2. Suma n początkowych wyrazów ciągu

RDbA7U8wu8W1E

Na początek wierszyk Jana Brzechwy Sum, który zapewne pamiętasz z dzieciństwa.

R1RMtTisB6Fyi1

Zdjęcie przedstawia suma płynącego przy dnie zbiornika wodnego. — Sum pospolity
Źródło: Florian Dieter, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 3.0.

Mieszkał w Wiśle sum wąsaty,
Znakomity matematyk.
Krzyczał więc na całe skrzele:
– Do mnie, młodzi przyjaciele!
W dni powszednie i w niedziele
Na życzenie mnożę, dzielę,
Odejmuję i dodaję
I pomyłek nie uznaję!
Każdy mógł więc przyjść do suma
I zapytać: – jaka suma?

Tematem tego materiału jest suma. Summa summarum – będziemy tworzyć i obliczać sumy wyrazów ciągów liczbowych.

Twoje cele

Zapiszesz różnymi sposobami sumę częściową ciągu liczbowego.
Obliczysz sumę wyrazów ciągu.
Określisz wzór ogólny ciągu, na podstawie jego sumy częściowej.

Wyrazy zarówno ciągów skończonych, jak i nieskończonych, można dodawać.

Wyrazy ciągu	Suma wyrazów
$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{5}$ , $\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$
$3$ , $5$ , $7$ , $9$ , $11$ , $\dots$	$3 + 5 + 7 + 9 + 11 + \dots$
$- 4$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $5$ , $\dots$	$- 4 + (- 1) + 0 + 1 + 5 + \dots$

Suma wyrazów ciągu skończonego jest liczbą (być może bardzo dużą, albo bardzo małą). Natomiast suma wyrazów nieskończonego ciągu liczbowego, może być nieskończona, ale też może być pewną liczbą.

Na przykład suma wyrazów nieskończonego ciągu ( $0, 27$ ; $0, 0027$ ; $0, 000027$ ; $\dots$ ) jest równa $\frac{27}{99}$ .

0, 27 + 0, 0027 + 0, 000027 + \dots = \frac{27}{99}

W tym materiale będziemy rozpatrywać tylko sumy, których wynikiem jest liczba.

Przykład 1

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = 2 (n + 3)$ dla $n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ . Obliczymy sumę wszystkich (czyli pięciu) wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie:

Wyznaczymy najpierw wyrazy ciągu, które musimy dodać.

$a_{1} = 2 \cdot (1 + 3) = 8$

$a_{2} = 2 \cdot (2 + 3) = 10$

$a_{3} = 2 \cdot (3 + 3) = 12$

$a_{4} = 2 \cdot (4 + 3) = 14$

$a_{5} = 2 \cdot (5 + 3) = 16$

Obliczamy sumę.

$S_{5} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$

$S_{5} = 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 60$

Przykład 2

Obliczymy sumę czterech początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym $a_{n} = 2^{n} - n$ .

Rozwiązanie:

Najpierw obliczymy wyrazy ciągu, które będziemy dodawać.

$a_{1} = 2^{1} - 1 = 1$

$a_{2} = 2^{2} - 2 = 2$

$a_{3} = 2^{3} - 3 = 5$

$a_{4} = 2^{4} - 4 = 12$

Obliczamy sumę wyznaczonych wyrazów.

$S_{4} = 1 + 2 + 5 + 12 = 20$

Niech $(a_{n})$ będzie ciągiem liczbowym określonym wzorem ogólnym $a_{n} = {(- 1)}^{n + 1} \cdot n$ .

Wtedy:

$S_{1} = 1$ – suma składająca się z pierwszego wyrazu ciągu

$S_{2} = 1 - 2 = - 1$ – suma dwóch początkowych wyrazów ciągu

$S_{3} = 1 - 2 + 3 = 2$ – suma trzech początkowych wyrazów ciągu

$S_{4} = 1 - 2 + 3 - 4 = - 2$ – suma czterech początkowych wyrazów ciągu

$\dots$

$S_{100} = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots - 100$ – suma stu początkowych wyrazów ciągu

$\dots$

Kolejne tak utworzone sumy nazywamy sumami częściowymi ciąguciąg sum częściowych ciągu $(a_{n})$ sumami częściowymi ciągu.

