RXDqrhHyQQLig
Zdjęcie przedstawia notes oraz rękę osoby piszącej w nim liczby. W poprzek zdjęcia na czarnym tle napis: Obliczenia pisemne na liczbach naturalnych

Obliczenia pisemne na liczbach naturalnych

Źródło: Karolina Grabowska, domena publiczna. https://www.pexels.com.

5. Dzielenie pisemne liczb naturalnych

Uważa sie, że szewedzki matematyk  Johann Rahn ( 1622‑1676)   jako pierwszy zaczął używać  znaku  dzielenia.  Znak ten składał się z dwukropka przedzielonego kreską. Obecnie znak ten zastapiono dwukropkiem.  

RUz6yFoGv7vaT
Portret siedemnastowiecznego matematyka Johanna Rahna.
Portret szwajcarskiego matematyka Johanna Rahna.
Źródło: Dostępny w internecie Wikimedia Commons, domena publiczna.

W tym materiale znak dzielenia wykorzystamy w praktyce. Poznamy sposoby dzielenia pisemnego - przez liczby jednocyfrowe oraz przez liczby wielocyfrowe.     

Dzielenie z resztą przez liczby jednocyfrowe

Ciekawy sposób obliczeń pisemnych opracowano dla dzielenia. Przy dzieleniu sposobem pisemnym musimy umieć odejmować niewielkie liczby, znać tabliczkę mnożenia i w prostych przykładach – dzielić z resztą. Bardzo ważny jest schemat zapisywania liczb pojawiających się podczas dzielenia. Sposób pisemnego dzielenia, którego się nauczysz, stosowany jest w wielu krajach świata, ale nie we wszystkich.

Przykład 1

Podzielimy 56 przez 3. Wykonamy dzielenie z resztą.

RUFMgkZuPNgVA1
Animacja przedstawia kolejne etapy dzielenia pisemnego przez liczbę jednocyfrową.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RUFMgkZuPNgVA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia kolejne etapy dzielenia pisemnego przez liczbę jednocyfrową.

Przykład 2

Podzielimy pisemnie 25 przez 7.

R1Ew5Kl5g6gpr1
Przykład dzielenia sposobem pisemnym. Dwadzieścia pięć podzielić przez siedem równa się trzy reszty cztery.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź:

25 : 7 = 3   r   4 ,

ponieważ

3·7+4=25

Przykład 3

Podzielimy 149 przez 3 - wykonamy dzielenie z resztą.

Rj4XmCleQcj9j1
Animacja przedstawia kolejne etapy dzielenia pisemnego przez liczbę jednocyfrową.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/Rj4XmCleQcj9j

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia kolejne etapy dzielenia pisemnego przez liczbę jednocyfrową.

Przykład 4

Podzielimy teraz liczby czterocyfrowe przez liczby jednocyfrowe.

Sposób zapisywania kolejnych obliczeń jest taki sam jak przy mniejszych dzielnych, tylko zapis się nieco wydłuży.

R1YpuMtOQtXcY1
Przykłady dzielenia sposobem pisemnym. Tysiąc sześćset pięćdziesiąt cztery podzielić przez cztery jest równe czterysta trzynaście reszty dwa. Dwa tysiące sto trzydzieści sześć podzielić przez siedem jest równe trzysta pięć reszty jeden. Pięć tysięcy dwieście dwadzieścia podzielić przez dziewięć jest równe pięćset osiemdziesiąt.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 1

W puste kratki na ilustracjach wpisz brakujące liczby, tak aby otrzymane działania były prawdziwe.

