1. Działania na potęgach - przypomnienie wiadomości - Funkcja wykładnicza

RbaZff51x0QjC

1. Działania na potęgach - przypomnienie wiadomości

Trójkąt Pascala to trójkątna tablica liczb. W pierwszym wierszu znajduje się liczba $1$ , w następnym – dwie jedynki. W kolejnych wierszach jedynki umieszczone są na początku i końcu każdego wiersza. Każda liczba „środkowa” jest sumą dwóch liczb bezpośrednio znajdujących się nad nią.

REVMWazYQ6HSF

Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala składający się z pięciu wierszy. W każdym wierszu znajdują się kwadratowe pola z wpisanymi liczbami, przy czym każdy kolejny wiersz posiada o jedno pole więcej od poprzedniego. Wiersz pierwszy: 1, wiersz drugi: 1 1 wiersz trzeci: 1 2 1, przy czym z jedynek z wiersza pierwszego poprowadzono dwie ukośne strzałki do środkowej liczby wiersza trzeciego, czyli do dwójki. Wiersz czwarty: 1 3 3 1, wiersz piąty: 1 4 5 6 4 1, przy czym z pierwszych dwóch liczb z wiersza czwartego, czyli z jedynki i z trójki poprowadzono strzałki do drugiej liczby wiersza piątego, czyli do czwórki.

Trójkąt Pascala ma wiele ciekawych własności. Wykorzystujemy go między innymi by ustalić współczynniki wyrażenia ${(a + b)}^{n}$ ( $n$ – liczba naturalna) zapisanego w postaci sumy.

Oto jedna z własności trójkąta Pascala:

Porównaj kwadrat liczby zaznaczonej na fioletowo z sumą liczb zaznaczonych na żółto.

Porównaj kwadrat liczby zaznaczonej na zielono z sumą liczb zaznaczonych na niebiesko.

Zbadaj podobne zależności dla liczb $4$ i $6$ .

Co zauważasz?

R1L5JgiKT4LTK

Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala składający się z ośmiu wierszy ponumerowanych od zera do siedmiu. Wiersz zerowy: 1, wiersz pierwszy: 1 1, wiersz drugi: 1 2 1 wiersz trzeci: 1 3 3 1, wiersz czwarty: 1 4 6 4 1, wiersz piąty: 1 5 10 5 1, wiersz szósty: 1 6 15 20 15 6 1, wiersz siódmy: 1 7 21 35 35 21 7 1. Na fioletowo zaznaczono wyraz drugi z wiersza czwartego, czyli trójkę. Na żółto zaznaczono wyraz trzeci z wiersza trzeciego, czyli trójkę oraz wyraz trzeci z wiersza czwartego, czyli szóstkę. Na zielono zaznaczono wyraz drugi z wiersza piątego, czyli piątkę. Na niebiesko zaznaczono wyraz trzeci z wiersza piątego, czyli dziesiątkę oraz wyraz trzeci z wiersza szóstego, czyli piętnastkę.

Twoje cele

Obliczysz wartości potęg o wykładniku wymiernym
Zastosujesz własności działań na potęgach o tych samych podstawach.
Zastosujesz własności działań na potęgach o tych samych wykładnikach.

Przypomnijmy definicje dotyczące potęg:

potęga o wykładniku naturalnym

Definicja: potęga o wykładniku naturalnym

Potęgą liczby rzeczywistej $a$ o wykładniku naturalnym $n \geq 2$ nazywamy liczbę:

$a^{n} = \underset{n czynników}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}}$

Liczbę $a$ nazywamy podstawą potęgi. Ponadto przyjmujemy, że dla każdej liczby rzeczywistej:

$a^{1} = a$

oraz dla $a \neq 0$ :

$a^{0} = 1$

potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Definicja: potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

jeśli $a$ jest liczbą rzeczywistą różną od zera, zaś $n$ jest liczbą naturalną, wówczas zachodzi wzór $a^{- n} = {(\frac{1}{a})}^{n} = \frac{1}{a^{n}}$

potęga o wykładniku wymiernym dodatnim

Definicja: potęga o wykładniku wymiernym dodatnim

potęgą o nieujemnej podstawie $a$ i wykładniku wymiernym $\frac{p}{q}$ , gdzie $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi, przy czym $q > 1$ , nazywamy liczbę $a^{\frac{p}{q}} = {(\sqrt[q]{a})}^{p}$

potęga o wykładniku wymiernym ujemnym

Definicja: potęga o wykładniku wymiernym ujemnym

potęgą o dodatniej podstawie $a$ i wykładniku wymiernym $- \frac{p}{q}$ , gdzie $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi, przy czym $q > 1$ , nazywamy liczbę $a^{- \frac{p}{q}} = {(\sqrt[q]{\frac{1}{a}})}^{p} = \frac{1}{{(\sqrt[q]{a})}^{p}}$

Ważne!

