1. Ruch drgający prosty i wielkości go opisujące. Przykłady ruchu drgającego

Drgania występują podczas trzęsień Ziemi, drga huśtawka w parku, struna gitary i membrana głośnika. Co mają wspólnego te zjawiska? Jeśli chcesz poznać odpowiedź na to pytanie, czytaj dalej.

R4h1a1o5ABLwZ

Fotografia przedstawia wahadło zabytkowego zegara z wieży kościelnej zdobione symbolami astronomicznymi. Na tle odchylonego wahadła dwie tarcze zegarowe: większa wskazuje godziny i fazy księżyca oraz mniejsza minutowa umieszczona w górnej części. Dookoła tarczy murowane wykończenie.

Omówienie tych zagadnień znajdziesz m. in. w materiałach: Prędkość i jej jednostki. Odczytywanie prędkości i drogi z wykresów, Rysowanie i analiza wykresów zależności drogi i prędkości od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym, Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy.

Aby lepiej wyjaśnić, czym jest ruch drgający, zaczniemy od przeprowadzenia pewnego doświadczenia.

RjRrXm6vOFekD

Ilustracja przedstawia cztery obiekty na białym tle. Z lewej strony widać rurkę w kształcie litery U wypełnioną prawie w całości cieczą; na ramionach rurki żółte prostokąty z czarnymi poziomymi odcinkami obrazującymi skalę. Obok U‑rurki widać wahadło matematyczne czyli nitka z zawieszona na dole kulką; wahadło jest zawieszone na stojaku. Za wahadłem na stojaku widać ciężarek na sprężynie podczepionej od dołu do płaskiej powierzchni poziomej. Z prawej strony widać poziomą linijkę umieszczoną w imadle przymocowanym do pionowej ściany. na skraju stołu.

2. Jeden koniec sprężyny zawieś na statywie, a do drugiego zaczep ciężarek. Rozciągnij sprężynę, pociągając za ciężarek w dół, i puść go swobodnie.

3. Jeden koniec sprężyny płaskiej zamocuj w imadle, drugi pozostaw wolny. Prostopadle do długości sprężyny pociągnij za jej wolny koniec i puść – pozwól, aby wolny koniec sprężyny drgał.

4. Do U‑rurki wlej taką ilość wody, aby naczynie było w połowie wypełnione. Dmuchnij do jednego z ramion U‑rurki i obserwuj ruch powierzchni wody w jednym z ramion naczynia.

5. Obserwując ruchy wszystkich wymienionych wyżej obiektów, ustal, jakie wspólne cechy mają te ruchy.

1. Powtarzający się cyklicznie jeden fragment ruchu – nazywamy go jednym drgnieniem

2. Jeden punkt centralny, wokół którego ruch się odbywa – położenie równowagi $O$.

3. Ograniczona droga ruchu – wychylenie z położenia równowagi.

   RqdbXUWTsn5K2

   Grafika przedstawiająca 3 przykłady układów zawierających ciała w położeniu równowagi. Pierwszy układ składa się z ciężarka zawieszonego na sprężynie. Drugi układ to stabilnie przymocowana u dołu, umieszczona pionowo linijka. Trzeci układ to wahadło matematyczne.

   

   R15bf6qn628ou

   Ilustracja przedstawiająca trzy przykłady układów zawierających ciała w położeniu równowagi. Pierwszy układ składa się z ciężarka zawieszonego na sprężynie. Widać cienką pionową sprężynę i trzy położenia ciężarka w ruchu pionowym do góry i w dół. Środkowy ciężarek ma zaczepiony krótki czarny odcinek podpisany dużą literą O. Drugi układ to stabilnie przymocowana u dołu, umieszczona pionowo linijka. Widoczne trzy położenia linijki, dwa w skrajnych położeniach zaznaczono linią przerywaną. Środkowa linijka ma zaczepiony krótki czarny odcinek podpisany dużą literą O. Trzeci układ to wahadło matematyczne. Widać trzy położenia wahadła, w tym dwa skrajne narysowane linią przerywaną. Środkowe wahadło ma zaczepiony krótki czarny odcinek podpisany dużą literą O.

