4. Potęgi i pierwiastki

RUdxUEuScTMF4

W pierwszej części tego materiału przypomnisz sobie najważniejsze prawa działań na potęgach i przećwiczysz je. W drugiej części powtórzysz działania na pierwiastkach.

Potęgi

Iloczyn potęg o tych samych podstawach
Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość: $a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$
R1Z1tjwk482bF
Animacja przedstawia w jaki sposób mnożymy potęgi o takich samych podstawach.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1Z1tjwk482bF
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia w jaki sposób mnożymy potęgi o takich samych podstawach.

Iloraz potęg o tych samych podstawach
Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość: $\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}$
R1HUeWq4VRmFi
Animacja przedstawia w jaki sposób dzielimy potęgi o takich samych podstawach.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1HUeWq4VRmFi
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia w jaki sposób dzielimy potęgi o takich samych podstawach.

Potęga potęgi
Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość: ${(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}$
RDBoa22Rshi5M
Animacja przedstawia w jaki sposób potęgujemy potęgę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/RDBoa22Rshi5M
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia w jaki sposób potęgujemy potęgę.

Iloczyn potęg o tych samych wykładnikach
Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość: $a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}$
RGkqhPYvk1uXR
Animacja przedstawia w jaki sposób potęgujemy iloczyn liczb.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/RGkqhPYvk1uXR
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia w jaki sposób potęgujemy iloczyn liczb.

Iloraz potęg o tych samych wykładnikach
Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość: $\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}$
RS6b7c3hacr1S
Animacja przedstawia w jaki sposób potęgujemy iloraz liczb.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/RS6b7c3hacr1S
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia w jaki sposób potęgujemy iloraz liczb.

R16rIEyQGup65

Ćwiczenie 1

Połącz w pary wyrażenia o tych samych wartościach. Przyjmij, że

a \neq 0

a^{3} \cdot a^{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{3}

, 2.

a^{5} : a^{2}

, 3.

a^{3} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0}

, 5.

a^{7} \cdot a^{4} : a^{10}

, 6.

a \cdot a^{7}

a^{2} \cdot a^{1}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{3}

, 2.

a^{5} : a^{2}

, 3.

a^{3} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0}

, 5.

a^{7} \cdot a^{4} : a^{10}

, 6.

a \cdot a^{7}

a^{8} : a^{5} \cdot a^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{3}

, 2.

a^{5} : a^{2}

, 3.

a^{3} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0}

, 5.

a^{7} \cdot a^{4} : a^{10}

, 6.

a \cdot a^{7}

a^{3} : a^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{3}

, 2.

a^{5} : a^{2}

, 3.

a^{3} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0}

, 5.

a^{7} \cdot a^{4} : a^{10}

, 6.

a \cdot a^{7}

a^{12} : a^{11}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{3}

, 2.

a^{5} : a^{2}

, 3.

a^{3} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0}

, 5.

a^{7} \cdot a^{4} : a^{10}

, 6.

a \cdot a^{7}

a^{8} \cdot a : a^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{3}

, 2.

a^{5} : a^{2}

, 3.

a^{3} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0}

, 5.

a^{7} \cdot a^{4} : a^{10}

, 6.

a \cdot a^{7}

Połącz w pary.

$a^{3} \cdot a^{5}$
$a^{2} \cdot a^{1}$
$a^{8} : a^{5} \cdot a^{2}$
$a^{3} : a^{3}$
$a^{12} : a^{11}$
$a^{8} \cdot a : a^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rub4iVgVkselh

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1dqOPQxNuUjB

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R16DOBYQoFOun

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1YX9vkMOQTDn

Ćwiczenie 5

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie potęgi liczb lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

2^{3} \cdot 4 : 2^{2} =

2^{4}

, 2.

2^{5}

, 3.

5^{0}

, 4.

4^{1}

, 5.

5^{2}

, 6.

3^{2}

, 7.

2^{3}

, 8.

5^{1}

, 9.

4^{2}

, 10.

4^{3}

, 11.

3^{4}

27 :

2^{4}

, 2.

2^{5}

, 3.

5^{0}

, 4.

4^{1}

, 5.

5^{2}

, 6.

3^{2}

, 7.

2^{3}

, 8.

5^{1}

, 9.

4^{2}

, 10.

4^{3}

, 11.

3^{4}

\cdot 3^{5} = 3^{6}

4^{4} :

2^{4}

, 2.

2^{5}

, 3.

5^{0}

, 4.

4^{1}

, 5.

5^{2}

, 6.

3^{2}

, 7.

2^{3}

, 8.

5^{1}

, 9.

4^{2}

, 10.

4^{3}

, 11.

3^{4}

\cdot 16 \cdot 64 = 4^{8}

625 : 5^{2} :

2^{4}

, 2.

2^{5}

, 3.

5^{0}

, 4.

4^{1}

, 5.

5^{2}

, 6.

3^{2}

, 7.

2^{3}

, 8.

5^{1}

, 9.

4^{2}

, 10.

4^{3}

, 11.

3^{4}

: 5^{2} = 1

Przeciągnij i upuść.