Nie definiujemy wyrażenia $0^{0}$ – nazywamy go symbolem nieoznaczonym.

Działania na potęgach

Definicja: Działania na potęgach

Dla dowolnej liczby dodatniej $a$ i dowolnych liczb wymiernych $x$ i $y$ prawdziwe są równości

$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ (wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach)
$\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ (wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach)
${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ (wzór na potęgę potęgi)

Dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnej liczby wymiernej $x$ prawdziwe są równości

$a^{x} \cdot b^{x} = {(a \cdot b)}^{x}$ (wzór na iloczyn potęg o tych samych wykładnikach)
$\frac{a^{x}}{b^{x}} = {(\frac{a}{b})}^{x}$ (wzór na iloraz potęg o tych samych wykładnikach)

Przykład 1

Przekształcimy wyrażenie $\frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 25 \cdot \sqrt{125} \cdot 25^{\frac{1}{4}}}{625 \cdot \sqrt{\frac{1}{25}} \cdot 125^{\frac{1}{4}}}$ do najprostszej postaci korzystając z własności działań na potęgach.

$\frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 25 \cdot \sqrt{125} \cdot 25^{\frac{1}{4}}}{625 \cdot \sqrt{\frac{1}{25}} \cdot 125^{\frac{1}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{2} \cdot 125^{\frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{4}}}{5^{4} \cdot {(\frac{1}{25})}^{\frac{1}{2}} \cdot {(5^{3})}^{\frac{1}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{2} \cdot {(5^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{4}}}{5^{4} \cdot {(5^{- 2})}^{\frac{1}{2}} \cdot {(5^{3})}^{\frac{1}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{2} \cdot 5^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{5^{4} \cdot 5^{- 1} \cdot 5^{\frac{3}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4} + 2 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}}}{5^{4 + (- 1) + \frac{3}{4}}} =$

$= \frac{5^{4 \frac{1}{4}}}{5^{3 \frac{3}{4}}} =$

$= 5^{4 \frac{1}{4} - 3 \frac{3}{4}} =$

$= 5^{\frac{1}{2}} =$

$= \sqrt{5}$

Przykład 2

Przedstawimy podane wyrażenia w postaci jednej potęgi:

$2 \cdot 5^{1,5} + 3 \cdot 5^{1,5} = 5^{1,5} (2 + 3) = 5^{1,5} \cdot 5 = 5^{1,5} \cdot 5^{1} = 5^{1,5 + 1} = 5^{2,5}$
$5 \cdot 3^{0,3} - 2 \cdot 3^{0,3} = 3^{0,3} (5 - 2) = 3^{0,3} \cdot 3 = 3^{0,3} \cdot 3^{1} = 3^{0,3 + 1} = 3^{1,3}$
$2^{4,5} - 12 \cdot 2^{0,5} = 2^{2 + 2,5} - 3 \cdot 2^{2} \cdot 2^{0,5} = 2^{2} \cdot 2^{2,5} - 3 \cdot 2^{2 + 0,5} =$
$= 4 \cdot 2^{2,5} - 3 \cdot 2^{2,5} = 2^{2,5} (4 - 3) = 2^{2,5}$

Przykład 3

Uprościmy wyrażenie $\frac{3^{n + 3} + 3^{n + 1}}{3^{n + 1} + 3^{n - 1}}$ dla dowolnej liczby całkowitej $n$ .

$\frac{3^{n + 3} + 3^{n + 1}}{3^{n + 1} + 3^{n - 1}} =$

$= \frac{3^{n} \cdot 3^{3} + 3^{n} \cdot 3}{3^{n - 1} \cdot 3^{2} + 3^{n - 1}} =$

$= \frac{30 \cdot 3^{n}}{10 \cdot 3^{n - 1}} =$

$= \frac{3 \cdot 3^{n}}{3^{n - 1}} =$

$= \frac{3^{n + 1}}{3^{n - 1}} =$

$= 3^{n + 1 - (n - 1)} =$

$= 3^{n + 1 - n + 1} =$

$= 3^{2} =$

$= 9$

Przykład 4

Wykażemy, że:

$32^{\frac{1}{2}} + 18^{\frac{1}{2}} = 98^{\frac{1}{2}}$

Po lewej stronie równości zamieniamy potęgi na pierwiastki.

