1. Proporcjonalność odwrotna

R15QOwAy75sAm

Czy można się huśtać ze słoniem?

ReMRJPOGuwV7z

Na ilustracji przedstawiono huśtawkę działającą na zasadzie dźwigni dwustronnej. Po lewej stronie podparcia znajduje się słoń, natomiast po prawej stronie dziewczynka. Słoń znajduje się znacznie bliżej punktu podparcia niż dziewczynka.

Oczywiście, że tak!

Dzięki prawidłowo ustawionemu punktowi podparcia w dźwigni dwustronnej każdy może huśtać się ze słoniem. Punkt podparcia musi być bliżej słonia niż Ciebie.

Reguła ta, zwaną zasadą dźwigni Archimedesa głosi, że dwa przedmioty na huśtawce będą w równowadze, gdy odległości od punktu podparcia będzie odwrotnie proporcjonalne do ich ciężarów.

RrDP5yV8iNqBZ

Na ilustracji przedstawiono dźwignię dwustronną. Po lewej stronie podparcia, w odległości d1 znajduje się przedmiot o wadze Q1. Po prawej stronie podparcia, w odległości d2 znajduje się przedmiot o wadze Q2. Odległość d1 jest mniejsza niż odległość d2. Natomiast przedmiot Q1 jest cięższy niż przedmiot Q2.

Q_{1} \cdot d_{1} = Q_{2} \cdot d_{2}

W tym materiale sprawdzimy jak należy ustawić punkt podparcia, aby czteroletnia Julia mogła huśtać się ze słoniem.

Twoje cele

Odróżnisz wielkości wprost proporcjonalne i odwrotnie proporcjonalne.
Sprawdzisz, czy zmienne są odwrotnie proporcjonalne.

Przykład 1

Obliczymy jak daleko od punktu podparcia musiałaby usiąść czteroletnia Julia ważąca $18 kg$ , aby mogła huśtać się ze słoniem ważącym $4, 5 t$ . Spójrzmy na dane podane na poniższym rysunku.

R1DM9jbKtO8dp

Na ilustracji przedstawiono dźwignię dwustronną. Po lewej stronie, w odległości dwóch metrów od podparcia siedzi słoń o wadze czterech i pół tony. Po prawej stronie, w odległości x od podparcia siedzi dziewczynka o wadze osiemnastu kilogramów.

Rozwiązanie

Dźwignia dwustronna pozostaje w równowadze, gdy spełniony jest warunek

RLJFqQgJ8GP0z

$Q_{1} \cdot d_{1} = Q_{2} \cdot d_{2}$

$4, 5 t = 4500 kg$

$4500 \cdot 2 = 18 \cdot x$

$9000 = 18 \cdot x$

$x = 500$

Odpowiedź

Julia musiałaby usiąść $500 m$ od punktu podparcia.

Zauważmy, że moglibyśmy zapisać dane z zadania w następujący sposób:

R1ElfAbBGlMmX

Na ilustracji przedstawiono następujący zapis. 4500 kilogramów myślnik dwa metry. Poniżej. 18 kilogramów, myślnik, x metrów. Po lewej stronie zapisu znajduje się strzałka skierowana w górę. Po prawej stronie zapisu znajduje się strzałka skierowana w dół.

Mnożąć wierszami otrzymamy

$4500 \cdot 2 = 18 \cdot x$

$9000 = 18 \cdot x$

$x = 500$

Odpowiedź

Julia musiałaby usiąść $500 m$ od punktu podparcia.

Faktycznie, odległości od punktu podparcia będą odwrotnie proporcjonalne do ciężarów ciał. Im większa odległość od punktu podparcia, tym mniejszy ciężar.

Proporcjonalność odwrotna

Definicja: Proporcjonalność odwrotna

Proporcjonalnością odwrotną nazywamy zależność między dwiema wielkościami zmiennymi $x$ , $y$ , określoną wzorem

x \cdot y = a

gdzie $a$ jest liczbą różną od zera.

O zmiennych $x$ , $y$ mówimy, że są odwrotnie proporcjonalne. Współczynnik $a$ nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Ważne!

Iloczyn odpowiadających sobie wartości dwóch wielkości odwrotnie proporcjonalnych jest stały. W zastosowaniach praktycznych zakładamy, że wielkosci odwrotnie proporcjonalne sa dodatnie.

