3. Pole i obwód koła - podsumowanie - Długość okręgu i pole koła

Rlevgh0mDdufg

3. Pole i obwód koła - podsumowanie

Ile obrotów wykonuje koło rowerowe, jeżeli kolarz ma do pokonania podczas wyścigu Tour de Pologne 2020 trasę $891, 3 km$ ? Którą pizzę wybrać, aby zjeść jak najwięcej, a zapłacić jak najmniej? Po zapoznaniu się z tym materiałem, dotyczącym obliczania pola i obwodu koła, bez problemu odpowiesz na powyższe pytania.

Koło na płaszczyźnie

Przypomnijmy definicję koła na płaszczyźnie.

koło

Definicja: koło

Kołem o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od punktu $O$ są mniejsze lub równe $r$ .

Na poniższym rysunku przedstawiono koło o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ .

R11tz3lbsocPQ

Ilustracja przedstawia koło o środku w punkcie O i o promieniu r. Obszar ograniczony obwodem koła jest zaznaczony kolorem.

Jeżeli przez $r$ oznaczymy długość promienia koła, to obwód $l$ i pole $P$ koła wyrażamy za pomocą wzorów:

RnATQcoxsT6Mc

Ilustracja koło, w którym wykreślono promień r oraz średnicę d. Obok rysunku zapisano dwa wzory. Wzór na obwód koła: l równa się dwa pi razy r. Wzór na pole koła: P równa się pi raz r indeks górny dwa koniec indeksu.

Średnica $d$ koła jest dwa razy większa od długości promienia koła $r$ , więc zachodzi zależność $d = 2 r$ .

Przykład 1

Obliczymy obwód i pole koła, jeżeli jego średnica ma długość $12 cm$ .

Rozwiązanie:

Z treści zadania wiemy, że $d = 12 cm$ .

Ponieważ $d = 2 r$ , zatem do wyznaczenia długości promienia $r$ rozwiązujemy równanie:

$2 r = 12$ , czyli $r = 6 cm$ .

Zatem:

$l = 2 π \cdot 6 cm = 12 π cm$ ,

$P = π \cdot {(6 cm)}^{2} = 36 π {cm}^{2}$ .

Ponieważ $r = \frac{d}{2}$ , zatem obwód i pole koła możemy zapisać za pomocą wzorów:

$l = 2 π \cdot r = 2 π \cdot \frac{d}{2} = π \cdot d$ ,

$P = π \cdot {(\frac{d}{2})}^{2} = π \cdot \frac{d^{2}}{4}$ .

Przykład 2

Obliczymy obwód i pole koła, jeżeli jego średnica ma długość $10 cm$ .

Rozwiązanie:

Z treści zadania wiemy, że $d = 10 cm$ . Otrzymujemy więc:

$l = π \cdot 10 cm = 10 π cm$ ,

$P = π \cdot {(\frac{10}{2} cm)}^{2} = 25 π {cm}^{2}$ .

Przykład 3

Obliczymy:

a) pole koła o obwodzie $30 π$ ,

b) obwód koła o polu $144 π$ .

Rozwiązanie:

Ad a) Z zadania wynika, że $l = 30 π$ .

Zatem $2 π \cdot r = 30 π$ , czyli $r = 15$ .

Obliczamy pole koła:

$P = π \cdot 15^{2} = 225 π$ .

Ad b) Z zadania wynika, że $P = 144 π$ .

Zatem $π \cdot r^{2} = 144 π$ , czyli $r = 12$ .

Obliczamy obwód koła:

$l = 2 π \cdot 12 = 24 π$ .

Przykład 4

Obliczymy obwód „czterolistnej koniczyny” z rysunku.

R168q6eXygOHN

Ilustracja przedstawia kwadrat o bokach równych sześć narysowany linią przerywaną. Wewnątrz kwadratu narysowano figurę w kształcie czterolistnej koniczyny. Jej wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami kwadratu. Każdy z czterech listków składa się z dwóch łuków zwróconych ku sobie. Zaznaczono kolorem wnętrze liści.

Zauważmy, że wystarczy obliczyć obwody dwóch kół.

Z rysunku możemy odczytać, że średnica jednego koła ma długość $6$ , zatem promień ma długość $3$ .

Szukany obwód wynosi:

$l = 2 \cdot 2 π \cdot 3 = 12 π$ .

Przykład 5

Obliczymy, ile pełnych obrotów wykona koło rowerowe o średnicy $28$ cali podczas wyścigu Tour de Pologne na trasie $891, 3 km$ . Do obliczeń przyjmiemy, że $1 cal = 2, 54 cm$ oraz $π = 3, 14$ .

Z zadania wynika, że:

$d = 28 cal = 28 \cdot 2, 54 cm = 71, 12 cm$ .

