1. Kwadrat sumy

R18ZULKT6R29P

Naukowcy opisują zjawiska zachodzące w otaczającej nas rzeczywistości za pomocą coraz bardziej skomplikowanych wzorów. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych, z których zbudowane są te wzory, może więc prowadzić do błędów, a w konsekwencji do nieprawdziwych wniosków. Bardzo pomocne są zatem w rachunkach algebraicznych algorytmy ułatwiające obliczenia.

Typowe przypadki mnożenia sum algebraicznych można wykonywać w sposób uproszczony, stosując jeden z takich algorytmów, zwany wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.

Twoje cele

Poznasz wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.
Zapiszesz kwadrat sumy dwóch wyrażeń w postaci sumy.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy w obliczeniach arytmetycznych.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy w przekształceniach algebraicznych.

Obliczymy dwoma sposobami pole kwadratu przedstawionego na rysunku.

R1QJ7FVKJHPCF

Na ilustracji znajduje się kwadrat o bokach podzielonych na odcinki a i b. Kwadrat jest podzielony wewnątrz na dwa kwadraty: jeden o boku a, drugi o boku b oraz na dwa prostokąty o bokach o długości a i b oba. — Interpretacja geometryczna wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Bok kwadratu ma długość $a + b$ , zatem $P = {(a + b)}^{2}$ .

RJLVV7UK7SN1V

Pole tego kwadratu można też obliczyć jako sumę pól kwadratu o boku długości $a$ , kwadratu o boku długości $b$ , dwóch prostokątów o bokach długości $a$ i $b$ .
$P = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Porównując otrzymane wyrażenia, otrzymujemy:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Otrzymana równość zwana jest wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.

Ważne!

Wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie.

Powyższy wzór można też uzyskać, zapisując kwadrat sumy w postaci iloczynu i wykonując mnożenie.

{(a + b)}^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy, można podnosić do kwadratu dwumiany, nie wykonując mnożenia.

Przykład 1

Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci sumy.

$(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = x^{2} + 2 x + 1$

$(a + \sqrt{2})^{2} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^{2} = a^{2} + 2 \sqrt{2} a + 2$

${(x^{2} + 3)}^{2} = x^{4} + 2 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3^{2} = x^{4} + 6 x^{2} + 9$

$(2 x + 5 a)^{2} = (2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 5 a + (5 a)^{2} = 4 x^{2} + 20 a x + 25 a^{2}$

Przykład 2

Przekształcimy potęgi na sumy algebraiczne, wykorzystując wzór na kwadrat sumy.

$(x y + 2 \sqrt{5})^{2} = (x y)^{2} + 2 \cdot x y \cdot 2 \sqrt{5} + (2 \sqrt{5})^{2} = x^{2} y^{2} + 4 \sqrt{5} x y + 20$

${(a^{4} x^{3} + 0, 1)}^{2} = a^{8} x^{6} + 2 \cdot a^{4} x^{3} \cdot 0, 1 + {(0, 1)}^{2} = a^{8} x^{6} + 0, 2 a^{4} x^{3} + 0, 01$

Jeżeli oba składniki sumy, którą należy podnieść do kwadratu, poprzedzone są znakiem „-”, można wyłączyć (-1) przed nawias i zastosować poznany wzór skróconego mnożenia.

Na przykład:

${(- 7 x - y)}^{2} = {[(- 1) (7 x + y)]}^{2} = {(- 1)}^{2} (49 x^{2} + 14 x y + y^{2}) = 49 x^{2} + 14 x y + y^{2}$

Wykorzystanie wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Przykład 3

Zapiszemy podane wyrażenie w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = - \sqrt{2}$ .

$2 {(x + 1)}^{2} + [(- x - 1) (x + 1) - 2 x] =$

$= 2 (x^{2} + 2 x + 1) + [- (x + 1) (x + 1) - 2 x] =$

$= 2 x^{2} + 4 x + 2 + (- x^{2} - 2 x - 1 - 2 x) = x^{2} + 1$

${(- \sqrt{2})}^{2} + 1 = 2 + 1 = 3$

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa 3.

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jest zapisywanie sum algebraicznych w postaci iloczynu.

R1ON5N73HOUGZ

Kwadrat do potęgi drugiej plus dwa kwadrat koło plus koło do potęgi drugiej równa się otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 4

Zapiszemy sumy algebraiczne w postaci iloczynów.

$25 a^{2} + 10 a + 1 = (5 a + 1) (5 a + 1)$

$9 x^{2} + 48 x y + 64 y^{2} = (3 x + 8 y) (3 x + 8 y)$

$3 a^{2} + 18 a c + 27 c^{2} = (\sqrt{3} a + \sqrt{27} c) (\sqrt{3} a + \sqrt{27} c)$

$k^{2} + \sqrt{3} k m + 0,75 m^{2} = (k + 0,5 \sqrt{3} m) (k + 0,5 \sqrt{3} m)$

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumyWzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy można zastosować obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 5

$(3 + \sqrt{3})^{2} - 6 \sqrt{3} = 9 + 6 \sqrt{3} + 3 - 6 \sqrt{3} = 12$

${(\sqrt{2} + 2 \sqrt{10})}^{2} - (42 + 8 \sqrt{5}) = {(\sqrt{2} + 2 \sqrt{10})}^{2} - {(\sqrt{2} + 2 \sqrt{10})}^{2} = 0$

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumyWzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń można wykorzystać do szybkiego obliczenia kwadratów niektórych liczb.