  1. 16:3=5 r 1

    ROjuOXQDMEDpm
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    ponieważ 5·3+1=16

  2. 37:5=7 r 2

    RczPc9busRZ7Q
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    ponieważ  7 ⋅ 5 + 2 = 37

  3. 59:7=8 r 3

    R1ZfmVVTlGYoh
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    ponieważ 8·7+3=59

  4. 77:8=9 r 5

    RGbKuUGVBx5pY
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    ponieważ 9·8+5=77

  1. 16:3=5 r 1

    RyGCbAdV5xZYu
    zapis pisemny wierszami wiersz wyniku5wiersz działania głównego16:3wiersz z wynikiem całkowitym dzielenia liczb działania głównego: uzupełnij dwucyfrową liczbąTu uzupełnijdzielna odjąć liczba całkowita z dzielenia, czyli reszta z dzielenia1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    ponieważ 5·3+1=16

  2. 37:5=7 r 2

    R1CideUgcKAGQ
    zapis pisemny wierszami wiersz wyniku7wiersz działania głównego37:5liczba całkowita z dzielenia głównego: uzupełnij dwucyfrową liczbąTu uzupełnijdzielna odjąć liczba całkowita, czyli reszta z dzielenia2
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    ponieważ 7·5+2=37

  3. 59:7=8 r 3

    RhIyeAgkKfeYy
    zapis pisemny wierszami wiersz wyniku8wiersz działania głównego59:7liczba całkowita z dzielenia głównego: uzupełnij dwucyfrową liczbąTu uzupełnijreszta z dzielenia3
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    ponieważ 8·7+3=59

  4. 77 : 8 = 9   r   5

    RyfudCy7CjB9b
    zapis pisemny wierszami wiersz wyniku9wiersz działania głównego77:8liczba całkowita z dzielenia głównego: uzupełnij dwucyfrową liczbąTu uzupełnijreszta z dzielenia5
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    ponieważ 9·8+5=77

Ćwiczenie 2

W puste kratki na ilustracjach wpisz brakujące liczby, tak aby otrzymane działania były prawdziwe.

  1. R32QBEgqjA2hd
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. RKz6P9tDPiZWc
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  3. R3CLbpWlED1qO
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  4. RGdKTVS99H4CS
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R23LeqFQUdfry
Wykonaj działania sposobem pisemnym, a następnie połącz je z odpowiednimi wynikami. 59:3= Możliwe odpowiedzi: 1. 32 r 1, 2. 19 r 2, 3. 20 r 1, 4. 18 r 4 61:3= Możliwe odpowiedzi: 1. 32 r 1, 2. 19 r 2, 3. 20 r 1, 4. 18 r 4 97:3= Możliwe odpowiedzi: 1. 32 r 1, 2. 19 r 2, 3. 20 r 1, 4. 18 r 4 94:5= Możliwe odpowiedzi: 1. 32 r 1, 2. 19 r 2, 3. 20 r 1, 4. 18 r 4
1
Ćwiczenie 3

W puste kratki na ilustracjach wpisz brakujące liczby, tak aby otrzymane działania były prawdziwe.

  1. R13EL5pVKIXUv
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. R1XmW65x9WgLp
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  3. RnOEtGihg2Rpz
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  4. R18z2UzHyDT3s
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8KukdGMbVzNd
  1. 237:5=Tu uzupełnij r.Tu uzupełnij, ponieważ 47·Tu uzupełnij+Tu uzupełnij=Tu uzupełnij. Podczas wykonywania dzielenie sposobem pisemnym w pierwszym wierszu pod wynikiem wpisujemy liczbę Tu uzupełnij.
  2. 382:8=Tu uzupełnij r.Tu uzupełnij, ponieważ 47·Tu uzupełnij+Tu uzupełnij=Tu uzupełnij. Podczas wykonywania dzielenie sposobem pisemnym w drugim wierszu pod wynikiem wpisujemy liczbę Tu uzupełnij.
  3. 648:5=Tu uzupełnij r.Tu uzupełnij, ponieważ 129·Tu uzupełnij+Tu uzupełnij=Tu uzupełnij. Podczas wykonywania dzielenie sposobem pisemnym w pierwszym wierszu pod wynikiem wpisujemy liczbę Tu uzupełnij.
  4. 725:3=Tu uzupełnij r.Tu uzupełnij, ponieważ 241·Tu uzupełnij+Tu uzupełnij=Tu uzupełnij
Ćwiczenie 4
R13z9hlKLSjxQ
Wykonaj dzielenie i uzupełnij. 16:3=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij, ponieważ Tu uzupełnij·Tu uzupełnij+Tu uzupełnij=Tu uzupełnij 37:5=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij, ponieważ Tu uzupełnij·Tu uzupełnij+Tu uzupełnij=Tu uzupełnij 59:7=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij, ponieważ Tu uzupełnij·Tu uzupełnij+Tu uzupełnij=Tu uzupełnij 77:8=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij, ponieważ Tu uzupełnij·Tu uzupełnij+Tu uzupełnij=Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 5
R1GAGQpfhsUk7
Wykonaj dzielenie i uzupełnij luki. 59:7=Tu uzupełnij r , ponieważ 8·Tu uzupełnij+3=Tu uzupełnij 77:4=Tu uzupełnij r , ponieważ 4· Tu uzupełnij+1=Tu uzupełnij