$32^{\frac{1}{2}} + 18^{\frac{1}{2}} = \sqrt{32} + \sqrt{18} = 4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} = 7 \sqrt{2}$

Po prawej stronie równości postąpimy podobnie

$98^{\frac{1}{2}} = \sqrt{98} = 7 \sqrt{2}$

Z tego wynika, że obie strony równości są równe.

$32^{\frac{1}{2}} + 18^{\frac{1}{2}} = 98^{\frac{1}{2}}$

Animacja multimedialna

R1NV1sr7VjRFq

Polecenie 1

RT9xwxbi1RnWL

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RXn005NBru1WD11

Ćwiczenie 1

Połącz w pary. pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka nawias, zero przecinek pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka osiem indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka pierwiastek stopnia pięć z cztery koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka pierwiastek stopnia cztery z cztery koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka nawias, zero przecinek pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka osiem indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. cztery indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek kwadratowy z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pierwiastek stopnia cztery z osiem koniec pierwiastka, 8. pierwiastek sześcienny z zero przecinek pięć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek stopnia pięć z osiem koniec pierwiastka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rx1FdbNzI4zXq2

Ćwiczenie 2

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia siedem, równa się 1. dziesięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. nawias, pierwiastek stopnia sześć z jedenaście, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. jedenaście indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z zero przecinek zero cztery, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. nawias, pierwiastek sześcienny z pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 9. pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 11. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 12. pierwiastek stopnia pięć z sto dwadzieścia jeden , pierwiastek kwadratowy z jedenaście indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, równa się 1. dziesięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. nawias, pierwiastek stopnia sześć z jedenaście, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. jedenaście indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z zero przecinek zero cztery, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. nawias, pierwiastek sześcienny z pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 9. pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 11. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 12. pierwiastek stopnia pięć z sto dwadzieścia jeden , pierwiastek stopnia cztery z sześć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się 1. dziesięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. nawias, pierwiastek stopnia sześć z jedenaście, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. jedenaście indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z zero przecinek zero cztery, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. nawias, pierwiastek sześcienny z pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 9. pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 11. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 12. pierwiastek stopnia pięć z sto dwadzieścia jeden ,
pięć indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się 1. dziesięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. nawias, pierwiastek stopnia sześć z jedenaście, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. jedenaście indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z zero przecinek zero cztery, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. nawias, pierwiastek sześcienny z pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 9. pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 11. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 12. pierwiastek stopnia pięć z sto dwadzieścia jeden , nawias, pierwiastek sześcienny z sześć, zamknięcie nawiasu indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, równa się 1. dziesięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. nawias, pierwiastek stopnia sześć z jedenaście, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. jedenaście indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z zero przecinek zero cztery, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. nawias, pierwiastek sześcienny z pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 9. pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 11. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 12. pierwiastek stopnia pięć z sto dwadzieścia jeden , trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się 1. dziesięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. nawias, pierwiastek stopnia sześć z jedenaście, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. jedenaście indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z zero przecinek zero cztery, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. nawias, pierwiastek sześcienny z pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 9. pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 11. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 12. pierwiastek stopnia pięć z sto dwadzieścia jeden ,
pierwiastek stopnia cztery z sto dwadzieścia pięć, równa się 1. dziesięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. nawias, pierwiastek stopnia sześć z jedenaście, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. jedenaście indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z zero przecinek zero cztery, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. nawias, pierwiastek sześcienny z pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 9. pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 11. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 12. pierwiastek stopnia pięć z sto dwadzieścia jeden , jedenaście indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się 1. dziesięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. nawias, pierwiastek stopnia sześć z jedenaście, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. jedenaście indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z zero przecinek zero cztery, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. nawias, pierwiastek sześcienny z pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 9. pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 11. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 12. pierwiastek stopnia pięć z sto dwadzieścia jeden , jedenaście indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się 1. dziesięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. nawias, pierwiastek stopnia sześć z jedenaście, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. jedenaście indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z zero przecinek zero cztery, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. nawias, pierwiastek sześcienny z pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 9. pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 11. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 12. pierwiastek stopnia pięć z sto dwadzieścia jeden ,
pierwiastek kwadratowy z zero przecinek jeden, równa się 1. dziesięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. nawias, pierwiastek stopnia sześć z jedenaście, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. jedenaście indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z zero przecinek zero cztery, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. nawias, pierwiastek sześcienny z pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 9. pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 11. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 12. pierwiastek stopnia pięć z sto dwadzieścia jeden , pięć indeks górny, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się 1. dziesięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. nawias, pierwiastek stopnia sześć z jedenaście, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. jedenaście indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z zero przecinek zero cztery, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. nawias, pierwiastek sześcienny z pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 9. pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 11. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 12. pierwiastek stopnia pięć z sto dwadzieścia jeden , pierwiastek sześcienny z sześć indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, równa się 1. dziesięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. nawias, pierwiastek stopnia sześć z jedenaście, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. jedenaście indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z zero przecinek zero cztery, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. nawias, pierwiastek sześcienny z pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 9. pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 11. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 12. pierwiastek stopnia pięć z sto dwadzieścia jeden.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQBFketWg2uzn

