), a przez $v_{w}$ prędkość wiatru (w $\frac{km}{h}$ ) i zapiszmy podane w zadaniu informacje w formie układu równań:

$\{\begin{cases} v_{s} - v_{w} = \frac{3600}{10} \\ v_{s} + v_{w} = \frac{3600}{9} \end{cases}$

$\{\begin{cases} v_{s} - v_{w} = 360 \\ v_{s} + v_{w} = 400 \end{cases}$

Gdy dodamy do siebie równania, to otrzymamy $2 v_{s} = 760$ , więc $v_{s} = 380 \frac{km}{h}$ , a $v_{w} = 20 \frac{km}{h}$ .

Samolot leciał z prędkością własną $380 \frac{km}{h}$ , a wiatr wiał z prędkością $20 \frac{km}{h}$ .

W analogiczny sposób możemy rozwiązywać zadania o statkach pływających po rzece. Prędkość statku względem ziemi jest sumą prędkości statku i prądu rzeki, gdy statek płynie z prądem oraz ich różnicą, gdy statek płynie pod prąd.

Przykład 5

Pewien turysta przepłynął kajakiem trasę długości $14 km$ w czasie $20$ minut, gdy płynął z prądem rzeki. W drodze powrotnej płynął pod prąd z tą samą prędkością własną, przy tej samej prędkości nurtu rzeki. Droga powrotna trwała o $10$ minut dłużej. Obliczymy prędkość własną kajaka i prędkość nurtu rzeki.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $v_{k}$ prędkość własną kajaka, a przez $v_{n}$ prędkość nurtu rzeki. Zauważmy, że $20$ minut, to $\frac{1}{3}$ godziny, a $30$ minut, to $\frac{1}{2}$ godziny i zapiszmy podane w zadaniu informacje w formie układu równań:

$\{\begin{cases} \frac{1}{2} (v_{k} - v_{n}) = 14 | \cdot 2 \\ \frac{1}{3} (v_{k} + v_{n}) = 14 | \cdot 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} v_{k} - v_{n} = 28 \\ v_{k} + v_{n} = 42 \end{cases}$

Gdy dodamy do siebie równania, to otrzymamy $2 v_{k} = 70$ , więc $v_{k} = 35 \frac{km}{h}$ , a $v_{n} = 7 \frac{km}{h}$ .

Prędkość własna kajaka wynosiła $35 \frac{km}{h}$ , a prędkość nurtu rzeki $7 \frac{km}{h}$ .

Przykład 6

Trasa samolotu ma długość $225 km$ . Samolot lecąc pod wiatr, pokonał pierwszą część trasy. Drugą część trasy pokonał przy bezwietrznej pogodzie z prędkością o $25 %$ większą w czasie o $9$ minut dłuższym. Gdyby podczas całej podróży pogoda była bezwietrzna, to podróż trwałaby o $3$ minuty krócej. Obliczymy, z jaką prędkością (w $\frac{km}{h}$ ) i w jakim czasie (w minutach) samolot pokonał pierwszą część trasy, z jaką prędkością (w $\frac{km}{h}$ ) i w jakim czasie (w minutach) pokonał drugą część i ile minut trwała cała podróż.

Rozwiązanie:

Niech $v$ oznacza prędkość (w $\frac{km}{h}$ ), z jaką samolot pokonał pierwszą część trasy, $t$ niech oznacza czas (w $h$ ), w ciągu którego przebył pierwszą część, a $s$ niech oznacza długość pierwszego etapu podróży (w $km$ ). Oczywiście $s = v \cdot t$ .

Podczas drugiego etapu podróży samolot leciał z prędkością o $25 %$ większą, czyli z prędkością równą $1, 25 v$ . Ponieważ cała trasa ma długość $225 km$ , więc drugi etap ma długość $225 - s$ , stąd $225 - v \cdot t$ . Druga część podróży trwała o $9$ minut dłużej, a to oznacza, że samolot pokonał drugą część trasy w czasie $t + 0, 15$ $h$ .

Wiadomo również, że gdyby całą drogę pokonał z prędkością $1, 25 v$ , to zajęłoby mu to $t + t + 0, 15 - 0, 05$ , czyli $2 t + 0, 1$ godziny.

