5. Kąty w walcach i stożkach

1. Pojęcie przekroju osiowego

RRdvcwIimvN7S

W każdej bryle geometrycznej istnieją szczególne odcinki, które charakteryzują jej rozmiar. W stożku wyróżnia się promień podstawy, wysokość oraz tworzącą. Istnieje ciekawa zależność pomiędzy tymi odcinkami. Długość wysokości stożka zależy od kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy.

RIEvvbSLoJS9y

Ilustracja przedstawia kapelusz wiedźmy w kształcie stożka. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Twoje cele

Rozpoznasz kąty między odcinkami w walcu i stożku.
Użyjesz funkcji trygonometrycznych do wyznaczania miar kątów między odcinkami.
Zaznaczysz kąty między płaszczyznami a odcinkami w stożku.
Wykorzystasz związki miarowe geometrii płaskiej oraz związki trygonometryczne do rozwiązywania zagadnień związanych z geometrią przestrzenną.

Przekrój bryły

Przekrojem dowolnej bryły płaszczyzną jest figura płaska, która jest częścią wspólną danej bryły i tej płaszczyzny.

Przekrojem osiowym nazywamy przekrój płaszczyzną zawierającą oś obrotu bryły.

Przekrojem osiowym walca jest prostokąt, o bokach równych wysokości walca i średnicy podstawy walca.

R1GVaTk4MzILe

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt będącym jego przekrojem osiowym. Promień podstawy walca ma długość r, a wysokość walca ma długość h. Wymiary ścian bocznych prostokąta to dwa r oraz h.

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny, którego ramionami są tworzące stożka, a podstawą średnica podstawy stożka.

R1djc6MtY0oP1

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy będącym trójkątem równoramiennym. Na ilustracji zaznaczono tworzącą stożka jako l oraz promień podstawy stożka jako r.

Kąty między odcinkami w walcu

Na rysunku poniżej zaznaczono kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego, a promieniem (średnicą) podstawy.

R11yVoZDG6oWl

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem osiowym. W prostokącie o wymiarach H na dwa r, gdzie H jest wysokością walca, natomiast r jest promieniem jego podstawy, zaznaczono także przekątną przekroju o długości p będącą pod kątem alfa do płaszczyzny podstawy.

Trójkąt, którego bokami są średnica podstawy, wysokość walca i przekątna przekroju osiowego jest trójkątem prostokątnym.

Przykład 1

Obliczymy miarę kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do średnicy podstawy, jeżeli wysokość walca jest dwukrotnie dłuższa od promienia podstawy.

Rozwiązanie:

Jeżeli wysokość jest dwukrotnie dłuższa od promienia podstawy, to znaczy, że średnica ma długość równą długości wysokości. A zatem trójkąt prostokątny, którego bokami są średnica, wysokość i przekątna jest równoramienny. Szukany kąt ma więc miarę $45 °$ .

Przykład 2

Kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego, a średnicą podstawy walca ma miarę $68 °$ . Obliczymy objętość i pole powierzchni tego walca, jeżeli wysokość tego walca wynosi $10 cm$ .

Rozwiązanie:

Zróbmy rysunek pomocniczy:

RNz4oXHVTDRDZ

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem osiowym. W prostokącie o wymiarach 10 na dwa r, gdzie wysokość ma długość dziesięć natomiast r jest promieniem jego podstawy, zaznaczono także przekątną przekroju będącą pod kątem sześćdziesięciu ośmiu stopni do płaszczyzny podstawy.

Mamy, że $tg 68 ° = \frac{10}{2 r}$

Czyli $\frac{5}{r} \approx 2, 4751$ , a stąd $r \approx 2, 02$ .

Mamy więc $V = π \cdot {(2, 02)}^{2} \cdot 10 \approx 40, 8 π$ oraz $P_{c} = 2 π \cdot 2, 02 \cdot (2, 02 + 10) \approx 48, 56 π$ .

Wysokość walca, która zawiera się w jego powierzchni bocznej, nazywamy tworzącą walca. Na rysunku poniżej zaznaczony został kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego, a tworzącą walca.

RxIFAoaUfdzQm

Ilustracja przedstawia walec oraz jego przekrój osiowy będący prostokątem wewnątrz bryły. W prostokącie poprowadzono przekątną oraz zaznaczono kąt alfa przy górnej podstawie walca stworzonym z wysokości walca oraz przekątnej prostokąta.