   

Taki ruch cykliczny w fizyce nazywa się ruchem drgającym. Znaczenie tego terminu jest szersze niż słowo „drganie” używane w języku ogólnym. Dla fizyka zarówno majestatyczne wahania zabytkowego żyrandola pod sufitem, czy huśtawki w parku, powtarzające się przypływy i odpływy oceanu, jak i ruch skorupy ziemskiej podczas trzęsienia ziemi czy wibracje stołu podczas pracy jakiejś maszyny są nazywane ruchem drgającym.

Oto definicje wielkości służących do opisu ruchu drgającego.

Częstotliwość definiujemy jako stosunek liczby drgań $n$ do czasu w którym te drgania następują $t$. Jeżeli zamienimy czas na liczbę drgań razy okres jednego drgania, to liczbę drgań będzie można skrócić:

Okres drgań i częstotliwość drgań są więc ze sobą ściśle związane: częstotliwość jest odwrotnością okresu, czyli:

Spośród pokazanych wcześniej przykładów ruchu drgającego należy wyróżnić dwa:

1. Wahadło matematycznewahadło matematyczneWahadło matematyczne – tak możemy nazwać kulkę na nici pod warunkiem, że masa kulki jest znacznie większa od masy nici (w podręcznikach fizyki często pisze się, że nić jest nieważka – czyli nic nie waży), więc można ją pominąć, a ponadto długość nici jest znacznie większa od średnicy kulki. Najlepsza jest kulka o rozmiarach punktu – nazywamy ją punktem materialnym. Ważne jest też, by nić nie zmieniała swojej długości podczas wahań kulki, czyli była nierozciągliwa.

2. Ciężarek na sprężynie – tutaj ważne jest, aby podczas drgań sprężyna rozciągała się tylko w zakresie odkształceń sprężystych, najlepiej jeśli masa ciężarka jest większa od masy sprężyny.

Te dwa przykłady wyróżniono, gdyż drgania ciężarka na sprężynie oraz ruch wahadła matematycznego to przykłady bardzo ważnego rodzaju drgań nazywanych drganiami prostymidrgania harmoniczne (drgania proste)drganiami prostymi lub drganiami harmonicznymidrgania harmoniczne (drgania proste)drganiami harmonicznymi.

Ruch drgający to jeden z najpowszechniejszych ruchów w przyrodzie: drgają atomy w nas i w całej otaczającej nas materii, drgają struny głosowe ludzi lub zwierząt wydających dźwięk, drgają membrany głośników. Na dodatek okazuje się, że każdy ruch drgający (cykliczny) można przedstawić jako złożenie (sumę) skończonej lub nieskończonej liczby drgań harmonicznych.

Ruch wahadła matematycznego

Przeanalizujmy ruch wahadła matematycznego. Popatrzmy nań w bardzo zwolnionym tempie.

R1FUA2qcXHk69

Film prezentujący ruch wahadła matematycznego.

Film prezentujący ruch wahadła matematycznego.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1FUA2qcXHk69

Film prezentujący ruch wahadła matematycznego.

Zaczynamy od położenia $A_1$ – jest to największe wychylenie na prawo od położenia równowagi $O$. Kulka rozpoczyna ruch w lewo, zbliżając się do położenia równowagi $O$. Oznacza to, że jej wychylenie maleje. Można zauważyć, że wartość prędkości kulki rośnie. Kiedy kulka mija położenie równowagi, wartość jej prędkości osiąga największą wartość. Czas trwania ruchu kulki z punktu $A_1$ do punktu $O$ wynosi $\frac{1}{4}$ okresu, a przebyta przez nią droga jest równa wartości amplitudy. Dalszy ruch w lewo to oddalanie się kulki z położenia równowagi $O$ w stronę punktu $A_2$. Na tym etapie wychylenie z położenia równowagi rośnie, a wartość prędkości kulki maleje. W punkcie $A_2$ prędkość kulki osiąga wartość zero. Upłynęła kolejna $\frac{1}{4}$ okresu, droga wzrosła zaś o kolejną wartość amplitudy. Teraz następuje zmiana zwrotu prędkości – kulka zawraca i zaczyna poruszać się w prawo. Wychylenie kulki maleje, wartość prędkości rośnie aż do momentu, gdy mija punkt $O$. Po minięciu tego punktu kulka nadal porusza się w prawo, ale wartość jej prędkość maleje, a wychylenie z położenia równowagi rośnie. Z chwilą gdy kulka znajdzie się ponownie w punkcie $A_1$, kończy się jeden pełny cykl jej ruchu – jedno drganie. Prędkość kulki osiąga tu wartość zero, następuje zmiana zwrotu prędkości i kulka ponownie rozpoczyna ruch w lewo.

