1. Proste i płaszczyzny w przestrzeni - Proste i płaszczyzny w przestrzeni

RNKGVACV4D4PP

1. Proste i płaszczyzny w przestrzeni.

Proste równoległe w przestrzeni, podobnie jak proste równoległe na płaszczyźnie są to proste, które „biegną w tym samym kierunku”.

Można przyjąć, że przykładami w przybliżeniu prostych równoległych w codziennym życiu (a dokładniej odcinków zawartych w prostych równoległych) są tory kolejowe, krawędzie przeciwległych ścian w pomieszczeniach mieszkalnych, linie oddzielające pasy na drodze wielopasmowej.

Druty linii wysokiego napięcia nie mogą się stykać, bo dojdzie do zwarcia elektrycznego, dlatego druty linii wysokiego napięcia na odcinku między dwoma słupami tworzą linie, które w przybliżeniu są prostymi równoległymi w przestrzeni.

R16PQVLO9H6U5

Zdjęcie przedstawia słup wysokiego napięcia na tle nieba. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Twoje cele

Nauczysz się rozpoznawać proste równoległe skośne i przecinające się w przestrzeni i poznasz ich własności.
Rozpoznasz płaszczyzny równoległe i przecinające się.
Zastosujesz poznane fakty w problemach praktycznych i zadaniach.

Na płaszczyźnie możliwe są tylko dwa położenia dwóch prostych: proste przecinające się (w jednym punkcie) albo proste równoległe, czyli takie, które nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.

Jeśli rozważamy dwie proste w przestrzeni, to mogą przeciąć się w jednym punkcie, pokrywać się lub nie mieć punktów wspólnych. W odróżnieniu od własności planimetrii proste, które nie mają punktów wspólnych nie muszą być równoległe.

Aksjomat równoległości (postulat Euklidesa)

Dla prostej $l$ i punktu $B$ nienależącego do niej, istnieje w płaszczyźnie zawierającej prostą $l$ i punkt $B$ dokładnie jedna prosta zawierająca $B$ i niemająca punktów wspólnych z $l$ .

RDH7CDJX4XNP7

Ilustracja przedstawia płaszczyznę oraz dwie równoległe do siebie proste. Jedna z nich została namalowana linią ciągłą i jest podpisana literą l. Druga z nich została namalowana linią przerywaną i przechodzi przez punkt B leżący na płaszczyźnie.

Wprost z aksjomatu równoległości możemy zdefiniować proste równoległe w przestrzeni. Mówimy, że dwie proste są równoległe, jeżeli leżą na jednej płaszczyźnie i są równoległe na tej płaszczyźnie. Przyjmujemy, że równe proste są równoległe. Proste przecinają się, jeśli mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Proste równoległe

proste równoległe w przestrzeni

Definicja: proste równoległe w przestrzeni

dwie proste są równoległe w przestrzeni, gdy leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych

Przykład 1

Pokażemy, że krawędzie $A B$ i $E F$ sześcianu przedstawionego na rysunku zawarte są w prostych równoległych na płaszczyźnie wyznaczonej przez ścianę $A B F E$ .

R1DKPD1CUOHXG

Ilustracja przedstawia sześcian o wierzchołkach A B C D E F G H.

Rozwiązanie

Rzeczywiście, krawędzie $A B$ i $E F$ leżą na płaszczyźnie $A B F E$ . Możemy skorzystac z własności planimetrii, więc wiemy, że ściana $A B F E$ sześcianu jest kwadratem i stąd boki $A B$ i $E F$ tego kwadratu są równoległe. Zatem boki te leżą na prostych równoległych zawierających te boki.

Przykład 2

Pokażemy, że krawędzie $A B$ i $G H$ sześcianu przedstawionego na rysunku zawarte są w prostych równoległych, a krawędzie $A B$ i $G F$ zawarte są w prostych, które nie mają punktów wspólnych, ale nie są równoległe.

R168COMVAOV48

Rozwiązanie

Przez krawędzie $A B$ i $G H$ da się przeprowadzić płaszczyznę. Część wspólna tej płaszczyzny i sześcianu jest prostokątem (o bokach $A B$ , $G H$ i $A H$ ,
$B G$ ), więc jego boki $A B$ i $G H$ są równoległe. Stąd proste zawierające te boki są równoległe.

Proste zawierające krawędzie $A B$ i $G F$ nie mają punktów wspólnych, bo leżą na płaszczyznach, które nie mają punktów wspólnych (wyznaczonych przez ściany $A B C D$ i $E F G H$ ). Nie istnieje natomiast płaszczyzna, która zawierałaby prostą $A B$ i prostą $G F$ jednocześnie.

Proste równoległe do trzeciej prostej

Twierdzenie: Proste równoległe do trzeciej prostej

Jeżeli prosta $k$ jest równoległa do prostej $l$ , a prosta $l$ jest równoległa do prostej $m$ , to prosta $k$ jest równoległa do prostej $m$ .