Przykład 3

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość $17$ , a promień $4$ . Obliczymy tangens kąta pomiędzy przekątną tego przekroju a tworzącą.

Rozwiązanie:

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1Ok4lOsdH8bh

Obliczymy $h$ z z twierdzenia Pitagorasa: $8^{2} + h^{2} = 17^{2}$ , a stąd $h = 15$ . A zatem $tg α = \frac{8}{15}$ .

Kąty między płaszczyznami a odcinkami w walcu

Zapoznaj się z apletem Geogebry. Włącz wyświetlanie odcinków leżących na ramionach podanych poniżej kątów. Następnie sprawdź swoje odpowiedzi włączając widok odpowiedniego kąta.

kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego do płaszczyzny podstawy;
kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego a wysokością walca;
kąt pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy a płaszczyzną podstawy;
kąt pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy a wysokością walca.

R1MLH7nfX3mKJ

Zwróć uwagę, że do zaznaczenia poszczególnych kątów wystarczy wykreślić sam przekrój osiowy walca. Spostrzeżenie to pomoże nam zaplanować strategię rozwiązania zadania.

Przykład 4

Pole powierzchni przekroju osiowego walca wynosi $24 \sqrt{3} {cm}^{2}$ . Kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego a płaszczyzną podstawy walca ma miarę $30 °$ . Oblicz objętość walca.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R18ckhiHndtOe

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną B D. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek A D został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B D został zaznaczony kąt o mierze trzydziestu stopni, który znajduje się przy wierzchołu B.

$H = |D A|$ - długość wysokości walca;
$2 r = |A B|$ - długość średnicy podstawy walca.

Objętość walca obliczymy ze wzoru $V_{w} = π r^{2} H$ .

Z warunków zadania otrzymujemy zależności $2 r \cdot H = 24 \sqrt{3}$ i $\frac{H}{2 r} = tg 30 °$ .

Wyznaczając z drugiej zależności $H = 2 r \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ i podstawiając odpowiednio do pierwszej zależności, otrzymujemy $2 r \cdot 2 r \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 24 \sqrt{3}$ .

Wynika stąd, że $r = 3 \sqrt{2}$ i $H = 2 \sqrt{6}$ . Ostatecznie objętość walca wynosi $V_{w} = π {(3 \sqrt{2})}^{2} \cdot 2 \sqrt{6}$ stąd $V_{w} = 36 \sqrt{6} π {cm}^{3}$ .

Kąty między odcinkami w stożku

Zapoznaj się z apletem Geogebry, który przedstawia najbardziej charakterystyczne kąty w stożku.

Rlq4k5eWu4oIC

Zwróć uwagę, że do zaznaczenia kątów pomiędzy tworzącymi stożka a płaszczyzną podstawy wystarczy przeanalizować przekrój osiowy stożkaprzekrój osiowy stożkaprzekrój osiowy stożka.

kąt pomiędzy tworzącą a promieniem stożka
R1FLQ8Fl38IgR

kąt pomiędzy wysokością a tworzącą stożka
RQg0pxYcXiL4K

kąt rozwarcia stożka (kąt pomiędzy ramionami trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka)
RvpoYXHpTI1Bo

Przykład 5

Obliczymy miarę kąta rozwarcia stożka, w którym promień podstawy ma długość $8$ , a tworząca długość $10$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy stożek, zaznaczmy odpowiedni kąt oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1dLG5ydyve89

Ilustracja przedstawia stożek o promieniu podstawy r oraz kąt alfa będącym kątem rozwarcia stożka. Został zaznaczony przy wierzchołku stożka, pomiędzy ramionami trójkąta o długości l, który jest przekrojem osiowym stożka.

Z zadania wiadomo, że $r = 8$ oraz $l = 10$ . Do wyznaczenia miary kąta użyjemy twierdzenia cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów.

Zatem:

${(2 r)}^{2} = l^{2} + l^{2} - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos α$

$16^{2} = 10^{2} + 10^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos α$

$256 = 100 + 100 - 200 \cdot \cos α$

$56 = - 200 \cdot \cos α$

$\cos α = - \frac{56}{200} = - \frac{7}{25} = - 0, 28$ .

Jeżeli skorzystamy z zależności $\cos (180 ° - α) = - \cos α$ dla $α \in (0 °, 90 °)$ , to $α \approx 106 °$ .

Przykład 6

Promień podstawy, wysokość oraz tworząca stożka w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $8$ . Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy wysokością a tworzącą tego stożka.

