6*. Wiedza z plusem: Centyl

W tym materiale poznamy centyl, zwany też percentylem. Choć niewiele osób orientuje się zapewne co to pojęcie oznacza, percentyle są często wykorzystywane w praktyce. Na przykład w badaniach wzrostu i wagi dzieci, badaniach poziomu inteligencji, testach zdolności.

Wielu rodziców zaraz po urodzeniu dziecka wpada w pułapkę statystyki, otrzymując informację o własnym dziecku w stylu Pani dziecko mieści się między 20 a 30 centylem albo Pana dziecko plasuje się powyżej 90 centyla. I nie wiadomo, która informacja jest dobra, a która źle wróży na przyszłość.

Podobna sprawa jest z maturzystami, którzy na podstawie wyników matury (np.: z historii poniżej 20 centyla, a z chemii powyżej 40 centyla), chcą zorientować się, jaką mają szansę przyjęcia na wymarzone studia.

Warto więc wiedzieć, co oznaczają poszczególne wartości centylowe, aby nie tracić głowy w przełomowych momentach życia. 

Aby dowiedzieć się – co to jest centyl, poznamy najpierw równie dziwne pojęcie – mianowicie kwantyl.

Kwantyl – co to takiego?

Kwantyle to wartości cechy badanej zbiorowości, które dzielą uporządkowaną zbiorowość statystyczną na określone, równe części pod względem liczby jednostek statystycznych.

Kwantyl oznaczamy literą $Q$.

Kwantylem rzędu $q$, gdzie $\left(0<q<1\right)$ nazywamy taką liczbę $Q$, że $q·100\%$ elementów danej zbiorowości statystycznej ma wartość nie większą od $Q$.

Niektóre kwantyle mają swoje nazwy, np.: kwantylem rzędu $\frac{1}{2}$ jest mediana, kwantyle rzędu $\frac{1}{4}$ i $\frac{3}{4}$ nazywają się odpowiednio kwantylem dolnym i kwantylem górnym.

Przykład 1

W poniższym szeregu uporządkowanym, składającym się z $7$ elementów, element czwarty, czyli $5$ , jest elementem środkowym, zatem kwantylem rzędu $\frac{1}{2}$ (po prawej i po lewej stronie liczby $5$ znajduje się tyle samo elementów).

Zapisujemy: $Q_{\frac{1}{2}}=5$.

R1elI5WxCyUxF

Ilustracja przedstawia szereg uporządkowany składający się z siedmiu liczb: jeden, trzy, cztery, pięć, siedem, osiem i dziewięć. Liczby jeden, trzy i cztery są zgrupowane klamrą i oznaczone jako trzy liczby. Cyfra 5, która jest środkową liczbą, jest wyróżniona, i oznaczona jako kwantyl rzędu jedna druga. Liczby siedem, osiem i dziewięć są zgrupowane klamra i oznaczone jako 3 liczby.

Jeśli liczba danych jest parzysta, to kwantyl rzędu $\frac{1}{2}$ będzie średnią arytmetyczną dwóch elementów środkowych.

Przykład 2

Uporządkowany szereg statystyczny $1$, $2$, $4$, $8$, $10$, $20$ składa się z parzystej liczby elementów.

Kwantylem rzędu $\frac{1}{2}$ (medianą) będzie więc średnia arytmetyczna liczb $4$ i $8$.

R1CY6SRXdWL3t

Ilustracja przedstawia szereg uporządkowany składający się z sześciu liczb: jeden, dwa, cztery, osiem, dziesięć i dwadzieścia. Liczby jeden i dwa są zgrupowane klamrą i oznaczone jako dwie liczby. Liczby cztery i osiem, które są środkowe są wyróżnione i zebrane klamrą. Klamra jest oznaczona jako cztery dodać osiem, podzielone przez dwa równa się sześć. Wynik sześć wskazany jest jako kwantyl rzędu jedna druga. Liczby dziesięć i dwadzieścia są zebrane klamra i oznaczone jako dwie liczby.

Odpowiedź:

$Q_{\frac{1}{2}}=6$

Kwantyle rzędu $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{4}$ zwane są kwartylami.

Kwantyle rzędu $\frac{1}{5}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{4}{5}$ to kwintyle, itd.

