2. Pole równoległoboku. Pole rombu

RRGPK7RQFNB4P

RMSXR6ZMSH3QN

Ilustracja przedstawia szklany budynek w kształcie równoległoboku. — Źródło: KarstenBergmann, dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

Na zdjęciu przedstawiony jest biurowiec w porcie w Hamburgu. Jest to sześciokondygnacyjny budynek o charakterystycznym przekroju w postaci równoległoboku i wystaje nad wodę jak burta statku. Główna ściana tego budynku to równoległobok o długości $134$ metrów i wysokości $25$ metrów. Kąt rozwarty jaki tworzy ta ściana z poziomym dachem wynosi $136$ stopni. Czy potrafisz wyznaczyć pole powierzchni ściany głównej?

W tym materiale omówimy różne sposoby wyznaczania pola równoległoboku i ich zastosowania.

Twoje cele

Wyliczysz pole równoległoboku i rombu na podstawie informacji o niektórych elementach tego czworokąta takich jak długości boków, przekątnych, wysokości, miary kątów.
Zobaczysz powiązanie pól równoległoboków i rombu z polami trójkątów i innych wielokątów.
Zastosujesz własności pola równoległoboku i rombu w zadaniach matematycznych i praktycznych.

Na rysunku przedstawiony jest równoległobokrównoległobokrównoległobok $A B C D$ z zaznaczonymi przekątnymi i kątami. Oznaczenia z tego rysunku wykorzystamy do opisu własności.

Zastosujemy oznaczenie $d_{1}$ na przekątną $A C$ oraz $d_{2}$ na przekątną $B D$ . Ponadto, niech $h_{a}$ oznacza wysokość równoległoboku opuszczoną na bok $a$ i niech $h_{b}$ oznacza wysokość równoległoboku opuszczoną na bok $b$ .

R1VFH5N6SM62Q

Ilustracja przedstawia równoległobok ABCD. Zaznaczono przekątne równoległoboku AC o długości d indeks dolny 1 koniec indeksu oraz BD o długości d indeks dolny 2 koniec indeksu. Punkt przecięcia przekątnych to S, a kąt pomiędzy nimi to gamma. Kąt przy wierzchołkach A i C wynosi alfa, a przy wierzchołkach B i D wynosi beta. Zaznaczono wysokość CE o długości h indeks dolny a koniec indeksu. Przedłużono bok BC otrzymując wysokość DF o długości h indeks dolny b koniec indeksu.

Równoległobok ma dwie pary boków równoległych: $D C ∥ A B$ , $B C ∥ A D$ .

Boki równoległe mają równe długości: $|D C| = |A B| = a$ , $|A D| = |B C| = b$ .

Kąty przeciwległe mają równe miary: $∢ B A D = ∢ B C D = α$ , $∢ A B C = ∢ A D C = β$ .

Suma kątów sąsiednich jest równa $180 °$ : $α + β = 180^{\circ}$ .

Przekątne przecinają się w połowie: $|A S| = |S C| = \frac{|A C|}{2} = \frac{d_{1}}{2}$ , $|B S| = |S D| = \frac{|B D|}{2} = \frac{d_{2}}{2}$ .

Własności kątów pod jakimi przecinają się przekątne: $∢ C S D = ∢ A S B = γ$ , $∢ A S D = ∢ B S C = 180^{\circ} - γ$ .

Z własności funkcji sinussinus wnioskujemy: $\sin γ = \sin (180 ° - γ)$ oraz $\sin α = \sin β$ .

Załóżmy, że potrafimy wyliczyć pole trójkąta. Pokażemy jak wtedy wyznaczyć pole równoległoboku.

Każda przekątna dzieli równoległobok $A B C D$ na dwa przystające trójkąty na mocy cechy $b - k - b$ : $A B C$ przystaje do $C D A$ oraz $B A D$ do $B C D$ .

Stąd pole równoległoboku jest dwa razy większe niż pole jednego z tych trójkątów.

Z powyższych rozważań wyciągniemy wniosek, że dwa trójkąty, które mają boki $a$ i $b$ , gdzie w pierwszym trójkacie kąt między bokami wynosi $α$ , w drugim $β$ spełniają zależność $α = 180 ° - β$ mają równe pola.