Ciąg sum częściowych ciągu

(a_{n})

Definicja: Ciąg sum częściowych ciągu

(a_{n})

Niech $(a_{n})$ będzie nieskończonym ciągiem liczbowym. Wówczas ciąg $(S_{n})$ o kolejnych wyrazach

S_{1} = a_{1}

S_{2} = a_{1} + a_{2}

S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}

S_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}

\dots

S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + \dots + a_{n}

nazwany ciągiem sum częściowych ciągu $(a_{n})$ .

Przykład 3

Obliczymy sumę częściową $S_{4}$ ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{n - 2}{n}$ .

$S_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$

$S_{4} = \frac{- 1}{1} + \frac{0}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2}{4}$

$S_{4} = - \frac{1}{6}$

Sumę początkowych wyrazów niektórych ciągów, można wyznaczyć szybko, korzystając ze wzorów odkrytych przez siedemnastowiecznego matematyka szwajcarskiego Jakoba Bernoulli.

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = \frac{n^{2} \cdot {(n + 1)}^{2}}{4}$

$1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + \dots + n^{4} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1)}{30}$

Przykład 4

Obliczymy $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + 12^{2}$ , korzystając ze wzoru podanego przez Bernoulliego.

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + 12^{2} = \frac{12 (12 + 1) (2 \cdot 12 + 1)}{6}$

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + 12^{2} = 2 \cdot 13 \cdot 25$

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + 12^{2} = 650$

Znając wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ , można wyznaczyć wzór ogólny ciągu.

S_{1} = a_{1} \Rightarrow a_{1} = S_{1}

S_{2} = a_{1} + a_{2} \Rightarrow a_{2} = S_{2} - S_{1}

S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \Rightarrow a_{3} = S_{3} - S_{2}

\dots

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} \Rightarrow a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

Podsumowując:

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

dla

n \geq 2

Przykład 5

Wyznaczymy wzór na $n$ –ty wyraz ciągu $(a_{n})$ , w którym suma n początkowych wyrazów ciągu określona jest wzorem

$S_{n} = \frac{n}{n + 1}$

Korzystamy ze wzoru

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ dla $n \geq 2$

$a_{n} = \frac{n}{n + 1} - \frac{n - 1}{n}$

$a_{n} = \frac{n^{2} - n^{2} + 1}{n (n + 1)}$

$a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$

Obliczmy jeszcze wyraz $a_{1}$ .

$a_{1} = S_{1} = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$

Prezentacja multimedialna

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać podane tam przykłady, a następnie porównaj z rozwiązaniami.

RkUkAhWOXO95K

Polecenie 1

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = 2 n$ dla $n \geq 1$ .

Wyprowadź wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu.

$S_{1} = 2 = 1 \cdot 2$

$S_{2} = 2 + 4 = 6 = 2 \cdot 3$

$S_{3} = 2 + 4 + 6 = 12 = 3 \cdot 4$

$S_{4} = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4 \cdot 5$

$\dots$

$S_{n} = 2 + 4 + 6 + . . . + n = n \cdot (n + 1)$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Oto graficzna interpretacja rozrastania się kolonii pewnych bakterii.

RcwgIHCzoENzK

Ilustracja przedstawia drzewo składające się kulek, od których odchodzą rozgałęzienia do kolejnych pokoleń. W pierwszym pokoleniu jest jedna, w drugim dwie, w trzecim cztery, w czwartym osiem kulek.

R1FOphMLlrl9Y

R1PCcAVe5bokV1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Ciąg $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Suma 𝑛 początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem

S_{n} = 3 \cdot (2 n - 1)

dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ .

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

RD8P2A6XBGH5J

Ćwiczenie 4

Ciąg $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Suma 𝑛 początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem

S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}

dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ .

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

RD8P2A6XBGH5J

R1edYm8dP7JGB2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

RSPvQgqjuj44M1

Wykorzystaj wzór Jakoba Bernoulli.

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$

Ćwiczenie 7

R1AYm0ajhuN8a1

Słownik

ciąg sum częściowych ciągu

(a_{n})

ciąg sum częściowych ciągu

(a_{n})

niech $(a_{n})$ będzie nieskończonym ciągiem liczbowym; wówczas ciąg $(S_{n})$ o kolejnych wyrazach

S_{1} = a_{1}

S_{2} = a_{1} + a_{2}

S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}

S_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}

\dots

S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + \dots + a_{n}

nazwany ciągiem sum częściowych ciągu $(a_{n})$

1. Określenie ciągu. Ciąg liczbowy

3. Monotoniczność ciągu