Wielkość	$I$ część lotu	$II$ część lotu	Cała trasa
Droga	$v \cdot t$	$225 - v \cdot t$	$225$
Prędkość	$v$	$1, 25 v$	$1, 25 v$
Czas	$t$	$t + 0, 15$	$2 t + 0, 1$

Wykorzystując zależność:

$s = v \cdot t$ ,

dla drugiej części lotu oraz dla całej trasy pokonanej z prędkością $1, 25 v$ , otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 225 - v t = 1, 25 v (t + 0, 15) \\ 225 = 1, 25 v (2 t + 0, 1) \end{cases}$

$\{\begin{cases} 225 - v t = 1, 25 v t + 0, 1875 v | + v t \\ 225 = 2, 5 v t + 0, 125 v \end{cases}$

$\{\begin{cases} 225 = 2, 25 v t + 0, 1875 v | \cdot 10 \\ 225 = 2, 5 v t + 0, 125 v | \cdot (- 9) \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2250 = 22, 5 v t + 1, 875 v \\ - 2025 = - 22, 5 v t - 1, 125 v \end{cases}$

Po dodaniu do siebie równań stronami otrzymujemy, że $0, 75 v = 225 | : 0, 75$ , więc $v = 300 \frac{km}{h}$ .

Teraz wstawiając $v = 300$ do równania

$225 = 2, 5 v t + 0, 125 v$ ,

otrzymamy

$225 = 750 t + 37, 5 | - 37, 5$ ,

$750 t = 187, 5 | : 750$ ,

$t = 0, 25$ .

$0, 25$ godziny, to $15$ minut. Prędkość o $25 %$ większa od $300 \frac{km}{h}$ , to $375 \frac{km}{h}$ .

Samolot pokonał pierwszą część trasy z prędkością $300 \frac{km}{h}$ w czasie $15$ minut, a drugą część trasy z prędkością $375 \frac{km}{h}$ w czasie $24$ minut. Cała podróż trwała $39$ minut.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

fullpage

Pokaż ćwiczenia:

R19MVPHNTC9VX1

Ćwiczenie 1

RJLLTTNEZAOBO1

Ćwiczenie 2

R1QBFEA9E45EG2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Dworce kolejowe w Warszawie i Grudziądzu są oddalone od siebie o $315 km$ . O godzinie $8 : 30$ ze stacji w Warszawie wyrusza pociąg osobowy, który jedzie z średnią prędkością $70 \frac{km}{h}$ . O tej samej godzinie ze stacji w Grudziądzu wyrusza pociąg towarowy, który porusza się po przeciwległym torze z średnią prędkością $56 \frac{km}{h}$ . O której godzinie pasażerowie pociągu osobowego miną pociąg towarowy?

Zauważ, że jeśli oznaczymy przez $s$ drogę (w $km$ ), jaką pokona pociąg osobowy do momentu spotkania z pociągiem towarowym, droga jaką pokona pociąg towarowy wynosi $(315 - s) km$ . Pociągi jadą jednocześnie, więc czas przejazdu dla obu z nich jest taki sam.

Niech $s$ oznacza długość dystansu (w $km$ ), jaki pokona pociąg osobowy do momentu spotkania z pociągiem towarowym. Pociąg towarowy pokona zatem trasę długości $(315 - s) km$ . Niech $t$ oznacza czas (w $h$ ), po którym pociągi się miną. Zapiszmy układ równań.

$\{\begin{cases} 70 t = s \\ 56 t = 315 - s \end{cases}$

Po dodaniu równań stronami, otrzymujemy:

$126 t = 315 | : 126$ ,

zatem $t = 2, 5$ $h$ .

Pociągi miną się po $2, 5$ $h$ , czyli o godzinie $11 : 00$ .

Ćwiczenie 5

Struś i wilk wystartowali w tym samym czasie z mety owalnej bieżni długości $1200 m$ . Wilk biegł z prędkością $3 \frac{m}{s}$ , a struś z prędkością $5 \frac{m}{s}$ . Po jakim czasie wilk i struś spotkają się na bieżni?