Rzeczywiście, pole trójkąta $A B C$ jest równe połowie pola równoległoboku, podobnie pole trójkąta $B C D$ jest równe połowie pola równoległoboku.

Trójkąt $A B C$ ma boki $a$ , $b$ i kąt między tymi bokami równy $β$ , natomiast trójkąt $B C D$ ma również boki $a$ , $b$ a kąt między tymi bokami równy $α$ . Z własności $4$ , $α + β = 180 °$ .

pole równoległoboku 1

Twierdzenie: pole równoległoboku 1

Pole równoległoboku jest równe

P = a \cdot h_{a}

gdzie $a$ jest dowolnym bokiem równoległoboku, a $h_{a}$ jest wysokością spuszczoną na ten bok.

Dowód twierdzenia

Niech $E^{'}$ będzie punktem przecięcia prostej poprowadzonej z wierzchołka $D$ równoległej do wysokości z prostą zawierająca bok $A B$ . Wtedy czworokąt $D C E E^{'}$ jest prostokątem o polu równym $|D C| \cdot |C E| = a \cdot h_{a}$ .

RXGV3B3PXU6R6

Ilustracja przedstawia prostą na której umieszczono równoległobok ABCD. Zaznaczono wysokość h indeks dolny a koniec indeksu. Na prostej umieszczono punkt E prim będący końcem wysokości równoległoboku D E prim. Powstały dwa trójkąty ADE prim oraz BEC.

Trójkąty $B C E$ i $A D E^{'}$ są przystające na mocy cechy przystawania $b - k - b$ .

Stąd pole równoległoboku $P = P_{A E C D} + P_{B C E} = P_{A E C D} + P_{A D E^{'}} = a \cdot h_{a}$ .

Przykład 1

Jedna z wysokości w równoległoboku o polu $10$ ma długość $2$ , druga z wysokości ma długość $4$ . Wyznaczymy długości boków.

Rozwiązanie

$a \cdot h_{a} = a \cdot 2 = 10$ , więc $a = 5$

$b \cdot h_{b} = b \cdot 4 = 10$ , więc $b = 2, 5$

Zatem równoległobok ma boki długości $5$ i $2, 5$ .

W dowodzie twierdzenia sprowadziliśmy zadanie policzenia pola równoległoboku do wyznaczenia pola prostokąta. Pokażemy jeden ze sposobów sprowadzenia zadania policzenia pola równoległoboku do wyznaczenia pola trójkąta.

Przykład 2

Niech $A B C D$ będzie równoległobokiem. Na prostej $B C$ zaznaczamy punkt $B^{'}$ taki, że $|B C| = |C B^{'}|$ . Wykażemy, że pole równoległoboku $A B C D$ jest równe polu trójkąta $A B B^{'}$ .

RSMZAT6O4G6TM

Ilustracja przedstawia równoległobok ABCD o wymiarach a i b. Przedłużono bok BC i zaznaczono na nim punkt B prim. Z punktu A poprowadzono prostą do punktu B prim. Na przecięciu z bokiem DC utworzono punkt F.

Rozwiązanie:

Prowadzimy odcinek $B^{'} A$ . Niech punkt $F$ będzie punktem przecięcia odcinka $A B^{'}$ z bokiem $D C$ .

Wtedy, z twierdzenia Talesa wynika, że $|C F| = \frac{|A B|}{2}$ oraz z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa mamy, że trójkąty $C F B^{'}$ i $D F A$ są przystające.

Stąd wynika, że pole równoległoboku $A B C D$ jest równe polu trójkąta $A B B^{'}$ .

pole równoległoboku 2

Twierdzenie: pole równoległoboku 2

Pole równoległoboku o bokach $a$ , $b$ i kącie $α$ między tymi bokami jest równe

P = a b \sin α

Dowód twierdzenia

Pole równoległoboku $A B C D$ jest równe $P = 2 P_{B A D} = 2 \cdot \frac{a b \sin α}{2} = a b \sin α$ .

Prostokąt jest równoległobokiem, więc jego pole jest równe $P = a b \sin α = a b \sin 90^{\circ} = a b$ .