Dowód

Zakładamy, że $k ∥ l$ i $l ∥ m$ . Chcemy pokazać, że $k ∥ m$ . Jeżeli $k$ , $l$ , $m$ leżą na jednej płaszczyźnie, to z własności planimetrii $k ∥ m$ . Załóżmy, że $k$ , $l$ , $m$ nie leżą na jednej płaszczyźnie. Niech $π_{1}$ będzie płaszczyzną poprowadzoną przez prostą $m$ i punkt $A$ leżący na prostej $k$ , a $π_{2}$ - płaszczyzną zawierającą prostą $l$ i punkt $A$ . Płaszczyzny te przecinają się wzdłuż prostej $n$ . Wtedy punkt $A$ należy do prostej $n$ .

R11MJ31GVGVPQ

Ilustracja przedstawia dwie przecinające się pod kątem ostrym płaszczyzny, są one podpisane PI indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego oraz PI indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Na linii k, która jest linią przecięcia się płaszczyzn zaznaczono punk A. Linia k należy do prostej n. Na płaszczyźnie PI indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego znajduje się linia m. Na płaszczyźnie PI indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego znajduje się linia l.

Ponieważ prosta $l$ nie ma punktów wspólnych z płaszczyzną $π_{1}$ , to prosta $n$ jest równoległa do $l$ i zawiera punkt $A$ .

Z aksjomatu równoległości wynika, że może być tylko jedna taka prosta, więc $k = n$ .

Z drugiej strony, prosta $m$ nie ma punktów wspólnych z płaszczyzną $π_{2}$ , więc prosta $n$ jest równoległa do $m$ .

Stąd $k ∥ m$ .

Proste skośne

Na płaszczyźnie proste, które nie mają punktów wspólnych są równoległe. W przestrzeni proste, które nie mają punktów wspólnych są równoległe tylko wtedy, gdy leżą na jednej płaszczyźnie. Istnieją w przestrzeni proste, które nie mają punktów wspólnych i nie są równoległe. Wszystkie takie proste nazywamy skośnymi.

proste skośne w przestrzeni

Definicja: proste skośne w przestrzeni

Dwie proste w przestrzeni, które nie leżą w jednej płaszczyźnie, nazywamy prostymi skośnymi.

Przykład 3

Na rysunku przedstawiony jest graniastosłup trójkątny. Sprawdzimy, które spośród prostych zawierających krawędzie tego graniastosłupa są skośne do prostej $A C$ .

R8VZGAAG5OHO1

Ilustracja przedstawia graniastosłup trójkątny A B C D E F, gdzie wierzchołek D znajduje się nad B, wierzchołek E nad C, wierzchołek F nad A. Przez krawędź A C poprowadzona została prosta.

Rozwiązanie

Proste $A F$ , $A B$ , $B C$ i $C E$ mają punkt wspólny z prostą $A C$ , więc są to proste przecinające się.

Prosta $E F$ jest równoległa do $A C$ , bo leżą na płaszczyźnie zawierającej ścianę boczną i są na niej do siebie równoległe.

Pozostają trzy proste skośne z $A C$ , a mianowicie $D B$ , $D E$ i $D F$ .

Przykład 4

Na rysunku przedstawiony jest ostrosłup czworokątny. Wykażemy, że proste $B S$ i $D S$ są skośne do prostej $A C$ , ale nie są skośne do siebie.

R12S141H69DUC

Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny A B C D S. Zaznaczono przekątną podstawy bryły A C i przedłużono ją tworząc prostą.

Rozwiązanie

Gdyby proste $B S$ i $A C$ nie były skośne, to leżałyby na jednej płaszczyźnie. Wtedy cztery punkty $B$ , $S$ , $A$ , $C$ leżałyby na jednej płaszczyźnie, w szczególności płaszczyzny $A B S$ i $B C S$ byłyby równe, a tak nie jest. Podobnie pokazujemy, że proste $D S$ i $A C$ są skośne.

Natomiast proste $B S$ i $D S$ nie są skośne, bo przecinają się w punkcie $S$ .

Jeżeli dwie różne proste są równoległe w przestrzeni, to odległość dowolnego punktu jednej prostej od drugiej prostej jest stała niezależnie od wyboru tego punktu.

W przypadku prostych skośnych własność ta nie zachodzi, popatrzmy na przykład:

Przykład 5

Rozważmy ostrosłup prawidłowyostrosłup prawidłowyostrosłup prawidłowy czworokątny, którego podstawa jest kwadratem o boku długości $1$ , a wysokość ma długość $2$ . W tym ostrosłupie proste $A C$ i $B S$ są skośne. Pokażemy, że odległość punktu $S$ od prostej $A C$ nie jest równa odległości punktu $B$ od prostej $A C$ .

R15CTAJH2N6FE

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny A B C D S. Zaznaczono wysokość bryły S E. Punkt E znajduje się na środku przekątnej A C. Kolorem pomarańczowym zaznaczono odcinek B S. Powstał trójkąt prostokątny B E S z kątem prostym przy wierzchołku E.