Zatem obwód koła wynosi:

$l = π \cdot 71, 12 cm = 3, 14 \cdot 71, 12 cm = 223, 3168 cm$ .

Po zamianie długości wyścigu z kilometrów na centymetry, mamy:

$891, 3 km = 89130000 cm$ .

Zatem liczba obrotów, jaką musi wykonać koło rowerowe, wynosi:

$89130000 : 223, 3168 \approx 399120$ .

Na trasie wyścigu koło rowerowe wykona $399120$ pełnych obrotów.

Przykład 6

Wyznaczymy pole pierścienia kołowego z rysunku:

RhGpg6lJUMhRj

Ilustracja przedstawia pierścień, czyli obszar między większym a mniejszym okręgiem, a okręgi te są współśrodkowe. Zaznaczono kolorem obszar pierścienia, czyli obszar wewnątrz dużego okręgu i na zewnątrz małego okręgu. Promień małego okręgu ma długość 2 centymetry, a średnica dużego okręgu ma długość 12 centymetrów.

Do wyznaczenia pola pierścienia kołowego wystarczy obliczyć pole koła o średnicy $12$ , a następnie odjąć od niego pole koła o promieniu $2$ , czyli $P = P_{1} - P_{2}$ .

Wprowadźmy oznaczenia:

$r_{1} = \frac{12}{2} cm = 6 cm$ oraz $r_{2} = 2 cm$ .

Zatem:

$P_{1} = π \cdot 6^{2} = 36 π {cm}^{2}$ ,

$P_{2} = π \cdot 2^{2} = 4 π {cm}^{2}$ .

Pole pierścienia kołowego wynosi:

$P = 36 π {cm}^{2} - 4 π {cm}^{2} = 32 π {cm}^{2}$ .

Przykład 7

Obliczymy, o ile procent zmieni się pole koła, jeżeli jego średnicę wydłużymy o $20 %$ .

Wprowadźmy oznaczenia:

$d_{1}$ – średnica koła przed wydłużeniem,

$P_{1}$ – pole koła o średnicy $d_{1}$ ,

$d_{2}$ – średnica koła po wydłużeniu,

$P_{2}$ – pole koła o średnicy $d_{2}$ .

Zatem:

$d_{2} = 120 % \cdot d_{1} = 1, 2 d_{1}$

$P_{1} = π \cdot {(\frac{d_{1}}{2})}^{2} = \frac{{d_{1}}^{2}}{4} π$

$P_{2} = π \cdot {(\frac{d_{2}}{2})}^{2} = π \cdot {(\frac{1, 2 d_{1}}{2})}^{2} = π \cdot \frac{9}{25} {d_{1}}^{2}$

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{π \cdot \frac{9 {d_{1}}^{2}}{25}}{π \cdot \frac{{d_{1}}^{2}}{4}} = \frac{36}{25} = 144 %$ .

Ponieważ pole $P_{2}$ stanowi $144 %$ pola $P_{1}$ , zatem pole koła po zwiększeniu jego średnicy o $20 %$ zwiększyło się o $44 %$ .

Przykład 8

Który wariant zamówienia pizzy jest bardziej opłacalny?

RgoNXlqpiCfLc

Ilustracja przedstawia dwie pizze z lewej strony większą, z prawej mniejszą.

$I$ : duża pizza o promieniu $50 cm$ za $38 zł$ ,

$II$ : mała pizza o promieniu $25 cm$ za $19 zł$ .

Wprowadźmy oznaczenia:

$r_{1} = 50 cm$ ,

$r_{2} = 25 cm$ .

Zatem

$P_{1} = π \cdot {(50 cm)}^{2} = 2500 π {cm}^{2}$ ,

$P_{2} = π \cdot {(25 cm)}^{2} = 625 π {cm}^{2}$ .

Zauważmy, że $P_{1} = 4 \cdot P_{2}$ , a cena dużej pizzy jest $2$ razy większa od ceny małej pizzy, zatem bardziej opłacalny jest zakup dużej pizzy.

Polecenie 1

Uruchom grę, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

Rozwiąż poniższy test składający się z dwunastu pytań.

R1YHWm4f6yBx1

RA2tgkBrGDCiq1

Polecenie 2

W kwadracie o boku $8$ umieszczono $4$ jednakowe koła, styczne do boków kwadratu, jak na poniższym rysunku.

a) Oblicz pole zacieniowanej części kwadratu.

b) Jaki procent całego pola kwadratu stanowi suma pól tych $4$ kół? Do obliczeń przyjmij, że $π = 3, 14$ .

R1EhgMhIZvB38

Ilustracja przedstawia kwadrat, w którego każdą ćwiartkę wpisano identyczne koło. Zaznaczono obszar kwadratu wycięty przez koła.

Ad a) Wprowadźmy oznaczenia:

$P_{1}$ – pole kwadratu,

$P_{2}$ – pole jednego koła,

$P_{}$ – pole zacieniowanego obszaru.