Przykład 3

Kąt między dwoma bokami równoległoboku o długościach $5 cm$ i $6 cm$ ma miarę równą $30 °$ . Wyznaczymy pole tego równoległoboku.

Rozwiązanie:

Obliczymy pole tego równoległoboku podstawiając bezpośrednio do wzoru:

$P = 5 \cdot 6 \cdot \sin 30 ° = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15$

pole równoległoboku 3

Twierdzenie: pole równoległoboku 3

Pole równoległoboku o przekątnych $d_{1}$ , $d_{2}$ i kącie $γ$ między przekątnymi jest równe

P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} \sin γ

Dowód twierdzenia

RPAZ166KM93O9

Ilustracja przedstawia równoległobok ABCD. Zaznaczono przekątne d indeks dolny 1 koniec indeksu oraz d indeks dolny 2 koniec indeksu. Punktem przecięcia przekątnych jest punkt S o kącie przy wierzchołku o mierze gamma.

Pole równoległoboku $A B C D$ jest równe:

$P = P_{A S B} + P_{C S D} + P_{A S D} + P_{C S B} = 2 P_{A S B} + 2 P_{A S D} =$

$= 2 \cdot \frac{\frac{d_{1}}{2} \cdot \frac{d_{2}}{2}}{2} \sin γ + 2 \frac{\frac{d_{1}}{2} \cdot \frac{d_{2}}{2}}{2} \sin (180 ° - γ) = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{4} (\sin γ + \sin (180 ° - γ)) =$

$= \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{4} \cdot 2 \cdot \sin γ = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} \sin γ$

Przykład 4

Przekątne równoległoboku mają długości $14$ i $18$ , a kąt rozwarty między przekątnymi jest $5$ razy większy niż kąt ostry. Wyznaczymy pole tego równoległoboku.

Rozwiązanie:

Niech $α$ będzie miarą kąta ostrego. Wtedy $α + 5 α = 180 °$ , więc $α = \frac{180 °}{6} = 30 °$ .

Zatem $P = \frac{14 \cdot 18}{2} \cdot \sin 30^{\circ} = \frac{14 \cdot 18}{2 \cdot 2} = 63$ .

Przykład 5

Znane jest twierdzenie, że w dowolnym czworokącie wypukłym czworokąt, którego wierzchołkami są środki jego boków jest równoległobokiem. Pokażemy, że pole tego równoległoboku jest połową pola $P$ tego czworokąta.

Rozwiązanie:

Na rysunku widać czworokąt $A B C D$ i czworokąt $E F G H$ , który łączy środki boków.

R13JF53MAB6PV

Ilustracja przedstawia trapez ABCD. W środku trapezu widać czworokąt EFGH łączący środki boków. Na trapezie zaznaczono przekątne AC oraz BD.

Z własności linii środkowej w trójkątach $B C D$ i $B A D$ wynika, że boki $F G$ i $E H$ są równoległe do przekątnej $B D$ i mają długość równą połowie długości tej przekątnej.

Stąd też wynika, że $P_{H A E} = \frac{1}{4} P_{B A D}$ i $P_{G C F} = \frac{1}{4} P_{B C D}$ .

Analogiczne rozważania prowadzą do wniosku, że $P_{E D F} = \frac{1}{4} P_{A D C}$ i $P_{H B G} = \frac{1}{4} P_{A B C}$

Teraz zauważamy, że pole równoległoboku wynosi $P_{E F G H} = P - (P_{H A E} + P_{G C F} + P_{E D F} + P_{H B G})$

Z drugiej strony wiemy, że $P = P_{B A D} + P_{B C D} = P_{A D C} + P_{A B C}$ , więc:

$2 P = P_{B A D} + P_{B C D} + P_{A D C} + P_{A B C} = 4 P_{H A E} + 4 P_{G C F} + 4 P_{E D F} + 4 P_{H B G}$

Stąd $P_{H A E} + P_{G C F} + P_{E D F} + P_{H B G} = \frac{P}{2}$

Ostatecznie, $P_{E F G H} = P - \frac{P}{2} = \frac{P}{2}$

Zatem pole równoległoboku $E F G H$ jest połową pola czworokąta $A B C D$ .