Kwantyle rzędu $\frac{1}{10}$, $\frac{2}{10}$, ..., $\frac{9}{10}$ to decyle.

Kwartyl rzędu $\frac{1}{4}$ dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że $0,25 \left(25\%\right)$ jednostek tej zbiorowości ma wartości mniejsze lub równe wartości tego kwartyla, a $0,75 \left(75\%\right)$ jednostek ma wartości większe od tego kwartyla lub mu równe.

Przykład 3

Dziesięciu uczniów zapytano: Ile razy dziennie myjesz ręce?

Oto zebrane dane: $1$, $1$, $4$, $5$, $6$, $8$, $10$, $12$, $14$, $20$.

Wyznaczamy kwantyl rzędu $\frac{1}{4}$ i kwantyl rzędu $\frac{3}{4}$ tych danych.

Dzielimy szereg na pół (liczby są już ustawione rosnąco) i w każdej „połówce” wyznaczamy wartość środkową.

R6s6I3RD5Fnch

Ilustracja przedstawia szereg uporządkowany składający się z dziesięciu liczb: jeden, jeden, cztery, pięć, sześć, osiem, dziesięć, dwanaście, czternaście i dwadzieścia. Liczba cztery oznaczona jest jako kwantyl rzędu jedna czwarta. Pomiędzy liczbami sześć i osiem znajduje się pionowa linia oddzielająca, oznaczająca połowę, czyli kwantyl rzędu jedna druga. Liczba dwanaście oznaczona jest jako kwantyl rzędu trzy czwarte.

Interpretacja wyników:

• $0,25 \left(25\%\right)$ wszystkich osób myje ręce co najwyżej $4$ razy dziennie, a $0,75 \left(75\%\right)$ wszystkich osób myje ręce co najmniej $4$ razy dziennie,

• $0,75$ wszystkich osób myje ręce co najwyżej $12$ razy dziennie, a $0,25$ co najmniej $12$ razy.

Odpowiedź:

$Q_{\frac{1}{4}}=4$, $Q_{\frac{3}{4}}=12$

Centyl – co to takiego?

Wiemy już, że kwantyle pomagają w ustaleniu miejsca interesującego nas wyniku w uporządkowanym szeregu statystycznym. Jednym z rodzajów kwantyli są centyle.

Centyle to kwantyle rzędu $\frac{1}{100}$, $\frac{2}{100}$, $\frac{3}{100}$, ..., $\frac{99}{100}$. Zamiast centyl rzędu np. $\frac{3}{100}$ mówimy często – $3$ centyl.

CentylcentylCentyl to jedna z miar przeciętnych. Charakteryzuje zbiorowość statystyczną niezależnie od różnic występujących między jednostkami tej zbiorowości. Ponieważ centyl dzieli zbiorowość na $100$ równych części, można więc dla każdego numeru obserwacji określić procent zbiorowości znajdującej się powyżej lub poniżej tej obserwacji.

Przykład 4

Darek jest trzecią najwyższą osobą w grupie $10$ osób. Oznacza to, że $70\%$ osób jest nie wyższych od Darka.

R1TsWrQ8OZxOS

Ilustracja przedstawia dziesięć postaci człowieka różniących się wielkością, uszeregowanych od najmniejszej do największej. Pierwsze siedem postaci jest zgrupowanych klamrą, oznaczoną jako siedemdziesiąt procent. Ósma z nich jest wyróżniona, opisana jako Darek.

Jeśli Darek ma $170 \mathrm{cm}$ wzrostu, to wartość $70$ centyla w tej grupie jest równa $170 \mathrm{cm}$.

Pokażemy teraz, jak interpretować centylcentylcentyl w przypadku danych zgrupowanych.

Przykład 6

Na konkurs plastyczny nadesłano wiele prac, ale tylko $5\%$ prac otrzymało najwyższą ocenę – Z (zachwycająca), ocenę S (super) otrzymało $20\%$ prac, ocenę W (wybitna) – aż $60\%$ i wreszcie P (przeciętna) otrzymało $15\%$ prac. Obliczymy, na którym centylu znalazła się praca Agaty, która otrzymała ocenę S.

