1. Ciąg arytmetyczny

R1PQQPRX4XCMH

R6MQRAGO83C941

Zdjęcie przedstawia stadion z wypełnioną widownią. Na pierwszym planie stoi sportowiec trzymający pochodnię skierowaną w stronę wielkiego kilkumetrowego płonącego znicza. — Paavo Nurmi zapala znicz olimpijski w 1952 r.
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY 4.0.

Letnie igrzyska olimpijskie uważane są za największe i najbardziej prestiżowe zawody sportowe na świecie. Odbywają się cyklicznie, co $4$ lata, począwszy od pierwszej olimpiady, która odbyła się w $1896$ r. W matematyce odpowiednikiem zdarzeń powtarzających się w stałych odstępach czasu są wyrazy ciągu arytmetycznego.

W tym materiale poznamy właśnie ciąg arytmetyczny i jego podstawowe własności.

Twoje cele

Rozpoznasz wśród innych ciągów ciąg arytmetyczny.
W danym ciągu arytmetycznym określisz pierwszy wyraz i różnicę ciągu.
Mając pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, określisz kilka wyrazów ciągu.
Znając wzór ogólny ciągu arytmetycznego, określisz jego pierwszy wyraz, różnicę, konkretny wyraz ciągu.

Przyjrzyjmy się poniższym ciągom.

Ciąg liczb naturalnych: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $. . .$ , $n$ , $n + 1$ , $. . .$

Ciąg liczb parzystych: $0$ , $2$ , $4$ , $6$ , $. . .$ , $2 n$ , $2 n + 2$ , $. . .$

Ciąg kolejnych wielokrotności liczby $7$ : $0$ , $7$ , $14$ , $21$ , $28$ , $. . .$ , $7 n$ , $7 n + 7$ , $. . .$

Zauważmy, że w każdym z ciągów różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i równa odpowiednio: $1$ , $2$ , $7$ . Zatem kolejne wyrazy ciągów powstają przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby. O ciągach mających taką własność mówimy, że są to ciągi arytmetyczne.

Ciągi arytmetyczne mogą być ciągami nieskończonymi, bądź skończonymi. Ale aby stwierdzić czy dany ciąg jest arytmetyczny, ten ciąg musi mieć co najmniej trzy wyrazy.

Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg $(a_{n})$ , jest określony dla $n \geq 1$ i $n \in ℕ$ .

Ciąg arytmetyczny

Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu.

Jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $r$ , to dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ prawdziwa jest równość:

a_{n + 1} = a_{n} + r

Przykład 1

Ciąg $(- 1, 3, 7)$ jest ciągiem arytmetycznym, gdyż

$3 - (- 1) = 7 - 3 = 4$

Liczba $4$ jest różnicą tego ciagu.

Przykład 2

Ciąg $(1, 6, 12)$ nie jest ciągiem arytmetycznym, bo drugi wyraz powstaje z pierwszego poprzez dodanie liczby $5$ , ale trzeci wyraz powstaje z drugiego poprzez dodanie liczby $6$ .

Przykład 3

Przykłady ciągów arytmetycznych nieskończonych
Kolejne początkowe wyrazy ciągu	Pierwszy wyraz	Różnica ciągu
$1, 4, 7, 10, 13, . . .$	$1$	$3$
$- 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, . . .$	$- 6$	$2$
$10, 20, 30, 40, 50, . . .$	$10$	$10$
$9, 8, 7, 6, 5, . . .$	$9$	$- 1$
$\sqrt{2}, 0, - \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, . . .$	$\sqrt{2}$	$- \sqrt{2}$

Ciekawym rodzajem ciągu arytmetycznego jest ciąg stały. To znaczy taki, którego różnica jest równa $0$ .

Przykład 4

Przykłady ciągów stałych
Kolejne początkowe wyrazy ciągu	Pierwszy wyraz	Różnica ciągu
$- 1, - 1, - 1, - 1, - 1, - 1, . . .$	$- 1$	$0$
$5, 5, 5, 5, 5, . . .$	$5$	$0$
$\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, . . .$	$\frac{1}{3}$	$0$

Z określenia ciągu arytmetycznego wynika, że różnica między kolejnymi wyrazami jest dla danego ciagu stała, zatem mając pierwszy wyraz i różnicę ciągu, możemy wyznaczyć jego dowolny wyraz. W przypadku ciągu skończonego można wyznaczyć wszystkie wyrazy tego ciągu.

