3. Obrazy wielokątów i okręgów w symetrii środkowej o środku w początku układu współrzędnych

R1AVQZABPFZ22

Symetrię środkową spotykamy w architekturze, np. w motywach zwanych rybim pęcherzem.

R15N393F5294N

Ilustracja przedstawia trzy motywy architektoniczne, dwa z nich są na bazie okręgu a jeden jest kwadratem. We wszystkich tych motywach można wyznaczyć osie symetrii. — Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Obserwujemy ją także w rozetach.

RN2O6HLF67S7V

Ilustracja przedstawia dwa zdjęcia, na obu znajdują się rozety, czyli okrągłe ornamenty architektoniczne, które są bogato zdobione ale również można w nich wyróżnić osie symetrii. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Twoje cele

Wyznaczysz współrzędne wierzchołków wielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.
Znajdziesz obraz okręgu oraz zapiszesz równanie okręgu będącego obrazem.
Narysujesz obraz wielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.
Sprawdzisz, czy wielokąty o podanych wierzchołkach są symetryczne względem początku układu współrzędnych.
Zastosujesz poznaną wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Punkty symetryczne względem początku układu współrzędnych

Definicja: Punkty symetryczne względem początku układu współrzędnych

Punkty o współrzędnych $P = (x, y)$ i $P' = (x', y')$ są symetryczne względem początku układu współrzędnych wtedy gdy $x' = - x$ oraz $y' = - y$ .

R1H8STL2X95JA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez podziałki. Na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce układu zaznaczono zamalowanym kółkiem punkt P o współrzędnych nawias, x, średnik, y, zamknięcie nawiasu oraz symetryczny do niego względem początku układu współrzędnych punkt P prim o współrzędnych nawias, minus, x, średnik, minus, y, zamknięcie nawiasu znajdujący się w pierwszej ćwiartce. Punkty te połączono linią ciągłą, tworząc odcinek P P prim.

Z powyższej definicji wynika, że:

punktem symetrycznym względem początku układu współrzędnychpunktem symetrycznym względem początku układu współrzędnych do danego punktu jest punkt o przeciwnych współrzędnych,
początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka łączącego dwa punkty, które są względem niego symetryczne.

Ważne!

Obrazem wielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest wielokąt do niego przystający o tym samym obwodzie i polu.

Do sprawdzenia, czy dane dwa wielokąty są symetryczne względem początku układu współrzędnych użyjemy wzoru na środek $S$ odcinka o końcach $A = (x_{1}, y_{1})$ i $B = (x_{2}, y_{2})$ :

S = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})

Do wyznaczenia obrazu wielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych wystarczy znaleźć obraz wierzchołków tego wielokąta.

Przykład 1

Wyznaczymy równanie obrazu okręgu o równaniu ${(x + 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Środek tego okręgu ma współrzędne $(- 4, 3)$ . Obrazem tego środka w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest punkt o współrzędnych będących liczbami przeciwnymi do danych, czyli $(4, - 3)$ . Równanie okręgu symetrycznego ma zatem postać: ${(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ .

R3N8GR7SPS72B

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 12 do 12 i pionowa osią y od minus 6 do sześć. Środek układu zaznaczono zamalowanym punktem. W drugiej ćwiartce układu zaznaczono okrąg o równaniu c, podzielić na, nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery i środku w punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. W czwartej ćwiartce również znajduje się okrąg, jest on podpisany: c prim, podzielić na, nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, jego środek ma współrzędne nawias cztery średnik minus trzy zamknięcie nawiasu.

Przykład 2

Dany jest trójkąt $A B C$ o wierzchołkach $A = (- 3, - 1)$ , $B = (4, - 2)$ oraz $C = (1, 5)$ .

Wyznaczymy współrzędne wierzchołków tego trójkąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Niech $A'$ , $B'$ , $C'$ będą punktami symetrycznymi do punktów $A$ , $B$ , $C$ w symetrii środkowej względem punktu $(0, 0)$ . Wówczas:

$A' = (3, 1)$ ,

$B' = (- 4, 2)$ ,

$C' = (- 1, - 5)$ .

W niektórych przypadkach obrazem wielokąta w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest ten sam wielokąt.