R9icuDd312qb7

Ilustracja przedstawia poziomy odcinek podzielony na cztery mniejsze odcinki o różnej długości, odpowiadającej oznaczeniom: pierwszy oznaczony jako P piętnaście procent , drugi oznaczony jako W sześćdziesiąt procent, trzeci S oznaczony jako 20 procent, oraz ostatni czwarty oznaczony jako Z pięć procent. Odcinek trzeci S oznaczony jako 20% jest dodatkowo oznaczony pionową przerywaną linią w połowie odcinka.

Wiemy, że oceny gorsze otrzymało na pewno $15\%+60\%=75\%$ wszystkich prac.

Nie wiemy jednak dokładnie ile punktów otrzymała praca Agaty, ani nawet jaka była skala punktów dla każdej oceny. Zatem możemy tylko oszacować, w którym centylu znalazła się praca Agaty. W tym celu – postępujemy podobnie, jak szukając mediany – bierzemy tylko „połowę” wartości określającej procent ocen S.

Wynika z tego, że $75\%+10\%=85\%$, czyli praca Agaty znalazła się mniej więcej na $85$ centylu.

Oznacza to, że około $85\%$ prac zostało ocenionych nie wyżej niż praca Agaty, a tylko około $15\%$ prac zostało ocenionych nie niżej.

Siatka centylowa

Siatka centylowa jest jedną z metod obiektywnej oceny rozwoju fizycznego dzieci. Lekarze pediatrzy kontrolują rozwój dziecka, porównując przebieg wzrostu, przybór masy ciała, przyrost obwodu głowy na tle danej populacji.

Dane umieszczane są w układzie współrzędnych – na osi poziomej zaznaczony jest wiek dziecka, na osi pionowej – dany parametr.

Na siatce zaznaczonych jest kilka krzywych – najwyżej położona jest linia $97$ centyla – oznacza ona, że u $97\%$ dzieci z danej populacji dany parametr ma nie większą wartość. Pięćdziesiąty centyl oznacza, że u połowy dzieci parametr przyjmuje wartości nie większe, a u drugiej połowy nie mniejsze.

Jako normę przyjmuje się obszar między $3$ a $97$ centylem. Ważne jest, aby krzywa rozwoju dziecka utrzymywała się na tym samym centylu.

Przykładowa siatka centylowa wysokości ciała dziewcząt.

R1VrdbmPl3Plq

Ilustracja przedstawia dwie siatki centylowe wysokości ciała dziewcząt - na każdej siatce znajdują się rosnące wykresy odpowiadające wzrostom osiąganym przez dziewczynki w wieku od jeden do osiemnastu lat. Pozioma oś X wyznacza kolejne lata w rozwoju dziewczynek. W punkcie przecięcia z lewą osią pionową ma wartość 1. Lewa oś pionowa przedstawia wzrost w centymetrach, od siedemdziesiąt do sto osiemdziesiąt. Wykresy wzrostu mają charakter rosnący wraz ze wzrostem wieku w latach. Stanowią grupę zbliżonych wykresów, odróżniających się puntem rozpoczęcia i punktem zakończenia. Zaczynają się na lewej osi pionowej oznaczającej wzrost w centymetrach na wartościach wzrostu od 70 do 80 centymetrów, a kończą na prawej pionowej osi oznaczającej centyle, na wysokościach oznaczonych jako trzeci centyl – jest to wysokość oznaczona na lewej pionowej osi jako sto pięćdziesiąt cztery centymetry, dziesiąty centyl jest to wysokość oznaczona na lewej pionowej osi jako sto pięćdziesiąt osiem centymetrów, dwudziesty piaty centyl - jest to wysokość oznaczona na lewej pionowej osi jako sto sześćdziesiąt dwa centymetry, pięćdziesiąty centyl - jest to wysokość oznaczona na lewej pionowej osi jako sto sześćdziesiąt sześć centymetrów, siedemdziesiąty piaty centyl - jest to wysokość oznaczona na lewej pionowej osi jako sto sześćdziesiąt dziewięć centymetrów, dziewięćdziesiąty centyl - jest to wysokość oznaczona na lewej pionowej osi jako sto siedemdziesiąt dwa centymetry, dziewięćdziesiąty siódmy centyl - jest to wysokość oznaczona na lewej pionowej osi jako sto siedemdziesiąt sześć centymetrów. W lewym dolnym rogu każdej z dwóch siatek centylowych jest analogiczny wykres wzrostu, ze skalą poziomą oznaczającą wiek w miesiącach od jeden do dwanaście, oraz wzrost od pięćdziesięciu do osiemdziesięciu centymetrów. Wykresy wzrostu również kończą się na prawej osi oznaczającej centyle – centyle trzeci, dziesiąty, dwudziesty piąty, pięćdziesiąty, siedemdziesiąty piąty, dziewięćdziesiąty i dziewięćdziesiąty trzeci kończą się oznaczają wzrost na poziomach od siedemdziesięciu do osiemdziesięciu centymetrów. Obie siatki centylowe przedstawiają te same wykresy. Druga siatka centylowa ma dodatkowo wyznaczony obszar odpowiadający wiekowi pięciu lat przy wzroście stu pięciu centymetrów, oraz obszar odpowiadający wiekowi trzynastu lat i wzrostowi sto sześćdziesiąt centymetrów.