Rozwiązanie:

Narysujmy stożek i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R15YuqHZhEY7q

Ilustracja przedstawia stożek o promieniu podstawy r oraz kąt alfa zaznaczony przy wierzchołku stożka, pomiędzy tworzącą o długości l a wysokością stożka o długości h.

Jeżeli promień podstawy, wysokość oraz tworząca stożka w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $8$ , to:

$h = r + 8$ ,

$l = r + 16$ .

Zatem:

$r^{2} + {(r + 8)}^{2} = {(r + 16)}^{2}$

$r^{2} + r^{2} + 16 r + 64 = r^{2} + 32 r + 256$

$r^{2} - 16 r - 192 = 0$

$r_{1} = \frac{16 - 32}{2} = - 8 < 0$ ,

$r_{2} = \frac{16 + 32}{2} = 24 > 0$ .

Zatem $r = 24$ , $h = 32$ , $l = 40$ .

Jeżeli wykorzystamy funkcję trygonometryczną sinus, to $\sin α = \frac{24}{40} = 0, 6$ .

Wobec tego $α \approx 37 °$ .

Przykład 7

Trójkąt równoramienny o bokach długości $a$ , $a$ , $a \sqrt{3}$ jest przekrojem osiowym stożka. Wyznaczmy miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy stożka.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy stożka i przyjmijmy oznaczenia.

Rest6PKL81MI1

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny ASB. Z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy AB w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki trójkąta mają długość a, a krawędź podstawy a3. Zaznaczono również kąt wewnętrzy między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze α.

$|A B| = a \sqrt{3}$ - długość średnicy podstawy stożka
$|B S| = a$ - długość tworzącej stożka
$|∢ A B S| = α$ - miara kąta pomiędzy tworzącą stożka i płaszczyzną podstawy stożka

Zauważmy, że $\cos α = \frac{|O B|}{|B S|} = \frac{\frac{1}{2} a \sqrt{3}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , stąd mamy $α = 30 °$ .

Przykład 8

Długość tworzącej stożka jest o $4 cm$ dłuższa od długości średnicy podstawy stożka. Tworząca stożka tworzy z płaszczyzną podstawy stożka kąt $α$ , taki, że $\sin α = \frac{\sqrt{55}}{8}$ . Obliczmy pole powierzchni bocznej stożka.

Rozwiązanie

Wykreślamy przekrój osiowy stożka i przyjmujemy oznaczenia.

RW0mHLgBsU4RD

$|B S| = l$ - długość tworzącej stożka
$|B O| = r$ - długość promienia podstawy stożka
$|∢ A B S| = α$ - kąt pomiędzy tworzącą stożka i płaszczyzną podstawy stożka

Z warunków zadania mamy układ zależności: $l = 2 r + 4$ i $\cos α = \frac{r}{l}$ .

Korzystając z zależności $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , wyznaczymy wartość $\cos α$ .

Mamy zatem ${(\frac{\sqrt{55}}{8})}^{2} + \cos^{2} α = 1$ . Wiedząc, że kąt $α$ jest kątem ostrym otrzymujemy $\cos α = \frac{3}{8}$ .

Podstawiając do naszego układu warunków otrzymujemy zależność: $\frac{3}{8} = \frac{r}{2 r + 4}$ , stąd $3 (2 r + 4) = 8 r$ , a stąd wynika, że $r = 6$ i $l = 16$ .

Pole powierzchni bocznej stożka wynosi $P_{b} = π r l = π \cdot 6 \cdot 16 = 96 π {cm}^{2}$ .

Kąt środkowy wycinka kołowego powierzchni bocznej stożka

Jak zwinąć stożek z wycinka koła? Czy kąt środkowy wycinka koła, z którego tworzymy stożek, jest kątem rozwarcia stożka lub kątem nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy? Zapoznaj się z poniższym apletem i na jego podstawie postaraj się odpowiedzieć na te pytania.

R1Dx3UoTICBvd

Zauważ, że pole wycinka koła jest równe polu powierzchni bocznej stożka.

Przykład 9

Powierzchnia boczna stożka o wierzchołku $S$ , po rozwinięciu jest wycinkiem koła o kącie środkowym miary $120 °$ . Obliczymy cosinus kąta $α$ nachylenia tworzącej $l$ stożka do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie:

Wykreślmy rysunek pomocniczy. Wycinek koła przedstawia powierzchnię boczną stożka.