Ćwiczenie 3

Połącz w pary wartości sobie równe. pierwiastek kwadratowy z dwieście czterdzieści trzy Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego dziewięć pierwiastek stopnia cztery z trzy Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego trzy pierwiastek sześcienny z trzy Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, mianownik, dziewięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z pierwiastek kwadratowy z trzy Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek sześcienny z trzy pierwiastek kwadratowy z trzy Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RoWT1BUrHdlgi

Ćwiczenie 4

Połącz w pary działanie z jego rozwiązaniem. pierwiastek sześcienny z dziewięć, razy, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia siedem Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, początek ułamka, trzydzieści pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, trzynaście, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. pięć indeks górny, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzynaście, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek stopnia cztery z zero przecinek dwa, razy, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, początek ułamka, trzydzieści pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, trzynaście, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. pięć indeks górny, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzynaście, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z sto dwadzieścia pięć, razy, pierwiastek stopnia cztery z sto dwadzieścia pięć Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, początek ułamka, trzydzieści pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, trzynaście, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. pięć indeks górny, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzynaście, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego osiem pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, cztery pierwiastek sześcienny z dwa Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, początek ułamka, trzydzieści pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, trzynaście, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. pięć indeks górny, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzynaście, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1A9N0kOhciAh1

Ćwiczenie 5

R1Iz1okcLR6R51

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1XqTy3TN0oXs1

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NaZfNYddCpy1

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ReTfUNddha2Yw1

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JyCpgsjBLt8

Ćwiczenie 10

Zapisz w postaci potęgi o podstawie sześć i wykładniku wymiernym. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. pierwiastek stopnia cztery z dwieście szesnaście równa się 1. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. sześć indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. sześć indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnegotrzydzieści sześć pierwiastek sześcienny z sześć równa się 1. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. sześć indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. sześć indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnegonawias, początek ułamka, trzysta dwadzieścia cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek stopnia cztery z trzydzieści sześć równa się 1. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. sześć indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. sześć indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnegopoczątek ułamka, jeden, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z sześć, zamknięcie nawiasu indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek sześcienny z sześć indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego równa się 1. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. sześć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. sześć indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. sześć indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ReCwjWJAr5gsT