Na podstawie siatki możemy stwierdzić na przykład, że $10$ centyl jest równy $105 \mathrm{cm}$ dla dziewcząt w wieku $5$ lat. Oznacza to, że wzrost $10\%$ dziewczynek w wieku $5$ lat nie przekracza $105 \mathrm{cm}$. Natomiast połowa dziewcząt wieku $13$ lat jest nie wyższa niż $160 \mathrm{cm}$.

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z animacją i zorientuj się, w jaki sposób można zinterpretować wyniki egzaminów maturalnych podawane w skali centylowej.

Polecenie 1

Oto fragment tabeli opisującej wyniki egzaminu maturalnego z informatyki na poziomie rozszerzonym (egzamin w nowej formule, absolwenci liceum ogólnokształcącego i technikum). Wyniki zapisano w procentach i odpowiadające im wartości celtyli.

RjUmynPsIubcV

Tabela zawiera wyniki procentowe i odpowiadające im wartości centyla w trzech pionowych kolumnach. Zaznaczony jest rząd tabeli zawierający wynik procentowy osiem i wartość centyla trzynaście, wynik procentowy czterdzieści dwa i wartość centyla sześćdziesiąt cztery, oraz wynik procentowy siedemdziesiąt sześć i wartość centyla dziewięćdziesiąt pięć.

Zinterpretuj te wyniki dla wartości zaznaczonych zielonym kolorem.

Na maturze z informatyki na poziomie rozszerzonym wyniki $8\%$, $42\%$ i $76\%$ odpowiadały centylom $13$, $64$ i $95$. Dokonaj interpretacji tych wyników.

Pokaż odpowiedź

Maturzysta, który zdobył $8\%$ punktów, znalazł się na $13$ centylu, to znaczy tylko $13\%$ maturzystów uzyskało wynik nie lepszy.

Maturzysta, który uplasował się na $64$ centylu uzyskał $42\%$ punktów możliwych do zdobycia.

Maturzysta, który uzyskał wynik $76\%$ punktów  znalazł się na $95$ centylu, co oznacza, że tylko $5\%$ osób uzyskało wynik większy lub równy $76\%$.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

2

Ćwiczenie 3

Rysunek przedstawia  siatkę centylową wysokości wzrostu chłopców. Korzystając z rysunku, uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie wyrażenia.

RwNfrLyRbCTRC

Ilustracja do zadania przedstawia siatkę centylową wysokości ciała chłopców. Dla wieku sześciu lat, kolejne wykresy centylowe posiadają następujące wartości: trzeci centyl ma wartość sto dziesięć centymetrów, dziesiąty centyl ma wartość sto dwanaście centymetrów, dwudziesty piąty centyl ma wartość sto czternaście centymetrów, pięćdziesiąty centyl ma wartość sto siedemnaście centymetrów, siedemdziesiąty piąty centyl ma wartość sto dwadzieścia jeden centymetrów, dziewięćdziesiąty centyl ma wartość sto dwadzieścia pięć centymetrów, dziewięćdziesiąty siódmy centyl ma wartość sto dwadzieścia osiem centymetrów. Dla wieku trzynastu lat, kolejne wykresy centylowe posiadają następujące wartości: trzeci centyl ma wartość sto czterdzieści cztery centymetry, dziesiąty centyl ma wartość sto czterdzieści osiem centymetrów, dwudziesty piąty centyl ma wartość sto pięćdziesiąt trzy centymetry, pięćdziesiąty centyl ma wartość sto pięćdziesiąt dziewięć centymetrów, siedemdziesiąty piąty centyl ma wartość sto sześćdziesiąt pięć centymetrów, dziewięćdziesiąty centyl ma wartość sto siedemdziesiąt centymetrów, dziewięćdziesiąty siódmy centyl ma wartość sto siedemdziesiąt pięć centymetrów.