Rozwiązanie

Niech $E$ będzie spodkiem wysokości. Z własności rozważanego ostrosłupa wynika, że punkt $E$ jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu. Stąd prosta $S E$ jest prostopadła do prostej $A C$ i $|S E| = 2$ jest odległością punktu $S$ od prostej $A C$ .

Ponieważ przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym, to prosta $B E$ jest prostopadła do $A C$ , a stąd $|B E| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ jest odległością punktu $B$ od prostej $A C$ .

Odległość prostych skośnych

Definicja: Odległość prostych skośnych

Najmniejsza odległość punktów jednej prostej od drugiej prostej.

Przykład 6

Wyznaczymy płaszczyzny równoległe, w których leżą skośne krawędzie sześcianu $A E$ i $B C$ oraz wyznaczymy odległość między tymi krawędziami.

R23ZB5UPD8TCM

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H, gdzie wierzchołek E znajduje się nad A, wierzchołek F nad B, wierzchołek G nad C, wierzchołek H nad D. Przez odcinek B C poprowadzono pomarańczową prostą, natomiast przez odcinek A E poprowadzono zieloną prostą.

Rozwiązanie

Prowadzimy prostą równoległą do $B C$ przez punkt $A$ . Z własności sześcianu wynika, że prosta ta zawiera krawędź $A D$ . Podobnie prosta równoległa do $A E$ poprowadzona przez punkt $B$ zawiera krawędź $B F$ .

RTDRUT7GNZHRN

Płaszczyzna zawierająca krawędzie $A E$ i $A D$ zawiera ścianę $A D H E$ i jest ona równoległa do płaszczyzny wyznaczonej przez krawędzi $B C$ i $B F$ , która zawiera ścianę $B C G F$ .

Odległość między prostymi zawierającymi krawędzie $A E$ i $B C$ jest równa odległości między płaszczyznami zawierającymi ściany $A D H E$ i $B C G F$ , czyli jest równa długości krawędzi $A B$ .

Proste przecinające się

Wigwam ma szkielet zbudowany z prostych przecinających się w jednym punkcie (w przybliżeniu) w przestrzeni. Jest to przykład pęku prostych przechodzących przez jeden punkt.

RXC7DKHVU2JLU

Ilustracja przedstawia dwa namioty. Jego pale przecinają się w przestrzeni w jednym punkcie. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

W przestrzeni mówimy, że dwie proste przecinają się, jeśli mają dokładnie jeden punkt wspólny. Jeśli dwie proste mają co najmniej dwa punkty wspólne, to są równe (pokrywają się).

Płaszczyzna wyznaczona przez proste przecinające się

Własność: Płaszczyzna wyznaczona przez proste przecinające się

Dwie przecinające się proste wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę.

Dowód

Załóżmy, że proste $l$ , $k$ przecinają się w punkcie $P$ . Wtedy istnieje punkt $A$ różny od $P$ należący do prostej $l$ oraz punkt $B$ różny od $P$ należący do prostej $k$ . Nie istnieje prosta przechodząca przez wszystkie trzy punkty $A$ , $B$ , $P$ . Stąd wynika, że przez punkty $A$ , $B$ , $P$ można poprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę. Na tej płaszczyźnie leży prosta $l$ , bo jej dwa punkty $A$ , $P$ należą do tej płaszczyzny. Podobnie, prosta $k$ leży na tej płaszczyźnie.

Z powyższej własności wynika, że do wyznaczenia wspólnej płaszczyzny prostych przecinających się wystarczy znać punkt przecięcia prostych i po jednym punkcie z każdej prostej różnym od punktu przecięcia. Można również wyznaczyć płaszczyznę znając dwa różne punkty na jednej prostej i jeden punkt na drugiej prostej.

Proste i płaszczyzny w przestrzeni

płaszczyzny przecinające się

Definicja: płaszczyzny przecinające się

Dane są płaszczyzny $π_{1}$ i $π_{2}$ . Mówimy, że płaszczyzny $π_{1}$ i $π_{2}$ są przecinające się, gdy mają wspólną prostą, zwaną krawędzią.

R12672B2NSSAA

Grafika przedstawia dwie płaszczyzny: poziomą PI indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego oraz pionową PI indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Płaszczyzny przecinają się a miejsce ich przecięcia zostało zaznaczone i podpisane: krawędź.

Przykład 7

Na rysunku przedstawiono sześcian $A B C D E F G H$ . Wskażemy płaszczyzny zawierające ściany sześcianu, które przecinają się z płaszczyzną $A D H E$ .

RKDZPO3O4T1BD

Grafika przedstawia sześcian o wierzchołkach dolnej podstawy: A, B, C, D i górnej podstawy E, F, G oraz H.

Rozwiązanie:

Płaszczyzny zawierające ściany sześcianu, które przecinają się z płaszczyzną zawierającą ścianę $A D H E$ , to: $A B C D$ , $E F G H$ , $A B F E$ , $D C G H$ .

