2. Wielokąty foremne

R3Ndn66uXjgCu

Wielokąty foremne mają wiele ciekawych zastosowań w architekturze i sztuce. Na przestrzeni lat architekci różnych kultur tworzyli budowle, wykorzystujące wielokąty foremne jako podstawę do budowy ich konstrukcji.

Problemem związanym z klasycznymi konstrukcjami geometrycznymi, z którym częściej spotykają się współcześni adepci matematyki szkolnej, jest możliwość skonstruowania wielokąta foremnego. Dopiero w $XIX$ wieku matematyk niemiecki C.F. Gauss podał kryterium, które pozwala wskazać, które z wielokątów foremnych można skonstruować za pomocą cyrkla i liniału.

Z tego materiału dowiesz się czym jest wielokąt foremny i jak go rozpoznać oraz poznasz jego własności.

Zapoznaj się z poniższą animacją, aby poznać najczęściej spotykane wielokąty foremne.

R1bRDSumWAYrF1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wielokąt foremny

Definicja: Wielokąt foremny

Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.

RLLoAwlkaOsKI1

Rysunek ośmiokąta foremnego o bokach a oraz kątach wewnętrznych alfa. Wszystkie boki są równej długości i wszystkie kąty mają taką samą miarę. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąt foremny

Ważne!

Trójkąt równoboczny jest wielokątem, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.

Jest on przykładem wielokąta foremnego.

Zapamiętaj!

Tylko w trójkącie równobocznym punkt przecięcia się symetralnych oraz dwusiecznych leży w punkcie przecięcia wysokości.

Punkt przecięcia dzieli taki odcinek w stosunku $2 : 1$ , licząc od wierzchołka trójkąta.

Czworokąt foremny

Zapamiętaj!

Czworokąt, który jest wielokątem foremnym, to kwadrat.

Polecenie 1

Narysuj na kartce kwadrat i:

zaznacz jego przekątne,
wytnij ten kwadrat,
odrysuj go na kartce,
połóż wycięty kwadrat tak, aby pokrywał rysunek,
obróć wycięty kwadrat o $45 °$ wokół punktu przecięcia przekątnych,
obrysuj figurę, która powstała z kwadratu narysowanego i wyciętego.

Jak myślisz, czy powstały wielokąt jest wielokątem foremnym?

Pięciokąt foremny

Kolejnym wielokątem foremnym jest pięciokąt foremny.

R14Fvbpb9w6w11

Rysunek pięciokąta foremnego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wielu wybitnych matematyków poszukiwało najprostszych sposobów konstrukcji tego wielokąta przy pomocy cyrkla i linijki. Poniżej przedstawiona jest jedna z najbardziej znanych konstrukcji. Spróbuj wykonać ją w zeszycie.

R207XCDAr0LtC1

Przykład 1

Obliczymy miary kątów pięciokąta.

W tym celu dzielimy go na trójkąty równoramienne.

RsgM25JJd6MwB1

Rysunek pięciokąta foremnego podzielonego na pięć trójkątów równoramiennych. W trójkącie kąt przy podstawie ma miarę beta, kąt między ramionami miarę alfa. Kąt gamma to kąt wewnętrzny pięciokąta, który składa się z dwóch kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąt miedzy równymi ramionami każdego z tych trójkątów to piąta część kąta $360 °$ .

α = \frac{1}{5} \cdot 360 ° = 72 °

Zatem kąt przy podstawie trójkąta:

β = \frac{180 ° - 72 °}{2} = 54 °

Kąt pięciokąta jest dwukrotnie większy od kąta $β$

γ = 2 \cdot 54 ° = 108 °

Każdy kąt pięciokąta foremnego ma więc miarę $108 °$ .

Sześciokąt foremny

Zauważmy, że w trójkącie równobocznym każdy z kątów ma miarę $60 °$ . Możemy więc takie trójkąty ułożyć w ten sposób, aby miały jeden punkt wspólny tak, jak na rysunku.