Przykład 6

Aby obliczyć kwadraty liczb $41$ , $102$ , $3008$ , zapisujemy każdą z nich w postaci sumy pełnych dziesiątek, setek lub tysięcy oraz liczby jednocyfrowej i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

41^{2} = (40 + 1)^{2} = 40^{2} + 80 + 1 = 1600 + 81 = 1681

102^{2} = (100 + 2)^{2} = 100^{2} + 400 + 4 = 10000 + 404 = 10404

3008^{2} = (3000 + 8)^{2} = 3000^{2} + 16 \cdot 3000 + 8^{2} =

= 9000000 + 48000 + 64 = 9048064

Przykład 7

W podobny sposób jak w powyższym przykładzie, obliczymy kwadraty liczb mieszanych $5 \frac{1}{8}$ , $6 \frac{3}{4}$ .

{(5 \frac{1}{8})}^{2} = {(5 + \frac{1}{8})}^{2} = 5^{2} + \frac{10}{8} + {(\frac{1}{8})}^{2} = 25 + 1 \frac{1}{4} + \frac{1}{64} = 26 \frac{17}{64}

{(6 \frac{3}{4})}^{2} = {(6 + \frac{3}{4})}^{2} = 6^{2} + 9 + {(\frac{3}{4})}^{2} = 36 + 9 + \frac{9}{16} = 45 \frac{9}{16}

Wzór $(a + b)^{2}$ zastosujemy teraz do rozkładu na czynniki sumy algebraicznej w równaniu. Ułatwi to znacznie rozwiązanie równania.

Przykład 8

Rozwiążemy równanie $x^{2} + 10 x + 25 = 0$ .

Lewą stronę równania zapisujemy w postaci kwadratu dwumianu.

$x^{2} + 10 x + 25 = 0$

$(x + 5)^{2} = 0$

Stąd:

$x + 5 = 0$

$x = - 5$

Rozwiązaniem równania jest liczba $(- 5)$ .

Przykład 9

Rozwiążemy równanie $4 x^{2} + 4 x + 5 = 0$ .

Przekształcamy lewą stronę równania i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

4 x^{2} + 4 x + 1 + 4 = 0

(2 x + 1)^{2} = - 4

Lewa strona równania jest nieujemna (jako kwadrat wyrażenia), a prawa ujemna – otrzymujemy sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązania.

Wzór $(a + b)^{2}$ jest często przydatny w skracaniu wyrażeń wymiernych.

Przykład 10

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie $K = \frac{18 x^{2} + 8 y^{2} + 24 x y}{6 y + 9 x}$ .

Wyłączyliśmy przed nawias wspólny czynnik w liczniku i mianowniku wyrażenia.

K = \frac{18 x^{2} + 8 y^{2} + 24 x y}{6 y + 9 x} = \frac{2 (9 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x y)}{3 (2 y + 3 x)}

W liczniku sumę algebraiczną zapisujemy w postaci kwadratu dwumianu.

K = \frac{2 (3 x + 2 y)^{2}}{3 (3 x + 2 y)}

Skracamy.

K = \frac{2 (3 x + 2 y)}{3}

Aby wykorzystać wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumywzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy w dowodzeniu twierdzeń, trzeba najpierw dokładnie przeanalizować założenie oraz tezę twierdzenia. O zastosowaniu wzoru najczęściej wnioskujemy na podstawie zapisanych w treści twierdzenia wyrażeń algebraicznych.

Przykład 11

Uzasadnimy, że jeśli $x$ , $y$ to liczby rzeczywiste dodatnie takie, że $x + y = 4$ i $x^{2} + y^{2} = 10$ to $x y = 3$ . Wartość iloczynu $x \cdot y$ znajdziemy, przekształcając odpowiednio wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy liczb $x$ i $y$ .

(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

Do wzoru podstawiamy: za $x + y$ liczbę $4$ , za $x^{2} + y^{2}$ liczbę $10$ .

4^{2} = 2 x y + 10

Stąd:

2 x y = 6

x y = 3

Zatem $x y = 3$ , co należało udowodnić.

Przykład 12

Wykażemy, że jeśli $a$ jest liczbą naturalną dodatnią, to liczba $M = \frac{a^{4}}{4} + \frac{a^{3}}{2} + \frac{a^{2}}{4}$ jest kwadratem pewnej liczby rzeczywistej.

Sprowadzamy ułamki występujące w wyrażeniu do wspólnego mianownika i zapisujemy na wspólnej kresce ułamkowej.

$M = \frac{a^{4}}{4} + \frac{a^{3}}{2} + \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{4} + 2 a^{3} + a^{2}}{4}$

W liczniku otrzymanego ułamka wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i zapisujemy sumę w postaci iloczynu, wykorzystując odpowiedni wzór skróconego mnożenia.