Prosta równoległa do płaszczyzny

Definicja: Prosta równoległa do płaszczyzny

Dana jest płaszczyzna $π$ oraz proste $k$ i $l$ . Mówimy, że prosta i płaszczyzna są równoległe, gdy nie mają punktów wspólnych (płaszczyzna $π$ i prosta $k$ ), lub prosta zawarta jest w tej płaszczyźnie (płaszczyzna $π$ i prosta $l$ ).

R1CMPVV6EV8AB

Grafika przedstawia dwie proste k oraz l i płaszczyznę PI. Prosta k jest pozioma i znajduje się nad płaszczyzną PI. Prosta l jest ukośna i leży na płaszczyźnie PI.

Ważne!

Jeżeli prosta jest równoległa do płaszczyzny, wówczas możemy wyznaczyć odległośćodległość między punktamiodległość między tą prostą a płaszczyzną. Gdy prosta jest zawarta w danej płaszczyźnie, to odległość tej prostej od płaszczyzny wynosi $0$ .

Przykład 8

Dany jest prostopadłościan $A B C D A' B' C' D'$ . Wskażemy wszystkie proste, które zawierają krawędzie prostopadłościanu i są równoległe do płaszczyzny $A D D' A'$ .

R14C4PXSV99A3

Grafika przedstawia prostopadłościan. Wierzchołki dolnej podstawy to: A, B, C D, a wierzchołki górnej podstawy to A prim, B prim, C prim, D prim. Ściana A, A prim, D, D prim jest częścią płaszczyzny.

Rozwiązanie:

Jeżeli wykorzystamy definicję prostej równoległej do płaszczyzny, prostymi równoległymi do płaszczyzny $A D D' A'$ , zawierającymi krawędzie prostopadłościanu są proste:

zawarte w tej płaszczyźnie: $A D$ , $A A'$ , $A' D'$ , $D D'$ ,

nie należące do tej płaszczyzny: $B C$ , $B B'$ , $B' C'$ , $C C'$ .

Przykład 9

Dany jest prostopadłościan $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Obliczymy odległości prostych zawierających krawędzie tego prostopadłościanu, równoległych do płaszczyzny $B B_{1} D_{1} D$ , nienależących do tej płaszczyzny, jeżeli krawędzie prostopadłościanu mają długości: $|A B| = 2 \sqrt{2}$ , $|B C| = 4$ , $|C C_{1}| = 6$ .

Rozwiązanie

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1GFFBXLACRFM

Grafika przedstawia prostopadłościan. Wierzchołki dolnej podstawy prostopadłościanu to A, B, C, D. Wierzchołki górnej podstawy prostopadłościanu to: A indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, B indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, C indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, D indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego. Krawędź AB ma długość dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka. Krawędź BC ma długość 4. Krawędź CC indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego ma długość sześć. Wierzchołki B, D, B indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego oraz D indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego wyznaczają płaszczyznę. Odcinek BD popisano literą x. Z punktu A poprowadzono linię prostopadle do płaszczyzny i podpisano ją literą d.

Zauważmy, że tylko proste $A A_{1}$ oraz $C C_{1}$ zawierają krawędzie tego prostopadłościanu, które są równoległe do płaszczyzny $B B_{1} D_{1} D$ i nie należą do tej płaszczyzny.

Odległości tych prostych od płaszczyzny $B B_{1} D_{1} D$ są takie same. Niech $d$ będzie szukaną odległością.

Wówczas:

${|A C|}^{2} = {|A B|}^{2} + {|B C|}^{2}$

${|A C|}^{2} = {(2 \sqrt{2})}^{2} + 4^{2} = 8 + 16 = 24$

$|A C| = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ .

Zatem $x = 2 \sqrt{6}$ .

Pole trójkąta $A B D$ jest równe:

$P = \frac{2 \sqrt{2} \cdot 4}{2}$ oraz

$P = \frac{2 \sqrt{6} \cdot d}{2}$ .

Wobec tego:

$\frac{2 \sqrt{6} \cdot d}{2} = \frac{2 \sqrt{2} \cdot 4}{2}$

$2 \sqrt{6} \cdot d = 8 \sqrt{2}$

$d = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z animacją 3D. Możesz w dowolnej chwili wrócić i obejrzeć odtworzyć ją ponownie.

R1ODDPHVG2ELD

Polecenie 1

Przy oznaczeniach stosowanych w animacji 3D, wybierz poprawne odpowiedzi.

R1N4SZ55EX1LR

ROE722EOK277O

R1B5UKVDDO4ST

RJXBG6XCBLDOB

Uważnie obejrzyj kolejną animację 3D, a następnie rozwiąż test poniżej.

R9QKGSLFJL2N1

Polecenie 2

Przy oznaczeniach sześcianu takich jak w animacji 3D wybierz prawdziwe odpowiedzi:

RJAMCBAKKNPMG

RUES642873ANK

R1P9S7GL3RCXT

Polecenie 3

Przy oznaczeniach graniastosłupa takich jak w animacji 3D wybierz prawdziwe odpowiedzi:

R38HUU9DGB1UG

R15NCRN93GU8B

R19PO6X3D49ZL

Polecenie 4

Zapoznaj się animację 3D, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R9S5D4SPK3KEZ

Polecenie 5

Dany jest sześcian $A B C D A' B' C' D'$ , którego krawędź ma długość $4 \sqrt{2}$ .

