• Podasz definicję funkcji wymiernej i funkcji homograficznej.

• Rozpoznasz funkcje homograficzne.

• Wyznaczysz dziedzinę funkcji homograficznej.

• Narysujesz wykres funkcji homograficznej.

• Przekształcisz wzór funkcji homograficznej z postaci ogólnej do postaci kanonicznej.

• Wyznaczysz równania osi symetrii wykresu funkcji homograficznej oraz współrzędne środka symetrii wykresu.

Funkcję $f\left(x\right)=\frac{W_1\left(x\right)}{W_2\left(x\right)}$, gdzie $W_1\left(x\right)$, $W_2\left(x\right)$ są wielomianami i $W_2\left(x\right)\not\equiv 0$, nazywamy funkcją wymierną.

Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem tych liczb $x$, które są pierwiastkami wielomianu $W_2\left(x\right)$.

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję wymiernąfunkcja wymiernafunkcję wymierną postaci:

gdzie $c\ne 0$ i $ad-cb\ne 0$.

Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\frac{d}{c}\right\}$.

Powyższy wzór to postać ogólna funkcji homograficznej.

Postać kanoniczna funkcji homograficznej:

Wykresem każdej funkcji homograficznej jest hiperbola. Wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{r}{x-p}+q$ powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $g\left(x\right)=\frac{r}{x}$ wzdłuż osi układu współrzędnych.

AsymptotamiasymptotaAsymptotami wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{r}{x-p}+q$ są proste o równaniach:

$x=p$ – asymptota pionowa

$y=q$ – asymptota pozioma

Zauważmy, że funkcja nie jest określona dla $x=p$ i właśnie prosta o równaniu $x=p$ jest asymptotą pionową. Podobnie funkcja nie przyjmuje wartości $y=q$ i prosta $y=q$ jest asymptotą poziomą.

Przekształcimy wzór funkcji $f\left(x\right)=\frac{3x+3}{-x+1}$ do postaci kanonicznej.

Rozwiązanie

$f\left(x\right)=\frac{3x+3}{-x+1}$.

Wyłączamy w mianowniku liczbę $-1$:

$f\left(x\right)=\frac{3x+3}{-\left(x-1\right)}$.

Licznik i mianownik mnożymy przez $-1$:

$f\left(x\right)=\frac{-3x-3}{x-1}$.

Przekształcamy licznik tak, by zawierał wyrażenie z mianownika:

$f\left(x\right)=\frac{-3\left(x-1\right)-6}{x-1}$.

Zapisujemy funkcję w postaci sumy ułamków:

$f\left(x\right)=\frac{-3\left(x-1\right)}{x-1}+\frac{-6}{x-1}$.

Zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=-3-\frac{6}{x-1}$.

Odpowiedź:

Postać kanoniczna funkcji $f\left(x\right)=\frac{3x+3}{-x+1}$ to $f\left(x\right)=-\frac{6}{x-1}-3$.

Na podstawie wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x+1}-2$ podamy własności funkcji, które można określić na podstawie postaci kanonicznej funkcji homograficznej.

Rozwiązanie

Aby narysować wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x+1}-2$ należy wykres funkcji $g\left(x\right)=\frac{2}{x}$ przesunąć o jedną jednostkę w lewo i o dwie jednostki w dół.

RsmSWrAcugg1I

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu oraz pionową oś Y od minus sześciu do sześciu. Na rysunku zaznaczono również wykres funkcji homograficznej y, posiadającej dwie asymptoty, pierwsza pozioma o równaniu y równa się minus dwa oraz druga pionowa o równaniu x równa się minus jeden. Funkcja y przechodzi przez następujące punkty, nawias minus trzy średnik minus trzy koniec nawiasu, nawias minus dwa średnik minus cztery koniec nawiasu, nawias zero średnik zero koniec nawiasu, nawias jeden średnik minus jeden koniec nawiasu.

Własności funkcji:

• $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1\right\}$;

• $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2\right\}$;

• funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ,-1\right)$, $\left(-1,\infty \right)$;

• równanie asymptoty poziomej: $y=-2$;

• równanie asymptoty pionowej: $x=-1$.

Powyższe własności funkcji można określić na podstawie postaci kanonicznej funkcji.

Określimy, w jaki  sposób należy przesunąć wykres funkcji $g\left(x\right)=\frac{r}{x}$, $r\ne 0$, aby otrzymać funkcję o następujących własnościach:

• $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$;

• $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{3\right\}$.

Rozwiązanie

Skoro funkcja nie jest określona dla $x=4$, to prosta o równaniu $x=4$ jest asymptotą pionową wykresu tej funkcji. Podobnie funkcja nie przyjmuje wartości $y=3$ i prosta $y=3$ jest jej asymptotą poziomą.

Funkcja $g\left(x\right)=\frac{r}{x}$, $r\ne 0$ posiada asymptoty o równaniach: $x=0$ oraz $y=0$, które przesuwają się wraz z przesunięciem wykresu funkcji.

Zatem wykres należy przesunąć o cztery jednostki w prawo i trzy jednostki do góry.

Wyznaczymy wzór funkcji homograficznej wiedząc, że jest ona rosnąca w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ,-3\right)$, $\left(-3,\infty \right)$, $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$ oraz do wykresu funkcji należy punkt $\left(-1,3\right)$.

Rozwiązanie

Jeśli funkcja nie jest określona dla $x=-3$, to prosta o równaniu $x=-3$ jest asymptotą pionową wykresu tej funkcji. Podobnie, funkcja nie przyjmuje wartości $y=4$ i prosta $y=4$ jest jej asymptotą poziomą.

W związku z tym, wzór funkcji można zapisać w postaci:

$f\left(x\right)=\frac{r}{x+3}+4$.

Podstawiamy współrzędne punktu $\left(-1,3\right)$ do wzoru funkcji:

$3=\frac{r}{-1+3}+4$

$r=-2$.

Odpowiedź:

Wzór funkcji $f\left(x\right)=\frac{-2}{x+3}+4$.

funkcja, która jest ilorazem dwóch wielomianów $f\left(x\right)=\frac{W\left(x\right)}{P\left(x\right)}$, gdzie $P\left(x\right)\not\equiv 0$