Pole rombu

Na rysunkach poniżej, pierwszy od lewej przedstawia fragment posadzki, drugi – fragment mozaiki z oferty sprzedażowej kafelków do łazienek, a na trzecim obrazku jest fragment dywanu. Co łączy te obrazki?

RFVLJH4RJP6TP

Ilustracja przedstawia mozaiki z płytkami w kształcie rombu. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Otóż wzory na wszystkich tych obrazkach powstały z ułożenia rombów i odpowiedniego ich pokolorowania.

Z definicji romb jest czworokątem, który ma wszystkie boki równe. Z klasyfikacji czworokątów wiemy, że jest on szczególnym przypadkiem równoległoboku o równych bokach i szczególnym przypadkiem deltoidu o równych bokach.

o polu rombu

Twierdzenie: o polu rombu

Pole rombu jest równe $P = a \cdot h$ , gdzie $a$ jest bokiem rombu, a $h$ jego wysokością.
Pole rombu o boku $a$ i kącie $α$ między tymi bokami jest równe $P = a^{2} \cdot \sin α$ .
Pole rombu o przekątnych $d_{1}$ , $d_{2}$ jest równe $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}$ .

Dowód twierdzenia

Wzór $1$ jest wzorem na pole równoległoboku.

Wzór $2$ . Wynika ze wzoru na pole równoległoboku $P = a b \cdot \sin α$ , ale w rombie $a = b$ , więc $P = a^{2} \cdot \sin α$ .

Wzór $3$ jest wzorem na pole deltoidu.

Przykład 6

Pokażemy, że wzór $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}$ wynika ze wzoru na pole równoległoboku $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} \cdot \sin γ$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, to $γ = 90 °$ , a stąd $\sin γ = 1$ , więc $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}$ .

Przykład 7

Bok rombu o polu $15$ ma długość $5$ .

RP8UE8Q6TMJ6Z

Ilustracja przedstawia romb ABCD o boku o długości a. Kąty wewnętrzne przy wierzchołkach A i C wynoszą alfa, a przy wierzchołkach BD wynoszą beta. Na bok DC upuszczono wysokość o długości h.

Wyznaczymy wysokość rombu oraz sinussinus kątasinus kątów rombu.

Rozwiązanie:

$a \cdot h = 5 \cdot h = 15$ , więc $h = 3$ .

Wtedy trójkąt $B F C$ jest trójkątem prostokątnym, więc $\sin α = \frac{h}{a} = \frac{3}{5}$ .

Ponieważ $α + β = 180 °$ to $\sin β = \sin (180 ° - α) = \sin α$ .

Przykład 8

Punkty $F$ , $G$ , $H$ , $I$ dzielą przekątne rombu $A B C D$ w stosunku $1 : 3$ .

RPATHS2ES1RC7

Ilustracja przedstawia romb ABCD o boku a. Zaznaczono przekątne AC i DC przecinające się w punkcie S. Zaznaczone punkty F, G, H, I dzielące przekątne w stosunku 1 do trzech. Punkty tworzą romb FGHI o środku S.

Pokażemy, że czworokąt $F G H I$ jest rombem i wyznaczymy stosunek pól rombów $A B C D$ i $F G H I$ .

Rozwiązanie:

Z podanej proporcji $1 : 3$ wynika, że punkty $F$ , $G$ , $H$ , $I$ są środkami połówek przekątnych $D S$ , $C S$ , $B S$ , $A S$ , odpowiednio. Wtedy odcinki $F G$ , $G H$ , $H I$ , $I F$ są równoległe do odpowiednich boków rombu $A B C D$ i mają długość równą połowie długości boku tego rombu. Poza tym $|I G| = \frac{|A C|}{2}$ , $|F H| = \frac{|B D|}{2}$ .

Zatem $F G H I$ jest rombem, a jego pole jest równe $\frac{|I G| \cdot |F H|}{2} = \frac{\frac{|A C|}{2} \cdot \frac{|B D|}{2}}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{|A C| \cdot |B D|}{2}$ .

Stąd stosunek pól rombów $A B C D$ i $F G H I$ jest równy $4 : 1$ .

Przykład 9

Wyznaczymy wzór na pole rombu, gdy podana jest długość boku $a$ i długość jednej z przekątnych $d$ .