R7FLB3VR86ND4

Grafika przedstawia prostopadłościan. Wierzchołki dolnej podstawy to: A, B, C, D, a wierzchołki górnej podstawy to A prim, B prim, C prim, D prim. Wysokość prostopadłościanu opisano literą d. Krawędź podstawy AB ma długość cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.

Oblicz odległość:

prostej $A' D'$ od płaszczyzny $A B C D$ ,
prostej $B' C'$ od płaszczyzny $B C D' A'$ ,
prostej $A O'$ (gdzie $O'$ jest punktem przecięcia przekątnych górnej podstawy sześcianu) od płaszczyzny $D B C'$ .

Odległość $d$ prostej $A' D'$ od płaszczyzny $A B C D$ jest równa długości krawędzi sześcianu.
R1V2Z8GNNA9HC
Grafika przedstawia prostopadłościan. Wierzchołki dolnej podstawy to: A, B, C, D, a wierzchołki górnej podstawy to A prim, B prim, C prim, D prim. Wysokość prostopadłościanu opisano literą d. Przez krawędź A primD prim przechodzi prosta, w taki sposób, że krawędź ta zawiera się w tej prostej. Z kolei podstawa prostopadłościanu ABCD zawiera się w zaznaczonej na rysunku płaszczyźnie.
Zatem:
$d = 4 \sqrt{2}$ .
Odległość $d$ prostej $B' C'$ od płaszczyzny $B C D' A'$ jest równa połowie długości przekątnej ściany sześcianu.
R1G8DGPLJTADZ
Grafika przedstawia prostopadłościan. Wierzchołki dolnej podstawy to: A, B, C, D, a wierzchołki górnej podstawy to A prim, B prim, C prim, D prim.. Przez krawędź B primC prim przechodzi prosta, w taki sposób, że krawędź ta zawiera się w tej prostej. Od punktu A do punktu B prim zaznaczono przekątną ściany bocznej i podpisano ją literą d. Punkty BCA primD prim wyznaczają płaszczyznę. Która ma jeden punkt wspólny z przekątną d.
Zatem:
$d = \frac{4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 4$ .
Odległość $d$ prostej $A O'$ (gdzie $O'$ jest punktem przecięcia przekątnych górnej podstawy sześcianu) od płaszczyzny $D B C'$ jest równa $\frac{1}{3}$ długości przekątnej sześcianu.
R1O5QC29Q5TN3
Zatem:
$d = \frac{4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Ćwiczenie 1

Przez dwa wierzchołki sześcianu poprowadzono prostą $l$ . Ile jest prostych równoległych do $l$ , do których należy przynajmniej jeden wierzchołek sześcianu, jeżeli

RABX3QVSSSC9H

R1MUPGDOG9EJN

R1JCTVK5P67EM

RABX3QVSSSC9H

R1MUPGDOG9EJN

R1JCTVK5P67EM

Ćwiczenie 2

Przez dwa wierzchołki sześcianu poprowadzono prostą $l$ . Ile jest prostych równoległych do $l$ , do których należą dwa wierzchołki sześcianu, jeżeli

R1R22ZKB51AEE

RK3F225R4UBCF

R12Q8A6S2CBXX

R1R22ZKB51AEE

RK3F225R4UBCF

R12Q8A6S2CBXX

Ćwiczenie 3

Przez dwa wierzchołki sześcianu poprowadzono prostą $l$ . Ile jest prostych skośnych do $l$ , które przechodzą przez dwa wierzchołki sześcianu, jeżeli:

R1LF3HD6FP2ZJ

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H, gdzie wierzchołek E znajduje się nad A, wierzchołek F nad B, wierzchołek G nad C, wierzchołek H nad D.

RSTAUGSA7SFJQ

RNAQ2K8JV3HFB

RBA4RT6H8R74A

R1TXPPLZXAHAR2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Z belki o ośmiu krawędziach, z których każde dwie sąsiednie są równoległe wycięto pochylony graniastosłup w taki sposób, że podstawy $A B C D E F G H$ i $A' B' C' D' E' F' G' H'$ są ośmiokątami foremnymi, a ściany boczne są równoległobokami.

RFMVKMXTPTD9R

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochylony o podstawie ośmiokąta. Wierzchołki dolnej podstawy to: A B C D E F H G. Wierzchołki górnej podstawy to: A prim B prim C prim D prim E prim F prim G prim H prim.

Czy można jednym cięciem przejść przez dane $4$ punkty? Odpowiedź uzasadnij.

