4. Przekształcenia wykresów funkcji wykładniczych

R1KEokCecA6Yo

W tym materiale odkryjemy własności funkcji wykładniczej po przesunięciu jej wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych.

Twoje cele

Naszkicujesz wykres funkcji wykładniczej po przesunięciu wzdłuż osi odciętych i rzędnych.
Obliczysz wartości funkcji wykładniczej po przesunięciu jej wykresu.
Odkryjesz, które własności wykresu funkcji zmieniły się po przesunięciu.
Wymienisz różnice pomiędzy wykresami i własnościami funkcji $f (x) = a^{x}$ , $g (x) = a^{x} + q$ . oraz $h (x) = a^{x} + q$ .
Wykorzystasz poznaną wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Wykres funkcji wykładniczej określonej wzorem $f (x) = a^{x}$ , gdzie $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ oraz $x \in ℝ$ możemy przesuwać wzdłuż osi $Y$ układu współrzędnych.

przekształcenie wykresu funkcji

f (x) + q

Definicja: przekształcenie wykresu funkcji

f (x) + q

Przekształcenie wykresu funkcji $f (x) + q$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $f (x)$ o $q$ jednostek w górę dla $q > 0$ lub $q$ jednostek w dół dla $q < 0$ .

Rozpatrzmy funkcje określone wzorami $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ oraz $g (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} - 1$ .

Tabele wartości tych funkcji dla niektórych argumentów przedstawiają się następująco:

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$9$	$3$	$1$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$g (x)$	$8$	$2$	$0$	$- \frac{2}{3}$	$- \frac{8}{9}$

Wykresy tych funkcji naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych:

R1ZM1JLuVA9p2

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowane są wykresy funkcji fx=13x oraz poniżej funkcji gx=13x-1. Wykres funkcji f przecina punkt o współrzędnych: 0;1, a wykres funkcji g, który jest wykresem funkcji f przesuniętym o jedną jednostkę w dół, przechodzi przez punkt o współrzędnych 0;0.

Zauważmy, że wykres funkcji $g$ możemy otrzymać poprzez przesunięcie wykresu funkcjiprzesunięcie wykresu funkcji $f$ o $1$ jednostkę w dół.

Porównajmy niektóre własności dla obu tych funkcji:

zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(0, \infty)$ , funkcji $g$ przedział $(- 1, \infty)$ ,
wykres funkcji $f$ przechodzi przez punkt o współrzędnych $(0, 1)$ , zaś wykres funkcji $g$ przez punkt o współrzędnych $(0, 0)$ ,
asymptotą wykresu funkcji $f$ jest prosta $y = 0$ , a wykresu funkcji $g$ prosta $y = - 1$ ,
funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych, a miejscem zerowym funkcji $g$ jest liczba $0$ .

Dla wykresów funkcji określonych wzorami $f (x) = a^{x}$ oraz $g (x) = a^{x} + q$ zachodzą następujące własności:

funkcje mają te same dziedziny, ale różne zbiory wartości,
wykresy mają różne asymptoty poziome,
przesunięcie wykres funkcji $f$ w dół powoduje powstanie miejsca zerowego.

Przesunięcie w górę lub w dół wykresu funkcji wykładniczej nie zmienia monotoniczności tej funkcji. Funkcje przed i po przesunięciu wykresu są różnowartościowe.

Przykład 1

Naszkicujemy wykres oraz określimy kilka własności funkcji zadanej wzorem $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 2$ .

Wykres funkcji $f$ przedstawia się następująco:

RYA275W4mGt8C

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji fx=12x-2. Zaznoczno punkty, w których Wykres funkcji f przecina osie. Są to punkty o współrzędnych: -1;0, oraz 0;-1.

Odczytujemy własności funkcji z wykresu:

zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $(- 2, \infty)$ ,
asymptotą wykresu funkcji jest prosta $y = - 2$ ,
punkt przecięcia z osią $Y$ ma współrzędne $(0, - 1)$ ,
miejscem zerowym jest liczba $- 1$ ,
funkcja jest malejąca,
dla argumentów mniejszych od $- 1$ funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

Nie każdy wykres funkcji wykładniczej po przesunięciu wzdłuż osi rzędnych układu współrzędnych będzie miał miejsce zerowe.