RtXaIF1H1l61H1

Rysunki ilustrują sześć kroków powstania sześciokąta foremnego z trójkątów równobocznych. Na pierwszym rysunku dany jest jeden trójkąt równoboczny, na drugim łączymy go bokiem z drugim trójkątem, na trzecim dołączamy trzeci trójkąt, tak aby wszystkie trójkąty miały jeden punkt wspólny. Kolejne kroki wykonujemy analogicznie. Na szóstym rysunku powstał sześciokąt zbudowany z sześciu połączonych bokami trójkątów równobocznych, które mają jeden punkt wspólny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Powstanie wtedy sześciokąt o równych bokach. Każdy kąt tego wielokąta ma miarę:

2 \cdot 60 ° = 120 °

Jest to więc wielokąt foremny. Nazywamy go sześciokątem foremnym.

Zauważmy, że długość boku sześciokąta jest równa połowie dłuższej przekątnej.

Poniżej przedstawiona jest konstrukcja sześciokąta. Spróbuj wykonać ją w zeszycie.

RqUVjbeHQkHko1

Siedmiokąt foremny

Ciekawostka

Siedmiokąt można narysować, wykorzystując konstrukcję neusis [njusis], co oznacza po grecku „dopasowanie”. Jest to konstrukcja geometryczna, w której, w odróżnieniu od konstrukcji klasycznej, oprócz cyrkla używa się linijki z podziałką (z dwoma zaznaczonymi punktami).

RthIfkxMhr0rU1

Rysunek siedmiokąta foremnego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ciekawostka

Siedmiokąt foremny jest przykładem wielokąta foremnego, którego nie można skonstruować jedynie za pomocą linijki i cyrkla. Udowodnił to wybitny niemiecki matematyk Karol Gauss [Karol Gaus] ( $1777$ – $1855$ ), który tym samym położył kres wielowiekowym wysiłkom matematyków próbujących znaleźć taką konstrukcję.

Polecenie 2

Zapoznaj się z poniższym apletem.

Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.

R19wskq0JgPMU1

Zapamiętaj!

Własności wielokąta foremnego:

wszystkie boki równe,
wszystkie kąty równe,
przekątne nie muszą być równe.

Wielokąty gwiaździste

Wykorzystując niektóre wielokąty foremne, można budować wielokąty, zwane gwiaździstymi.

Najpopularniejszym z nich jest pięciokąt gwiaździsty znany od czasów starożytnych pod nazwą pentagramu. Rysunek pentagramu był znakiem rozpoznawczym uczniów Pitagorasa.

RGRG1cQ3QFpJ6

Ilustracja przedstawia pentagram, czyli pięciokąt w kształcie gwiazdy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Na bazie siedmiokąta można wykreślić siedmiokąt gwiaździsty zwany z greckiego heptagramem.

RCBoVttDUYgzk1

Przykład 3

Tworząc formy gwiaździste, kreślimy przekątne wielokąta, omijając za każdym razem tę samą liczbę wierzchołków. Inną gwiazdę otrzymamy, gdy będziemy omijać dwa wierzchołki, inną, gdy trzy.

R154fY4DFeieo1

Przykład 4

Zastanówmy się, czy wielokąty foremne są figurami środkowosymetrycznymi. Sprawdzimy to, wykorzystując poniższy aplet.

Przesuwając punkty odpowiednio $P_{1}$ , $P_{2}$ , $\dots$ po bokach wielokątów, obserwujemy zmianę położenia punktów $P_{1} ’$ , $P_{2} ’$ , $\dots$ . Punkty $P_{1} ’$ , $P_{2} ’$ , $\dots$ są obrazami punktów $P_{1}$ , $P_{2}$ , $\dots$ w symetrii środkowej o środkach w punktach $S_{1}$ , $S_{2}$ , $\dots$ odpowiednio.

ReKYfHj8Ck2VW1

Zauważmy, że środek symetrii mają tylko wielokąty foremne o parzystej liczbie wierzchołków.

