R1b481ewyt5wT
Zdjęcie w sali lekcyjnej. Czwórka dzieci siedzi na krzesłach, a jedna stojąca dziewczynka pokazuje wiszącą na ścianie ilustrację z napisanymi cyframi. W poprzek napis na czarnym tle: Działania pamięciowe na liczbach naturalnych.

Działania pamięciowe na liczbach naturalnych

Źródło: Yan Krukau, domena publiczna. https://www.pexels.com.

5. Pamięciowe mnożenie liczb naturalnych

RMj9teilr1MDE1
Portret Williama Oughtreda autorstwa Wenceslausa Hollara
Źródło: dostępny w internecie Wikimedia Commons, domena publiczna.

Symbol „x” dla mnożenia wprowadził siedemnastowieczny angielski matematyk  William Oughtred (czyt. Łiljam Otred). Obecnie najczęściej mnożenie oznacza się za pomocą kropki.

Materiał zawiera przykłady i ćwiczenia dotyczące mnożenia liczb jednocyfrowych oraz liczb jednocyfrowych przez dwucyfrowe.

Mnożenie jest działaniem zastępującym dodawanie jednakowych składników. Oznacza to, że aby policzyć pewne identyczne elementy, możemy skorzystać z mnożenia.

Rozważmy dla przykładu grupę pięciu osób, z których każda ma dwa zwierzęta domowe. Chcąc policzyć, ile zwierząt łącznie mają wszystkie te osoby, możemy skorzystać z dwóch równoważnych metod.

  • Metoda I : korzystamy z dodawania.
    Każda z pięciu osób ma (1 + 1) = 2 zwierzęta. 
    ( 1 + 1 ) + ( 1 + 1 ) + ( 1 + 1 ) + ( 1 + 1 ) + ( 1 + 1 ) = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

  • Metoda II : korzystamy z mnożenia. Jest pięć osób i każda ma dwa zwierzęta.
    5·2=10

Jak łatwo zauważyć, mnożenie jest uproszczeniem żmudnego dodawania tych samych elementów. Zapoznaj się z poniższymi przykładami, aby lepiej zrozumieć mnożenie.

Przykład 1

Ile jest ciastek?

RohH6VAbHaUOC1
Rysunek tacki z ciastkami z kremem i wiśnią ułożonymi w 3 rzędach po 6 sztuk.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie:

RavmkLptrqyyK1
Animacja przedstawia jak w szybki sposób możemy obliczyć ilość ciastek na stole korzystając z mnożenia.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RavmkLptrqyyK

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia jak w szybki sposób możemy obliczyć ilość ciastek na stole korzystając z mnożenia.

Odpowiedź: Jest 18 ciastek.

Przykład 2

Ile euro zapłacimy za 5 kilogramów winogron?

RcwhGRe2vZOlu1
Rysunek przedstawia pięć tacek z winogronem. Na każdej leży 1 kilogram winogron.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie:

R1N9fqOzKFO8I1
Animacja przedstawia jak przy pomocy mnożenia obliczyć cenę kilku kilogramów produktu, jeżeli znamy cenę jednego kilograma.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1N9fqOzKFO8I

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia jak przy pomocy mnożenia obliczyć cenę kilku kilogramów produktu, jeżeli znamy cenę jednego kilograma.

Odpowiedź: Za 5 kilogramów winogron zapłacimy 10 euro.

Ważne!

Dodawanie jednakowych składników możemy zastąpić mnożeniem.

4+4+4=3·4=12

Czynniki, iloczyn
Definicja: Czynniki, iloczyn

Liczby w mnożeniu mają swoje nazwy.

Ru4M7C57ntYb51
Działanie: 5·6=30. Liczby w mnożeniu to czynniki. Wynik mnożenia to iloczyn.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 1
R1MItAVcaUT0j
Uzupełnij brakujące liczby będące czynnikiem lub iloczynem. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości. 8·1. 34, 2. 5, 3. 2, 4. 45, 5. 6, 6. 3, 7. 56=241. 34, 2. 5, 3. 2, 4. 45, 5. 6, 6. 3, 7. 56·7=355·9=1. 34, 2. 5, 3. 2, 4. 45, 5. 6, 6. 3, 7. 56
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RgGHkZ0UNNg6Y
Wykonaj mnożenie liczb. Wypełnij komórki tabeli, wpisując odpowiednie liczby.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1O5CIjiqpMLn
Ćwiczenie 2
Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości. trzydzieści osiem, razy, zero, równa się 1. sześćdziesiąt siedem, 2. dwa, 3. jeden, 4. pięćdziesiąt pięć, 5. trzydzieści trzy, 6. zero, 7. dwadzieścia trzy, 8. sześćdziesiąt siedem, 9. dwadzieścia trzy, 10. czterdzieści trzy, 11. pięćdziesiąt cztery, 12. trzydzieści trzy, 13. trzydzieści trzy, 14. jeden, 15. pięćdziesiąt pięć, 16. sześćdziesiąt siedem, 17. dwadzieścia trzy, 18. trzydzieści trzy, 19. dwadzieścia trzy, 20. dwanaście, 21. jeden, 22. dwanaście, 23. zero, 24. dwa, 25. trzydzieści dwa, 26. pięćdziesiąt pięć, 27. dwadzieścia trzy, 28. pięćdziesiąt cztery, 29. sto trzydzieści trzy, 30. czterdzieści trzy, 31. dwa, 32. sto trzydzieści trzy, 33. pięćdziesiąt cztery, 34. dwanaście, 35. dwa, 36. czterdzieści trzy, 37. zero, 38. sześćdziesiąt siedem, 39. czterdzieści trzy, 40. sześćdziesiąt siedem, 41. trzydzieści trzy, 42. dwa, 43. pięćdziesiąt pięć, 44. pięćdziesiąt pięć, 45. jeden, 46. zero, 47. zero, 48. jeden, 49. dwanaście, 50. dwanaścieczterdzieści pięć, razy 1. sześćdziesiąt siedem, 2. dwa, 3. jeden, 4. pięćdziesiąt pięć, 5. trzydzieści trzy, 6. zero, 7. dwadzieścia trzy, 8. sześćdziesiąt siedem, 9. dwadzieścia trzy, 10. czterdzieści trzy, 11. pięćdziesiąt cztery, 12. trzydzieści trzy, 13. trzydzieści trzy, 14. jeden, 15. pięćdziesiąt pięć, 16. sześćdziesiąt siedem, 17. dwadzieścia trzy, 18. trzydzieści trzy, 19. dwadzieścia trzy, 20. dwanaście, 21. jeden, 22. dwanaście, 23. zero, 24. dwa, 25. trzydzieści dwa, 26. pięćdziesiąt pięć, 27. dwadzieścia trzy, 28. pięćdziesiąt cztery, 29. sto trzydzieści trzy, 30. czterdzieści trzy, 31. dwa, 32. sto trzydzieści trzy, 33. pięćdziesiąt cztery, 34. dwanaście, 35. dwa, 36. czterdzieści trzy, 37. zero, 38. sześćdziesiąt siedem, 39. czterdzieści trzy, 40. sześćdziesiąt siedem, 41. trzydzieści trzy, 42. dwa, 43. pięćdziesiąt pięć, 44. pięćdziesiąt pięć, 45. jeden, 46. zero, 47. zero, 48. jeden, 49. dwanaście, 50. dwanaście równa się, zeropięćdziesiąt cztery, razy, jeden, równa się 1. sześćdziesiąt siedem, 2. dwa, 3. jeden, 4. pięćdziesiąt pięć, 5. trzydzieści trzy, 6. zero, 7. dwadzieścia trzy, 8. sześćdziesiąt siedem, 9. dwadzieścia trzy, 10. czterdzieści trzy, 11. pięćdziesiąt cztery, 12. trzydzieści trzy, 13. trzydzieści trzy, 14. jeden, 15. pięćdziesiąt pięć, 16. sześćdziesiąt siedem, 17. dwadzieścia trzy, 18. trzydzieści trzy, 19. dwadzieścia trzy, 20. dwanaście, 21. jeden, 22. dwanaście, 23. zero, 24. dwa, 25. trzydzieści dwa, 26. pięćdziesiąt pięć, 27. dwadzieścia trzy, 28. pięćdziesiąt cztery, 29. sto trzydzieści trzy, 30. czterdzieści trzy, 31. dwa, 32. sto trzydzieści trzy, 33. pięćdziesiąt cztery, 34. dwanaście, 35. dwa, 36. czterdzieści trzy, 37. zero, 38. sześćdziesiąt siedem, 39. czterdzieści trzy, 40. sześćdziesiąt siedem, 41. trzydzieści trzy, 42. dwa, 43. pięćdziesiąt pięć, 44. pięćdziesiąt pięć, 45. jeden, 46. zero, 47. zero, 48. jeden, 49. dwanaście, 50. dwanaściesiedemnaście, razy 1. sześćdziesiąt siedem, 2. dwa, 3. jeden, 4. pięćdziesiąt pięć, 5. trzydzieści trzy, 6. zero, 7. dwadzieścia trzy, 8. sześćdziesiąt siedem, 9. dwadzieścia trzy, 10. czterdzieści trzy, 11. pięćdziesiąt cztery, 12. trzydzieści trzy, 13. trzydzieści trzy, 14. jeden, 15. pięćdziesiąt pięć, 16. sześćdziesiąt siedem, 17. dwadzieścia trzy, 18. trzydzieści trzy, 19. dwadzieścia trzy, 20. dwanaście, 21. jeden, 22. dwanaście, 23. zero, 24. dwa, 25. trzydzieści dwa, 26. pięćdziesiąt pięć, 27. dwadzieścia trzy, 28. pięćdziesiąt cztery, 29. sto trzydzieści trzy, 30. czterdzieści trzy, 31. dwa, 32. sto trzydzieści trzy, 33. pięćdziesiąt cztery, 34. dwanaście, 35. dwa, 36. czterdzieści trzy, 37. zero, 38. sześćdziesiąt siedem, 39. czterdzieści trzy, 40. sześćdziesiąt siedem, 41. trzydzieści trzy, 42. dwa, 43. pięćdziesiąt pięć, 44. pięćdziesiąt pięć, 45. jeden, 46. zero, 47. zero, 48. jeden, 49. dwanaście, 50. dwanaście równa się, siedemnaście1. sześćdziesiąt siedem, 2. dwa, 3. jeden, 4. pięćdziesiąt pięć, 5. trzydzieści trzy, 6. zero, 7. dwadzieścia trzy, 8. sześćdziesiąt siedem, 9. dwadzieścia trzy, 10. czterdzieści trzy, 11. pięćdziesiąt cztery, 12. trzydzieści trzy, 13. trzydzieści trzy, 14. jeden, 15. pięćdziesiąt pięć, 16. sześćdziesiąt siedem, 17. dwadzieścia trzy, 18. trzydzieści trzy, 19. dwadzieścia trzy, 20. dwanaście, 21. jeden, 22. dwanaście, 23. zero, 24. dwa, 25. trzydzieści dwa, 26. pięćdziesiąt pięć, 27. dwadzieścia trzy, 28. pięćdziesiąt cztery, 29. sto trzydzieści trzy, 30. czterdzieści trzy, 31. dwa, 32. sto trzydzieści trzy, 33. pięćdziesiąt cztery, 34. dwanaście, 35. dwa, 36. czterdzieści trzy, 37. zero, 38. sześćdziesiąt siedem, 39. czterdzieści trzy, 40. sześćdziesiąt siedem, 41. trzydzieści trzy, 42. dwa, 43. pięćdziesiąt pięć, 44. pięćdziesiąt pięć, 45. jeden, 46. zero, 47. zero, 48. jeden, 49. dwanaście, 50. dwanaście razy, jeden, równa się, trzydzieści dwa
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!

  • Jeżeli jeden z czynników jest równy zero, to iloczyn jest równy zero.

15·0=0

  • Jeżeli jeden z czynników jest równy jeden, to iloczyn jest równy drugiemu czynnikowi.

30·1=30

R11PYDb9e2eWd
Ćwiczenie 3
Oblicz iloczyny liczb i wpisz odpowiednie wartości w puste pola. Iloczynem liczb dwa i trzynaście jest Tu uzupełnij. Iloczynem liczb cztery, sześć i dwa jest Tu uzupełnij. Iloczynem liczb pięć, trzy i dwa jest Tu uzupełnij. Iloczynem liczb trzy, trzy, osiem, cztery i zero jest Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RA5JZCtyyMq7i
Ćwiczenie 4
Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości. 11·1=1. 74, 2. 54, 3. 84, 4. 12, 5. 22, 6. 36, 7. 64, 8. 1112·3=1. 74, 2. 54, 3. 84, 4. 12, 5. 22, 6. 36, 7. 64, 8. 114·16=1. 74, 2. 54, 3. 84, 4. 12, 5. 22, 6. 36, 7. 64, 8. 113·18=1. 74, 2. 54, 3. 84, 4. 12, 5. 22, 6. 36, 7. 64, 8. 114·21=1. 74, 2. 54, 3. 84, 4. 12, 5. 22, 6. 36, 7. 64, 8. 11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykonując mnożenie, warto dobrze znać tabliczkę mnożenia. Sprawdź, jak sobie z nią radzisz.

Zobacz, jak można mnożyć na palcach niektóre liczby.

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą animacją , pokazującą mnożenie na palcach  przez 9.

RkuipJg5KNpil1
Animacja o mnożeniu pamięciowym liczb naturalnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RkuipJg5KNpil

Pamieciowe mnozenie liczb naturalnych_atrapa_anim_mnozenie_na_palcach_przez9
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja o mnożeniu pamięciowym liczb naturalnych.

Polecenie 2

Zapoznaj się z poniższą animacją pokazującą sposób  mnożenia na palcach  liczb większych od 5.

R7c8lvOJkE3tn1
Animacja o mnożeniu pamięciowym liczb naturalnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R7c8lvOJkE3tn

Pamieciowe mnozenie liczb naturalnych_atrapa_anim_mnoz_na_palcahc_liczb_wiekszych5
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja o mnożeniu pamięciowym liczb naturalnych.

R1QIY1fxdoDPd
Ćwiczenie 5
Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości. 5· 1. 2, 2. 7, 3. 13, 4. 3, 5. 5, 6. 12·8=801. 2, 2. 7, 3. 13, 4. 3, 5. 5, 6. 12·2·3=782·9·1. 2, 2. 7, 3. 13, 4. 3, 5. 5, 6. 12=90
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RBagoOD5PkdzF
Ćwiczenie 6
Uzupełnij puste pola odpowiednimi liczbami całkowitymi, aby uzyskać prawidłowe wyniki. 6·Tu uzupełnij=36 6·8=Tu uzupełnij 8·8=Tu uzupełnij 3·Tu uzupełnij=21 7·9=Tu uzupełnij 7·7=Tu uzupełnij 2·Tu uzupełnij=16 4·Tu uzupełnij=40 9·9=Tu uzupełnij 5·5=Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W sprawnym mnożeniu liczb w pamięci pomagają nam własności tego działania.

RScmAgworXB901
Animacja przedstawiająca, że mnożenie jest działaniem przemiennym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RScmAgworXB90

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawiająca, że mnożenie jest działaniem przemiennym.

Przemienność mnożenia
Własność: Przemienność mnożenia

W mnożeniu możemy zamienić kolejność czynników, a wynik nie ulegnie zmianie.

Mówimy, że mnożenie jest przemienne.

6·3=3·6

R1O1pO9hebrfV1
Animacja przedstawiająca, że mnożenie jest działaniem łącznym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1O1pO9hebrfV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawiająca, że mnożenie jest działaniem łącznym.

Łączność mnożenia
Własność: Łączność mnożenia

Wykonując mnożenie kilku liczb, można dowolnie łączyć dwa sąsiadujące czynniki, a iloczyn nie ulegnie zmianie. Mówimy, że mnożenie jest łączne.

3·2·5=3·2·5

RsdV89lfBhA8h
Ćwiczenie 7
Oblicz, korzystając z łączności i przemienności mnożenia. Wpisz rozwiązania w puste pola. 5·3·2=Tu uzupełnij 8·2·5=Tu uzupełnij3·4·5=Tu uzupełnij 5·7·2=Tu uzupełnij 4·10·2=Tu uzupełnij 6·3·5=Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z poniższymi filmami, aby poznać dwie metody mnożenia liczby dwucyfrowej  przez liczbę jednocyfrową, a następnie samodzielnie wykonaj umieszczone poniżej ćwiczenia.

Polecenie 3

Przyjrzyj się różnym sposobom mnożenia dowolnej liczby dwucyfrowej przez jednocyfrową.

Metoda I

Obliczmy 16·4.

R10mOVceHnyes1
Animacja przedstawia jedną z metod mnożenia liczby dwucyfrowej przez jednocyfrową.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 2.5.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R10mOVceHnyes

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 2.5.

Animacja przedstawia jedną z metod mnożenia liczby dwucyfrowej przez jednocyfrową.

  • Metoda II

Obliczmy 19·4.

RWvsMM6sF1z4V1
Animacja przedstawia drugą metodę mnożenia liczby dwucyfrowej przez jednocyfrową.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RWvsMM6sF1z4V

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia drugą metodę mnożenia liczby dwucyfrowej przez jednocyfrową.

RSRUT5L3NhPj3
Ćwiczenie 8
Oblicz działania dwiema metodami według wzoru i uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby. Metoda I : 28·3=20·3+8·3=60+24=84  Metoda II : 28·3=30·3-2·3=90-6=84 4·13 = Tu uzupełnij 6·17 = Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R121E3Gk4kTTk
Ćwiczenie 9
Oblicz działania wybraną metodą i uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby. 13·7= Tu uzupełnij 6·15= Tu uzupełnij 18·4= Tu uzupełnij 3·29= Tu uzupełnij 49·2= Tu uzupełnij 32·3= Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1PxR1zaUgtPL
Ćwiczenie 10
Oceń, czy poniższe zdania są prawdziwe czy fałszywe. Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Iloczyn dowolnej liczby i liczby 1 jest równy 1 , 2. Wynik mnożenia to iloczyn, 3. Sumę jednakowych składników można zastąpić mnożeniem, 4. Iloczyn dowolnej liczby i liczby 0 jest równy 0 , 5. Jeżeli zmienimy kolejność czynników, to wynik ulegnie zmianie, 6. W mnożeniu można łączyć czynniki w dowolny sposób, a wynik się nie zmieni

  • Iloczyn dowolnej liczby i liczby 1 jest równy 1 .
  • Wynik mnożenia to iloczyn.
  • Sumę jednakowych składników można zastąpić mnożeniem.
  • Iloczyn dowolnej liczby i liczby 0 jest równy 0 .
  • Jeżeli zmienimy kolejność czynników, to wynik ulegnie zmianie.
  • W mnożeniu można łączyć czynniki w dowolny sposób, a wynik się nie zmieni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
4. Porównywanie różnicowe
6. Kwadraty i sześciany liczb naturalnych