Przykład 2

Funkcje określone wzorami $f (x) = {(\sqrt{2})}^{x} + 2$ , $g (x) = {(\frac{1}{4})}^{x} + 3$ oraz $h (x) = 5^{x} + 1$ nie mają miejsc zerowych, ponieważ ich wykresy znajdują się nad osią $X$ układu współrzędnych.

przekształcenie wykresu funkcji

f (x - p)

Definicja: przekształcenie wykresu funkcji

f (x - p)

Przekształcenie wykresu funkcji $f (x - p)$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $f (x)$ o $p$ jednostek w prawo dla $p > 0$ lub $p$ jednostek w lewo dla $p < 0$ .

Rozpatrzmy funkcje określone wzorami $f (x) = 3^{x}$ oraz $g (x) = 3^{x - 2}$ .

Tabele wartości tych funkcji dla niektórych argumentów przedstawiają się następująco:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$g (x)$	$\frac{1}{81}$	$\frac{1}{27}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$

Wykresy tych funkcji naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych:

Re5xXvwzcqEa1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Wykresy obu funkcji, czyli f oraz g leżą w pierwszej i drugiej ćwiartce. Obie funkcje są funkcjami potęgowymi. Funkcja f przecina oś Y standardowo, czyli w punkcie 1, natomiast funkcja g ma podobny kształt, przy czym jest przesunięta w prawo o dwie jednostki. Oś pozioma X jest asymptotą dla obu wykresów.

Zauważmy, że wykres funkcji $g$ możemy otrzymać poprzez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $2$ jednostki w prawo.

Porównajmy niektóre własności funkcji $f$ i $g$ :

funkcje $f$ oraz $g$ mają tę samą dziedzinę i te same zbiory wartości,
wykres funkcji $f$ przechodzi przez punkt o współrzędnych $(0, 1)$ , zaś wykres funkcji $g$ przez punkt o współrzędnych $(2, 1)$ ,
funkcja $f$ przyjmuje wartości większe od $1$ dla argumentów większych od $0$ , zaś funkcja $g$ przyjmuje wartości większe od $1$ dla argumentów większych od $2$ ,
funkcje $f$ oraz $g$ nie mają miejsc zerowych.

Dla wykresów funkcji określonych wzorami $f (x) = a^{x}$ oraz $g (x) = a^{x - p}$ zachodzą następujące własności:

funkcje mają te same dziedziny oraz zbiory wartości,
asymptotą ich wykresów jest ta sama prosta $y = 0$ ,
dla $a \in (1, \infty)$ funkcje $f$ i $g$ są rosnące,
dla $a \in (0, 1)$ funkcje $f$ i $g$ są malejące.

Przesunięcie wykresu funkcji wykładniczejfunkcja wykładniczafunkcji wykładniczej wzdłuż osi odciętych układu współrzędnych powoduje zmianę wzoru tej funkcji.

Przykład 3

W tabeli przedstawiono przesunięcia oraz odpowiadające im wzory funkcji, które otrzymujemy przez przekształcenie wykresu funkcjiprzekształcenie wykresu funkcji $f (x) = {(\frac{1}{10})}^{x}$ .

przesunięcie o $2$ jednostki w prawo	przesunięcie o $3$ jednostki w lewo	przesunięcie o $3$ jednostki w prawo	przesunięcie o $2$ jednostki w lewo
$g (x) = {(\frac{1}{10})}^{x - 2}$	$g (x) = {(\frac{1}{10})}^{x + 3}$	$g (x) = {(\frac{1}{10})}^{x - 3}$	$g (x) = {(\frac{1}{10})}^{x + 2}$

Przykład 4

Do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = a^{x + 3}$ należy punkt o współrzędnych $(1, 9)$ .

a) wyznaczymy wartość współczynnika $a$ ,

b) naszkicujemy wykres funkcji $f$ ,

c) podamy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe od $1$ .