Przykład 3

Wyznaczymy obraz czworokąta $A B C D$ z rysunku w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

R1UHQQ7DGXHNM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono zamalowanymi kółkami cztery punkty, które połączono ze sobą, tworząc czworokąt. Punkty te to kolejno: A, równa się, nawias, minus, cztery, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias, dwa, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, C, równa się, nawias, jeden, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu. Wnętrze czworokąta zamalowano.

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków czworokąta:

$A = (- 4, - 3)$ ,

$B = (2, - 2)$ ,

$C = (1, 3)$ ,

$D = (- 2, 4)$ .

Obrazem czworokąta $A B C D$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest czworokąt $A' B' C' D'$ o wierzchołkach:

$A' = (4, 3)$ ,

$B' = (- 2, 2)$ ,

$C' = (- 1, - 3)$ ,

$D' = (2, - 4)$ .

Zatem rysunek czworokąta $A' B' C' D'$ przedstawia się następująco:

R1MVOL5MN1RR5

Przykład 4

Wyznaczymy obraz trójkąta $A B C$ z rysunku w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, a następnie obliczymy pole części wspólnej tych trójkątów.

REMKS2ZC9ED48

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono zamalowanymi kółkami trzy punkty. Są to kolejno: A, równa się, nawias, minus, pięć, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias, pięć, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, C, równa się, nawias, zero, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu. Punkty połączono ze sobą, tworząc trójkąt.

Rozwiązanie:

Obrazem trójkąta w symetrii jest trójkąt o wierzchołkach $A' B' C'$ .

RBDL21KTZOQ3U

Zauważmy, że częścią wspólną obu trójkątów jest romb o przekątnych długości $8$ i $5$ , zatem jego pole wynosi:

$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$ .

Przykład 5

Sprawdzimy, czy czworokąty $A B C D$ i $A' B' C' D'$ przedstawione na poniższym rysunku są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

RTBGE1KLU9EF1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie zaznaczono zamalowanymi kółkami cztery punkty, które połączono ze sobą, tworząc czworokąt oraz kolejne cztery punkty, będące symetrycznymi odbiciami wyjściowych punktów względem początku układu współrzędnych. Punkty symetryczne również połączono w czworokąt. Punkty wyjściowe, będące wierzchołkami czworokąta A B C D mają współrzędne: A, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias, dwa, średnik, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, C, równa się, nawias, cztery, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias, zero, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu. Punkty do nich symetryczne będące wierzchołkami czworokąta A prim B prim C prim D prim mają współrzędne: A prim, równa się, nawias, jeden, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, B prim, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, C prim, równa się, nawias, minus, cztery, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, D prim, równa się, nawias, zero, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu. Wnętrza obu czworokątów są zamalowane.

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków.

Dla czworokąta $A B C D$ mamy:

$A = (- 1, - 4)$ ,

$B = (2, - 6)$ ,

$C = (4, 2)$ ,

$D = (0, 4)$ .

Dla czworokąta $A' B' C' D'$ mamy:

$A' = (1, 4)$ ,

$B' = (- 2, 6)$ ,

$C' = (- 4, - 3)$ ,

$D' = (0, - 4)$ .

Sprawdzimy, czy punkt o współrzędnych $(0, 0)$ jest środkiem każdego z odcinków $A A'$ , $B B'$ , $C C'$ , $D D'$ .

Oznaczymy środki tych odcinków odpowiednio $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ .

Zatem:

$S_{1} = (\frac{- 1 + 1}{2}, \frac{- 4 + 4}{2}) = (0, 0)$ ,

$S_{2} = (\frac{2 - 2}{2}, \frac{- 6 + 6}{2}) = (0, 0)$ ,

$S_{3} = (\frac{4 - 4}{2}, \frac{2 - 3}{2}) = (0, - \frac{1}{2})$ ,

$S_{4} = (\frac{0 - 0}{2}, \frac{4 - 4}{2}) = (0, 0)$ .

Ponieważ $S_{3} \neq (0, 0)$ , zatem czworokąty $A B C D$ i $A' B' C' D'$ przedstawione na rysunku nie są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

Aplet

Polecenie 1

Uruchom aplet, a następnie zwróć uwagę na współrzędne wierzchołków trójkąta $A B C$ po przekształceniu w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Spróbuj rozwiązać poniższe zadanie składające się z dwóch podpunktów. Wykorzystaj wiadomości z bieżącej lekcji.