1. Dane $4$ punkty, to $A$ , $A'$ , $E'$ , $E$

2. Dane $4$ punkty, to $A$ , $B'$ , $C'$ , $D$

3. Dane $4$ punkty, to $A$ , $B'$ , $D'$ , $C$

1. Tak. Ponieważ sąsiednie krawędzie są równoległe, to $A A^{'} ∥ B B^{'} ∥ C C^{'} ∥ D D^{'} ∥ E E^{'}$ . Zatem proste $A A'$ , $E E'$ leżą w jednej płaszczyźnie. A skoro leżą w jednej płaszczyźnie, to można dokonać cięcia.

2. Tak. Ponieważ $A D ∥ B C ∥ B' C'$ , to proste $A D$ , $B' C'$ leżą w jednej płaszczyźnie. A skoro leżą w jednej płaszczyźnie, to można dokonać cięcia.

3. Nie. Ponieważ $B' D' ∥ B D ∥ A E$ , to punkty $A$ , $B'$ , $D'$ , $E$ leżą w płaszczyźnie wyznaczonej przez punkty $A$ , $E$ , $B'$ . Punkt $D$ do niej nie należy, gdyż leży na prostej $B D$ , która jest równoległa do $A E$ i wspólnie wyznaczają płaszczyznę podstawy, która w przecięciu z płaszczyzną $A E B'$ daje prostą $A E$ .

Ćwiczenie 6

Przez dwa wierzchołki sześciościanu, powstałego poprzez sklejenie ścianami dwóch czworościanów foremnych poprowadzono prostą $l$ . Ile jest prostych skośnych do $l$ , które przechodzą przez dwa wierzchołki tej bryły, jeżeli:

RGPKOTOJQXZHP

Ilustracja przedstawia sześciościan A B C D E powstały przez złączenie dwóch czworościanów foremnych.

R11T36ASCFPCR

R1UC9PRA3J3KZ

R1TXEM3EAR96L21

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Oceń czy podane proste są skośne, równoległe czy przecinające się. Przenieś odpowiednie określenia do każdej z podanych par.

R1H48XNJQDJRH

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny A B C D E F M N O P Q R, gdzie wierzchołek M znajduje się nad A, wierzchołek N nad B, wierzchołek O nad C, wierzchołek P nad D, wierzchołek Q nad E, wierzchołek R nad F.

RBR71XE8UZNXQ

Ćwiczenie 9

Załóżmy, że proste $k$ , $l$ są skośne. Wykaż, że dowolna płaszczyzna $π$ zawierająca $k$ jeśli nie jest równoległa do $l$ , to przecina $l$ w dokładnie jednym punkcie.

Załóżmy, że płaszczyzna $π$ zawierająca $k$ przecina prostą $l$ w punkcie $A$ . Gdyby ta płaszczyzna miała jeszcze jeden punkt wspólny z $l$ , to cała prosta leżałaby na tej płaszczyźnie. Ale proste $k$ , $l$ są skośne więc nie mogą leżeć w jednej płaszczyźnie. Stąd $π$ przecina prostą $l$ tylko w punkcie $A$ .

Ćwiczenie 10

Basen olimpijski ma kształt prostopadłościanu z odciętą częścią jak na rysunku.

R9FHV6ZMLD466

Ilustracja przedstawia prostopadłościan z odciętą częścią dolnej podstawy. Płaszczyzna cięcia jest prostokątem przechodzącym przez krótszą krawędź dolnej podstawy oraz środek naprzeciwległej krótszej ściany bocznej prostopadłościanu. Ścianami bocznymi bryły stał się trapez prostokątny o podstawie dłuższej podstawie A B oraz krótszej podstawie C D. Z drugiej strony ściana boczna jest również trapezem prostokątnym o dłuższej podstawie E F oraz krótszej podstawie G H. Przez odcinek A D poprowadzono pomarańczową prostą.

Długość basenu wynosi $50 m$ , szerokość $25 m$ , a głębokość w najpłytszym miejscu wynosi $2 m$ . Ponadto, tangens kąta między krawędziami $A D$ i $F G$ jest równy $0, 04$ . Wyznacz głębokość basenu w najgłębszym miejscu oraz wyznacz jego objętość w litrach.

Ściany $A B C D$ i $E F G H$ leżą w płaszczyznach równoległych zawierających podane krawędzie $A D$ i $F G$ , odpowiednio. Zatem kąt między tymi krawędziami jest równy kątowi między prostą $A D$ i prostą równoległą do $F G$ poprowadzoną przez punkt $D$ . Ta prosta jest równoległa do $B C$ . Niech $D'$ będzie punktem przecięcia tej prostej z $A B$ .

R3UKDBFDGF8SU

Przy oznaczeniach z rysunku $tg α = 0, 04 = \frac{|A D'|}{|D D'|} = \frac{|A D'|}{|B C|} = \frac{|A D'|}{50}$ . Stąd $|A D'| = 50 \cdot 0, 04 = 2$ .

Ponieważ $B C D D'$ jest prostokątem, to $|B D'| = |C D| = 2$ . Ostatecznie największa głębokość basenu odpowiada długości $|A B| = 2 + 2 = 4$ , czyli $4$ metry.

Sposób 1.