Rozwiązania:

a) Chcąc obliczyć wartość współczynnika $a$ rozwiązujemy równanie

$a^{4} = 9$ .

Rozwiązaniami równania są liczby $a = \sqrt{3}$ lub $a = - \sqrt{3}$ .

Zatem $f (x) = {(\sqrt{3})}^{x + 3}$ .

b) wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = {(\sqrt{3})}^{x + 3}$ przedstawia się następująco:

RpzErBmSgJs6h

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziewięciu do dwóch oraz z pionową osią Y od minus jeden do siedmiu. Wykres funkcji potęgowej f leży w pierwszej i drugiej ćwiartce. Wykres funkcja f przecina oś Y w punkcie 5. Oś pozioma X jest asymptotą dla wykresu.

c) $f (x) > 1$ dla $x > - 3$ .

Przykład 5

O ile jednostek należy przesunąć wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x + 2}$ , aby otrzymać wykres funkcji określonej wzorem $g (x) = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{2} x - 4}$ ?

Zauważmy, że wzór funkcji $g$ możemy zapisać w postaci:

$g (x) = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{2} x - 4} = {(\frac{1}{2})}^{x - 8}$ .

Zatem, żeby otrzymać wykres funkcji $g$ , wykres funkcji $f$ należy przesunąć o $10$ jednostek w prawo.

Przykład 6

O ile jednostek należy przesunąć wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \sqrt{3} \cdot 3^{x}$ , aby otrzymać wykres funkcji określonej wzorem $g (x) = \frac{1}{9} \cdot 3^{x}$ ?

Zauważmy, że wzory funkcji $f$ i $g$ możemy zapisać w postaciach:

$f (x) = \sqrt{3} \cdot 3^{x} = 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{x} = 3^{x + \frac{1}{2}}$

$g (x) = \frac{1}{9} \cdot 3^{x} = 3^{- 2} \cdot 3^{x} = 3^{x - 2}$

Zatem, żeby otrzymać wykres funkcji $g$ , wykres funkcji $f$ należy przesunąć o $2 \frac{1}{2}$ jednostki w prawo.

Aplet

Polecenie 1

Uruchom aplet, a następnie zaobserwuj, które własności funkcji określonej wzorem $f (x) = a^{x}$ ulegają zmianie po przesunięciu wzdłuż osi $Y$ .

R1Akfi0IG9Fwt

Odpowiedz na poniższe pytania. W każdym przypadku tylko jedna odpowiedź jest poprawna.

R1HqMa4lWOD0P

R13NMg7M7z6nS

R1ZTwbjCaIQZx

R15EQpdW0xYsw

RccwTJNm1MLJw

RwUZrZHOQuhTW

Polecenie 2

Do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = a^{x} + 4$ należy punkt o współrzędnych $(- 2, 6)$ .

a) wyznacz wzór tej funkcji,

b) oblicz wartość funkcji dla argumentu $4$ .

a) Podstawiamy współrzędne punktu $(- 2, 6)$ do wzoru podanej funkcji.

Chcąc obliczyć $a$ otrzymujemy równanie:

$a^{- 2} + 4 = 6$ .

Zatem $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ lub $a = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ponieważ jest to funkcja wykładnicza, zatem $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Wzór funkcji zapisujemy w postaci $f (x) = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{x} + 4$ .

b) obliczamy $f (4) = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4} + 4 = \frac{17}{4}$

Polecenie 3

Uruchom aplet, a następnie zaobserwuj, które własności funkcji określonej wzorem $f (x) = a^{x}$ ulegają zmianie przy przekształceniu $f (x - p)$ .

R1dE0FPDmi0oE

Spróbuj odpowiedzieć na poniższe pytania. Wyciągnij wnioski. Możliwa jest tylko jedna odpowiedź.