Wykonaj dzielenie i uzupełnij.

a) 59 : 7 = ............ r ............ ponieważ 8 ∙ ............ + 3 = ............
a) 77 : 4 = ............ r ............ ponieważ 4 ∙ ............ + 1 = ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 6
RdarHUbyytcYc
Wykonaj dzielenie i uzupełnij puste luki. 86:2=  Tu uzupełnij r  Tu uzupełnij 48:4=  Tu uzupełnij r  Tu uzupełnij 57:5=  Tu uzupełnij r  Tu uzupełnij 74:7=  Tu uzupełnij r  Tu uzupełnij 43:2=  Tu uzupełnij r  Tu uzupełnij 54:3=  Tu uzupełnij r  Tu uzupełnij 69:4=  Tu uzupełnij r  Tu uzupełnij 73:5=  Tu uzupełnij r  Tu uzupełnij 57:2=  Tu uzupełnij r  Tu uzupełnij 64:3=  Tu uzupełnij r  Tu uzupełnij 74:3=  Tu uzupełnij r  Tu uzupełnij 97:3=  Tu uzupełnij r  Tu uzupełnij

Wykonaj dzielenie i uzupełnij.

86:2= ............ r ............
48:4= ............ r ............
57:5= ............ r ............
74:7= ............ r ............
43:2= ............ r ............
54:3= ............ r ............
69:4= ............ r ............
73:5= ............ r ............
57:2= ............ r ............
64:3= ............ r ............
74:3= ............ r ............
97:3= ............ r ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 7
R11a23po1CbTP1
Wykonaj dzielenie i uzupełnij luki. 232:7=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij 387:3=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij 433:5=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij 444:3=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij 529:6=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij 789:4=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij 798:4=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij 670:4=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij 708:9=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij 500:3=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij 499:7=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij 555:2=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij

Wykonaj dzielenie i uzupełnij.

232:7= ............ r ............
387:3= ............ r ............
433:5= ............ r ............
444:3= ............ r ............
529:6= ............ r ............
789:4= ............ r ............
798:8= ............ r ............
670:4= ............ r ............
708:9= ............ r ............
500:3= ............ r ............
499:7= ............ r ............
555:2= ............ r ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dzielenie bez reszty przez liczby jednocyfrowe

Przykład 5

Podzielimy 96 przez 3.

R1c9XVMpnSjnB1
Animacja przedstawia kolejne etapy dzielenia pisemnego przez liczbę jednocyfrową.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1c9XVMpnSjnB

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia kolejne etapy dzielenia pisemnego przez liczbę jednocyfrową.

Ważne!

Jeżeli w dzieleniu sposobem pisemnym, w wyniku odejmowania, otrzymamy zero, to na ogół go nie zapisujemy. Często zamiast zera wpisuje się znak =. Spójrz, jak może wyglądać zapis.

RdtDXl5ghXsIe1
Przykład dzielenia pisemnego: sześćdziesiąt dziewięć przez trzy równe dwadzieścia trzy. W miejsce wpisania reszty wpisany raz znak równości, a raz cyfra zero.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 6

Sposób wykonywania dzielenia sposobem pisemnym.

RwRb2A2Eh7coH
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  1. Przykład 536:4. Zaczynamy od pierwszej cyfry z lewej strony. W naszym przypadku jest to 5. Sprawdzamy, ile razy w cyfrze 5 mieści się nasz dzielnik (cyfra 4).

  2. Wynik (czyli 1) zapisujemy nad kreską, dokładnie nad pierwszą cyfrą dzielnej. Mnożymy teraz zapisaną nad kreską cyfrę przez dzielnik i wynik zapisujemy dokładnie pod pierwszą cyfrą dzielnej – u nas jest to 4, bo 4·1. Podkreślamy ten wynik kreską i wykonujemy odejmowanie. Pod kreską zapisujemy 1, ponieważ 5-4=1.

  3. Do uzyskanej cyfry dopisujemy następną cyfrą dzielnej, czyli 3. W ten sposób powstaje liczba 13 i teraz sprawdzamy, ile razy w tej liczbie mieści się nasz dzielnik. Wynik 3 zapisujemy nad drugą cyfrą dzielnej, czyli nad 3.

  4. Mnożymy zapisaną nad kreską cyfrę przez dzielnik, czyli 3·4=12. Podkreślamy ten wynik kreską i wykonujemy odejmowanie. Pod kreską zapisujemy 1, ponieważ 13-12=1.

  5. Do uzyskanej cyfry dopisujemy ostatnią cyfrę dzielnej, czyli 6. Sprawdzamy, ile razy w tej liczbie mieści się nasz dzielnik. Wynik 4 zapisujemy nad trzecią, czyli ostatnią cyfrą dzielnej, czyli nad 6.

  6. Mnożymy zapisaną nad kreską cyfrę przez dzielnik, czyli 4·4=16. Podkreślamy ten wynik kreską i wykonujemy odejmowanie. Pod kreską zapisujemy 0, ponieważ 16-16=0 i tym samym kończymy dzielenie.

  7. Otrzymaliśmy, że 536:4=134.

Przykład 7

Sposobem pisemnym obliczamy iloraz 243:9.

R1CUoQmCKG5Pc1
Przykład dzielenia sposobem pisemnym. Dwieście czterdzieści trzy podzielić przez dziewięć jest równe dwadzieścia siedem.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ 27·9=243.

RoU5q3HeHCwqT
Ćwiczenie 8
Oblicz. Wynik wpisz w pustą lukę.
3 480:5= 1. 8 953, 2. 1826, 3. 696, 4. 1024, 5. 1, 6. 2753, 7. 37 037, 8. 125 000, 9. 6 873, 10. 6, 11. 2101, 12. 603, 13. 826, 14. 11809:3= 1. 8 953, 2. 1826, 3. 696, 4. 1024, 5. 1, 6. 2753, 7. 37 037, 8. 125 000, 9. 6 873, 10. 6, 11. 2101, 12. 603, 13. 826, 14. 18 192:8= 1. 8 953, 2. 1826, 3. 696, 4. 1024, 5. 1, 6. 2753, 7. 37 037, 8. 125 000, 9. 6 873, 10. 6, 11. 2101, 12. 603, 13. 826, 14. 124 777:9= 1. 8 953, 2. 1826, 3. 696, 4. 1024, 5. 1, 6. 2753, 7. 37 037, 8. 125 000, 9. 6 873, 10. 6, 11. 2101, 12. 603, 13. 826, 14. 110 505:5= 1. 8 953, 2. 1826, 3. 696, 4. 1024, 5. 1, 6. 2753, 7. 37 037, 8. 125 000, 9. 6 873, 10. 6, 11. 2101, 12. 603, 13. 826, 14. 135 812:4= 1. 8 953, 2. 1826, 3. 696, 4. 1024, 5. 1, 6. 2753, 7. 37 037, 8. 125 000, 9. 6 873, 10. 6, 11. 2101, 12. 603, 13. 826, 14. 1111 111:3= 1. 8 953, 2. 1826, 3. 696, 4. 1024, 5. 1, 6. 2753, 7. 37 037, 8. 125 000, 9. 6 873, 10. 6, 11. 2101, 12. 603, 13. 826, 14. 1 3 653:2= 1. 8 953, 2. 1826, 3. 696, 4. 1024, 5. 1, 6. 2753, 7. 37 037, 8. 125 000, 9. 6 873, 10. 6, 11. 2101, 12. 603, 13. 826, 14. 1 r 1. 8 953, 2. 1826, 3. 696, 4. 1024, 5. 1, 6. 2753, 7. 37 037, 8. 125 000, 9. 6 873, 10. 6, 11. 2101, 12. 603, 13. 826, 14. 1 5 788:7= 1. 8 953, 2. 1826, 3. 696, 4. 1024, 5. 1, 6. 2753, 7. 37 037, 8. 125 000, 9. 6 873, 10. 6, 11. 2101, 12. 603, 13. 826, 14. 1 r 1. 8 953, 2. 1826, 3. 696, 4. 1024, 5. 1, 6. 2753, 7. 37 037, 8. 125 000, 9. 6 873, 10. 6, 11. 2101, 12. 603, 13. 826, 14. 1 41 239:6= 1. 8 953, 2. 1826, 3. 696, 4. 1024, 5. 1, 6. 2753, 7. 37 037, 8. 125 000, 9. 6 873, 10. 6, 11. 2101, 12. 603, 13. 826, 14. 1 r 1. 8 953, 2. 1826, 3. 696, 4. 1024, 5. 1, 6. 2753, 7. 37 037, 8. 125 000, 9. 6 873, 10. 6, 11. 2101, 12. 603, 13. 826, 14. 1 1 000 000:8= 1. 8 953, 2. 1826, 3. 696, 4. 1024, 5. 1, 6. 2753, 7. 37 037, 8. 125 000, 9. 6 873, 10. 6, 11. 2101, 12. 603, 13. 826, 14. 1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dzielenie pisemne przez liczby dwucyfrowe i trzycyfrowe

Dzielenie sposobem pisemnym przez liczby dwucyfrowe, trzycyfrowe itd. wykonuje się według tego samego schematu, co dzielenie przez liczby jednocyfrowe. Takie dzielenie może się okazać trochę trudniejsze, bo nie wystarczy znajomość tabliczki mnożenia.

Przykład 8
R13PG9Wa9qxML1
Przykład dzielenia sposobem pisemnym: 387 dzielone przez 13 =29 r 10.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R13PG9Wa9qxML

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład dzielenia sposobem pisemnym: 387 dzielone przez 13 =29 r 10.

Przykład 9

Spójrz, jak wykonano dzielenie liczby 40139 przez 17.

RiTtOd98IzBWc1
Przykład dzielenia sposobem pisemnym: 40139 dzielone przez 17 . Liczba 17 mieści się w liczbie 40 dwa razy, więc nad cyfrą zero w dzielnej zapisujemy 2, a od liczby 40 odejmujemy 34. Otrzymujemy w ten sposób liczbę 6, do której dopisujemy kolejną cyfrę dzielnej, w tym przypadku jedynkę. W liczbie 61 liczba 17 mieści się trzy razy, więc nad cyfrą 1 w dzielnej zapisujemy 3, a od liczby 61 odejmujemy liczbę 51 .Otrzymana różnica to 10, dopisujemy do niej kolejną cyfrę dzielnej, czyli 3 . W otrzymanej liczbie liczba 17 mieści się 6 razy, więc nad cyfrą 3 w dzielnej zapisujemy 6, a od liczby 103 odejmujemy liczbę 102. Otrzymujemy jedynkę, do której dopisujemy ostatnią już cyfrę dzielnej czyli 9 . W liczbie 19 liczba 17 mieści się raz, więc na cyfrą 9 w dzielniku zapisujemy cyfrę 1, a od liczby 19 odejmujemy liczbę 17, otrzymując dwa. Liczba która powstała z cyfr zapisanych nad dzielną to wynik dzielenia, a liczba, która jest wynikiem ostatniej różnicy to reszta tego dzielenia. Oznacza to, że wynik dzielenia liczby 40139 przez 17 to 2361 reszty 2 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Okazało się, że

40139 : 17 = 2361   r   2

Poprawność wykonania obliczeń najlepiej sprawdzić sposobem pisemnym.