RZHFmx6p2xrgK

Ilustracja przedstawia powierzchnię boczną stożka po rozwinięciu będącą wycinkiem koła oraz przekrój osiowy stożka będący trójkątem równoramiennym A B S. Wycinek koła o promieniu o długości l i długości łuku dwa pi r posiada zaznaczony kąt przy wierzchołku S, pomiędzy dwoma promieniami wycina. Kąt ten wynosi sto dwadzieścia stopni. W trójkącie równoramiennym z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy A B w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki oznaczono literą l, a odcinek O B literą r. Zaznaczono również kąt wewnętrzy między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze α.

Przyjmijmy oznaczenia:
$|B S| = l$ - długość tworzącej stożka
$|B O| = r$ - długość promienia podstawy stożka;
$|∢ A B S| = α$ - miara kąta pomiędzy tworzącą stożka i płaszczyzną podstawy stożka

Zauważmy, że $\cos α = \frac{r}{l}$ . Ponadto powierzchnia boczna stożka stanowi $\frac{1}{3}$ powierzchni koła o promieniu długości odpowiadającej długości tworzącej stożka.

Zatem $π r l = \frac{1}{3} π l^{2}$ , stąd $r = \frac{1}{3} l$ , zatem $\cos α = \frac{\frac{1}{3} l}{l} = \frac{1}{3}$ .

Galerie zdjęć interaktywnych

Rozważmy odcinek łączący brzeg podstawy walca, czyli dowolny punkt okręgu podstawy, ze środkiem drugiej podstawy. W galerii zdjęć interaktywnych przedstawiono metodę kreślenia kąta pomiędzy tym odcinkiem a płaszczyzną podstawy walca oraz metodę kreślenia kąta pomiędzy tym odcinkiem a wysokością walca. Zapoznaj się z tymi technikami i wykonaj polecenia umieszczone pod galerią.

RV2v0heIXExRd

Rt93wEj9dIRoc

RXTWO2A4zasdh

R1d0U1UUoYtaX

RhhUrCZRkFCwQ

Polecenie 1

W walcu poprowadzono odcinek łączący brzeg jednej z podstaw walca ze środkiem drugiej podstawy. Wyznacz cosinus kąta zawartego pomiędzy tym odcinkiem a płaszczyzną podstawy walca, jeśli długość wysokości walca wynosi $15 cm$ , zaś długość promienia podstawy walca wynosi $8 cm$ .

Wykreślmy przekrój osiowy walca i zaznaczmy odpowiedni kąt.

Rsqcw7wSwIF8U

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczonymi środkami boków A D w punkcie O oraz boku B C w punkcie O indeks dolny jeden koniec indeksu. Oba punkty wyznaczające środki boków prostokąta zostały połączone i tworzą odcinek o długości O O indeks dolny jeden koniec indeksu o długości H. Wierzchołek A został połączony z punktem O indeks dolny jeden koniec indeksu tworząc trójkąt prostokątny O A O indeks dolny jeden koniec indeksu. Odcinek O A ma długość r, natomiast odcinek A O indeks dolny jeden koniec indeksu jest nachylony do odcinka O A pod kątem alfa.

Przyjmijmy oznaczenia:
$H = |O O_{1}|$ - długość wysokości walca;
$r = |O A|$ - długość promienia podstawy walca;
$α$ - kąt nachylenia odcinka $A O_{1}$ do płaszczyzny podstawy walca.

Zauważmy, że z trójkąta prostokątnego $O A O_{1}$ mamy zależność $\cos α = \frac{r}{|A O_{1}|}$ .

Do wyznaczenia długości odcinka $A O_{1}$ wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa. Mamy zatem ${|A O_{1}|}^{2} = r^{2} + H^{2}$ , stąd ${|A O_{1}|}^{2} = 8^{2} + 15^{2}$ , zatem $|A O_{1}| = 17$ . Wyznaczając wartość cosinusa kąta $O A O_{1}$ otrzymujesz $\cos α = \frac{8}{17}$ .

Polecenie 2

Wysokość walca ma długość $12 cm$ . Oblicz pole powierzchni bocznej walca wiedząc, że $\sin α = \frac{3}{5}$ , gdzie kąt $α$ jest kątem zawartym pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg jednej z podstaw walca ze środkiem drugiej podstawy i wysokością walca.

Wykreślmy przekrój osiowy walca i zaznaczmy odpowiedni kąt.

