3. Objętość brył podobnych

RD455QF2ND1VG

Bryły podobne spotykamy w życiu codziennym dość często. Przyjrzyjmy się architekturze – tutaj znajdziemy bardzo dużo przykładów takich brył. Różnią się kolorem elewacji czy dachu, ale ich kształt jest podobny a wymiary proporcjonalne.

W tym materiale skupimy się na porównywaniu objętości brył podobnych.

RMVU2CAAJX9Z6

Ilustracja przedstawia widok wieżowców Nowego Yorku z lotu ptaka. — Źródło: Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

RL2VNZFJFDBSD

Ilustracja przedstawia dwa szkielety graniastosłupów czworokątnych. Jeden większy oraz drugi mniejszy.

Twoje cele

Poznasz zależność pomiędzy skalą podobieństwa brył a stosunkiem ich objętości.
Obliczysz skalę podobieństwa brył podobnych o danych objętościach.
Obliczysz objętość brył podobnych.
Wykorzystasz zależności między objętościami brył podobnych w obliczeniach dotyczących ostrosłupów i stożków ściętych

Dwie bryły są podobne, jeśli odległości między punktami jednej bryły są proporcjonalneodcinki proporcjonalneproporcjonalne do odległości między odpowiednimi punktami drugiej bryły.

Stosunek odległości między odpowiednimi punktami brył podobnych nazywamy skalą podobieństwa.

Przykład 1

Rozpatrzmy teraz dwa ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędziach podstawy długości $10$ i $5$ i wysokościach odpowiednio $8$ i $4$ .

R6KCHQ69XC35B

Ilustracja przedstawia dwa ostrosłupy prawidłowe czworokątne. Większy z nich ma krawędź podstawy długości 10. Natomiast wysokość upuszczona na spodek wysokości, leżący na przecięciu przekątnych kwadratu w podstawie ma długość 8. W mniejszym ostrosłupie krawędź podstawy wynosi 8, a wysokość 4.

Są to bryły podobnefigury podobnebryły podobne. Skala podobieństwa większej z nich do mniejszej wynosi $k = \frac{10}{5} = 2$ .

Policzmy ich objętości.

$V_{1} = \frac{1}{3} \cdot 10^{2} \cdot 8 = \frac{800}{3}$

$V_{2} = \frac{1}{3} \cdot 5^{2} \cdot 4 = \frac{100}{3}$

Ich stosunek wynosi więc: $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{800}{3}}{\frac{100}{3}} = 8 = 2^{3} = k^{3}$ .

o zależności pomiędzy objętością a skalą podobieństwa brył podobnych

Twierdzenie: o zależności pomiędzy objętością a skalą podobieństwa brył podobnych

Jeśli skala podobieństwa brył podobnych jest równa $k$ , to stosunek ich objętości jest równy $k^{3}$ .

Przykład 2

Dane są dwie kule. Objętość pierwszej jest równa $V$ , a druga ma promień $3$ razy dłuższy od promienia pierwszej kuli. Obliczmy objętość drugiej kuli.

Rozwiązanie:

Dwie kule są podobne. Ich skala podobieństwa wynosi $k = 3$ . Zatem stosunek ich objętości wynosi $k^{3} = 27$ . Objętość drugiej kuli wynosi więc $27 V$ .

Przykład 3

Uzasadnijmy, że stożek o wysokości długości $6 cm$ i polu powierzchni całkowitej $144 π$ nie jest podobny do stożka o tworzącej długości $20 cm$ i objętości $1000 π$ .

Rozwiązanie:

Rozważmy dwa stożki.

Niech $r_{1}$ – długość promienia pierwszego stożka, $l_{1}$ – długość tworzącej pierwszego stożka. Wówczas otrzymujemy równanie:

$6^{2} + r_{1}^{2} = l_{1}^{2}$

$r_{1}^{2} = l_{1}^{2} - 36$

$r_{1} = \sqrt{l_{1}^{2} - 36}$

Wiemy, że pole tego stożka wynosi $144 π$ , więc

$144 π = π r_{1}^{2} + π r_{1} l_{1}$

$144 π = π (l_{1}^{2} - 36) + π (\sqrt{l_{1}^{2} - 36}) l_{1} ∣ : π$

$144 = l_{1}^{2} - 36 + l_{1} \sqrt{l_{1}^{2} - 36}$

$180 - l_{1}^{2} = {l_{1} \sqrt{l_{1}^{2} - 36}|}^{2}$

$32400 - 360 l_{1}^{2} + l_{1}^{4} = l_{1}^{2} (l_{1}^{2} - 36)$

$32400 = 324 l_{1}^{2}$

$l_{1}^{2} = 100$

$l_{1} = 10$

Zatem

$r_{1} = \sqrt{100 - 36} = 8$

$V = \frac{1}{3} π \cdot 8^{2} \cdot 6 = 128 π {cm}^{3}$

Porównajmy tworzące naszych stożków:

$\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

${(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{8}$

Zatem objętość pierwszego stożka powinna być mniejsza $8$ razy od objętości drugiego stożka. Sprawdźmy to:

$\frac{1000 π}{8} = 125 π \neq 128 π$

Oznacza to, że stożki nie są podobnefigury podobnepodobne.

Przykład 4

Stożek o objętości $V$ przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Płaszczyzna podzieliła wysokość stożka w stosunku $3 : 8$ , licząc od wierzchołka. Obliczymy objętości brył powstałych w wyniku tego podziału.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

R1E4635K68R8T

Ilustracja przedstawia stożek ABS. Na lewym ramieniu zaznaczono punkt A prim, a na prawym B prim, które następnie połączono i stworzono płaszczyznę równoległą do podstawy. Z wierzchołka S upuszczona została wysokość stożka, którą nasza płaszczyzna podzieliła w stosunku trzy, podzielić na, osiem. Wysokość małego stożka oznaczono jako 3x, a dużego, ściętego 8x.

Trójkąty $A B S$ i $A^{'} B^{'} S$ są podobne $(K K K)$ . Skala ich podobieństwa wynosi $\frac{3}{11}$ .

Zatem stożki są podobne w tej samej skali.

Stosunek ich objętości wynosi więc ${(\frac{3}{11})}^{3} = \frac{27}{1331}$ .

Objętość małego stożka wynosi $\frac{27}{1331} V$ , objętość stożka ściętego wynosi

$V - \frac{27}{1331} V = \frac{1304}{1331} V$

Bryły powstałe w wyniku podziału mają więc objętości równe $\frac{27}{1331} V$ i $\frac{1304}{1331} V$ .

Przykład 5

Ostrosłup przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Oblicz stosunek objętości otrzymanych brył, wiedząc, że pole przekroju stanowi $49 %$ pola podstawy ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

R11RJB9XBG9XH

Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny ABCDS. Z wierzchołka S upuszczona została wysokość padająca na spodek wysokości, leżący na przecięciu przekątnych podstawy. Na krawędziach bocznych zaznaczono punkty A prim, B prim, C prim oraz D prim, które połączono i stworzono płaszczyznę równoległą do podstawy.

Niech $P$ – pole podstawy ostrosłupa, $H$ - wysokość ostrosłupa. Wówczas pole przekroju $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ wynosi $0, 49 P$ .

Jako $k$ oznaczmy skalę podobieństwa ostrosłupów $A B C D S$ i $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} S$ .

Stosunek pól ich podstaw wynosi $k^{2}$ . Zatem mamy:

$k^{2} = \frac{0, 49 P}{P}$

$k = 0, 7$

Objętość wyjściowego ostrosłupa wynosi $V = \frac{1}{3} P \cdot H$ . Objętość ostrosłupa $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} S$ wynosi zatem:

$V_{1} = {(0, 7)}^{3} V = \frac{343}{3000} P H$ .

Objętość pozostałej części bryły wynosi więc:

$V_{2} = V - V_{1} = \frac{1}{3} P H - \frac{343}{3000} P H = \frac{1000}{3000} P H - \frac{343}{3000} P H = \frac{657}{3000} P H$

Stosunek objętości otrzymanych brył wynosi zatem:

$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{343}{3000} P H}{\frac{657}{3000} P H} = \frac{343}{657}$ .

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z treścią animacji 3D. Zwróć uwagę ile wynosi stosunek objętości brył podobnych.

R1S2288SS16CB

Polecenie 1

Stożek o objętości $V$ podzielono na cztery części o równych wysokościach, przecinając ten stożek płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny podstawy stożka. Oblicz objętość każdej części.

Dany mamy stożek o objętości $V$ .

RKSNQN6OD8KCJ

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością i promieniem podstawy.

Jeśli podzielimy wysokość na cztery równe części otrzymamy cztery bryły.

R8LFZ7GJE16JL

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością, która została podzielona na 4 równe części. Otrzymując tym samym 4 bryły, o objętościach równych V indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, V indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, V indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego oraz V indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego.