R1OGRDL7XHSXG

Objętość basenu jest sumą objętości prostopadłościanu o bokach długości $50 m$ , $25 m$ , $2 m$ oraz objętości bryły powstałej z przecięcia prostopadłościanu o bokach długości $50 m$ , $25 m$ , $2 m$ płaszczyzną przechodzącą przez przekątne jego przeciwległych ścian bocznych. Objętość tej bryły jest połową objętości prostopadłościanu. Ostatecznie, objętość basenu jest równa $V = 50 \cdot 25 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 25 \cdot 2 = 3750$ metrów sześciennych, czyli $3750000$ litrów.

Sposób 2.

Objętość basenu jest równa objętości graniastosłupa o podstawie trapezu $A B C D$ i wysokości $25 m$ , czyli $V = \frac{2 + 4}{2} \cdot 50 \cdot 25 = 3750$ metrów sześciennych, czyli $3750000$ litrów.

Ćwiczenie 11

Basen olimpijski ma kształt prostopadłościanu z odciętą częścią jak na rysunku.

R1OUXRHA5N4ZL

Długość basenu wynosi $50 m$ , szerokość $25 m$ , głębokość w najpłytszym miejscu wynosi $2 m$ a w najgłębszym - $4 m$ . Oblicz odległości między prostą zawierającą krawędź $A D$ i prostymi, zawierającymi krawędzie, skośnymi do niej.

Proste skośne do $A D$ , to $F G$ , $G H$ , $E F$ , $B F$ , $C G$ .

R1EA6K5RFHKBB

Prosta $A D$ leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez ścianę $A B C D$ , natomiast proste $F G$ , $G H$ , $E F$ leżą w płaszczyźnie $E F G H$ równoległej do $A B C D$ . Zatem odległość prostej $A D$ od każdej z prostych $F G$ , $G H$ , $E F$ jest taka sama i jest równa odległości między ścianami $A B C D$ i $E F G H$ , czyli $25 m$ .

Prosta $C G$ leży w płaszczyźnie $C G C' G'$ równoległej do płaszczyzny $A E H D$ , natomiast prosta $B F$ leży w płaszczyźnie $B F B' F'$ równoległej do płaszczyzny $A E H D$ . Należy wyznaczyć odległości między tymi płaszczyznami.

REUJ1LJQ6N4TG

Rozważmy równoległoboki $A D C' C$ i $A D B' B$ .

R1PPXX9SDT5JX

Ilustracja przedstawia równoległobok A D B prim B. Na środku boku A B powstał punkt C prim i został połączony z punktem C znajdującym się na środku boku D B prim. Powstał odcinek B C który jest prostokątny do odcinka A B oraz trójkąt prostokątny C B C prim z kątem prostym w punkcie B. Z punktu C prim poprowadzono prostą styczną w punkcie S z prostą A D. Powstał trójkąt A S C prim.

Odległość płaszczyzny $C G C' G'$ od płaszczyzny $A E H D$ jest równa wysokości $C' S$ równoległoboku $A D C C'$ . Aby wyznaczyć długość tej wysokości zauważamy, że na mocy cechy $k k k$ trójkąty $C' B C$ i $C' S A$ są podobne – mają kąt prosty oraz $∢ C' A S = ∢ C C' B$ jako kąty odpowiadające.

Stąd ${|C' C|}^{2} = 2^{2} + 50^{2} = 2504$ , $|C' C| = \sqrt{2504}$ i stąd $\frac{|C' A|}{|C' C|} = \frac{|C' S|}{|B C|}$ , czyli

$|C' S| = \frac{2 \cdot 50}{\sqrt{2504}} = \frac{2 \cdot 50 \cdot \sqrt{2504}}{2504} = \frac{25 \cdot 2 \sqrt{626}}{626} = \frac{25 \sqrt{626}}{313}$ .

Odległość płaszczyzny $B F B' F'$ od płaszczyzny $A E H D$ jest równa podwojonej długości wysokości $C' S$ , czyli $\frac{50 \sqrt{626}}{313}$ .

Odległość prostej $A D$ od prostych $F G$ , $G H$ , $E F$ wynosi $25 m$ .

Odległość prostej $A D$ od prostej $C G$ wynosi $\frac{25 \sqrt{626}}{313}$ , czyli w przybliżeniu $1, 998 m$ .

Odległość prostej $A D$ od prostej $B F$ wynosi $\frac{50 \sqrt{626}}{313}$ , czyli w przybliżeniu $3, 997 m$ .

Ćwiczenie 12

Przez dwa wierzchołki ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego poprowadzono prostą $l$ . Ile jest prostych przecinających się z $l$ zawierających wierzchołek nienależący do $l$ jeżeli:

R1LB43P4VKTQA

RE348H273DS39

R1GC8ZKCLB28A

Ćwiczenie 13

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym $A B C D E F S$ długość krawędzi podstawy wynosi $a$ , a długość krawędzi bocznej – $2 a$ .