Przykład 2

Julia pokonuje pieszo drogę do szkoły z prędkością $4 \frac{km}{h}$ w ciągu $30 \min$ . Ile czasu zajęłoby Julce pokonanie takiej samej drogi, gdyby jechała na hulajnodze z prędkością $10 \frac{km}{h}$ ?

Rozwiązanie

$x$ – czas (w godzinach) pokonania drogi z domu do szkoły, gdyby Julka jechała hulajnogą.

R1SX1y9JC4ReZ

Na ilustracji przedstawiono następujący zapis. 4 kilometry na godzinę, myślnik, 12 godziny. Poniżej. 10 kilometrów na godzinę, myślnik, x godzin. Po lewej stronie zapisu znajduje się strzałka skierowana w dół. Po prawej stronie zapisu znajduje się strzałka skierowana w górę.

$4 \cdot \frac{1}{2} = 10 \cdot x$ , czyli $x = \frac{1}{5}$ .

Przypomnijmy, że $\frac{1}{5} h = \frac{12}{60} h = 12 \min$ .

Odpowiedź

Julia pokonałaby drogę do szkoły w ciągu $12$ minut, gdyby jechała hulajnogą.

Na podstawie poniższej tabeli przedstawmy, w jaki sposób zmiana wartości prędkości wpływa na zmianę wartości czasu.

Zależność czasu od prędkości
Prędkość $[\frac{km}{h}]$	$4$	$10$	$12$	$20$	$2$	$3$
Czas $[h]$	$0, 5$	$0, 2$	$\frac{1}{6}$	$0, 1$	$1$	$\frac{2}{3}$
Droga $[km]$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$

Przypomnijmy wzór:

s = v \cdot t

Zauważmy, że droga $(s)$ jest wielkością stałą (nie zmienia się), czyli jej wartość jest współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej. Natomiast prędkość $(V)$ i czas $(t)$ są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Jeśli jedna wielkość maleje, to druga tyle samo rośnie.

W powyższym przykładzie: jeśli prędkość zwiększymy $2, 5$ raza, to czas przejazdu skróci się $2, 5$ raza.

$4 \frac{km}{h} \cdot 2, 5 = 4 \frac{km}{h} \cdot \frac{5}{2} = 10 \frac{km}{h}$ .

$30 \min : 2, 5 = 30 \min \cdot \frac{2}{5} = 12 \min$ .

Przeanalizujmy poniższe zadania z proporcjonalnością prostą i odwrotną, aby utrwalić i zapamiętać różnice między nimi występujące.

Przykład 3

Cukiernik przygotowuje $2$ torty Pavlova, na które zużywa tuzin jajek. Następnie dostał zamówienie na kolejne $3$ tory Pavlova. Ile łącznie jajek zużyje?

R1HaNEgfUMbB1

Na ilustracji przedstawiono postać ugniatającą ciasto na blacie. — licencja CC by 3.0 Freepik.com Jedzenie zdjęcie utworzone przez freepik - pl.freepik.com

Rozwiązanie

Tuzin to $12$ sztuk.

Rkm7WOpYc7xpj

Na ilustracji przedstawiono następujący zapis. 2 torty, myślnik, 12 jajek. Poniżej. 5 tortów, myślnik, x jajek. Po lewej i prawej stronie zapisu, znajduje się strzałka skierowana w dół.

Ze wzrostem ilości tortów, wzrasta ilość jajek zużytych do wypieków. W danym przykładzie wielkości są wprost proporcjonalne $a$ wprost proporcjonalnewprost proporcjonalne.

Mnożymy „na krzyż”, czyli

$2 \cdot x = 5 \cdot 12$ , czyli $x = 30$ .

Odpowiedź

Łącznie cukiernik zużył $30$ jaj.

Przykład 4

Zapas składników na torty, z których można wykonać $80$ porcji wystarczy na $6$ dni. Na ile dni wystarczy tych zapasów, jeśli liczba porcji wzrośnie o $16$ (zakładamy, że wielkość porcji jest taka sama)?