$V_{1} = {(\frac{1}{4})}^{3} V = \frac{1}{64} V$

$V_{1} + V_{2} = {(\frac{1}{4} + \frac{1}{4})}^{3} V = {(\frac{1}{2})}^{3} V = \frac{1}{8} V$

$V_{2} = (V_{1} + V_{2}) - V_{1} = \frac{1}{8} V - \frac{1}{64} V = \frac{7}{64} V$

$V_{1} + V_{2} + V_{3} = {(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4})}^{3} V = {(\frac{3}{4})}^{3} V = \frac{27}{64} V$

$V_{3} = (V_{1} + V_{2} + V_{3}) - (V_{1} + V_{2}) = \frac{27}{64} V - \frac{1}{8} V = \frac{19}{64} V$

$V_{4} = V - (V_{1} + V_{2} + V_{3}) = V - \frac{27}{64} V = \frac{37}{64} V$ .

Objętości kolejnych części stożka wynoszą odpowiednio:

$V_{1} = \frac{1}{8} V$ , $V_{2} = \frac{7}{64} V$ , $V_{3} = \frac{19}{64} V$ , $V_{4} = \frac{37}{64} V$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

RRKK2VOCGSZGS1

Ćwiczenie 1

RR5JM4E41D3V81

Ćwiczenie 2

R1CLZZJU1FBH21

Ćwiczenie 3

RVRVGG7UHX9KH2

Ćwiczenie 4

RFM2BGMT15E4F2

Ćwiczenie 5

RH9DF2R5PM2J62

Ćwiczenie 6

R1C3MRDSSQTN43

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Dany jest stożek o wysokości $H$ i kącie rozwarcia $2 α$ . Płaszczyzna równoległa do podstawy stożka podzieliła go na dwie bryły o równych objętościach. Oblicz pole powierzchni całkowitej powstałego stożka ściętego.

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

Oznaczmy jako $r$ – promień podstawy stożka, $l$ – tworząca stożka.

R13GP7H3NJ4VK

Wówczas mamy:

$\frac{r}{H} = tg α$ oraz $\frac{H}{l} = \cos α$

$r = H tg α$ i $l = \frac{H}{\cos α}$

Powstałe bryły mają objętości równe połowie objętości wyjściowego stożka.

Skala podobieństwa stożka $A^{'} B^{'} S$ do stożka $A B S$ wynosi więc:

$k^{3} = \frac{1}{2}$

$k = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Promień podstawy stożka $A^{'} B^{'} S$ jest równy $r_{1} = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} r = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \cdot H tg α$ , tworząca: $l_{1} = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \cdot l = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \cdot \frac{H}{cos α}$ i wysokość $h_{1} = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} H$ .

Obliczmy pole powierzchni stożka ściętego:

$P_{c} = π r^{2} + π r_{1}^{2} + π r l - π r_{1} l_{1} =$

$= π \cdot H^{2} {tg}^{2} α + π \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}} \cdot H^{2} {tg}^{2} α +$

$+ π \cdot H t g α \cdot \frac{H}{\cos α} - π \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \cdot H t g α \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \cdot \frac{H}{\cos α} =$

$= π \cdot H^{2} \cdot \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} + π \cdot H^{2} \cdot \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}} + π \cdot H^{2} \cdot \frac{\sin α}{\cos^{2} α} - π \cdot H^{2} \cdot \frac{\sin α}{\cos^{2} α} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}} =$

$= π \cdot H^{2} \cdot \frac{\sin α}{\cos^{2} α} (\sin α + \sqrt[3]{\frac{1}{4}} \sin α + 1 - \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$ .

Ćwiczenie 9

Wybierz prawidłową odpowiedź.

RGZgppHht62ww

R1eep4ugM3CTz

R1CG0SqR6fC7W

R113WkaKERYnD

R115afI2GTTZm2

Ćwiczenie 10

RfntqSLb5BXDP

Ćwiczenie 11

Słownik

odcinki proporcjonalne

jeżeli dane są cztery odcinki $a$ , $b$ , $c$ , $d$ takie, że stosunek pierwszych dwóch $(a : b)$ jest równy stosunkowi dwóch ostatnich $(c : d)$ , to takie odcinki nazywamy proporcjonalnymi i wyrażamy to, pisząc proporcję $a : b = c : d$ ;
w uproszczeniu możemy powiedzieć, że ich iloraz jest stały

figury podobne

figury, których stosunek długości każdej pary odpowiadających sobie odcinków jest stały

2. Pole powierzchni brył podobnych

Podobieństwo brył