Ćwiczenie 1

Rkh194mooJxH5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ciekawostka

Większość ciał stałych ma budowę krystaliczną. Charakteryzuje się ona regularnym ułożeniem atomów, które tworzą tzw. siatkę krystaliczną. Bardzo często atomy w krysztale ułożone są w wierzchołkach wielokątów foremnych, a te z kolei tworzą struktury mające kształt brył nazywanych wielościanami foremnymi.

Ćwiczenie 2

R11kBKS2WdsrI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJ0CE8qOC1efu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Skonstruuj kwadrat

o boku długości $4 cm$ ,
którego obwód jest równy $20 cm$ ,
którego przekątna ma długość $4 cm$ .

R1LNBLUBJZiSt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RACE7qAGAWRmR

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Odpowiedz na pytania.

Czy wielokąty foremne są osiowosymetryczne?
Ile osi symetrii ma trójkąt równoboczny?
Ile osi symetrii ma kwadrat? A ile pięciokąt foremny?
Ile osi symetrii ma $n$ – kąt foremny?

Tak
Trójkąt równoboczny ma $3$ osie symetrii.
Kwadrat ma $4$ osie symetrii, pięciokąt foremny – $5$ osi symetrii.
$n$ – kąt foremny ma $n$ osi symetrii.

Ćwiczenie 5

Skonstruuj sześciokąt foremny.
Wykorzystując konstrukcję sześciokąta foremnego, skonstruuj dwunastokąt foremny.

R1bXJtHM4ijQf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Czy na podstawie sześciokąta foremnego można skonstruować dwunastokąt foremny?

RM9r2P2i8AkWL

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJ82sIP5hP55w

Ćwiczenie 7

Bok pewnego sześciokąta foremnego ma długość

6 cm

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby i słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Obwód tego sześciokąta wynosi 1.

42

, 2. najkrótszych, 3.

360

, 4.

36

, 5. sumie długości trzech boków, 6. może, 7.

720

, 8. nie może, 9. najdłuższych, 10. sumie długości dwóch boków

cm

.Każda z przekątnych tego sześciokąta ma długość nie większą od

12 cm

, ponieważ najdłuższa przekątna jest równa 1.

42

, 2. najkrótszych, 3.

360

, 4.

36

, 5. sumie długości trzech boków, 6. może, 7.

720

, 8. nie może, 9. najdłuższych, 10. sumie długości dwóch boków.Suma miar kątów tego sześciokąta wynosi 1.

42

, 2. najkrótszych, 3.

360

, 4.

36

, 5. sumie długości trzech boków, 6. może, 7.

720

, 8. nie może, 9. najdłuższych, 10. sumie długości dwóch boków

°

.Środek okręgu wpisanego w ten sześciokąt znajduje się w punkcie przecięcia 1.

42

, 2. najkrótszych, 3.

360

, 4.

36

, 5. sumie długości trzech boków, 6. może, 7.

720

, 8. nie może, 9. najdłuższych, 10. sumie długości dwóch boków przekątnych.Wielokąt gwiaździsty 1.

42

, 2. najkrótszych, 3.

360

, 4.

36

, 5. sumie długości trzech boków, 6. może, 7.

720

, 8. nie może, 9. najdłuższych, 10. sumie długości dwóch boków być wyznaczony przy użyciu tego sześciokąta.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Rn2olPBoggexb

Określ ile boków mają wielokąty foremne, o podanych miarach kątów wewnętrznych. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wielokąt foremny o kącie wewnętrznym

60 °

ma Tu uzupełnij boki.Wielokąt foremny o kącie wewnętrznym

90 °

ma Tu uzupełnij boki.Wielokąt foremny o kącie wewnętrznym

120 °

ma Tu uzupełnij boków.Wielokąt foremny o kącie wewnętrznym

150 °

ma Tu uzupełnij boków.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przyjrzyj się, w jaki sposób w Przykładzie $1$ obliczono miarę kąta pięciokąta foremnego. Zastosuj tę metodę dla innych wielokątów foremnych.