RqVl7Iv9AyPMV

R1L97ocEusrMX

RkcR3vbnKmv8s

R1RmD3hr3jzoi

R18npLFuBINtn

Polecenie 4

Do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = a^{x - 2}$ należy punkt o współrzędnych $(- 1, 8)$ .

a) Wyznacz wzór tej funkcji.

b) Oblicz wartość tej funkcji dla argumentu $4$ .

a) Ponieważ punkt o współrzędnych $(- 1, 8)$ należy do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = a^{x - 2}$ , zatem w celu obliczenia wartości współczynnika $a$ musimy rozwiązać równanie:

$a^{- 3} = 8$

Rozwiązaniem równania jest $a = \frac{1}{2}$ .

Wzór funkcji możemy zapisać w postaci $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 2}$ .

b) Obliczamy $f (4) = {(\frac{1}{2})}^{4 - 2} = \frac{1}{4}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RJC6VFN2jUDLa

Ćwiczenie 2

RVP15OVhGt12T

Ćwiczenie 3

RZZrhBKMP0PZd

Ćwiczenie 4

R1KuEev0DAyqQ

Ćwiczenie 5

R18UPUwDswfgI

Ćwiczenie 6

R1J7LxztCs6IA

Ćwiczenie 7

R118l2O3lOI7X

Ćwiczenie 8

RnFjz2jt5lAvr

Ćwiczenie 9

RS8lsdykuniHH

Niech f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego. Określmy funkcję g wzorem g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, minus, trzy. Wstaw odpowiednie wartości tej funkcji dla podanych argumentów: g nawias, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 2. pięć, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka
g nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 2. pięć, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka
g nawias, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 2. pięć, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka
g nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 2. pięć, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka

Ćwiczenie 10

RwlMTqDLQftT2

Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem
$f (x) = {(\sqrt{3})}^{x - 2}$ .

R1JXfxgYkj4AQ

Funkcja zadana jest wzorem $f (x) = {(\sqrt{3})}^{x - 2}$ . Na podstawie podanego wzoru, uzupełnij poniższe luki.

R4Qa6YdU4hB3g

Ćwiczenie 12

RcBIbYLiQkkgj

Ćwiczenie 13

RDuwQnjRO2qr5

Ćwiczenie 14

R1ETE2oGjyird

Ćwiczenie 15

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} - 3$ .

a) naszkicuj wykres tej funkcji,

a) opisz wykres tej funkcji,

b) wyznacz, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

a) wykres funkcji przedstawia się następująco:

R27DnAacXCfGP

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji fx=13x-3. Zaznoczno punkty, w których wykres funkcji f przecina osie. Są to punkty o współrzędnych: -1;0, oraz 0;-2.

b) funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów mniejszych od $- 1$ .

Ćwiczenie 16

Dana jest funkcja określona wzorem $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x + 2}$ .

a) Naszkicuj wykres tej funkcji.

a) Opisz własnymi słowami wykres tej funkcji.

b) Określ, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe od $2$ .

a) Wykres funkcji przedstawia się następująco:

Rn1fFxYrOZXKs

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Wykres funkcji potęgowej f leży w pierwszej i drugiej ćwiartce, jednak jest lustrzanym odbiciem wykresu funkcji potęgowej, w której podstawa, czyli liczba a jest większa od jeden. Zauważmy, że gdy a jest liczbą większą od jeden, funkcja jest rosnąca. Tutaj, dla a będącego ułamkiem właściwym (czyli a należy do przedziału obustronnie otwartego od zera do jeden), funkcja jest malejąca.

b) Funkcja przyjmuje wartości większe od $2$ dla argumentów mniejszych od $- 3$ .

Słownik

funkcja wykładnicza

funkcja określona wzorem $f (x) = a^{x}$ , $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ , oraz $x \in ℝ$

przekształcenie wykresu funkcji f(x - p)

przesunięcie wykresu funkcji $f (x)$ o $p$ jednostek w prawo, gdy $p > 0$ lub $p$ jednostek w lewo, gdy $p < 0$

przekształcenie wykresu funkcji f(x) + q

przesunięcie wykresu funkcji $f (x)$ wzdłuż osi $Y$ o $q$ jednostek w górę lub w dół

3. Funkcja wykładnicza i jej własności

5. Wzrost i zanik wykładniczy