$2^{3}$ , $4^{3}$ , $5^{0}$ , $2^{4}$ , $3^{4}$ , $4^{2}$ , $5^{2}$ , $3^{2}$ , $4^{1}$ , $5^{1}$ , $2^{5}$

$2^{3} \cdot 4 : 2^{2} =$ ............
$27 :$ ............ $\cdot 3^{5} = 3^{6}$
$4^{4} :$ ............ $\cdot 16 \cdot 64 = 4^{8}$
$625 : 5^{2} :$ ............ $: 5^{2} = 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKsmKamN8e1tz

Ćwiczenie 6

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wartość wyrażenia

3^{3} - 2^{3}

jest równa 1.

3

, 2.

19

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

72

, 5.

\frac{1}{6}

, 6.

5

, 7.

100

, 8.

36

.Wartość wyrażenia

{(\frac{1}{3})}^{2}

jest równa 1.

3

, 2.

19

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

72

, 5.

\frac{1}{6}

, 6.

5

, 7.

100

, 8.

36

.Wartość wyrażenia

2^{3} \cdot 3^{2}

jest równa 1.

3

, 2.

19

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

72

, 5.

\frac{1}{6}

, 6.

5

, 7.

100

, 8.

36

.Wartość wyrażenia

5^{3} - 5^{2}

jest równa 1.

3

, 2.

19

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

72

, 5.

\frac{1}{6}

, 6.

5

, 7.

100

, 8.

36

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ZOWYZayhYmi

Ćwiczenie 7

Połącz w pary.

$- 4 \cdot 3^{3} \cdot {(- 2)}^{5} \cdot 27$
$32 \cdot 9 \cdot 2^{4} : 3^{0} \cdot {(- 3)}^{4}$
${(- 2)}^{13} : 64 \cdot 3^{3} \cdot (- 9)$
$- 243 \cdot 3^{2} \cdot 1024 : 2 : {(- 2)}^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1COxf5xmBa5r

Ćwiczenie 8

Przedstaw wynik w postaci jednej potęgi. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

2^{3} + 2^{3} =

3^{9}

, 2.

3^{1}

, 3.

2^{20}

, 4.

4^{16}

, 5.

3^{3}

, 6.

4^{4}

, 7.

2^{8}

, 8.

2^{6}

, 9.

4^{5}

, 10.

2^{4}

4^{4} + 4^{4} + 4^{4} + 4^{4} =

3^{9}

, 2.

3^{1}

, 3.

2^{20}

, 4.

4^{16}

, 5.

3^{3}

, 6.

4^{4}

, 7.

2^{8}

, 8.

2^{6}

, 9.

4^{5}

, 10.

2^{4}

2 \cdot (2^{5} + 2^{5} + 2^{5} + 2^{5}) =

3^{9}

, 2.

3^{1}

, 3.

2^{20}

, 4.

4^{16}

, 5.

3^{3}

, 6.

4^{4}

, 7.

2^{8}

, 8.

2^{6}

, 9.

4^{5}

, 10.

2^{4}

(3^{3} + 3^{3} + 3^{3}) : 3 =

3^{9}

, 2.

3^{1}

, 3.

2^{20}

, 4.

4^{16}

, 5.

3^{3}

, 6.

4^{4}

, 7.

2^{8}

, 8.

2^{6}

, 9.

4^{5}

, 10.

2^{4}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ajHkdKCSyVO

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RzPFMTNyXmrlP

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAeHCfDtVhVnd

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

REOVPWY5LzEAM

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1UbqcgiUJ7hR

Ćwiczenie 13

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

{(2^{3})}^{3} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

4^{4} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

{(3^{2})}^{5} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

9^{3} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

8^{3} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

{(9^{1})}^{2} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

{(2^{3})}^{2} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

{(16^{1})}^{2} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

{(4^{2})}^{3} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

RbmqwDZBrjYIm

Oblicz „sprytnie”. Połącz wyrażenie z odpowiednim rozwiązaniem.

{(2, 5)}^{3} \cdot 2^{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 \frac{1}{3}

, 2.

250

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

160

, 5.

9

, 6.

153, 6

{(0, 2)}^{4} \cdot 10^{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 \frac{1}{3}

, 2.

250

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

160

, 5.

9

, 6.

153, 6

{(\frac{1}{3})}^{4} \cdot 3^{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 \frac{1}{3}

, 2.

250

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

160

, 5.

9

, 6.

153, 6

{(\frac{2}{3})}^{4} \cdot {(1, 5)}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 \frac{1}{3}

, 2.

250

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

160

, 5.

9

, 6.

153, 6

12^{2} : 3^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 \frac{1}{3}

, 2.

250

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

160

, 5.

9

, 6.

153, 6

{(2, 4)}^{3} : {(0, 3)}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 \frac{1}{3}

, 2.

250

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

160

, 5.

9

, 6.

153, 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$2, 5^{3} \cdot 2^{4} = 2, 5^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2 = {(2, 5 \cdot 2)}^{3} \cdot 2 = 5^{3} \cdot 2 = 125 \cdot 2 = 250$

Pozostałe podpunkty analogicznie.