Rozwiązanie:

Zauważamy, że w rombie bok i połowy przekątnych tworzą trójkąt prostokątny, w którym bok $a$ jest przeciwprostokątną. Niech $x$ oznacza długość drugiej przekątnej. Wtedy z twierdzenia Pitagorasa wynika, że $a^{2} = {(\frac{d}{2})}^{2} + {(\frac{x}{2})}^{2} = \frac{d^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4}$ . Stąd $x^{2} = 4 a^{2} - d^{2}$ i stąd $x = \sqrt{4 a^{2} - d^{2}}$ .

Teraz możemy wyznaczyć pole rombu $P = \frac{d \cdot x}{2} = \frac{d \sqrt{4 a^{2} - d^{2}}}{2}$ .

Romby w mozaikach

1. Popatrzmy na ośmiokąt foremnywielokąt foremnyośmiokąt foremny zaznaczony na mozaice na rysunku.

R1VM8O7B5VSHE

Ilustracja przedstawia mozaikę w kształcie ośmiokąta foremnego. Składa się z 8 kwadratów oraz 16 rombów. Boki figur są równe.

Składa się on z kwadratów i rombów, których kąt ostry jest równy $\frac{360 °}{8} = 45 °$ . Boki kwadratów i rombów są równe.

2. Na rysunku poniżej zaznaczony jest sześciokąt foremny.

R1ETAMFCHHDHP

Ilustracja przedstawia mozaikę w kształcie sześciokąta foremnego. Składa się z 12 rombów.

Składa się on z rombów, których kąt ostry jest równy $\frac{360 °}{6} = 60 °$ .

Problem 1

Ćwiczenie praktyczne w grupach 2–3 osobowych.

Przygotujcie (można wyciąć z papieru) romby i kwadraty o boku $5$ w ilościach jak poniżej i zapiszcie jakie mają pola:
- $10$ kwadratów,
- $20$ rombów o kącie ostrym $45 °$ ,
- $16$ rombów o kącie ostrym $60 °$ .

Ułóżcie z tych rombów ośmiokąt i sześciokąt przedstawione na powyższych rysunkach.

Wyznaczcie pola i długość boku ośmiokąta i sześciokąta.

Jak się zmienią pola i długości boków tych wielokątów, jeśli zbudujemy je z rombów o boku $3$ , $10$ , $256$ ?

Aplety

Polecenie 1

Na ekranie są trzy przyciski, każdy z nich odpowiada za inny sposób liczenia pola równoległoboku (pole wyznaczane jest z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku).

1. Przycisk „Bok i wysokość”.

przy pomocy suwaków wybierz długość boku $a$ i wysokości $h$ .
zmieniając ustawienia suwaków dostajesz różne równoległoboki, które mają bok długości $a$ i wysokość długości $h$
obserwuj wartość pola tego równoległoboku

2. Przycisk „Dwa boki i kąt między nimi”.

przy pomocy suwaków wybierz długości boków $a$ i $b$ oraz miarę kąta $α$ między bokami
powstaje równoległobok o podanych długościach boków i kącie między bokami
obserwuj wartość pola tego równoległoboku

3. Przycisk „Przekątne i kąt między nimi”.

przy pomocy suwaków wybierz długości przekątnych $d_{1}$ , $d_{2}$ oraz miarę kąta $α$ między bokami
powstaje równoległobok o podanych długościach przekątnych i kącie między nimi
obserwuj wartość pola tego równoległoboku

Zapoznaj się z poniższym opisem symulacji. Wyciągnij wnioski, na podstawie których rozwiążesz Polecenie 2.

R38GGP51P4S2M

Polecenie 2

R1ESNE6D1R6AB

Polecenie 3

Na ekranie są trzy przyciski, każdy z nich odpowiada za inny sposób liczenia pola równoległoboku.