Ruch ciężarka na sprężynie

RUODZdNTJrPP6

Film dotyczący ruchu ciężarka na sprężynie.

Film dotyczący ruchu ciężarka na sprężynie.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RUODZdNTJrPP6

Film dotyczący ruchu ciężarka na sprężynie.

Obejrzyj powyższą animację, najlepiej w zwolnionym tempie i wykonaj Ćwiczenie 2.

Wykres zależności położenia od czasu w ruchu drgającym

Opis ruchu drgającego, podobnie jak opis każdego ruchu, można przedstawić graficznie jako wykres przedstawiający zależność położenia od czasu. Aby sporządzić taki wykres dla ruchu drgającego, wykonaj poniższe doświadczenie.

Doświadczenie 2

Sporządzenie wykresu zależności położenia od czasu w ruchu drgającym.

Co będzie potrzebne

• statywy z wyposażeniem;

• plastikowa butelka po wodzie mineralnej, kilka nakrętek do tej butelki;

• sztywny gładki pręt – na przykład drut dziewiarski;

• papierowa taśma o szerokości około $20 \mathrm{cm}$ i długości co najmniej $50 \mathrm{cm}$.

Instrukcja

1. Odetnij dno plastikowej butelki, a w odległości około $1 \mathrm{cm}$ od powstałej po odcięciu krawędzi wytnij dwa leżące naprzeciw siebie otwory.

2. W nakrętce wykonaj mały otwór. Powinien być tak dobrany, żeby woda wlana do butelki wyciekała z niej bardzo cienkim strumieniem, najlepiej w postaci ciągu pojedynczych kropli. Trzeba to zrobić metodą prób i błędów – dlatego warto mieć kilka zakrętek, próby wykonywać zaś nad zlewem lub umywalką.

3. Przez otwory przeciągnij pręt, na którym zawiśnie belka (nakrętką w dół).

4. Pręt zamocuj na statywie tak, aby butelka mogła wykonywać ruch wahadłowy.

5. Do zawieszonej i zakręconej dziurawą nakrętką butelki nalej wody. W początkowej fazie pod nakrętką warto podłożyć jakąś gąbkę lub bibułę, którą usuniesz tuż przed rozpoczęciem obserwacji.

6. Na stole, nad którym wahać się będzie butelka, połóż papierową taśmę.

7. Wpraw butelkę w ruch wahadłowy – krople wody ułożą się na papierze, tworząc odcinek.

8. Zacznij ciągnąć taśmę w kierunku prostopadłym do odcinka utworzonego wcześniej przez wodę. Ruch taśmy powinien być jednostajny i niezbyt szybki.

9. Odsuń taśmę, chroniąc ją przed dalszym zalewaniem wodą. To, co na niej powstało, jest wynikiem twojego doświadczenia.

10. Wylej wodę pozostałą w butelce i wytrzyj stół.

Podsumowanie

Na papierowej taśmie kapiące krople zostawiły ślad, którego kształt wygląda, w przybliżeniu, tak jak na poniższym rysunku.

R1K7sa7sGwIcV

Ilustracja przedstawia delikatnie kratkowane białe tło. Na tym tle widać falistą regularną linię. Jest to wykres zależności położenia od czasu w kształcie sinusoidy. Wszystkie wierzchołki sinusoidy są tak samo odległe siebie. Wszystkie grzbiety sinusoidy są identyczne.