RI8z2zmizzKGx

Dostępne opcje do wyboru: nie niższy niż, połowa, nie wyższy niż, nie wyższy niż, nie niższy niż. Polecenie: . W wieku sześć lat dziesięć % chłopców ma wzrost luka do uzupełnienia sto dziesięć cm.
Natomiast aż osiemdziesiąt % chłopców w tym wieku ma wzrost luka do uzupełnienia sto dziesięć cm.
W wieku trzynaście lat luka do uzupełnienia chłopców ma wzrost nie wyższy niż sto sześćdziesiąt cm.
Aż zero przecinek dziewięć wszystkich niemowląt płci męskiej w wieku sześć miesięcy ma wzrost luka do uzupełnienia siedemdziesiąt cm, a w wieku cztery miesięcy ok. piętnaście % niemowląt płci męskiej ma wzrost luka do uzupełnienia sześćdziesiąt pięć cm.

Dostępne opcje do wyboru: nie niższy niż, połowa, nie wyższy niż, nie wyższy niż, nie niższy niż. Polecenie: . W wieku sześć lat dziesięć % chłopców ma wzrost luka do uzupełnienia sto dziesięć cm.
Natomiast aż osiemdziesiąt % chłopców w tym wieku ma wzrost luka do uzupełnienia sto dziesięć cm.
W wieku trzynaście lat luka do uzupełnienia chłopców ma wzrost nie wyższy niż sto sześćdziesiąt cm.
Aż zero przecinek dziewięć wszystkich niemowląt płci męskiej w wieku sześć miesięcy ma wzrost luka do uzupełnienia siedemdziesiąt cm, a w wieku cztery miesięcy ok. piętnaście % niemowląt płci męskiej ma wzrost luka do uzupełnienia sześćdziesiąt pięć cm.

2

Ćwiczenie 4

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem i odpowiedz na pytanie.

RLaNstpkKxjwn

Ilustracja przedstawia schematyczny rysunek dziesięciu chłopców ustawionych od lewej strony od najniższego do najwyższego. Chłopcy są pokolorowani na różne kolory. Zaczynając od najniższego mamy: 1 - niebieski, 2 - żółty, 3- pomarańczowy, 4 i 5 - niebieski, 6 - błękitny, 7 i 8 - niebieski, 9 - zielony, 10 - niebieski.

R1dZs2W86o7c9

Na którym centylu (licząc od lewej strony) stoi chłopiec w pomarańczowej koszulce, w szeregu uporządkowanym ze względu na wzrost? Możliwe odpowiedzi: 1. dziesięć, 2. piętnaście, 3. dwadzieścia, 4. dwadzieścia pięć

2

Ćwiczenie 5

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem i odpowiedz na pytanie.

RKyeXGiK2T3qY

Ilustracja przedstawia schematyczny rysunek dziesięciu chłopców ustawionych od lewej strony od najniższego do najwyższego. Chłopcy są pokolorowani na różne kolory. Zaczynając od najniższego mamy: 1 - niebieski, 2 - żółty, 3- pomarańczowy, 4 i 5 - niebieski, 6 - błękitny, 7 i 8 - niebieski, 9 - zielony, 10 - niebieski.

RaJonvyZ6ZOrv

Jaki kolor ma koszulka chłopca stojącego na drugim decylu (licząc od lewej strony) w szeregu uporządkowanym ze względu na wzrost? Możliwe odpowiedzi: 1. Żółty, 2. Pomarańczowy, 3. Niebieski, 4. Zielony

Słownik