Przycisk „Dane bok i przekątna”
2.1 przy pomocy suwaków wybierz długość boku $a$ i przekątnej $d$
2.2 otrzymasz jeden romb z dokładnością do relacji przystawania, który ma bok długości $a$ i przekątną długości $d$
2.3 obserwuj długości wysokości i drugiej przekątnej oraz kąt między bokami i wartość pola tego rombu

Przycisk „Dany bok i kąt między bokami”
3.1 przy pomocy suwaka wybierz długość boku $a$
3.2 poruszając punktem $K$ ustawiasz miarę kąta $α$ między bokami
3.3 powstaje jeden romb z dokładnością do relacji przystawania o podanej długości boku i kącie między bokami
3.4 obserwuj długości przekątnych, wysokości oraz wartość pola tego rombu

Przycisk „Dane przekątne”
4.1 przy pomocy suwaków wybierz długości przekątnych $d_{1}$ , $d_{2}$
4.2 powstaje jeden romb z dokładnością do relacji przystawania o podanych długościach przekątnych
4.3 obserwuj długości wysokości i boków oraz kąt między bokami i wartość pola tego rombu

Rezultaty działań podane są z dokładnością do części setnych.

Zapoznaj się z poniższym opisem symulacji. Na podstawie uzyskanych informacji, rozwiąż Polecenie 2.

RXJZ5F8JAOLCU

Polecenie 4

R1S9S73VCVZOU

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Ćwiczenie 1

Wskaż poprawną odpowiedź.

RP6UGD7AFOT5R

RCNGELDEP65CR

RELTCXP7DEQ2F

R1D9L623XQL1Q

Ćwiczenie 2

RBSJX1L183Q8P

R18F999K9V16R

RFVNTVKBD6RRE

R1E61VJEL3TUM

ROET6XHG2G8B2

R1QUKTV6ZVJXF

Ćwiczenie 3

Stosując oznaczenia z rysunku wskaż zdania prawdziwe.

RVNRFESOLNGA4

Ilustracja przedstawia równoległobok ABCD. Zaznaczono przekątne przecinające się w punkcie S.

R19VO3UNULSAC

Ćwiczenie 4

Główna ściana biurowca w porcie w Hamburgu to równoległobok o długości $134$ metrów i wysokości $25$ metrów. Kąt rozwarty jaki tworzy ta ściana z poziomym dachem wynosi $136$ stopni. Wyznacz pole powierzchni ściany głównej oraz drugi bok tego równoległoboku.

Do obliczenia drugiego boku równoległoboku skorzystaj ze wzoru na pole $P = a \cdot b \cdot \sin α$ .

$P = 134 \cdot 25 = 3350 m^{2}$

Aby wyznaczyć bok korzystamy z wzoru na pole równoległoboku $P = a \cdot b \cdot \sin α$ .

Stąd $b = \frac{3350}{134 \sin 136^{\circ}} \approx \frac{3350}{134 \cdot 0, 695} \approx 36 m$ .

Ćwiczenie 5

Długość krótszego boku równoległoboku oraz jednej z jego przekątnych jest równa $8$ . Oblicz pole tego równoległoboku, jeżeli wiadomo, że drugi z boków jest $1, 5$ razy dłuższy od pierwszego.

Krótszy bok i przekątna są ramionami trójkąta równoramiennego o podstawie równej długości dłuższego boku, czyli $1, 5 \cdot 8 = 12$ .

Wtedy $h = \sqrt{8^{2} - 6^{2}} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$ , a stąd pole jest równe $P = 12 \cdot 2 \sqrt{7} = 24 \sqrt{7}$ .

Ćwiczenie 6

RJK7ZV9AR2BL7

Ilustracja przedstawia prostokąt o wymiarach x, minus, sześć i x, minus, piętnaście. Obok znajduję się równoległobok o wymiarach x, minus, cztery i x, minus, trzynaście oraz wysokości x, minus, szesnaście.

Prostokąt i równoległobok na rysunku mają równe pola. Oblicz ich obwody.

Pokaż podpowiedź

$(x - 6) (x - 15) = (x - 16) (x - 4)$

$x^{2} - 6 x - 15 x + 90 = x^{2} - 16 x - 4 x + 64$

$x = 26$ .

Stąd obwód prostokąta wynosi $2 (26 - 6) + 2 (26 - 15) = 62$ .

A obwód równoległoboku wynosi $2 (26 - 4) + 2 (26 - 13) = 70$ .

Ćwiczenie 7

Pokaż, że jeżeli punkt $E$ leży na boku $A B$ równoległoboku $A B C D$ , to pole trójkąta $C D E$ jest połową pola równoległoboku $A B C D$ .