R7Q1MbyoaaAdL

Na ilustracji przedstawiono miski z mąką , oraz wbitymi jajkami, Obok znajduje się drewniany wałek kuchenny i łyżki. — licencja CC by 3.0 Freepik.com Jedzenie zdjęcie utworzone przez onlyyouqj - pl.freepik.com

Rozwiązanie

Rbwk1GVUoWeDC

Na ilustracji przedstawiono następujący zapis. 80 porcji, myślnik, 6 dni. Poniżej. 96 tortów, myślnik, y dni. Po lewej stronie zapisu znajduje się strzałka skierowana w dół. Po prawej stronie zapisu znajduje się strzałka skierowana w górę.

Ze wzrostem ilości porcji, maleje ilość dni na jakie wystarczy zapasu składników.

Zatem wielkości są odwrotnie proporcjonalne.

Mnożymy „wierszami”, czyli

$80 \cdot 6 = 96 \cdot y$ , czyli $y = 5$ .

Odpowiedź

Na $5$ dni wystarczy zapasów składników na torty, z których można wykonać $96$ porcji.

Przykład 5

Właściciel pensjonatu zgromadził zapas żywności dla $150$ osób na pewną liczbę dni. Obliczył, że jeśli przyjmie $20 %$ mniej gości, to przy zachowaniu ustalonych porcji, zapasy wystarczą mu na $5$ dni dłużej.

Obliczymy, na ile dni wystarczy zapasów, jeśli przyjedzie $150$ osób.
Wyrazimy za pomocą wzoru zależność między liczbą dni, na które wystarczą zgromadzone zapasy, a liczbą osób, dla których te zapasy wystarczą.
Obliczymy, ile osób wykarmi właściciel w ciągu $15$ dni. Podamy, na ile dni wystarczy zapasów, jeśli przyjedzie $250$ osób.
Naszkicujemy wykres otrzymanej zależności.

Rozwiązanie:

Oznaczymy przez $x$ liczbę dni, na które wystarczą zgromadzone zapasy dla $150$ osób.

Liczba osób i liczba dni są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, tzn. im więcej osób, tym krótszy czas, na który wystarczą zgromadzone zapasy. Ponieważ iloczyn wielkości odwrotnie proporcjonalnych jest stały, mamy więc:

$150 x = 0, 8 \cdot 150 (x + 5)$

$150 x = 120 (x + 5)$

$150 x = 120 x + 600$

$30 x = 600 | : 30$

$x = 20$

Zapasy wystarczą na $20$ dni dla $150$ osób.
Obliczymy teraz, że dla $0, 8 \cdot 150 = 120$ osób zapasów wystarczy na $25$ dni.
Korzystając z poprzednich wyników, obliczymy iloczyn liczby dni, na które wystarczą zgromadzone zapasy i liczby osób, dla których te zapasy wystarczą:
$20 \cdot 150 = 3000$ oraz $25 \cdot 120 = 3000$
Jest to współczynnik proporcjonalności odwrotnej $a = 3000$ .
Niech $y$ oznacza liczbę osób, dla których wystarczą zgromadzone zapasy, a $x$ liczbę dni, na które te zapasy wystarczą. Szukana zależność jest proporcjonalnością odwrotną i wyraża się wzorem:
$y = \frac{3000}{x}$ , gdzie $x > 0$ .
zmienna
wartości
$x$
$20$
$25$
$15$
$12$
$y$
$150$
$120$
$200$
$250$
$y = \frac{3000}{15} = 200$
$250 = \frac{3000}{x}$
$x = \frac{3000}{250} = 12$
Odpowiedź:
Zapasów wystarczy na $15$ dni dla $200$ osób oraz na $12$ dni dla $250$ osób.
R1cu5UWXdh6s0

zmienna	wartości
$x$	$20$	$25$	$15$	$12$
$y$	$150$	$120$	$200$	$250$

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w prezentacji multimedialnej, a następnie wykonaj samodzielnie polecenia zamieszczone pod nią.

RzpoMwTT5Q1rB

Polecenie 1

RWohdGW2jbD7P

Polecenie 2

RRZUpavjVf9jA

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1MQfcSFYubOs1

Ćwiczenie 1

RqoV4Zp0MZ4fT1

Ćwiczenie 2

R5buzcJXgqQg42

Ćwiczenie 3

R1NM8ZFH12KHE

Ćwiczenie 4

RxA0ppf5x2ldX2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Pięciu pracowników wykonuje pewną pracę w ciągu $10 h$ . Oblicz ile pracowników (pracujących z taką samą wydajnością) wykona tę samą pracę w ciągu $3 h 20 \min$ .