R1S0WILOURHBE

Przyjmijmy oznaczenia:
$H = |O O_{1}|$ - długość wysokości walca;
$r = |O A|$ - długość promienia podstawy walca;
$α$ - kąt pomiędzy odcinkiem $A O_{1}$ a wysokością walca.

Pole powierzchni bocznej walca wyznaczymy ze wzoru $P_{b} = 2 π r H$ .

Z warunków zadania mamy $H = 12$ i $\sin α = \frac{3}{5}$ . Zauważmy, że z trójkąta $O A O_{1}$ mamy $\sin α = \frac{r}{|A O_{1}|}$ . Zatem prawdziwa jest zależność $\frac{r}{|A O_{1}|} = \frac{3}{5}$ , stąd $r = \frac{3}{5} |A O_{1}|$ . Dla rozważanego trójkąta wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa $r^{2} + H^{2} = {|A O_{1}|}^{2}$ , po podstawieniu otrzymujemy ${(\frac{3}{5} |A O_{1}|)}^{2} + 12^{2} = {|A O_{1}|}^{2}$ . Wynika stąd, że $|A O_{1}| = 15$ i $r = \frac{3}{5} \cdot 15 = 9$ . Zatem pole boczne walca ma wartość $P_{b} = 2 π \cdot 9 \cdot 12 = 216 π {cm}^{2}$ .

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R10EZfKrckPX5

RHueiRAVTTO4h

RsE0fLlfqFgHJ

RVkWm8kF62f0I

R67zywFARpkxN

Polecenie 3

Kąt rozwarcia stożka ma miarę $120 °$ , zaś pole powierzchni bocznej stożka jest równe $12 \sqrt{3} π$ . Oblicz objętość tego stożka.

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia, jak na rysunku.

R1eteih6M3XJW

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości r, wysokością o długości h oraz tworzącą o długości l. Zaznaczono także kąt pomiędzy wysokością a tworzącą wynoszący sześćdziesiąt stopni oraz kąt pomiędzy promieniem a tworzącą wynoszący trzydzieści stopni.

Jeżeli kąt rozwarcia stożka ma miarę $120 °$ , to $r = h \sqrt{3}$ oraz $l = 2 h$ .

Ponieważ pole powierzchni bocznej stożka jest równe $12 \sqrt{3} π$ , zatem do wyznaczenia wartości $h$ rozwiązujemy równanie:

$12 \sqrt{3} π = π \cdot h \sqrt{3} \cdot 2 h$

$12 = 2 h^{2}$

$h^{2} = 6$

$h = \sqrt{6}$

Wobec tego $r = h \sqrt{3} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{2}$ .

Zatem objętość tego stożka jest równa:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(3 \sqrt{2})}^{2} \cdot \sqrt{6} = 6 \sqrt{6} π$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Ćwiczenie 1

Na rysunku wykreślono przekrój osiowy stożka. Przeciągnij poprawną odpowiedź.

RbPXA45CGD8Cg

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny A B S. Z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy AB w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki oznaczono literą l, a odcinek OB literą r.

RNHmhwMyAV7Sa

Ćwiczenie 2

Rno0oeNHRExbv

Ćwiczenie 3

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem.

R16zR6zRBAcEs

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości sześć i wysokością o długości sześć oraz tworzącą o długości l.

RIS4ggQDBcTQi

Ćwiczenie 4

R1X3t2QAV8D5P

RGvY4QpRa5prQ

Połącz w pary miary kąta z pasującymi do nich opisami. alfa, równa się, pięćdziesiąt stopni Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości pięć i tworzącą o długości dziesięć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy ramionami trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka., 2. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości osiem i tworzącą o długości dziesięć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy wysokością a tworzącą stożka., 3. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości pięć i wysokością o długości sześć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy promieniem a tworzącą stożka. alfa, równa się, trzydzieści sześć stopni Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości pięć i tworzącą o długości dziesięć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy ramionami trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka., 2. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości osiem i tworzącą o długości dziesięć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy wysokością a tworzącą stożka., 3. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości pięć i wysokością o długości sześć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy promieniem a tworzącą stożka. alfa, równa się, sześćdziesiąt stopni Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości pięć i tworzącą o długości dziesięć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy ramionami trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka., 2. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości osiem i tworzącą o długości dziesięć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy wysokością a tworzącą stożka., 3. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości pięć i wysokością o długości sześć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy promieniem a tworzącą stożka.

