2. Zastosowanie twierdzenia cosinusów do określenia rodzaju trójkąta

R1NUXG5B9JQL8

Twierdzenie cosinusów to twierdzenie określające związek między kątem i bokami w trójkącie. Jest ono wykorzystywane w szczególności do obliczania długości boków i miar kątów w trójkącie czy do określania rodzaju trójkąta. W życiu codziennym możemy je wykorzystać w pomiarach geodezyjnych (obliczenie współrzędnych punktu za pomocą wcięcia liniowego) albo w budownictwie (wyliczenie rzeczywistych długości krokwi przy danych kątach pochylenia połaci dachu i długościach rzutów krokwi).

W tym materiale zapoznasz się z innymi zastosowaniami tego twierdzenia.

Twoje cele

Poznasz twierdzenie pozwalające rozstrzygać, czy trójkąt o podanych bokach jest ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny.
Poznasz zastosowania tego twierdzenia w typowych sytuacjach.
Zastosujesz to twierdzenie w sytuacjach złożonych, w szczególności w dowodach geometrycznych.

Przypomnijmy najpierw twierdzenie Pitagorasa, dokładnie wskazując jego założenia i tezę.

Pitagorasa

Twierdzenie: Pitagorasa

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej.

Przy oznaczeniach jak na rysunku

R1S3BUTTOKDOM

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C. Trójkąt leży na poziomej przyprostokątnej A C o długość b. Jego druga przyprostokątna B C ma długość a, natomiast jego przeciwprostokątna A B ma długość c.

tezę twierdzenia możemy zapisać w postaci:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Zwróć uwagę, że twierdzenie Pitagorasa stosujemy wtedy, gdy wiemy, ze trójkąt jest prostokątny. Jest to założenie tego twierdzenia. Równość $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , jaka wtedy zachodzi, to teza twierdzenia. Nie możemy zatem stosować tego twierdzenia w sytuacji, gdy znamy długości boków trójkąta, a chcemy rozstrzygnąć, czy ten trójkąt jest prostokątny. Okazuje się, że prawdziwa jest też implikacja odwrotna, a więc mamy twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli suma kwadratów długości którychś dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku tego trójkąta, to ten trójkąt jest prostokątny.

Jeśli więc oznaczymy długości boków trójkąta przez $a$ , $b$ i $c$ , przy czym $a \leq b \leq c$ , to twierdzenie to możemy sformułować następująco:

Jeżeli $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , to trójkąt jest prostokątny.

Twierdzenie to dostarcza nam kryterium, pozwalające rozstrzygać, czy trójkąt jest prostokątny, czy też nie jest.

Przykład 1

Rozstrzygniemy, czy trójkąt o bokach długości $145$ , $143$ i $24$ jest prostokątny.

Rozwiązanie

Wystarczy sprawdzić, czy $24^{2} + 143^{2}$ jest równe $145^{2}$ . Obliczmy zatem $24^{2} + 143^{2} = 576 + 20449 = 21025$ oraz $145^{2} = 21025$ , zatem $24^{2} + 143^{2} = 145^{2}$ . Z twierdzenie odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wnioskujemy więc, że ten trójkąt jest prostokątny.

Przykład 2

Rozstrzygniemy, czy trójkąt o bokach długości $147$ , $145$ i $24$ jest prostokątny, ostrokątny czy rozwartokątny.

Rozwiązanie

Podobnie jak w poprzednim przykładzie sprawdzamy, czy $24^{2} + 145^{2}$ jest równe $147^{2}$ . To, że równość $24^{2} + 145^{2} = 147^{2}$ nie jest prawdziwa możemy stwierdzić bez obliczania wartości lewej i prawej strony. Wystarczy na przykład zauważyć, że cyfrą jedności liczby $24^{2}$ jest $6$ , cyfrą jedności liczby $145^{2}$ jest $5$ , więc cyfrą jedności liczby $24^{2} + 145^{2}$ jest $1$ . Natomiast cyfrą jedności liczby $147^{2}$ jest $9$ . Wobec tego trójkąt nie jest prostokątny.