Zacznij od zamiany jednostek.

$3 h 20 \min = 3 \frac{20}{60} h = 3 \frac{1}{3} h$ .

Zauważ, że liczba godzin potrzebnych do wykonania pracy jest równa iloczynowi liczby pracowników i czasu pracy każdego z nich.

$3 h 20 \min = 3 \frac{20}{60} h = 3 \frac{1}{3} h$

Wprowadźmy niewiadomą $a$

$a$ – szukana liczba pracowników

RU4ViPWVoCCOf

Na ilustracji przedstawiono następujący zapis. Pięciu pracowników, myślnik, 10 godzin. Poniżej. a pracowników, myślnik, trzy i jedna trzecia godziny. Po lewej stronie zapisu znajduje się strzałka skierowana w dół. Po prawej stronie zapisu znajduje się strzałka skierowana w górę.

$5 \cdot 10 = a \cdot 3 \frac{1}{3}$

$50 = a \cdot \frac{10}{3} | : \frac{10}{3}$

$50 \cdot \frac{3}{10} = a$ , czyli $15 = a$

$15$ pracowników wykona pracę w ciągu $3 h 20 \min$ .

Ćwiczenie 7

Zapas żywności w schronisku wystarczy dla $k$ osób na $16$ dni. Oblicz, na ile pełnych dni wystarczy żywności w schronisku, jeśli w schronisku będzie o $50 %$ osób więcej, a dzienna porcja żywieniowa nie ulegnie zmianie.

Wprowadźmy niewiadomą $b$ , gdzie

$b$ – szukana liczba dni

RhQaYIXZBa82Z

Na ilustracji przedstawiono następujący zapis. k osób, myślnik, 16 dni. Poniżej. 150 procent k osób, myślnik, b dni. Po lewej stronie zapisu znajduje się strzałka skierowana w dół. Po prawej stronie zapisu znajduje się strzałka skierowana w górę.

$k \cdot 16 = 150 % \cdot k \cdot b$ ,

$k \cdot 16 = \frac{3}{2} k \cdot b | : k, k > 0$ ,

$16 = \frac{3}{2} \cdot b | : \frac{3}{2}$ ,

$b = 10 \frac{2}{3}$ .

Żywności wystarczy na $10$ pełnych dni.

Ćwiczenie 8

Wyznacz stosunek odległości od punktu podparcia osób hustających się do miejsca na którym siedzą na huśtawce, wiedząc, że jedna z nich waży $70 kg$ , a druga waży $20 kg$ .

Zgodnie z zasadą dźwigni Archimedesa masa i odległość od punktu podparcia są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, czyli

$Q_{1} \cdot r_{1} = Q_{2} \cdot r_{2}$ .

Oblicz stosunek $\frac{r_{2}}{r_{1}}$ .

Zgodnie z zasadą dźwigni Archimedesa masa i odległość od punktu podparcia są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, czyli

$Q_{1} \cdot r_{1} = Q_{2} \cdot r_{2}$ $\frac{r_{2}}{r_{1}} = 3, 5$ zatem

$70 \cdot r_{1} = 20 \cdot r_{2}$

$\frac{r_{2}}{r_{1}} = 3, 5$

Osoba, która waży mniej powinna siedzieć $3, 5$ raza dalej od punktu podparcia.

Słownik

proporcjonalność prosta

proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwiema wielkościami zmiennymi $y$ , $x$ , określoną wzorem

y = a \cdot x

gdzie $a$ jest liczbą różną od zera, zwaną współczynnikiem proporcjonalności

proporcjonalność odwrotna

proporcjonalnością odwrotną nazywamy zależność między dwiema wielkościami zmiennymi $y$ , $x$ , określoną wzorem

y \cdot x = a

gdzie $x > 0, y > 0$ oraz $a$ jest stałą dodatnią, zwaną współczynnikiem proporcjonalności

wielkości odwrotnie proporcjonalne

Dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, jeżeli wraz ze wzrostem jednej z nich pewną ilość razy, druga maleje tyle samo razy.

wprost proporcjonalne

jeśli dwie wielkości dodatnie zmieniają się w tym samym stosunku, to mówimy, że te dwie wielkości są wprost proporcjonalne

2. Zastosowania proporcjonalności odwrotnej

Funkcje wymierne