Ćwiczenie 5

RO34RRqNiwH6C

R1Y2uwEm2ukD3

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiono kilka kątów pomiędzy odcinkami w walcu.

RfULoSeKnPdC3

Ry5ukn9sT9OXK

RXQBuMFHl8krj1

Ćwiczenie 7

R2jFFhPuGOyWQ2

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

RdQQYMEGOOZ68

Ćwiczenie 10

R1P5BqGbe10IA

R19UWVZJuBJij2

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

Rp9XJoIawFh4W

Ćwiczenie 13

Uzupełnij zdanie.

RamqQXWqbBQjF

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny A B S . Zaznaczono kąt rozwarcia stożka przy wierzchołku S między dwoma tworzącymi stożka o mierze stu czterdziestu ośmiu stopni.

ROCclYeglCRJK

R1VYpJAW15uu62

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Na rysunku wykreślono wycinek koła, z którego zwinięto stożek o kącie nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy miary $α$ .

R11qc62EzrkZQ

Ilustracja przedstawia wycinek koła o długości promienia równej dwadzieścia cztery. Kąt przy wierzchołku S utworzony pomiędzy dwoma promieniami wycinka wynosi sto pięćdziesiąt stopni.

RbPHW9x2bqcj9

RhGf5EkJfc0un2

Ćwiczenie 16

Ćwiczenie 17

Oblicz miarę kąta rozwarcia stożka, w którym promień podstawy ma długość $6$ , a tworząca długość $8$ .

Narysujmy stożek, zaznaczmy odpowiedni kąt oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1dLG5ydyve89

Z zadania wiadomo, że $r = 6$ oraz $l = 8$ . Do wyznaczenia miary kąta użyjemy twierdzenia cosinusów.

Zatem:

${(2 r)}^{2} = l^{2} + l^{2} - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos α$

$12^{2} = 8^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos α$

$144 = 64 + 64 - 128 \cdot \cos α$

$16 = - 128 \cdot \cos α$

$\cos α = - \frac{16}{128} = - \frac{1}{8} = - 0, 125$ .

Jeżeli skorzystamy z zależności $\cos (180 ° - α) = - \cos α$ dla $α \in (0 °, 90 °)$ , to $α \approx 97 °$ .

Ćwiczenie 18

Wysokość walca jest o $7 cm$ krótsza od średnicy podstawy walca, natomiast przekątna przekroju osiowego walca jest o $7 cm$ dłuższa od promienia podstawy walca. Wyznacz sinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do płaszczyzny podstawy walca.

Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:

RQUpZjT9zi7TH

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną A C o długości p. Odcinek A B ma długość dwa pi r, natomiast odcinek B C został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B C został zaznaczony kąt alfa. Kąt ten znajduje się przy wierzchołku A.

$H$ – wysokość walca;
$2 r$ - średnica walca;
$p$ – przekątna przekroju osiowego walca;
$α$ – kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do płaszczyzny podstawy walca.

Z warunków zadania mamy odpowiednio: $H = 2 r - 7$ i $p = r + 7$ . Z trójkąta $A B C$ i twierdzenia Pitagorasa wynika ${(2 r)}^{2} + {(2 r - 7)}^{2} = {(r + 7)}^{2}$ , stąd mamy po uporządkowaniu $7 r^{2} - 42 r = 0$ . Po rozwiązaniu równanie otrzymujemy $r = 6$ .

Z trójkąta $A B C$ mamy $\sin α = \frac{H}{p}$ , zatem $\sin α = \frac{5}{13}$ .

Słownik

przekrój bryły

figura geometryczna będąca częścią wspólną bryły i płaszczyzny, która ją przecina

przekrój osiowy bryły obrotowej

przekrój bryły obrotowej zawierający oś obrotu

przekrój osiowy walca

przekrój walca płaszczyzną zawierającą oś obrotu walca; przekrój osiowy walca jest prostokątem

kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną

kąt między prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę

stożek

bryła obrotowa, która powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej

twierdzenie cosinusów

w dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego boku równa się sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwójny iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi

przekrój osiowy stożka

przekrój stożka płaszczyzną zawierającą oś obrotu stożka; przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym

kąt pomiędzy prostą i płaszczyzną

kąt między prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę

4. Kąty między odcinkami i kąty między ścianami w ostrosłupach

Odcinki i kąty w bryłach