Zatem:

$a_{2} = a_{1} + r$

$a_{3} = a_{2} + r = a_{1} + 2 r$

$a_{4} = a_{3} + r = a_{1} + 3 r$

$a_{5} = a_{4} + r = a_{1} + 4 r$

$. . .$

Wyraz ogólny ciagu arytmetycznego

Twierdzenie: Wyraz ogólny ciagu arytmetycznego

Jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $r$ , to dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r

Przykład 5

Ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym. Zapiszemy piąty wyraz ciągu, za pomocą innego wyrazu ciągu i różnicy ciągu.

$a_{5} = a_{1} + 4 r$

$a_{5} = a_{3} + 2 r$

$a_{5} = a_{4} + r$

Znając co najmniej dwa kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego (niekoniecznie początkowe), można wyznaczyć łatwo różnicę tego ciągu.

Przykład 6

Wiadomo, że trzeci wyraz ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ jest równy $90$ , a czwarty $270$ obliczymy pierwszy wyraz tego ciągu.

Mamy dane dwa kolejne wyrazy ciągu, zatem możemy obliczyć różnicę tego ciagu.

$a_{3} = 90$

$a_{4} = 270$

$r = 270 - 90 = 180$

Mając trzeci wyraz i różnicę ciągu, można obliczyć pierwszy wyraz.

$a_{3} = a_{1} + (3 - 1) \cdot 180$

$90 = a_{1} + 360$

$a_{1} = 90 - 360 = - 270$

Odpowiedź:

Pierwszy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy $(- 270)$ .

Ważne!

Aby zbadać, czy ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny, należy określić, czy różnica między każdymi kolejnymi wyrazami ciągu $(a_{n + 1} - a_{n})$ jest stała.

Przykład 7

Zbadamy, czy ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = 3 n - 1$ jest ciągiem arytmetycznym.

Obliczamy cztery początkowe wyrazy ciągu.

$a_{1} = 2$

$a_{2} = 5$

$a_{3} = 8$

$a_{4} = 11$

Wyznaczamy różnice między kolejnymi wyrazami ciągu.

$a_{2} - a_{1} = 5 - 2 = 3$

$a_{3} - a_{2} = 8 - 5 = 3$

$a_{4} - a_{3} = 11 - 8 = 3$

Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest w każdym przypadku taka sama, równa $3$ . Wydaje się zatem, że jest to ciąg arytmetyczny. Jednak jest to ciąg o nieskończenie wielu wyrazach, zatem nie możemy wyznaczyć i porównać wszystkich różnic.

Zatem wyznaczymy $a_{n + 1} - a_{n}$ .

$a_{n + 1} - a_{n} = 3 (n + 1) - 1 - 3 n + 1$

$a_{n + 1} - a_{n} = 3 n + 3 - 1 - 3 n + 1$

$a_{n + 1} - a_{n} = 3$

Dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ wyznaczona różnica jest stała, nie zależy od $n$ . Zatem ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym. Możemy też stwierdzić, że różnica ciągu jest równa $3$ .

Zauważmy, że w ciągu arytmetycznym rosnącym różnica ciągu jest dodatnia.

Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Niech $n$ będzie liczbą naturalną dodatnią.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o różnicy $r$ jest:

ciągiem rosnącym, gdy $r > 0$ ,
ciągiem malejącym, gdy $r < 0$ ,
Ciągiem stałym, gdy $r = 0$ .

Przykład 8

Wykażemy, że ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = 2 n + 7$ , gdzie $n \in ℕ_{+}$ , jest rosnący.

Aby wykazać, że ciąg jest rosnący, należy zbadać różnicę $a_{n + 1} - a_{n}$ (dla dowolnego $n \geq 1$ ).

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n + 1) + 7 - (2 n + 7)$

Przekształcamy otrzymane wyrażenie.

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 2 + 7 - 2 n - 7$

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 > 0$

Pokazaliśmy, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ spełniony jest warunek $a_{n + 1} > a_{n}$ , co oznacza, że ciąg $(a_{n})$ jest rosnący.

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z animacją. Spróbuj najpierw samodzielnie wykonać zapisane tam zadania, a następnie porównaj z proponowanymi rozwiązaniami.

RL7SUB3MOBMZO

Polecenie 1

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n} = - 5 n + 70$ . Określ ile wyrazów tego ciągu jest dodatnich i oblicz najmniejszy z nich.

$- 5 n + 70 > 0$

$- 5 n > - 70$

$n < 14$

Najmniejszy wyraz dodatni to $a_{13}$ .

$a_{13} = - 5 \cdot 13 + 70$

$a_{13} = - 65 + 70$

$a_{13} = 5$

Odpowiedź:

$13$ wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest dodatnich. Najmniejszy z nich to $5$ .