Trójkąt i równoległobok mają wspólną wysokość i podstawę, więc pole trójkąta jest połową pola równoległoboku $A B C D$ .

RGPRQPRL72KH5

Ilustracja przedstawia równoległobok ABCD. Zaznaczono na nim wysokość EF. Z wierzchołków C i D poprowadzono prostą do punktu E. Utworzono trójkąt CED.

Ćwiczenie 8

Punkt $E$ leży na boku $B C$ równoległoboku $A B C D$ . Budujemy równoległobok $A E G F$ taki, że $A E$ jest jego bokiem, a punkt $D$ leży na boku równoległym do $A E$ . Udowodnij, że równoległoboki $A B C D$ i $A E G F$ maja równe pola.

Warunki zadania przedstawione są na rysunku.

R2294XBKV3ZRU

Ilustracja przedstawia równoległobok ABCD. Punkt E leży na boku BC równoległoboku. Zbudowano równoległobok AEGF taki, że AE jest jego bokiem. Punkt D leży na boku równoległym do AE.

Pole trójkąta $A E D$ jest połową pola równoległoboku $A B C D$ , bo obie figury mają wspólną podstawę $D A$ oraz wysokość, a punkt $E$ leży na boku $B C$ . Pole trójkąta $A E D$ jest również równe połowie pola równoległoboku $A E G F$ , bo $D$ leży na boku $G F$ i $A E$ jest wspólną podstawą trójkąta $A E D$ i równoległoboku $A E G F$ .

RVLQP9PJSL4LM1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Na rysunku przedstawiony jest romb o boku $a$ , z kątem $α$ między jego bokami, przekątnymi $d_{1}$ i $d_{2}$ oraz wysokością $h$ . Pole tego rombu oznaczymy literą $P$ .

RR38XGUXOFJGC

Ilustracja przedstawia romb o boku a. Zaznaczono przekątne d indeks dolny 1 koniec indeksu oraz d indeks dolny 2 koniec indeksu. Kąt przy przekątnej d indeks dolny 1 koniec indeksu wynosi alfa. Kąt między przekątnymi wynosi 90 stopni. Zaznaczono wysokość rombu.

R1QB3H25G7ZB11

Ćwiczenie 11

RO1FHRMUBJZHL

RCE8EMOD6LGE6

RG45SDH88JQGJ

R1BG93BCEAMKU

RO1FHRMUBJZHL

RCE8EMOD6LGE6

RG45SDH88JQGJ

R1BG93BCEAMKU

Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawione są trzy przystające romby wpisane w trójkąt równoboczny. Wyznacz pole jednego z tych rombów, jeśli wiadomo, że długość boku trójkąta wynosi $15$ .

RBFKBLTC659XG

Ilustracja przedstawia trzy romby połączone w jednym wierzchołku.

R16Z8P5K9C31X

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Środek okręgu oznaczono literą O. W środku trójkąta znajdują się trzy romby CLMNO, CNOP, BKOQ połączone w punkcie O.

Na powyższym rysunku przedstawione są romby wpisane w trójkąt równoboczny wraz z oznaczonymi wierzchołkami. Kąty przy wierzchołkach $A$ , $B$ , $C$ mają miarę $60 °$ , więc kąty w rombach mają miary $60 °$ i $120 °$ .

Na początku pokażemy, że długość boków tych rombów wynosi $5$ . Trójkąty $M N O$ , $K L O$ i $P Q O$ są przystającymi trójkątami równobocznymi o boku długości równej długości boków rombu, bo ich kąty są kątami dopełniającymi kąta $120 °$ czyli mają miary $60 °$ oraz w każdym z tych trójkątów przynajmniej jeden z boków jest bokiem rombu. Stąd długość boków tych rombów wynosi $\frac{15}{3} = 5$ .

Ostatecznie pole każdego z tych rombów wynosi $P = 5^{2} \cdot \sin 60 ° = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ćwiczenie 13

Oblicz pole rozety przedstawionej na rysunku przyjmując, że bok rombu ma długość $a$ . Skorzystaj z tablic wartości sinusów w celu uzyskania przybliżonej wartości sinusa kąta.

RDDRSH4G9J2B1

Ilustracja przedstawia 12 rombów połączonych w jednym wierzchołku. Przypominają kwiat.

Zauważamy, że rombów jest $12$ . Krótsze przekątne tych rombów są bokami dwunastokąta foremnego, a środek okręgu opisanego na tym dwunastokącie jest wierzchołkiem wspólnym wszystkich rombów. Suma kątów rombów przy ich wspólnym wierzchołku jest $360 °$ . Zatem kąt ostry w każdym z rombów jest równy $\frac{360 °}{12} = 30 °$ . Wyznaczamy $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ . Stąd pole rozety jest równe $12 \cdot a^{2} \cdot \frac{1}{2} = 6 a^{2}$ .

Ćwiczenie 14

Oblicz pole rozety, która powstaje z przystających rombów o boku $a$ , takich, że ich krótsze przekątne tworzą dwudziestokąt foremny. Skorzystaj z tablic wartości sinusów w celu uzyskania przybliżonej wartości sinusa kąta.

Przeprowadzamy rozumowanie jak w poprzednim zadaniu i obliczamy kąt ostry rombu $\frac{360 °}{20} = 18 °$ .

Z tablic sinusów odczytujemy $\sin 18 ° \approx 0, 309$ . Stąd pole rozety jest w przybliżeniu równe $20 \cdot a^{2} \cdot 0, 309 = 6, 18 a^{2}$ .

Ćwiczenie 15

Przekątna kwadratu o boku $1$ oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz obwód rombu.

Ponieważ przekątne rombu dzielą się w połowie, to „połowa drugiej przekątnej kwadratu” jest odcinkiem $G H$ , gdzie $E$ jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, a $G$ i $H$ środkami odcinków $A E$ i $D E$ , odpowiednio.

R172B53ZLSX2N

Ilustracja przedstawia kwadrat ABCD o boku jeden. Zaznaczono przekątną AD. W środku kwadratu wpisano romb BHCG o środku E. Punkty GH i E znajdują się na przekątnej AD.

Musimy policzyć długość boku rombu $a = |B H|$ , wtedy jego obwód będzie równy $4 a$ .

Z twierdzenia Pitagorasa $a^{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{4})}^{2} = \frac{5}{8}$ .

Stąd $a = \sqrt{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$ .

Obwód rombu jest równy $4 \cdot \frac{\sqrt{10}}{4} = \sqrt{10}$ .

Ćwiczenie 16

Jak wyznaczyć $a$ i kąty wewnętrzne rombu, jeśli dane są długości jego przekątnych $d_{1}$ i $d_{2}$ .

Czerwony trójkąt na rysunku jest trójkątem prostokątnym. Bok rombu jest przeciwprostokątną, a połowy przekątnych są przyprostokątnymi tego trójkąta.

R15VFXH1DF2TK

Ilustracja przedstawia romb ABCD o boku a. Zaznaczono przekątne d indeks dolny 1 koniec indeksu oraz d indeks dolny 2 koniec indeksu przecinające się w kącie prostym. Utworzono trójkąt w miejscu przecięcia przekątnych oraz boku DC.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy

$a^{2} = {(\frac{d_{1}}{2})}^{2} + {(\frac{d_{2}}{2})}^{2} = \frac{1}{4} (d_{1}^{2} + d_{2}^{2})$

Stąd $a = \frac{1}{2} \sqrt{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}$ .

Mamy też $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} = a^{2} \cdot \sin α$ .

Stąd $\sin α = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2 \cdot \frac{1}{4} (d_{1}^{2} + d_{2}^{2})} = \frac{2 d_{1} \cdot d_{2}}{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}$

Teraz należy odczytać wartość kąta $α$ z tablic sinusów.

Kąt $β$ jest równy $β = 180 ° - α$ .

Słownik

prostokąt

czworokąt, który ma wszystkie kąty proste

sinus kąta w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta i długości przeciwprostokątnej

równoległobok

czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych

kwadrat

czworokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste

romb

czworokąt, który ma wszystkie boki równe

deltoid

czworokąt wypukły, który ma dwie pary równych boków sąsiednich

sinus kąta

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta i długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym

wielokąt foremny

wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości

1. Pole prostokąta. Pole kwadratu

3. Pole trapezu