Ćwiczenie 11

Oblicz. Wynik zapisz w postaci potęgi o podstawie będącej liczbą naturalną. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek sześcienny z trzy indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego równa się 1. trzy indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, pięć przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego, 5. pięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, sto czterdzieści dziewięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, trzy indeks górny, cztery przecinek pięć, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego cztery indeks górny, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnegoosiem, razy, pierwiastek stopnia cztery z cztery, razy, nawias, zero przecinek pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego równa się 1. trzy indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, pięć przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego, 5. pięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, sto czterdzieści dziewięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, trzy indeks górny, cztery przecinek pięć, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego cztery indeks górny, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnegopoczątek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia cztery z sześć, koniec ułamka, razy, nawias, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć, zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, nawias, sześć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego równa się 1. trzy indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, pięć przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego, 5. pięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, sto czterdzieści dziewięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, trzy indeks górny, cztery przecinek pięć, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego cztery indeks górny, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnegonawias, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu indeks górny, minus, trzy przecinek pięć, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego równa się 1. trzy indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, pięć przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego, 5. pięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, sto czterdzieści dziewięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, trzy indeks górny, cztery przecinek pięć, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego cztery indeks górny, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnegodziewięć indeks górny, zero przecinek cztery, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z trzy indeks górny, zero przecinek pięć, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego równa się 1. trzy indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, pięć przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego, 5. pięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, sto czterdzieści dziewięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, trzy indeks górny, cztery przecinek pięć, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego cztery indeks górny, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnegopierwiastek kwadratowy z dwadzieścia siedem, podzielić na, trzy indeks górny, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego równa się 1. trzy indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, pięć przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego, 5. pięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, sto czterdzieści dziewięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, trzy indeks górny, cztery przecinek pięć, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego cztery indeks górny, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnegopoczątek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z osiem, razy, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, sześćdziesiąt cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, razy, szesnaście indeks górny, minus, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego równa się 1. trzy indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, pięć przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego, 5. pięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, sto czterdzieści dziewięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, trzy indeks górny, cztery przecinek pięć, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego cztery indeks górny, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnegopoczątek ułamka, pięć indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, razy, nawias, zero przecinek dwa, zamknięcie nawiasu indeks górny, jeden przecinek pięć, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z pięć, mianownik, pierwiastek kwadratowy z zero przecinek zero cztery indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, pięć indeks górny, minus, zero przecinek pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka równa się 1. trzy indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, pięć przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego, 5. pięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, sto czterdzieści dziewięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, trzy indeks górny, cztery przecinek pięć, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego cztery indeks górny, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnegopoczątek ułamka, nawias, zero przecinek jeden dwa pięć, zamknięcie nawiasu indeks górny, minus, trzy przecinek pięć, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek sześcienny z sześćdziesiąt cztery, razy, cztery indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, trzydzieści dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka równa się 1. trzy indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, pięć przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, minus, pięć, koniec indeksu górnego, 5. pięć indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, początek ułamka, sto czterdzieści dziewięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, trzy indeks górny, cztery przecinek pięć, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego trzy indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego cztery indeks górny, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego dwa indeks górny, początek ułamka, sto dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RuBNGu8fQHYMu

Ćwiczenie 12

Niech x będzie liczbą dodatnią. Oblicz i zapisz wynik w postaci jednej potęgi o podstawie x. x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, x indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka równa się Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. x indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, minus, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 7. x indeks górny, początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z x, razy, pierwiastek sześcienny z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek stopnia cztery z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego równa się Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. x indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, minus, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 7. x indeks górny, początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego początek ułamka, x indeks górny, minus, jeden przecinek pięć, koniec indeksu górnego, razy, x indeks górny, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego, razy, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, x indeks górny, trzy przecinek pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka równa się Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. x indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, minus, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 7. x indeks górny, początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego początek ułamka, x indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek stopnia cztery z x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, razy, nawias, x indeks górny, trzy przecinek pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka równa się Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. x indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, minus, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 7. x indeks górny, początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek sześcienny z pierwiastek stopnia cztery z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego równa się Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. x indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, minus, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 7. x indeks górny, początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego nawias, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, pierwiastek stopnia cztery z x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego równa się Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. x indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, minus, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 7. x indeks górny, początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek sześcienny z nawias, x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, nawias, x indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego równa się Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. x indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. x indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, minus, dwa przecinek pięć, koniec indeksu górnego, 7. x indeks górny, początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RMIesnd0rn2n7

Ćwiczenie 13

Oblicz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. nawias, dwa, plus, pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa, minus, pięć indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się 1. cztery, 2. szesnaście, 3. osiem, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 4. sześć, 5. osiemnaście, 6. sześć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 7. dwadzieścia dwa, 8. dwadzieścia cztery, 9. dwadzieścia, 10. dwa, 11. minus, siedemdziesiąt, 12. minus, siedemdziesiąt cztery, 13. minus, siedemdziesiąt dwa, 14. osiem, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 15. czternaścienawias, trzy, minus, siedem indeks górny, zero przecinek pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, nawias trzy, plus, siedem indeks górny, zero przecinek pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, równa się 1. cztery, 2. szesnaście, 3. osiem, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 4. sześć, 5. osiemnaście, 6. sześć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 7. dwadzieścia dwa, 8. dwadzieścia cztery, 9. dwadzieścia, 10. dwa, 11. minus, siedemdziesiąt, 12. minus, siedemdziesiąt cztery, 13. minus, siedemdziesiąt dwa, 14. osiem, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 15. czternaścienawias, dwanaście indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia siedem indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, dwanaście indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia siedem indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się 1. cztery, 2. szesnaście, 3. osiem, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 4. sześć, 5. osiemnaście, 6. sześć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 7. dwadzieścia dwa, 8. dwadzieścia cztery, 9. dwadzieścia, 10. dwa, 11. minus, siedemdziesiąt, 12. minus, siedemdziesiąt cztery, 13. minus, siedemdziesiąt dwa, 14. osiem, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 15. czternaścienawias, nawias, sześć, plus, jedenaście indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, plus, nawias, sześć, minus, jedenaście indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się 1. cztery, 2. szesnaście, 3. osiem, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 4. sześć, 5. osiemnaście, 6. sześć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 7. dwadzieścia dwa, 8. dwadzieścia cztery, 9. dwadzieścia, 10. dwa, 11. minus, siedemdziesiąt, 12. minus, siedemdziesiąt cztery, 13. minus, siedemdziesiąt dwa, 14. osiem, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 15. czternaścienawias, nawias, cztery, minus, trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, plus, nawias, cztery, plus, trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się 1. cztery, 2. szesnaście, 3. osiem, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 4. sześć, 5. osiemnaście, 6. sześć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 7. dwadzieścia dwa, 8. dwadzieścia cztery, 9. dwadzieścia, 10. dwa, 11. minus, siedemdziesiąt, 12. minus, siedemdziesiąt cztery, 13. minus, siedemdziesiąt dwa, 14. osiem, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 15. czternaście