Przeanalizuj przykłady podane w animacji.

R5ZQG1GOHB4KP

Polecenie 2

Zbadaj, czy ciąg arytmetyczny określony wzorem $a_{n} = 2 n - 11$ jest rosnący, malejący czy stały.

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n + 1) - 11 - 2 n + 11$

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 2 - 11 - 2 n + 11$

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 > 0$

Ciąg jest rosnący.

Zapoznaj się z kolejną animacją. Spróbuj najpierw samodzielnie wykonać zapisane tam zadania, a następnie porównaj z proponowanymi rozwiązaniami.

R1T4OER9GVA2V

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

RNOBJF41M4ZXT1

Ćwiczenie 1

RGCLG21VOOVRS1

Ćwiczenie 2

R1JSQ1C6KUH9P2

Ćwiczenie 3

R1O7SKXB8VRHQ2

Ćwiczenie 4

R1GQE1MLHATB82

Ćwiczenie 5

R1KO4QJ2PBEJ621

Ćwiczenie 6

RRRNCLCT4OQQP1

Ćwiczenie 7

R1ZAD4RBHUHF21

Ćwiczenie 8

R1JLZ5TL77G531

Ćwiczenie 9

R8T7EVQCS1ZUQ2

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiono kilka początkowych wyrazów pewnego ciągu. Wykaż, że jest to ciąg arytmetyczny.

R2NXJ4NFH8S82

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, głównie pierwszą i czwartą ćwiatkę. Pozioma oś opisana jest jako n i poprowadzona jest od minus jeden do dziewięciu. Pionowa oś opisana jest jako <mathan i przedstawiona od minus trzech do pięciu. Na ilustracji zaznaczono punkty o następujących współrzędnych: nawias, jeden, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, sześć, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, siedem, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, osiem, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dziewięć, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu.

Na podstawie wykresu określamy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = n - 4$

Obliczamy różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu.

$a_{n + 1} - a_{n} = n + 1 - 4 - n + 4 = 1$

Różnica jest stała, zatem ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym.

Ćwiczenie 12

Kolejne figury tworzone są według pewnej reguły. Odkryj tę regułę i narysuj jeszcze kilka takich figur.

Kolejne figury tworzone są według pewnej reguły. Odkryj tę regułę.

R125SMNR1QCNE

Ilustracja przedstawia tło w kratkę, a na nim narysowane obok siebie trzy różne figury składające się z małych kwadratów. Każda kolejna figura jest zwielokronioną poprzednią. Figura pierwsza przypomina odwróconą literę U i składa się łącznie z siedmiu kwadratów. Figura druga przypomina przewróconą w prawo literę E. Składa się ona z jedenastu kwadracików. Figura trzecia jest zwielokrotnieniem poprzedniej i składa się z piętnastu kwadracików.

Liczby kwadratów, z których zbudowane są kolejne figury są wyrazami pewnego ciągu. Określ wzór ogólny tego ciągu, udowodnij, że jest to ciąg arytmetyczny i znajdź różnicę tego ciągu.

Ustalamy wzór ogólny ciągu.

$a_{1} = 7 = 4 \cdot 1 + 3$

$a_{2} = 11 = 4 \cdot 2 + 3$

$a_{3} = 15 = 4 \cdot 3 + 3$

$a_{n} = 4 n + 3$

Obliczamy różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu.

$a_{n + 1} - a_{n} = 4 (n + 1) + 3 - 4 n - 3 = 4$

Dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ różnica jest stała, zatem ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $4$ .

Ćwiczenie 13

R2RFBGZ9CAUXS

R41QLDNOL5OKC

Ćwiczenie 14

R9551A57GUHE2

Ćwiczenie 15

RO6POCLM3MK69

Ćwiczenie 16

R188OUJF3FFAS

Ćwiczenie 17

RK1RPV1UJMQ4X

Ćwiczenie 18

Wykaż, że ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{{(n - 2)}^{2}}{8} - \frac{{(6 - n)}^{2}}{8}$ jest rosnący.

Zapisujemy wzór ciągu w prostszej postaci.

$a_{n} = \frac{n^{2} - 4 n + 4 - 36 + 12 n - n^{2}}{8}$

$a_{n} = n - 4$

Badamy znak różnicy między kolejnymi wyrazami ciągu.

$a_{n + 1} - a_{n} = n + 1 - 4 - n + 4 = 1 > 0$

Różnica ciągu jest dodatnia, zatem ciąg jest rosnący.

Słownik

ciąg arytmetyczny

ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu

2. Zależności między wyrazami ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny i geometryczny