Niech $s$ oznacza dystans (w $m$ ), który pokona wilk do momentu spotkania ze strusiem. Wtedy dystans strusia będzie wynosił $(s + 1200) m$ . Niech $t$ oznacza czas (w minutach), po którym wilk i struś spotkają się na bieżni.

Zapiszmy układ równań.

$\{\begin{cases} 5 t = s + 1200 \\ 3 t = s \end{cases}$

$\{\begin{cases} 5 t = 3 t + 1200 | - 3 t \\ 3 t = s \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 t = 1200 | : 2 \\ 3 t = s \end{cases}$

$\{\begin{cases} t = 600 s \\ s = 1800 m \end{cases}$

Wilk i struś spotkają się na bieżni po $10$ minutach.

Ćwiczenie 6

Samolot lecący z wiatrem z Warszawy do Chicago pokonał trasę długości $7520 km$ w osiem godzin. W drodze powrotnej rozwinął tą samą prędkość własną i lecąc pod wiatr, wiejący również z tą samą prędkością, pokonał trasę z Chicago do Warszawy w $10$ godzin. Z jaką przeciętną własną prędkością leciał samolot? Jaka była prędkość wiatru podczas tego lotu?

Oznaczymy przez $v_{s}$ prędkość własną samolotu (w $\frac{km}{h}$ ), a przez $v_{w}$ prędkość wiatru (w $\frac{km}{h}$ ) i zapiszemy podane w zadaniu informacje w formie układu równań:

$\{\begin{cases} (v_{s} + v_{w}) \cdot 8 = 7520 | : 8 \\ (v_{s} - v_{w}) \cdot 10 = 7520 | : 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} v_{s} + v_{w} = 940 \\ v_{s} - v_{w} = 752 \end{cases}$

Gdy dodamy równania stronami to otrzymamy $2 v_{s} = 1692$ , więc $v_{s} = 846 \frac{km}{h}$ , a $v_{w} = 94 \frac{km}{h}$ .

Samolot leciał z prędkością własną $846 \frac{km}{h}$ , a wiatr wiał z prędkością $94 \frac{km}{h}$ .

Ćwiczenie 7

Pan Piotr wyruszył z domu na wycieczkę rowerową o $8 : 00$ i jechał z prędkością $25 \frac{km}{h}$ . Postanowił nie jechać zbyt szybko, aby jego żona Maria dogoniła go jeszcze przed południem. Pani Maria obudziła się o $9 : 00$ i po porannej toalecie wyruszyła o $9 : 30$ . Jechała z prędkością $40 \frac{km}{h}$ . Czy małżeństwu uda się spotkać przed południem?

Niech $s$ oznacza drogę (w $km$ ), jaką pokonają małżonkowie jadąc oddzielnie, a $t$ niech oznacza czas (w godzinach), jaki spędzi na rowerze pan Piotr zanim dołączy do niego żona. Ponieważ pani Maria wyruszyła $1, 5 h$ później, więc zanim spotka się z mężem, będzie jechać na rowerze przez $t - 1, 5$ godziny. Zapiszmy układ równań:

$\{\begin{cases} s = 25 \cdot t \\ s = 40 (t - 1, 5) \end{cases}$

$\{\begin{cases} s = 25 \cdot t \\ 25 t = 40 t - 60 | - 40 t \end{cases}$

$\{\begin{cases} s = 25 \cdot t \\ - 15 t = - 60 | : (- 15) \end{cases}$

$\{\begin{cases} s = 100 km \\ t = 4 h \end{cases}$

Pani Maria dołączy do męża dokładnie o $12 : 00$ , więc nie uda jej się spotkać z mężem przed południem.

Słownik

prędkość średnia

to stosunek długości przebytej drogi do czasu, w którym dany obiekt przebył tę drogę; przy oznaczeniach:
$v$ – prędkość,
$s$ – droga,
$t$ – czas,
zachodzą zależności:

v = \frac{s}{t}

s = v \cdot t

t = \frac{s}{v}

prędkość względna

to prędkość ciała względem określonego układu odniesienia, który tworzy inne ciało

3. Układy równań liniowych - zadania z geometrii

Zastosowanie układów równań liniowych