Zauważmy, że $P = P_{1} - 4 \cdot P_{2}$ .

Zatem:

$P_{1} = 8^{2} = 64$ ,

$P_{2} = π \cdot 2^{2} = 4 π$ ,

$P = 64 - 4 \cdot 4 π = 64 - 16 π$ .

Ad b) Jeżeli przyjmiemy, że $π = 3, 14$ , to:

$4 \cdot P_{2} = 4 \cdot 4 π = 16 \cdot 3, 14 = 50, 24$ .

Zatem

$\frac{4 \cdot P_{2}}{P_{1}} = \frac{50, 24}{64} = 78, 5 %$ .

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Rq7L7puhfToqf

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono pierścień kołowy.

RFx7X4gIbZZkL

Ilustracja przedstawia pierścień. Promień większego koła ma promień o długości 10, a szerokość pierścienia (czyli odległość między brzegami kół) wynosi cztery.

Rug12FwGTEp9Z

Ćwiczenie 3

R1B53rfYpJFnV

Ćwiczenie 4

R1Mey3Or1dMQn

Ćwiczenie 5

R4aGzSXydgdfx

Ćwiczenie 6

Na rysunku dane są $4$ koła. Największe koło ma promień o długości $r$ , a długość promienia każdego następnego koła jest $2$ razy krótsza od długości promienia poprzedniego koła. Wiemy, że suma pól tych kół wynosi $\frac{85}{64} π$ . Wyznacz długość promienia najmniejszego koła.

R1ZRlS1nmE1xU

Ilustracja przedstawia cztery koła osadzone na jednej prostej. Od lewej mamy największe koło, każde kolejne jest coraz mniejsze.

Korzystając z warunków podanych w zadaniu, wprowadźmy następujące oznaczenia:

$r_{1} = r$

$r_{2} = \frac{1}{2} r$

$r_{3} = \frac{1}{4} r$

$r_{4} = \frac{1}{8} r$

Pola tych kół możemy odpowiednio zapisać za pomocą wzorów:

$P_{1} = π \cdot r^{2}$

$P_{2} = π \cdot {(\frac{1}{2} r)}^{2} = \frac{1}{4} π \cdot r^{2}$

$P_{3} = π \cdot {(\frac{1}{4} r)}^{2} = \frac{1}{16} π \cdot r^{2}$

$P_{4} = π \cdot {(\frac{1}{8} r)}^{2} = \frac{1}{64} π \cdot r^{2}$

Zapiszemy równanie na sumę tych pól:

$π \cdot r^{2} + π \cdot \frac{1}{4} r^{2} + π \cdot \frac{1}{16} r^{2} + \frac{1}{64} π \cdot r^{2} = \frac{85}{64} π$

$π \cdot r^{2} \cdot \frac{85}{64} = \frac{85}{64} π$ , więc $r = 1$ .

Promień najmniejszego koła ma długość:

$\frac{1}{8} \cdot r = \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8}$

Ćwiczenie 7

R1tlNTI112Shb

R1HkKLeAHi5eE

Ćwiczenie 8

W pierścieniu kołowym z rysunku, cięciwa większego koła ma długość $12$ i jest styczna do mniejszego koła. Uzasadnij, że pole pierścienia można wyrazić bez użycia długości promieni wyznaczających go kół.

RybKxfHqF0xCP

Ilustracja przedstawia pierścień, w którym wykreślono cięciwę łączącą dwa punktu większego koła. Cięciwa ta ma długość 12 i znajduje się całkowicie wewnątrz pierścienia. Jest styczna do małego koła.

Narysujmy promienie tych kół i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RFm4382pfx3QP

Ilustracja przedstawia pierścień, w którym wykreślono cięciwę większego koła znajdującą się całkowicie wewnątrz pierścienia. Cięciwa ma długość 12 i jest styczna do małego koła. W małym kole poprowadzono promień do punktu styczności z cięciwą i zaznaczono między promieniem a cięciwą kąt prosty. Wykreślono promień dużego koła, który domyka trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne to promień małego koła i połowa cięciwy, a przeciwprostokątna to promień dużego koła.

Wykorzystamy własność, że styczna do koła jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, mamy:

$r^{2} + 6^{2} = R^{2}$ , czyli $36 = R^{2} - r^{2}$ .

Pole $P$ pierścienia kołowego z rysunku obliczymy ze wzoru $P = π \cdot R^{2} - π \cdot r^{2}$ .

Po przekształceniu wyrażenie to zapisujemy w postaci:

$P = π \cdot (R^{2} - r^{2}) = 36 π$ .

Zatem, bez wyznaczania długości promieni, otrzymaliśmy pole pierścienia kołowego z rysunku.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Pole koła, pole pierścienia kołowego

Długość okręgu i pole koła