RFN5XXT6RTC8Q

RLRL8C5P9MBX7

R1CSXGPJ321CR

Polecenie 2

Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkątów $A B C$ w symetrii o środku w początku układu współrzędnych, jeżeli:

a) $A = (- 5, - 8)$ , $B = (- 2, - 4)$ , $C = (- 3, 5)$ ,

b) $A = (- 1, 2)$ , $B = (2, - 6)$ , $C = (3, 7)$ .

a) $A' = (5, 8)$ , $B' = (2, 4)$ , $C' = (3, - 5)$ ,

b) $A' = (1, - 2)$ , $B' = (- 2, 6)$ , $C' = (- 3, - 7)$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RL2M38FQSRAN2

Ćwiczenie 2

Dane są trójkąty $A B C$ oraz $A' B' C'$ jak na rysunku poniżej.

R1HQJTBNFD92V

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie zamalowanymi kółkami zaznaczono trzy wyjściowe punkty, które połączono linią ciągłą, tworząc trójkąt A B C. Zaznaczono także punkty do nich symetryczne względem początku układu współrzędnych i również je połączono, tworząc trójkąt A prim B prim C prim. Trójkąty te nachodzą na siebie. Wierzchołki trójkąta A B C to kolejno: A, równa się, nawias, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, C, równa się, nawias, minus, trzy, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Wierzchołki trójkąta A prim B prim C prim to: A, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, C, równa się, nawias, trzy, średnik, zero, zamknięcie nawiasu.

R1HAV5DPLHH6T

Ćwiczenie 3

R9PC8MMKAT5JX

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem. Dane jest czworokąt A B C D o wierzchołkach A, równa się, nawias, minus, pięć przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, pięć, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, C, równa się, nawias, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, D, równa się, nawias, minus, trzy przecinek pięć, zamknięcie nawiasu oraz czworokąt A prim B prim C prim D prim o wierzchołkach A prim, równa się, nawias, pięć, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, B prim, równa się, nawias, minus, pięć przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, C prim, równa się, nawias, minus, trzy, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, D prim, równa się, nawias, trzy, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu. Wówczas: Możliwe odpowiedzi: 1. wielokąty mają różne obwody, 2. wielokąty mają różne pola, 3. wielokąty nie są symetryczne w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, 4. wielokąty mają równe obwody, 5. wielokąty mają równe pola, 6. wielokąty są symetryczne w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych Dany jest czworokąt A B C D o wierzchołkach A, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, C, równa się, nawias, trzy przecinek siedem, zamknięcie nawiasu, D, równa się, nawias, zero przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu oraz czworokąt A prim B prim C prim D prim o wierzchołkach A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, B prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek pięć, zamknięcie nawiasu, C prim, równa się, nawias, minus, trzy, przecinek, minus, siedem, zamknięcie nawiasu, D prim, równa się, nawias, zero przecinek dziewięć, zamknięcie nawiasu. Wówczas: Możliwe odpowiedzi: 1. wielokąty mają różne obwody, 2. wielokąty mają różne pola, 3. wielokąty nie są symetryczne w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, 4. wielokąty mają równe obwody, 5. wielokąty mają równe pola, 6. wielokąty są symetryczne w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych

Ćwiczenie 4

RXAQP1K91X2DB

Połącz w pary współrzędne wierzchołków trójkątów A B C i A prim B prim C prim tak, aby trójkąty były symetryczne w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych: A, równa się, nawias, trzy przecinek zero, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, cztery przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, C, równa się, nawias, pięć przecinek pięć, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, trzy przecinek zero, zamknięcie nawiasu, B prim, równa się, nawias, minus, cztery, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, C prim, równa się, nawias, minus, pięć, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, trzy przecinek zero, zamknięcie nawiasu, B prim, równa się, nawias, cztery, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, C prim, równa się, nawias, pięć, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, trzy przecinek zero, zamknięcie nawiasu, B prim, równa się, nawias, cztery przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, C prim, równa się, nawias, pięć przecinek pięć, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, trzy przecinek zero, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, minus, cztery, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, C, równa się, nawias, minus, pięć, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, trzy przecinek zero, zamknięcie nawiasu, B prim, równa się, nawias, minus, cztery, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, C prim, równa się, nawias, minus, pięć, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, trzy przecinek zero, zamknięcie nawiasu, B prim, równa się, nawias, cztery, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, C prim, równa się, nawias, pięć, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, trzy przecinek zero, zamknięcie nawiasu, B prim, równa się, nawias, cztery przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, C prim, równa się, nawias, pięć przecinek pięć, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, trzy przecinek zero, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, minus, cztery przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, C, równa się, nawias, minus, pięć przecinek pięć, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, trzy przecinek zero, zamknięcie nawiasu, B prim, równa się, nawias, minus, cztery, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, C prim, równa się, nawias, minus, pięć, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, trzy przecinek zero, zamknięcie nawiasu, B prim, równa się, nawias, cztery, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, C prim, równa się, nawias, pięć, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, trzy przecinek zero, zamknięcie nawiasu, B prim, równa się, nawias, cztery przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, C prim, równa się, nawias, pięć przecinek pięć, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 5

R95AADAD5FDV3

Ćwiczenie 6

R2O5HCD6526LC

Ćwiczenie 7

Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta $A B C$ o wierzchołkach $A = (- 2, 0)$ , $B = (2, 0)$ , $C = (0, 3)$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, a następnie oblicz pole figury powstałej z trójkąta i jego obrazu w podanej symetrii.

Obrazem punktów $A$ , $B$ , $C$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych są odpowiednio punkty:

$A' = (2, 0)$ ,

$B' = (- 2, 0)$ ,

$C' = (0, - 3)$ .

Przedstawmy trójkąty $A B C$ i $A' B' C'$ na rysunku:

R1F4JLU6PNZ79

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od czterech jeden do czterech. Na płaszczyźnie zamalowanymi kółkami zaznaczono punkty wyjściowe tworzące trójkąt A B C i punkty do nich symetryczne względem początku układu współrzędnych, tworzące trójkąt A prim B prim C prim. Punktów jest sześć, natomiast dwa z nich się pokrywają, ponieważ trójkąty mają jeden wspólny bok. W ten sposób zostają nam cztery punkty o różnych współrzędnych, które połączono ze sobą linią ciąłgłą, tworząc romb. Wnętrze figury zamalowano. Punkty będące wierzchołkami trójkąta A B C mają następujące współrzędne: A, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, C, równa się, nawias, zero, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Punkty będące wierzchołkami trójkąta A ’ B ’ C ’ mają następujące współrzędne: A ’, równa się, nawias, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, B ’, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, C ’, równa się, nawias, zero, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu. Zatem wierzchołki rombu są następujące: A, równa się, B prim, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, A prim, równa się, nawias, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, C, równa się, nawias, zero, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, C prim, równa się, nawias, zero, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu.

Zauważmy, że oba trójkąty utworzyły romb o przekątnych długości $4$ i $6$ .

Zatem jego pole wynosi:

$P = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$ .

Ćwiczenie 8

Sprawdź, czy trójkąty o wierzchołkach $A = (- 4, 2)$ , $B = (3, - 1)$ , $C = (0, 4)$ oraz $A' = (4, - 2)$ , $B' = (- 3, 1)$ , $C' = (0, - 4)$ są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

Do sprawdzenia, czy trójkąty są symetryczne względem początku układu współrzędnych, wykorzystamy wzór na środek odcinka.

Niech $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ oznaczają odpowiednio środki odcinków $A A'$ , $B B'$ , $C C'$ .

Wobec tego:

$S_{1} = (\frac{- 4 + 4}{2}, \frac{2 - 2}{2}) = (0, 0)$ ,

$S_{2} = (\frac{3 - 3}{2}, \frac{- 1 + 1}{2}) = (0, 0)$ ,

$S_{3} = (\frac{0 + 0}{2}, \frac{4 - 4}{2}) = (0, 0)$ .

Zatem trójkąty są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

Słownik

symetria środkowa względem początku układu współrzędnych

przekształcenie geometryczne, w którym obrazem punktu $P = (x, y)$ jest punkt $P' = (- x, - y)$

wielokąt

część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną

2. Obrazy wielokątów i okręgów w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych

Symetrie w układzie współrzędnych