$M = \frac{a^{4} + 2 a^{3} + a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4} (a^{2} + 2 a + 1) = \frac{a^{2}}{4} (a + 1)^{2}$

Otrzymane wyrażenie zapisujemy w postaci kwadratu pewnej liczby.

M = {[\frac{a (a + 1)}{2}]}^{2}

Wykazaliśmy, że liczba $M$ jest kwadratem liczby $\frac{a (a + 1)}{2}$ .

0.5

Materiały multimedialne

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, rozwiązując samodzielnie podane przykłady, a następnie sprawdź ich rozwiązania.

RUGLNGTQ1FQ5C

RKJBFM272P2ME

RRKSOD2U8LGGL

R4KQCKUJOB6JN

R1OHKS27R4SFT

RMM52MXK7HPL3

R1ZDXMBVN7KNM

Polecenie 1

Rozwiąż zadania znajdujące się w grze edukacyjnej i odczytaj hasło.

R14ATNPD9NVZX1

Rozwiąż test jednokrotnego wyboru.

RK2KUNDAHN42L

R1SSPK5CKN5TC

R1KOKRJ3NHHUP

R4X4CG56TUS5G

R1GBJETKC59HR

R1EE8MVHG9U5B

RDFUL8UA21QSN

R1QVG671T2DQ8

RS8JCCHMRKV1K

R1EDP2MS3SZ6A

R1TK1ZSBSHPER

RH3HE8NBT71F5

Polecenie 2

Oblicz pole kwadratu o boku długości $\sqrt{7} + 5 \sqrt{11}$ .

$282 + 10 \sqrt{77}$

Polecenie 3

Oblicz, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy $1003^{2} - 1002^{2}$ .

$(1000 + 3)^{2} - (1000 + 2)^{2} = 1000^{2} + 6000 + 9 - 1000^{2} - 4000 - 4 = 2005$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Fullpage

Pokaż ćwiczenia:

ROUMADGBBSGO31

Ćwiczenie 1

R188Q5NTFP12R1

Ćwiczenie 2

R1D2J4GMXZGG82

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

R1XQ99UBDSOCE

Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1AU9EFD4FVLO

R9LJJ65414OGS2

Ćwiczenie 5

R8AETAN8F5TXH2

Ćwiczenie 6

Połącz w pary równe liczby. nawias trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu nawias dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści, plus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 2. sześć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. dziewięć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, plus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka nawias, sześć pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści, plus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 2. sześć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. dziewięć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, plus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka nawias, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści, plus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 2. sześć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. dziewięć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, plus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka nawias dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści, plus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 2. sześć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. dziewięć, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, plus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka

R19EOCFPJX6T53

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wykaż, że kwadrat liczby naturalnej nieparzystej jest liczbą nieparzystą.

Zapisz dowolną liczbę nieparzystą jako $2 n + 1$ , gdy $n \in N$ .

$2 n + 1$ , gdy $n \in N$ – liczba nieparzysta,

${(2 n + 1)}^{2}$ – kwadrat liczby nieparzystej,

${(2 n + 1)}^{2} = 4 n^{2} + 4 n + 1 = 2 (2 n^{2} + 2 n) + 1$ – kwadrat liczby nieparzystej w dzieleniu przez $2$ daje resztę $1$ , zatem jest to liczba nieparzysta.

RK2921J8B4HS31

Ćwiczenie 9

R1T9BJFU9CDQV1

Ćwiczenie 10

R1MTDA95QAA7B1

Ćwiczenie 11

RXM66TCKX3HB72

Ćwiczenie 12

R1UBN8AN6178P2

Ćwiczenie 13

R1SM8HJ4KNCPH2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Wykaż, że wyrażenie $2 x^{2} + 28 x + 100$ dla każdej liczby rzeczywistej przyjmuje wartość dodatnią.

Zauważ, że

2 x^{2} + 28 x + 100 = 2 x^{2} + 28 x + 98 + 2

Z trzech pierwszych jednomianów wyłącz liczbę $2$ przed nawias i zastosuj wzór na kwadrat sumy.

2 x^{2} + 28 x + 100 = 2 x^{2} + 28 x + 98 + 2 =

= 2 (x^{2} + 14 x + 49) + 2 = 2 (x + 7)^{2} + 2

Wyrażenie $2 (x + 7)^{2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ przyjmuje wartości nieujemne, liczba $2$ jest dodatnia.

Czyli:

$2 x^{2} + 28 x + 100 = 2 {(x + 7)}^{2} + 2 > 0$

co należało wykazać.

Ćwiczenie 16

Wiadomo, że $x \cdot y = 12$ i $x^{2} + y^{2} = 25$ . Wyznacz $x + y$ .

Do wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy podstawiamy dane liczby.

(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y

(x + y)^{2} = 25 + 2 \cdot 12 = 49

x + y = 7

lub

x + y = - 7

Słownik

wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy

kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie

2. Kwadrat różnicy

Wzory skróconego mnożenia

1. Kwadrat sumy

Materiały multimedialne

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik