2. Porównywanie liczb dodatnich

ROiSfY4VFCrgL

W życiu codziennym ważną umiejętnością jest porównywanie wielkości. Porównujemy na przykład ceny w sklepach, wzrost ludzi, odległości między miastami. Porównywanie sprowadza się do odpowiedzi na pytanie: Która z liczb wyrażających daną wielkość jest mniejsza, a która większa?

RaUZcc2NY4BVo1

Rysunek dwóch kotów, dwóch motyli, dwóch drzew i dwóch budynków. Obiekty są różnych rozmiarów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Analizując przykłady i rozwiązując ćwiczenia zawarte w tym materiale, będzie okazja do utrwalenia i rozwijania umiejętności dotyczących porównywania liczb wymiernych.

Przykład 1

Porównać dwie liczby to wskazać, która z nich jest większa (lub mniejsza), albo stwierdzić, że obie są równe.

R1Bzl2jxhtGj91

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

W tabeli zapisano w kolejności malejącej liczby mieszkańców wybranych stolic europejskich. Z zestawienia wynika, że najwięcej ludzi mieszka w Moskwie.

Lp.	Nazwa stolicy	Liczba ludności
$1$	Moskwa	$10470, 318 tys .$
$2$	Londyn	$7556, 9 tys .$
$3$	Madryt	$3573, 729 tys .$
$4$	Berlin	$3405, 483 tys .$
$5$	Kijów	$2744, 384 tys .$
6	Rzym	$2724, 347 tys .$
$7$	Paryż	$2153, 6 tys .$
$8$	Bukareszt	$1930, 39 tys .$
$9$	Mińsk	$1828, 9 tys .$
$10$	Warszawa	$1716, 854 tys .$
$11$	Budapeszt	$1698, 106 tys .$
$12$	Wiedeń	$1680, 447 tys .$

Przykład 3

Aby zbadać, która z dwóch liczb jest większa, można zastosować odejmowanie (porównywanie różnicowe) lub dzielenie (porównywanie ilorazowe).

RVmjAouKRUau31

Przykład 4

Jeśli chcemy porównać dwie wielkości mianowane, trzeba zwrócić uwagę, aby były zapisane za pomocą tej samej jednostki. W rozważanym przypadku w kilometrach kwadratowych.

RboujPOkKtxjn1

Przykład 5

Najkrótszym dystansem na zawodach lekkoatletycznych na otwartym stadionie jest bieg na $100$ metrów, nazywany klasycznym biegiem sprinterskim. Rekordzistów świata na tym dystansie nazywa się często najszybszymi mężczyznami lub najszybszymi kobietami świata.
Według danych na dzień $19.07.2023$ roku najszybciej ten dystans pokonali:

Usain Bolt – $9, 58 s$ (Jamajka)
Tyson Gay – $9, 69 s$ (USA)
Yohan Blake – $9, 69 s$ (Jamajka)
Asafa Powell – $9, 72 s$ (Jamajka)
Justin Gatlin – $9, 74 s$ (USA).

Z powyższego zestawienia wynika, że rekordzistą świata w biegu na $100$ metrów jeszcze w lipcu $2023 r .$ był Usain Bolt.

Ważne!

Porównywanie ułamków dziesiętnych zaczynamy od porównania cyfr występujących w ich najwyższych rzędach. Jeżeli cyfry występujące w rzędach całkowitych są równe, należy porównywać cyfry w rzędach części dziesiątych, setnych, tysięcznych itd., aż do rzędu, w którym w jednym z ułamków pojawi się cyfra większa niż w drugim.

RMzpLddN9qiII1

Ważne!

Jeżeli dwa ułamki zwykłe mają ten sam mianownik, to większy jest ten ułamek, który ma większy licznik.

RulYa5hNFrQQj1

Przykład 6

Który z podanych ułamków zwykłych jest większy: $\frac{2}{7}$ czy $\frac{3}{7}$ ?

R11d40TN7AqHc1

Rysunek dwóch osi liczbowych z zaznaczonymi punktami 0 i 1. Odcinek jednostkowy podzielony na 7 równych części. Na pierwszej osi zaznaczony punkt dwie siódme. Na drugiej osi zaznaczony punkt trzy siódme. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ $3 > 2$ , to $\frac{3}{7} > \frac{2}{7}$ .

Ważne!

Jeżeli dwa ułamki zwykłe mają ten sam licznik, to większy jest ten ułamek, który ma mniejszy mianownik.

R1WHaU2zuQYxe1

Przykład 7

Który z podanych ułamków zwykłych jest większy: $\frac{1}{5}$ czy $\frac{1}{8}$ ?

RwaO5uTyW2WUY1

Rysunek dwóch osi liczbowych z zaznaczonymi punktami 0 i 1. Na pierwszej osi odcinek jednostkowy podzielony na 5 równych części. Zaznaczony punkt jedna piąta. Na drugiej osi odcinek jednostkowy podzielony na 8 równych części. Zaznaczony punkt jedna ósma. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ $5 < 8$ , to $\frac{1}{5} > \frac{1}{8}$ .

Przykład 8

Z okazji rozpoczynających się wakacji Ania i Basia wybrały się do nowo otwartej pizzerii. Dziewczynki zamówiły dwie małe pizze z pieczarkami, po jednej dla każdej z nich. Ania zjadła $\frac{4}{7}$ swojej pizzy, natomiast Basia $\frac{2}{3}$ . Która z nich zjadła większą część pizzy?
Po sprowadzeniu odpowiednich ułamków do wspólnego mianownika, otrzymujemy

$\frac{4}{7} = \frac{12}{21}$

$\frac{2}{3} = \frac{14}{21}$

Ponieważ

$\frac{12}{21} < \frac{14}{21}$

$\frac{4}{7} < \frac{2}{3}$

Większą część pizzy zjadła Basia.

Przykład 9

Który z podanych ułamków jest większy: $\frac{3}{5}$ czy $\frac{2}{3}$ ? Porównany ułamki, korzystając z osi liczbowej.

R1CDyLQttmeOC1

$\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$

Zapamiętaj!

Jeżeli dwa ułamki zwykłe mają różne liczniki i mianowniki, to należy sprowadzić je do wspólnego licznika lub mianownika, i dopiero wtedy porównać.

RPx6CwwlFu0nP

Ćwiczenie 1

Dostępne opcje do wyboru:

10

202

100

500

1000

111,

100

198

101

99

20

. Polecenie: Wskazane liczby porównaj ilorazowo. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Najmniejsza liczba dwucyfrowa to luka do uzupełnienia .
Najmniejsza liczba czterocyfrowa to luka do uzupełnienia .
Najmniejsza liczba czterocyfrowa jest luka do uzupełnienia razy większa od najmniejszej liczby dwucyfrowej.Najmniejsza liczba trzycyfrowa nieparzysta to luka do uzupełnienia .
Liczba dwa razy od niej większa wynosi luka do uzupełnienia .Najmniejsza liczba trzycyfrowa to luka do uzupełnienia .
Liczba pięć razy od niej mniejsza wynosi luka do uzupełnienia . Największa liczba dwucyfrowa to luka do uzupełnienia .
Liczba dwa razy od niej większa wynosi luka do uzupełnienia .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0, licencja: CC BY 3.0.

RNywIGVyW0rua

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RTQNacpVaHbhl

Ćwiczenie 3

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Największa spośród liczb:

255678

254876

254987

255768

to 1.

97

, 2.

255768

, 3.

2500

, 4.

10110

, 5.

4200

, 6.

365

, 7.

98

, 8.

255678

, 9.

5000

, 10.

410

, 11.

10101

, 12.

4300

.Liczba o

50

większa od

360

to 1.

97

, 2.

255768

, 3.

2500

, 4.

10110

, 5.

4200

, 6.

365

, 7.

98

, 8.

255678

, 9.

5000

, 10.

410

, 11.

10101

, 12.

4300

.Liczba o

4400

mniejsza od

9400

to 1.

97

, 2.

255768

, 3.

2500

, 4.

10110

, 5.

4200

, 6.

365

, 7.

98

, 8.

255678

, 9.

5000

, 10.

410

, 11.

10101

, 12.

4300

.Która z liczb jest mniejsza:

98

czy liczba o

15

mniejsza od

112

? 1.

97

, 2.

255768

, 3.

2500

, 4.

10110

, 5.

4200

, 6.

365

, 7.

98

, 8.

255678

, 9.

5000

, 10.

410

, 11.

10101

, 12.

4300

.Trzy tysiące zmniejszone o

5

setek daje liczbę 1.

97

, 2.

255768

, 3.

2500

, 4.

10110

, 5.

4200

, 6.

365

, 7.

98

, 8.

255678

, 9.

5000

, 10.

410

, 11.

10101

, 12.

4300

.Która z liczb jest większa: liczba

20

razy większa od

210

czy liczba

20

razy mniejsza od

86000

? 1.

97

, 2.

255768

, 3.

2500

, 4.

10110

, 5.

4200

, 6.

365

, 7.

98

, 8.

255678

, 9.

5000

, 10.

410

, 11.

10101

, 12.

4300

.Która z liczb jest mniejsza:

10101

czy

10110

? 1.

97

, 2.

255768

, 3.

2500

, 4.

10110

, 5.

4200

, 6.

365

, 7.

98

, 8.

255678

, 9.

5000

, 10.

410

, 11.

10101

, 12.

4300

Przeciągnij i upuść.

5 000, 97, 10 110, 255 768, 4 200, 4 300, 98, 365, 255 678, 410, 10 101, 2 500

a) Największa spośród liczb: 255 678, 254 876, 254 987, 255 768 to ...............
b) Liczba o 50 większa od 360 to ...............
c) Liczba o 4 400 mniejsza od 9 400 to ...............
d) Która z liczb jest mniejsza: 98 czy liczba o 15 mniejsza od 112? ..............
e) Trzy tysiące zmniejszone o 5 setek daje liczbę ...............
f) Która z liczb jest większa: liczba 20 razy większa od 210 czy liczba 20 razy mniejsza od 86 000? ..............
g) Która z liczb jest mniejsza: 10 101 czy 10 110? ...............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Tabela przedstawia dane dotyczące rekordów świata w pływaniu na $50$ metrów kobiet i mężczyzn. ( źródło Wikipedia)

Styl	Kobiety	Mężczyźni
Styl grzbietowy	$26, 98 s$ $(2018 r .)$	$23, 80 s$ $(2021 r .)$
Styl klasyczny	$29, 30 s$ $(2021 r .)$	$25, 95 s$ $(2017 r .)$
Styl motylkowy	$24, 43 s$ $(2014 r .)$	$22, 27 s$ $(2018 r .)$
Styl dowolny	$23, 67 s$ $(2017 r .)$	$20, 91 s$ $(2009 r .)$

RCVASuPw9d5nT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyxTK41eKtok7

Ćwiczenie 5

Porównaj liczby. Wstaw jeden ze znaków: mniejszy niż, większy niż lub równa się w puste pole. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakujący znak dla każdego przypadku. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka 1. większy niż, 2. równa się, 3. większy niż, 4. równa się, 5. mniejszy niż, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. równa się, 9. równa się, 10. mniejszy niż, 11. większy niż, 12. równa się, 13. mniejszy niż, 14. równa się, 15. większy niż, 16. mniejszy niż, 17. mniejszy niż początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka jeden początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka 1. większy niż, 2. równa się, 3. większy niż, 4. równa się, 5. mniejszy niż, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. równa się, 9. równa się, 10. mniejszy niż, 11. większy niż, 12. równa się, 13. mniejszy niż, 14. równa się, 15. większy niż, 16. mniejszy niż, 17. mniejszy niż jeden początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka początek ułamka, dwa, mianownik, sześć, koniec ułamka 1. większy niż, 2. równa się, 3. większy niż, 4. równa się, 5. mniejszy niż, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. równa się, 9. równa się, 10. mniejszy niż, 11. większy niż, 12. równa się, 13. mniejszy niż, 14. równa się, 15. większy niż, 16. mniejszy niż, 17. mniejszy niż początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka trzy początek ułamka, jedenaście, mianownik, dwadzieścia trzy, koniec ułamka 1. większy niż, 2. równa się, 3. większy niż, 4. równa się, 5. mniejszy niż, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. równa się, 9. równa się, 10. mniejszy niż, 11. większy niż, 12. równa się, 13. mniejszy niż, 14. równa się, 15. większy niż, 16. mniejszy niż, 17. mniejszy niż trzy początek ułamka, jedenaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka początek ułamka, siedem, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka 1. większy niż, 2. równa się, 3. większy niż, 4. równa się, 5. mniejszy niż, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. równa się, 9. równa się, 10. mniejszy niż, 11. większy niż, 12. równa się, 13. mniejszy niż, 14. równa się, 15. większy niż, 16. mniejszy niż, 17. mniejszy niż początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka 1. większy niż, 2. równa się, 3. większy niż, 4. równa się, 5. mniejszy niż, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. równa się, 9. równa się, 10. mniejszy niż, 11. większy niż, 12. równa się, 13. mniejszy niż, 14. równa się, 15. większy niż, 16. mniejszy niż, 17. mniejszy niż początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka sześć początek ułamka, pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka 1. większy niż, 2. równa się, 3. większy niż, 4. równa się, 5. mniejszy niż, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. równa się, 9. równa się, 10. mniejszy niż, 11. większy niż, 12. równa się, 13. mniejszy niż, 14. równa się, 15. większy niż, 16. mniejszy niż, 17. mniejszy niż sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka dwa początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka 1. większy niż, 2. równa się, 3. większy niż, 4. równa się, 5. mniejszy niż, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. równa się, 9. równa się, 10. mniejszy niż, 11. większy niż, 12. równa się, 13. mniejszy niż, 14. równa się, 15. większy niż, 16. mniejszy niż, 17. mniejszy niż dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka 1. większy niż, 2. równa się, 3. większy niż, 4. równa się, 5. mniejszy niż, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. równa się, 9. równa się, 10. mniejszy niż, 11. większy niż, 12. równa się, 13. mniejszy niż, 14. równa się, 15. większy niż, 16. mniejszy niż, 17. mniejszy niż zero przecinek cztery początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka 1. większy niż, 2. równa się, 3. większy niż, 4. równa się, 5. mniejszy niż, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. równa się, 9. równa się, 10. mniejszy niż, 11. większy niż, 12. równa się, 13. mniejszy niż, 14. równa się, 15. większy niż, 16. mniejszy niż, 17. mniejszy niż zero przecinek trzy sześć przecinek osiem dziewięć 1. większy niż, 2. równa się, 3. większy niż, 4. równa się, 5. mniejszy niż, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. równa się, 9. równa się, 10. mniejszy niż, 11. większy niż, 12. równa się, 13. mniejszy niż, 14. równa się, 15. większy niż, 16. mniejszy niż, 17. mniejszy niż sześć przecinek dziewięć dziewięć przecinek zero dwa trzy 1. większy niż, 2. równa się, 3. większy niż, 4. równa się, 5. mniejszy niż, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. równa się, 9. równa się, 10. mniejszy niż, 11. większy niż, 12. równa się, 13. mniejszy niż, 14. równa się, 15. większy niż, 16. mniejszy niż, 17. mniejszy niż dziewięć przecinek zero dwa dwa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1AraJSmZfndi

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Ustaw ułamki w kolejności rosnącej.

RcKItBYPlsto8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RshpL6pcfYVwf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1EQDtgHV0uVT

Ćwiczenie 8

Uporządkuj liczby rosnąco.

$0, 32$
$0, 31$
$0, 201$
$0, 23$
$0, 321$
$0, 231$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1dZiGByi0eIt

Ćwiczenie 9

Uporządkuj liczby rosnąco.