Otrzymana linia nazywa się sinusoidą i przedstawia zależność wychylenia od czasu w ruchu drgającym prostym (w ruchu harmonicznym). Możemy umieścić ją w układzie współrzędnych.

R1CapoKA3xnb4

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych, oś pozioma ma podpis: czas mała litera t; oś pionowa skierowana do góry ma podpis: położenie mała litera x. W polu układu współrzędnych wykres w postaci regularnej linii falistej. Jest to wykres zależności położenia od czasu. Sinusoida zaczyna się w punkcie zero zero, amplituda górek to: duża litera A wskaźnik dolny dwa, amplituda dołków to: duża litera A wskaźnik dolny jeden. Zaznaczono fragment sinusoidy od położenia zero przed dołkiem do położenia zero za górką i oznaczono odległość między tymi punktami jako duże te, a więc okres. Wykres posiada trzy górki i dwie dolinki.

Na osi rzędnych (oś pionowa) umieszczono położenie drgającego ciała (w naszym doświadczeniu zakrętki butelki). Położenie to oznaczono literą $x$. Na osi odciętych (oś pozioma) umieszczono czas i oznaczono go literą $t$. Wartość $0$ na osi położenia $x$ – to położenie równowagi (środek odcinka „narysowanego” przez kropelki wody na początku doświadczenia). Punkty $A_1$ i $A_2$ to miejsca zawracania butelki podczas wahań, a ich współrzędna – wartość amplitudy drgań. Na osi czasu odcinki $T$ to okres drgań, czyli czas jednego pełnego wahnięcia. Zauważmy, że możemy je liczyć zarówno od punktu przecięcia sinusoidy z osią poziomą $x$, jak i od punktów maksymalnych wychyleń. Ważne jest, żeby odcinki kończyły się w takim samym punkcie, w jakim się zaczęły. Dysponując takim wykresem, możemy odczytać wartość amplitudy drgań oraz okres drgań, a następnie obliczyć częstotliwość drgań.

Przykład 2

Poniższy rysunek przedstawia zależność położenia od czasu dla ciężarka drgającego na sprężynie. Odczytaj z wykresu amplitudę drgań, okres drgań oraz oblicz częstotliwość drgań ciężarka.

RE7cIjJwkORc8

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych, oś pozioma ma podpis: oś odciętych, myślnik, czas mała litera t; oś pionowa skierowana do góry ma podpis: oś rzędnych, położenie mała litera x. W polu układu współrzędnych wykres w postaci regularnej linii falistej. Jest to wykres zależności położenia od czasu. Wykres posiada trzy górki i dwie dolinki. Górki i dolinki odległe są od położenia zero o dwa centymetry. Zaznaczono odcinek nad fragmentem wykresu jednego pełnego wahnięcia i podpisano osiem dziesiątych sekundy.

Rozwiązanie:
Amplituda drgań to największe wychylenie z położenia równowagi. Jej wartość odczytujemy na osi położenia $x$. Z rysunku wynika, że oś położenia wyskalowana jest w centymetrach, zatem amplituda drgań ciężarka wynosi $A=2 \mathrm{cm}$.
Okres drgań odczytujemy na osi czasu. Oś ta wyskalowana jest w sekundach, a na rysunku widać, że jeden pełny cykl zmian odpowiada przedziałowi czasu $0,8 \mathrm{s}$, zatem okres drgań ciężarka wynosi $T=0,8 \mathrm{s}$.
Częstotliwość obliczamy podobnie, jak w pierwszym przykładzie, czyli:

$$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,8 \mathrm{s}}=1,25 \mathrm{Hz}$$

Podsumowanie

• Ruch drgający to taki ruch, w którym wartości wielkości fizycznych opisujących go, powtarzają się cyklicznie (okresowo).

• Ruch drgający odbywa się wokół punktu zwanego położeniem równowagi.

• Wielkościami opisującymi ruch drgający są:

  • Amplituda drgań $A$ – największe wychylenie z położenia równowagi; jednostka – metr $\left[\mathrm{m}\right]$.