R6mcrEvJhN3ky

Ćwiczenie 15

Uprość wyrażenie i oblicz jego wartość liczbową. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

{(3 a^{2})}^{3} : {(\frac{1}{2} a^{2})}^{2}

, dla

a = - 1

Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi 1.

1, 3

, 2.

\frac{12}{51}

, 3.

\frac{14}{41}

, 4.

- 2,5

, 5.

- 0,5

, 6.

108

, 7.

- 1,5

, 8.

112

, 9.

2, 2

, 10.

1, 5

, 11.

107

, 12.

\frac{16}{81}

{(6 x^{2} y^{3})}^{5} : {(6 x^{2} y)}^{4}

, dla

x = - \frac{1}{2}

y = - 1

Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi 1.

1, 3

, 2.

\frac{12}{51}

, 3.

\frac{14}{41}

, 4.

- 2,5

, 5.

- 0,5

, 6.

108

, 7.

- 1,5

, 8.

112

, 9.

2, 2

, 10.

1, 5

, 11.

107

, 12.

\frac{16}{81}

{(\frac{3 a^{2}}{2 b})}^{3} \cdot {(\frac{4 b^{2}}{3 a})}^{2}

, dla

a = - \frac{1}{2}

b = 4

Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi 1.

1, 3

, 2.

\frac{12}{51}

, 3.

\frac{14}{41}

, 4.

- 2,5

, 5.

- 0,5

, 6.

108

, 7.

- 1,5

, 8.

112

, 9.

2, 2

, 10.

1, 5

, 11.

107

, 12.

\frac{16}{81}

[{(2 x^{3} y)}^{6} \cdot {(2 x^{2} y^{5})}^{2}] : [{(x^{2} y)}^{2} \cdot {(4 x^{3} y^{5})}^{2}]

, dla

x = - 1

y = - \frac{1}{3}

Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi 1.

1, 3

, 2.

\frac{12}{51}

, 3.

\frac{14}{41}

, 4.

- 2,5

, 5.

- 0,5

, 6.

108

, 7.

- 1,5

, 8.

112

, 9.

2, 2

, 10.

1, 5

, 11.

107

, 12.

\frac{16}{81}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Uzasadnij, że liczba $2^{16} + 2^{15} + 2^{14}$ jest podzielna przez $7$ .

REtG3Q2Q0f7qw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$2^{14} (2^{2} + 2 + 1) = 2^{14} \cdot 7$

Pierwiastki

Pierwiastkiem drugiego stopnia (kwadratowym) z liczby $a \geq 0$ nazywamy taką nieujemną liczbę b, której druga potęga jest równa a, tzn. $b^{2} = a$ . Pierwiastek drugiego stopnia z liczby a oznaczamy symbolem $\sqrt[]{a}$ . Pierwiastek stopnia drugiego z liczb ujemnych nie istnieje.

Pierwiastkiem trzeciego stopnia (sześciennym) z liczby $a$ nazywamy taką liczbę b, której trzecia potęga jest równa a, tzn. $b^{3} = a$ . Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby a oznaczamy symbolem $\sqrt[3]{a}$ .

Przykład 1

$\sqrt[3]{8} = 2$ , bo $2^{3} = 8$

$\sqrt[4]{256} = 4$ , bo $4^{4} = 256$

Własności pierwiastków – działania na pierwiastkach Niech $a \geq 0$ , $b > 0$ i n będzie dowolną liczbą naturalną dodatnią, wtedy:

${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a$
$\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{a : b} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b}$

Przykład 2

Oblicz $\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}$

W trakcie rozwiązania tego zadania trzeba skorzystać z jednej z własności działań na pierwiastkach. Zastąpimy iloczyn pierwiastków tego samego stopnia pierwiastkiem iloczynu:

$\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144} = \sqrt{12^{2}} = 12$

Ważnym przekształceniem dotyczącym pierwiastków, bardzo często wykorzystywanym, jest wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka.

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$

$\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2 \sqrt{10}$

Zatem, aby wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, należy najpierw liczbę podpierwiastkową przedstawić za pomocą iloczynu takich liczb, żeby z jednej można było wyznaczyć pierwiastek, a pierwiastek drugiej był liczbą niewymierną. Kolejno, korzystając z odpowiedniego twierdzenia, pierwiastek iloczynu zamieniamy na iloczyn pierwiastków i wyznaczamy pierwiastek. W odwrotnej kolejności wykonujemy włączanie czynnika pod znak pierwiastka.

RLERXmIxZhjny

Ćwiczenie 17

R1UdVZS7hFMsE

Ćwiczenie 18

R1VHVnbSDggRz

Ćwiczenie 19

RGWYlXR9NMvHU

Ćwiczenie 20

RKCjafppx5TVk

Ćwiczenie 21

RFwsLr1t4hf7H

Ćwiczenie 22

R1PILIXpp78O2

Ćwiczenie 23

Rulo5HjR3wGze

Ćwiczenie 24

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

3. Wyrażenia algebraiczne

5. Równania