$1 \frac{11}{25}$
$1, 625$
$1, 3$
$1 \frac{6}{8}$
$1 \frac{1}{4}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1VMMY89JpQar

Ćwiczenie 10

Wstaw ułamek tak, aby spełniona była nierówność. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej nierówności. początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, mniejszy niż 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka mniejszy niż, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka początek ułamka, trzy, mianownik, sześć, koniec ułamka, mniejszy niż 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka mniejszy niż, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, mniejszy niż 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka mniejszy niż, początek ułamka, cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka początek ułamka, trzy, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, mniejszy niż 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka mniejszy niż, początek ułamka, cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, mniejszy niż 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka mniejszy niż, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, mniejszy niż 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka mniejszy niż, początek ułamka, dwa, mianownik, osiem, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RLGPjPl6WFxGW

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCzDRiiT7SBwp

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ROZ6ME8ez5E

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8F72KUsOzOOy

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16luWO1KWYuu

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7945t2yxMubb

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Dopasuj litery do odpowiednich ułamków: $\frac{3}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{5}$ .

RUVahQYMrQTa81

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi punktami 0 i 1. Odcinek jednostkowy podzielony jest na 5 równych części. Między punktami 0 i 1 zaznaczone są następujące punkty, między punktem 0 i pierwszą podziałką zaznaczony jest punkt A, na drugiej podziałce zaznaczony jest punkt B, między drugą i trzecią podziałką zaznaczony jest punkt C, między trzecią i czwartą podziałką zaznaczony jest punkt D. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1THArpUM7J1V

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Dopasuj litery do odpowiednich liczb: $3, 3$ ; $3, 25$ ; $3, 6$ ; $3, 5$ ; $3, 255$ .

Rpqw5PP0i6Ngt1

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi punktami 3 i 4. Odcinek jednostkowy podzielony na 9 równych części. Między punktami 3 i 4 zaznaczone punkty A, B, C, D, E. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RueXDYeC6nqyC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą grafiką, przedstawiającą podział administracyjny Polski oraz wykonaj wszystkie etapy tego zadania.

R13WDFBmFYphm1

Mapa administracyjna Polski. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Etap $1$

RzQILLO1mfdOa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Etap $2$

W poniższej tabeli podano, jaką część powierzchni Polski stanowi pięć województw.

Nazwa województwa	Część powierzchni Polski, jaką w przybliżeniu stanowi to województwo
dolnośląskie	$\frac{5}{78}$
łódzkie	$\frac{3}{52}$
małopolskie	$\frac{5}{104}$
mazowieckie	$\frac{3}{26}$
wielkopolskie	$\frac{5}{52}$

RtAIK1OwzRmrS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Etap $3$

R1cuUU7JQZ99E

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

Widomo, że powierzchnia Polski wynosi około $312 000 {km}^{2}$ . Poniżej podano powierzchnię pięciu wybranych województw:

małopolskie – $15 000 {km}^{2}$ ,
łódzkie – $18 000 {km}^{2}$ ,
dolnośląskie – $20 000 {km}^{2}$ ,
wielkopolskie – $30 000 {km}^{2}$ ,
mazowieckie – $36 000 {km}^{2}$ .

R18dtcmtDFOpB

Połącz w pary nazwy województw z ułamkami określającymi jaką stanowią część powierzchni Polski. łódzkie Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, pięćdziesiąt dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, sto cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pięć, mianownik, siedemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt dwa, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia sześć, koniec ułamka małopolskie Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, pięćdziesiąt dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, sto cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pięć, mianownik, siedemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt dwa, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia sześć, koniec ułamka dolnośląskie Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, pięćdziesiąt dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, sto cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pięć, mianownik, siedemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt dwa, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia sześć, koniec ułamka mazowieckie Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, pięćdziesiąt dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, sto cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pięć, mianownik, siedemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt dwa, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia sześć, koniec ułamka wielkopolskie Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pięć, mianownik, pięćdziesiąt dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, sto cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pięć, mianownik, siedemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt dwa, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia sześć, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

Uzupełnij podpisy na ilustracji wpisując taką liczbę naturalną, aby spełniona była podana nierówność, a wstawienie liczby o $1$ mniejszej spowoduje zmianę znaku nierówności.

R1TbCQObimM0p

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uzupełnij tekst wpisując taką liczbę naturalną w miejsce kropek, aby spełniona była podana nierówność, a wstawienie liczby o $1$ mniejszej spowoduje zmianę znaku nierówności.

RmZ1bRI1UXSI4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 21

Uzupełnij podpisy na ilustracji wpisując taką liczbę naturalną, aby spełniona była podana nierówność, a wstawienie liczby o $1$ większej spowoduje zmianę znaku nierówności.

RTMCAoyeTTRsi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uzupełnij tekst wpisując taką liczbę naturalną w miejsce kropek, aby spełniona była podana nierówność, a wstawienie liczby o $1$ większej spowoduje zmianę znaku nierówności.

R1FVtHusdPyfo

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 22

R1FhkwgvupLXN

Wybierz liczby, które są większe od początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka i mniejsze od początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka. Dopasuj podane liczby do odpowiedniej grupy, przeciągając je lub wybierz poprawne odpowiedzi z listy rozwijalnej. Liczby spełniające warunki zadania. Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwieście dwadzieścia, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwieście siedemnaście, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwieście piętnaście, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwieście czternaście, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwieście dwadzieścia jeden, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwieście trzynaście, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwieście dwadzieścia trzy, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwieście szesnaście, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 9. początek ułamka, dwieście osiemnaście, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwieście dziewiętnaście, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 11. początek ułamka, dwieście dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 12. początek ułamka, dwieście dwadzieścia sześć, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 13. początek ułamka, dwieście dwadzieścia dwa, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 14. początek ułamka, dwieście dwadzieścia cztery, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka Liczby które nie spełniają warunków zadania. Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwieście dwadzieścia, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwieście siedemnaście, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwieście piętnaście, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwieście czternaście, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwieście dwadzieścia jeden, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwieście trzynaście, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwieście dwadzieścia trzy, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwieście szesnaście, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 9. początek ułamka, dwieście osiemnaście, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwieście dziewiętnaście, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 11. początek ułamka, dwieście dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 12. początek ułamka, dwieście dwadzieścia sześć, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 13. początek ułamka, dwieście dwadzieścia dwa, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka, 14. początek ułamka, dwieście dwadzieścia cztery, mianownik, dwieście osiemdziesiąt osiem, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że wszystkie rozważane ułamki mają mianownik równy $288$ . Rozszerz ułamki $\frac{3}{4}$ i $\frac{7}{9}$ tak, aby ich mianowniki wynosiły $288$ , a następnie porównuj ułamki na podstawie ich liczników.

Ćwiczenie 23

RNPw3dsDWHP9U

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że liczbę chłopców z ciemnymi włosami w tej klasie opisuje iloczyn ułamków $\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{7}$ . Wyznacz wartość tego iloczynu, a następnie porównaj wynik z ułamkiem $\frac{1}{2}$ .

Ćwiczenie 24

RHMlg9V2EQO9h

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby porównać oba ułamki sprowadź je do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem tych ułamków może być na przykład liczba $136$ .

Ćwiczenie 25

R4rjHvNPkPus9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 26

Państwo Nowakowie wybrali się na zakupy do supermarketu.

Czy cena $1$ kilograma proszku w każdym przypadku jest taka sama?

R1KlNIrnUJnsp1

Rysunek dwóch pudełek z proszkiem do prania. Opakowanie 3 kilogramy kosztuje 27,67 zł. Opakowanie 5 kilogramów kosztuje 43,50 zł. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14sA5oCF3a34

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 27

Państwo Nowakowie wybrali się na zakupy do supermarketu.

Państwo Nowakowie chcą kupić $10, 5$ litra soku w opakowaniach jednego rodzaju. Jakie opakowania soku powinni wybrać, aby zapłacić jak najmniej?

R1MV0wHoqRI8b1

Rysunek dwóch butelek z sokiem. Opakowanie 1,5 litra kosztuje 5,19 zł. Opakowanie 3,5 litra kosztuje 8,45 złotych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Reuqq7qV5yZT4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

1. Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych

3. Porównywanie liczb wymiernych

2. Porównywanie liczb dodatnich

Notatnik