RFOVOLMR99NO2

RR4U7NLU7OLSU

RL4S7S7S2PXX3

R1HBJXO2MT38A

R1EF9K1Q8GPKP

R3RADFV5755J82

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Trójkąty $A B C$ i $D E F$ , które nie leżą w jednej płaszczyźnie, są podobne w skali $k = 3$ oraz $D E ∥ A B$ i $E F ∥ B C$ . Wykaż, że proste $A D$ , $B E$ i $C F$ przecinają się w jednym punkcie.

R1KNM47MCURKR

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły zbudowany z dwóch różnych trójkątów. A B C oraz D EF.

Ponieważ $D E ∥ A B$ , to punkty $A$ , $B$ , $D$ , $E$ leżą w jednej płaszczyźnie, więc proste $A D$ i $B E$ leżą w jednej płaszczyźnie. Ponadto $|A B| > |D E|$ , więc czworokąt $A B D E$ nie jest równoległobokiem, a stąd proste $A D$ i $B E$ nie są równoległe, więc przecinają się w pewnym punkcie $S$ . Podobne rozumowanie prowadzi do wniosku, że proste $C F$ i $E B$ przecinają się w pewnym punkcie $S'$ . Z twierdzenia Talesa zastosowanego dla kąta $A S B$ wynika, że

$3 = \frac{|A B|}{|D E|} = \frac{|S B|}{|S E|} = \frac{|S E| + |E B|}{|S E|} = 1 + \frac{|E B|}{|S E|}$ .

Analogicznie,

$3 = \frac{|B C|}{|E F|} = \frac{|S' B|}{|S' E|} = \frac{|S' E| + |E B|}{|S' E|} = 1 + \frac{|E B|}{|S' E|}$ .

Stąd $\frac{|E B|}{|S E|} = \frac{|E B|}{|S' E|}$ i $|S E| = |S' E|$ . Ponieważ punkty $S$ i $S'$ leżą na prostej $B E$ po tej samej stronie punktu $E$ , to $S = S'$ .

R1CM4MPJ289LE1

Ćwiczenie 16

Ćwiczenie 17

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny.

R1ZMXJ54U813T

Ilustracja przedstawia graniastosłup sześciokątny prawidłowy, w którym wierzchołki dolnej podstawy opisano: A, B, C, D, E, F , natomiast wierzchołki górnej podstawy opisano A prim, B prim, C prim, D prim, E prim, F prim.

R4BS2HQMXRG86

R6BMXXLFHL6P82

Ćwiczenie 18

RRC8TLDHZMVHU2

Ćwiczenie 19

Ćwiczenie 20

RLZXURX21H3FB

R135K7ZOJODLX

Ćwiczenie 21

Na rysunku przedstawiono sześcian $A B C D E F G H$ .

R1HHUKEEPJQH4

Grafika przedstawia sześcian, którego wierzchołki dolnej podstawy opisano A, B, C, D, a wierzchołki górnej podstawy opisano: E, F, G, H. Wierzchołki B, D, F, H tworzą płaszczyznę, której krawędziami są przekątne podstaw i krawędzie ścian bocznych.

RCJEH5SA96SGZ

Ćwiczenie 22

Na rysunku przedstawiono prostopadłościan $A B C D E F G H$ .

R1O1CNSS1TR4O

Grafika przedstawia prostopadłościan, którego wierzchołki dolnej podstawy opisano A, B, C, D, a wierzchołki górnej podstawy opisano: E, F, G, H.

R12R99DQ58EB5

Ćwiczenie 23

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny.

R1AG6HBK1K4X1

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, którego wierzchołki dolnej podstawy opisano A, B, C, a wierzchołki górnej podstawy opisano: D, E, F.

RFR1ZNH88VBE5

Ćwiczenie 24

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny, którego wszystkie krawędzie mają długość $6$ .

RTTE9JVR4KA1J

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny, którego wierzchołki dolnej podstawy opisano A, B, C, D, E, F a wierzchołki górnej podstawy opisano: A prim, B prim, C prim, D prim, E prim, F prim.

RX6SGDRK5LCVF

R6GPFA32PSMXX2

Ćwiczenie 25

Ćwiczenie 26

Na rysunku przedstawiono sześcian $A B C D A' B' C' D'$ o krawędzi długości $3 \sqrt{2}$ .

R12CAR62TSDOB

Grafika przedstawia sześcian, którego wierzchołki dolnej podstawy opisano A, B, C, D a wierzchołki górnej podstawy opisano: A prim, B prim, C prim, D prim, A prim D prim

RAJN7X6JH8GJS

Słownik

przekrój bryły płaszczyzną (przekrój płaszczyznowy)

część wspólna bryły i płaszczyzny

ostrosłup prawidłowy

ostrosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny

płaszczyzny równoległe

płaszczyzny, które nie mają punktów wspólnych

ostrosłup prawidłowy czworokątny

ostrosłup, który ma w podstawie kwadrat

odległość między punktami

długość najkrótszej krzywej łączącej dane punkty

2. Prostopadłość prostych i płaszczyzn w przestrzeni

Proste i płaszczyzny w przestrzeni