  • Okres drgań $T$ – czas trwania jednego pełnego drgania; jednostka – sekunda $\left[\mathrm{s}\right]$.

  • Częstotliwość drgań $f$ – liczba drgań w jednostce czasu; jednostka – herc $\left[\mathrm{Hz}\right]$.

  • Częstotliwość i okres są ze sobą związane: $f=\frac{1}{T}$.

• Przykładami układów drgających są: wahadło matematyczne i ciężarek na sprężynie, które wykonują drgania harmoniczne.

• Wykresem zależności położenia od czasu w ruchu harmonicznym jest sinusoida. Z tego wykresu można odczytać amplitudę i okres drgań.

Ćwiczenie 4

Rysunek przedstawia wykres zależności położenia od czasu dla boi kołyszącej się na wodzie. Z wykresu odczytaj amplitudę i okres drgań oraz oblicz częstotliwość drgań.

R14ryE4lC6K2G

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych, oś pozioma ma podpis: oś odciętych, myślnik, czas mała litera t; oś pionowa skierowana do góry ma podpis: oś rzędnych, położenie mała litera x. Tło białe z lekko narysowaną kratką. W polu układu współrzędnych wykres w postaci regularnej linii falistej. Jest to wykres zależności położenia od czasu. Wykres posiada trzy górki i dwie dolinki. Górki i dolinki odległe są od położenia zero o trzy dziesiąte centymetra. Zaznaczono odcinek nad fragmentem wykresu jednego pełnego wahnięcia i podpisano jedna i sześć dziesiątych sekundy.

R1KDi1UKkqlfv

Uzupełnij luki w odpowiedzi, wpisując odpowiednie liczby. Odpowiedź:Amplituda A, równa sięTu uzupełnijcm.Okres drgań T, równa sięTu uzupełnijs.Częstotliwość drgań f, równa sięTu uzupełnijHz.

Uzupełnij luki w odpowiedzi, wpisując odpowiednie liczby. Odpowiedź:Amplituda A, równa sięTu uzupełnijcm.Okres drgań T, równa sięTu uzupełnijs.Częstotliwość drgań f, równa sięTu uzupełnijHz.

Pokaż podpowiedź

Amplitudę odczytujemy na osi położenia $x$, a okres drgań to długość odcinka łączącego kolejne grzbiety sinusoidy. Częstotliwość drgań obliczamy ze wzoru $f=\frac{1}{T}$.

Słownik

Biogram

Heinrich Rudolf Hertz1.01.1894Bonn22.02.1857Hamburg

RExwPI3AmLYku

Zdjęcie przedstawia Heinricha Hertza. Mężczyzna w wieku ok. 45 lat. Widoczny prawy półprofil. Twarz pociągła. Nos długi. Czoło wysokie, gładkie. Widoczne oznaki łysienia, włosy ciemne, zaczesane. Oczy ciemne, brwi regularne. Wąsy jasne, rzadkie. Broda gęsta, krótka, porastająca linię żuchwy, podbródek oraz część szyi. Usta lekko rozchylone, wąskie. Uszy średniej wielkości, przylegające. Mężczyzna ubrany w ciemny, prążkowany płaszcz. Spod płaszcza wystaje biała koszula, zapięta pod samą szyję.

Heinrich Rudolf Hertz

1857.02.22 Hamburg – 1894.01.1 Bonn

[hajnriś rudolf herc]
Heinrich Hertz badał fale elektromagnetyczne. Wykazał, że one i światło są tożsame, a ich prędkość rozchodzenia się jest taka sama. Odkrył zewnętrzny efekt fotoelektryczny. Na cześć tego uczonego jednostkę częstotliwości nazwano hercem $\left(\mathrm{Hz}\right)$.

Zadania

RS2GDhxyPuL6W

Zdjęcie przedstawia dziewczynkę huśtającą się na huśtawce. Huśtawka składa się z łańcucha i skórzanej taśmy, jako siedziska. Za dziewczynką stoi kobieta, która pomaga dziewczynce huśtać się. Na drugim planie widać drzewa.