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Wykaż, że:

$12^{\frac{1}{2}} + 27^{\frac{1}{2}} = 75^{\frac{1}{2}}$
$12^{\frac{1}{2}} + 48^{\frac{1}{2}} = 108^{\frac{1}{2}}$
$32^{\frac{1}{3}} + 108^{\frac{1}{3}} = 500^{\frac{1}{3}}$
$3^{\frac{5}{3}} + 3^{\frac{8}{3}} = 4 \cdot 3^{\frac{5}{3}}$

RF2FUnnYNhCjD

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$12^{\frac{1}{2}} + 27^{\frac{1}{2}} = \sqrt{12} + \sqrt{27} = \sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{9 \cdot 3} = 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} =$ $= 5 \sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75} = 75^{\frac{1}{2}}$
$12^{\frac{1}{2}} + 48^{\frac{1}{2}} = \sqrt{12} + \sqrt{48} = \sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{16 \cdot 3} = 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} =$ $= 6 \sqrt{3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108} = 108^{\frac{1}{2}}$
$32^{\frac{1}{3}} + 108^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{32} + \sqrt[3]{108} = \sqrt[3]{8 \cdot 4} + \sqrt[3]{27 \cdot 4} = 2 \sqrt[3]{4} + 3 \sqrt[3]{4} = 5 \sqrt[3]{4} =$ $\sqrt[3]{125 \cdot 4} = \sqrt[3]{500} = 500^{\frac{1}{3}}$
$3^{\frac{5}{3}} + 3^{\frac{8}{3}} = \sqrt[3]{3^{5}} + \sqrt[3]{3^{8}} = \sqrt[3]{3^{5}} + \sqrt[3]{3^{5} \cdot 3^{3}} = \sqrt[3]{3^{5}} + 3 \sqrt[3]{3^{5}} = 4 \sqrt[3]{3^{5}} = 4 \cdot 3^{\frac{5}{3}}$

Słownik

potęga o wykładniku naturalnym

Potęgą liczby rzeczywistej $a$ o wykładniku naturalnym $n \geq 2$ nazywamy liczbę:

$a^{n} = \underset{n czynników}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}}$

Liczbę $a$ nazywamy podstawą potęgi. Ponadto przyjmujemy, że dla każdej liczby rzeczywistej:

$a^{1} = a$

oraz dla $a \neq 0$ :

$a^{0} = 1$

potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

jeśli $a$ jest liczbą rzeczywistą różną od zera, zaś $n$ jest liczbą naturalną, wówczas zachodzi wzór $a^{- n} = {(\frac{1}{a})}^{n} = \frac{1}{a^{n}}$

potęga o wykładniku wymiernym dodatnim

potęgą o nieujemnej podstawie $a$ i wykładniku wymiernym $\frac{p}{q}$ , gdzie $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi, przy czym $q > 1$ , nazywamy liczbę $a^{\frac{p}{q}} = {(\sqrt[q]{a})}^{p}$

potęga o wykładniku wymiernym ujemnym

twierdzenie o równości potęg

twierdzenie, które orzeka, że jeśli potęgi mają równe podstawy będące liczbami dodatnimi różnymi od $1$ i równe wartości, to ich wykładniki są równe

2. Potęga o wykładniku rzeczywistym

Funkcja wykładnicza