RBZXBFWV9cxB6

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RaBlEuVM8cyMP

Ćwiczenie 10

Wielokąt, który ma wszystkie boki równe jest wielokątem foremnym.
Wielokąt, który ma wszystkie kąty równe jest wielokątem foremnym.
Czworokąt foremny ma środek symetrii.
Sześciokąt foremny ma środek symetrii.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RmwvJIua3cDAZ

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Narysuj kwadrat. Zaznacz środki jego boków. Połącz zaznaczone punkty tak, aby otrzymać czworokąt. Czy otrzymany czworokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1HLKvC33m0av

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W narysowanym kwadracie zaznaczono środki jego boków i połączono zaznaczone punkty tak, że otrzymano czworokąt. Czy otrzymany czworokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

Ćwiczenie 13

Narysuj kwadrat. Podziel każdy z jego boków na trzy równe części. Połącz punkty podziału tak, aby otrzymać ośmiokąt. Czy otrzymany ośmiokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1Whnq8wMSOsQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W narysowanym kwadracie podzielono każdy z jego boków na trzy równe części i połączono punkty podziału tak, że otrzymano ośmiokąt. Czy otrzymany ośmiokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

RZpvyKhGrmyCj

Ośmiokąt utworzony na podstawie kwadratu. Boki ośmiokąta leżące na bokach kwadratu oznaczono literą b, a pozostałe boki literą a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Nie, otrzymany ośmiokąt nie jest ośmiokątem foremnym, ponieważ nie wszystkie boki tej figury są równej długości. Boki oznaczone literą $a$ są przeciwprostokątnymi trójkątów równoramiennych, więc są dłuższe od boków $b$ .

Ćwiczenie 14

Narysuj trójkąt równoboczny. Zaznacz środki jego boków. Połącz zaznaczone punkty tak, aby otrzymać trójkąt. Czy otrzymany trójkąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1WpDCt0wnQiX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W narysowanym trójkącie równobocznym zaznaczono środki jego boków i połączono je tak, że otrzymano trójkąt. Czy otrzymany trójkąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

RVf2iyMJldqEl

Trójkąt równoboczny, którego środki boków zostały połączone, tworząc obrócony mniejszy trójkąt równoboczny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że trzy trójkąty powstałe po połączeniu ze sobą środków boków trójkąta równobocznego są trójkątami do siebie przystającymi (np. z cechy bok‑kąt‑bok). Ponadto trójkąty te są równoramienne i kąt między ramionami ma miarę $60 °$ , więc są one trójkątami równobocznymi. Stąd mniejszy trójkąt jest trójkątem równobocznym, czyli wielokątem foremnym.

Ćwiczenie 15

Narysuj trójkąt równoboczny. Podziel każdy z jego boków na trzy równe części. Połącz punkty podziału tak, aby otrzymać sześciokąt. Czy otrzymany sześciokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1ZgW5Ozxy1Yn

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W narysowanym trójkącie równobocznym podzielono każdy z jego boków na trzy równe części i połączono punkty podziału tak, że otrzymano sześciokąt. Czy otrzymany sześciokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1VYBC6B8Sp6g

Sześciokąt foremny, utworzony na podstawie trójkąta równobocznego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że trzy trójkąty powstałe po połączeniu ze sobą zaznaczonych punktów są trójkątami do siebie przystającymi (np. z cechy bok‑kąt‑bok). Ponadto trójkąty te są równoramienne i kąt między ramionami ma miarę $60 °$ , więc są one trójkątami równobocznymi. Stąd wszystkie długości boków powstałego sześciokąta są równej długości. Zauważmy także, że wszystkie kąty tego sześciokąta są kątami przystającymi do kąta o mierze $60 °$ . Mają zatem miarę $180 ° - 60 ° = 120 °$ . Stąd otrzymany sześciokąt jest sześciokątem foremnym.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

1. Wielokąty i ich własności

3. Pole trójkąta