Z przyprowadzonego rozumowania nie możemy jednak wywnioskować, czy jest on ostrokątnytrójkąt ostrokątnyostrokątny, czy rozwartokątny. Rozstrzygniemy to, wykorzystując twierdzenie cosinusów. Oznaczmy przez $α$ kąt tego trójkąta leżący naprzeciw najdłuższego boku tego trójkąta, a więc boku o długości $147$ i zastosujmy twierdzenie cosinusów dla tego kąta. Otrzymujemy równość

$147^{2} = 24^{2} + 145^{2} - 2 \cdot 24 \cdot 145 \cdot \cos α$

Stąd obliczmy

$\cos α = \frac{24^{2} + 145^{2} - 147^{2}}{2 \cdot 24 \cdot 145} = \frac{576 + 21025 - 21609}{6960} = \frac{- 8}{6960} = - \frac{1}{870}$

Wartość cosinusa, jaką otrzymaliśmy jest ujemna, a to oznacza, że $α$ jest kątem rozwartym.

Stąd wnioskujemy, że trójkąt jest rozwartokątnytrójkąt rozwartokątnyrozwartokątny.

Analizując Przykład 2 bez trudu zauważysz, że w gruncie rzeczy nie interesowała nas dokładna wartość $\cos α$ , ale tylko to, czy jest to liczba ujemna, czy dodatnia.

Jeśli więc $a$ , $b$ , $c$ oznaczają długości boków trójkąta, natomiast $α$ , $β$ , $γ$ – kąty tego trójkąta leżące – odpowiednio – naprzeciw boków tych długościach, to z twierdzenia cosinusów otrzymujemy:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ

Stąd:

\cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

\cos β = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}

\cos γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

Każdy z mianowników ułamków stojących po prawych stronach tych równości jest dodatni, więc o znaku każdego z ułamków decyduje znak licznika tego ułamka.

Zatem, jeśli wszystkie liczby

$b^{2} + c^{2} - a^{2}$ , $a^{2} + c^{2} - b^{2}$ , $a^{2} + b^{2} - c^{2}$ są dodatnie, co jest równoważne temu, że prawdziwe są wszystkie trzy nierówności

$b^{2} + c^{2} > a^{2}$ , $a^{2} + c^{2} > b^{2}$ , $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ , to cosinusy wszystkich trzech kątów trójkąta są dodatnie, co oznacza, że wszystkie trzy kąty trójkąta są ostre, a to oznacza, że trójkąt jest ostrokątny.

Jeśli jedna z liczb

$b^{2} + c^{2} - a^{2}$ , $a^{2} + c^{2} - b^{2}$ , $a^{2} + b^{2} - c^{2}$ jest równa zero, co jest równoważne temu, że prawdziwa jest jedna z równości

$b^{2} + c^{2} = a^{2}$ , $a^{2} + c^{2} = b^{2}$ , $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , to oznacza, że jeden z cosinusów kąta trójkąta jest równy zero, a więc jeden z kątów trójkąta jest prosty, a to oznacza, że trójkąt jest prostokątnytrójkąt prostokątnyprostokątny.

Nawiasem mówiąc, mamy wtedy do czynienia z sytuacją, o której mówi twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

Jeśli natomiast jedna z liczb

$b^{2} + c^{2} - a^{2}$ , $a^{2} + c^{2} - b^{2}$ , $a^{2} + b^{2} - c^{2}$ jest ujemna, co jest równoważne temu, że prawdziwa jest jedna z nierówności

$b^{2} + c^{2} < a^{2}$ , $a^{2} + c^{2} < b^{2}$ , $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ , to oznacza, że jeden z cosinusów kąta trójkąta jest ujemny, a więc jeden z kątów trójkąta jest rozwarty, a to oznacza, że trójkąt jest rozwartokątny.

Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie rozstrzygające, kiedy trójkąt o danych bokach jest ostrokątnytrójkąt ostrokątnyostrokątny, kiedy jest prostokątny, a kiedy jest rozwartokątny. Możemy powiedzieć, że jest to uogólnienie twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia do niego odwrotnego.

uogólnione twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia do niego odwrotnego

Twierdzenie: uogólnione twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia do niego odwrotnego

Jeżeli $a$ , $b$ , $c$ oznaczają długości boków trójkąta, to trójkąt ten jest:

ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $b^{2} + c^{2} > a^{2}$ i $a^{2} + c^{2} > b^{2}$ i $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ,

prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $b^{2} + c^{2} = a^{2}$ lub $a^{2} + c^{2} = b^{2}$ lub $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ,

rozwartokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $b^{2} + c^{2} < a^{2}$ lub $a^{2} + c^{2} < b^{2}$ lub $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ .

Jeśli jesteśmy w stanie ustalić, który z boków trójkąta jest najdłuższy (wtedy kąt leżący naprzeciw tego boku jest największy), to wystarczy sprawdzić jak ma się suma kwadratów długości dwóch krótszych boków do kwadratu długości najdłuższego. To znaczy:

Jeżeli $a$ , $b$ , $c$ oznaczają długości boków trójkąta oraz $a \leq b \leq c$ , to trójkąt ten jest:

ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ,

prostokątnytrójkąt prostokątnyprostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ,

rozwartokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ .

Aplet

Polecenie 1

Zmieniaj położenie wierzchołków trójkąta $A B C$ . Obserwuj, jaki rodzaj trójkąta (ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny) otrzymałeś. Jednocześnie obserwuj, jaka jest relacja między kwadratem długości boku trójkąta a sumą kwadratów długości pozostałych dwóch boków.

Wyniki obserwacji sformułuj w postaci twierdzenia, rozstrzygającego, kiedy trójkąt o danych bokach jest ostrokątny, kiedy jest prostokątny, a kiedy jest rozwartokątny.

W symulacji interaktywnej zmieniano położenie wierzchołków trójkąta $A B C$ . obserwując, jaki rodzaj trójkąta (ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny) otrzymano. Jednocześnie obserwowano, jaka jest relacja między kwadratem długości boku trójkąta a sumą kwadratów długości pozostałych dwóch boków.

Wyniki obserwacji sformułuj w postaci twierdzenia, rozstrzygającego, kiedy trójkąt o danych bokach jest ostrokątny, kiedy jest prostokątny, a kiedy jest rozwartokątny.

R1Q7OULBXCXZG

Polecenie 2

Ustal położenie dwóch wierzchołków $A$ i $B$ trójkąta $A B C$ tak, żeby bok $A B$ miał długość $10$ i był poziomy. Zmieniaj położenie wierzchołka $C$ tak, żeby trójkąt $A B C$ był prostokątny i miał kąt prosty przy wierzchołku $C$ . Jaką figurą jest zbiór wszystkich takich punktów $C$ ? Narysuj tę figurę.

Tą figurą jest okrąg o średnicy $A B$ bez punktów $A$ i $B$ .

R17V3BQF7KQXE

Ilustracja prezentuje trójkąt A B C o kątach wewnętrznych alfa przy wierzchołku A, beta przy wierzchołku B, gamma przy wierzchołku C. Figura leży na poziomym boku A B. Trójkąt ten jest wpisany w okrąg o średnicy A B. Punkt C podobnie jak punkty A i B jest zawarty wewnątrz okręgu.

Polecenie 3

Ustal położenie dwóch wierzchołków trójkąta $A B C$ , np. wierzchołków $A$ i $B$ . Zmieniaj położenie wierzchołka $C$ tak, żeby trójkąt $A B C$ był rozwartokątny i miał kąt rozwarty przy wierzchołku $C$ . Jaką figurą jest zbiór wszystkich takich punktów $C$ ? Narysuj tę figurę.

Tą figurą jest wnętrze koła o średnicy $A B$ bez tej średnicy.

RJHSNH3PN2X7S

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C o kątach wewnętrznych alfa przy wierzchołku A, beta przy wierzchołku B, gamma przy wierzchołku C. Figura leży na poziomym boku A B będącym jednocześnie średnicą zielonego koła. Punkt C znajduje się w środku koła o średnicy A B.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RLCA3528X4OQ51

Ćwiczenie 1

R1P24LMSF2M3P1

Ćwiczenie 2

Dokonaj klasyfikacji trójkątów o podanych długościach boków, przeciągając podane długości boków trójkąta do odpowiedniej kategorii. Trójkąt ostrokątny Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzydzieści pięć, mianownik, pierwiastek kwadratowy z sześć, koniec ułamka, początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z siedem, minus, jeden, pierwiastek kwadratowy z trzy, plus, jeden, pierwiastek kwadratowy z jedenaście, minus, jeden, 3. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, trzy, cztery, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. cztery, pięć, sześć Trójkąt prostokątny Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzydzieści pięć, mianownik, pierwiastek kwadratowy z sześć, koniec ułamka, początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z siedem, minus, jeden, pierwiastek kwadratowy z trzy, plus, jeden, pierwiastek kwadratowy z jedenaście, minus, jeden, 3. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, trzy, cztery, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. cztery, pięć, sześć Trójkąt rozwartokątny Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzydzieści pięć, mianownik, pierwiastek kwadratowy z sześć, koniec ułamka, początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z siedem, minus, jeden, pierwiastek kwadratowy z trzy, plus, jeden, pierwiastek kwadratowy z jedenaście, minus, jeden, 3. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, trzy, cztery, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. cztery, pięć, sześć

RQK3ZQP7P52491

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Dwusieczne kątów $A B C$ i $B A C$ trójkąta $A B C$ przecinają się w punkcie $D$ , jak na rysunku.

R1A5GZQMGOGGZ

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Dwusieczne kątów A B C i B A C przecinają się w punkcie D. Obie przecinające się półproste wraz z odcinkiem A B tworzą nowy mniejszy trójkąt A B D wewnątrz trójkąta A B C.

R39KG51PUNBGJ

R1S5ZQ2KNS2GF2

Ćwiczenie 5

R2UQ13U2KPBFC2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Udowodnij, że istnieje tylko jeden trójkąt rozwartokątny, którego długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami całkowitymi.

Oznacz jako $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ długości boków trójkąta. Ułóż odpowiednią nierówność i rozwiąż ją.

Niech $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ oznaczają trzy kolejne dodatnie liczby całkowite i niech będą one długościami boków trójkąta. Trójkąt ten jest rozwartokątny tylko wtedy, gdy prawdziwa jest nierówność $n^{2} + {(n + 1)}^{2} < {(n + 2)}^{2}$ . Stąd otrzymujemy kolejno:

$n^{2} + n^{2} + 2 n + 1 < n^{2} + 4 n + 4$

$n^{2} - 2 n - 3 < 0$

$(n + 1) (n - 3) < 0$

Ponieważ $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią, więc $n + 1 > 0$ .
Zatem otrzymujemy $n - 3 < 0$ , czyli $n < 3$ . Wobec tego $n = 1$ lub $n = 2$ . Gdy $n = 1$ , to $n + 1 = 2$ i $n + 2 = 3$ . Te liczby nie mogą być długościami boków trójkąta, gdyż suma dwóch mniejszych z nich nie jest większa od trzeciej – największej. Gdy $n = 2$ , to $n + 1 = 3$ i $n + 2 = 4$ . Trójkąt o bokach długości $2$ , $3$ i $4$ istnieje, gdyż $2 + 3 > 4$ . Zatem istnieje tylko jeden trójkąt rozwartokątny, którego długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami całkowitymi, jest to trójkąt o bokach długości $2$ , $3$ , $4$ .

To kończy dowód.

Słownik

trójkąt ostrokątny

trójkąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre

trójkąt prostokątny

trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (dwa pozostałe są ostre)

trójkąt rozwartokątny

trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest rozwarty (dwa pozostałe są ostre)

1. Twierdzenie cosinusów

3*. Wiedza z plusem: W służbie geodezji - Willebrord Snell