R187UELwTIFeG1
Na ilustracji przedstawiono sprawdzenie dzielenia liczby 40139 przez 17 =2361 r 2. Pierwszym działaniem jest pisemne mnożenie liczby 2361 przez 17 . W pierwszym roku pomnożono liczbę 236 przez liczbę 7 i otrzymano 13527. W drugim kroku pomnożono liczbę 2361 przez liczbę 1. Wynik tego mnożenia, czyli 2361, zapisano pod poprzednim wynikiem, ale jest on przesunięty w lewą stronę o jedno miejsce. Zsumowano oba wyniki i otrzymano liczbę 40137 . Kolejnym działaniem jest pisemne dodawanie liczby 2 do liczby 40137. Dodano cyfrę 2 do cyfry jedności drugiego czynnika i otrzymano liczbę 40139 . Oznacza to, że wynik poprzedniego dzielenia jest poprawny.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 9

Wykonaj działania pisemne. Wpisz w luki odpowiednie cyfry.

R1WRLWufDN2PU
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rf4zEqeAuOfnK
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W puste kratki wpisz brakujące liczby, tak aby otrzymane działania były prawdziwe.

1.

R71esaLGOD3eh
wiersz wynikuTu uzupełnij
wiersz działania głównego
liczba całkowita z dzielenia głównego: uzupełnij dwucyfrową liczbąTu uzupełnij
reszta z dzieleniaTu uzupełnij

2.

R1OeGcS5Cb4Ml
wiersz wyniku: uzupełnij jednocyfrową liczbąTu uzupełnij
wiersz działania głównego: 230:24
liczba całkowita z dzielenia głównego: uzupełnij trzycyfrową liczbąTu uzupełnij
reszta z dzielenia: uzupełnij dwucyfrową liczbąTu uzupełnij
RXhctjSmZQN4U
Ćwiczenie 10
Wykonaj dzielenie.
Wstaw w wyznaczone miejsce prawidłowy wynik. 155:35= Tu uzupełnij r Tu uzupełnij272:27= Tu uzupełnij r Tu uzupełnij300:31= Tu uzupełnij r Tu uzupełnij451:60= Tu uzupełnij r Tu uzupełnij642:71= Tu uzupełnij r Tu uzupełnij717:88= Tu uzupełnij r Tu uzupełnij155:14= Tu uzupełnij r Tu uzupełnij272:13= Tu uzupełnij r Tu uzupełnij300:25= Tu uzupełnij r Tu uzupełnij451:38= Tu uzupełnij r Tu uzupełnij642:15= Tu uzupełnij r Tu uzupełnij720:29= Tu uzupełnij r Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 11

Wykonaj działania pisemne. Wpisz w luki odpowiednie cyfry.

R1HEE4lQvnsfw
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rfs1gKoq8n2g0
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Riqi0TlJbqwrN
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W puste kratki wpisz brakujące liczby, tak aby otrzymane działania były prawdziwe.

1.

R1Iw4EUkqIVPF
wiersz wyniku: uzupełnij dwuocyfrową liczbąTu uzupełnij
wiersz działania głównego: 10512:345
liczba całkowita z dzielenia głównego: uzupełnij czterocyfrową liczbąTu uzupełnij
reszta z dzielenia: uzupełnij trzycyfrową liczbąTu uzupełnij

2.

R17KOrPCmro8O
wiersz wyniku: uzupełni jednocyfrową liczbąTu uzupełnij
wiersz działania głównego: 1321:345
liczba całkowita z dzielenia głównego: uzupełnij czterocyfrową liczbąTu uzupełnij
reszta z dzielenia: uzupełnij trzycyfrową liczbąTu uzupełnij
REXWWts7UNyMe
Ćwiczenie 12
Wykonaj dzielenie.
Kliknij w lukę aby rozwinąć listę, a następnie wybierz prawidłową liczbę. 1005:35=1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 19 r 1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 192071:27=1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 19 r 1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 193000:31=1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 19 r 1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 194201:60=1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 19 r 1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 191642:401=1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 19 r 1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 197277:800=1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 19 r 1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 191576:140=1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 19 r 1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 192792:131=1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 19 r 1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 1925000:251=1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 19 r 1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 1914501:380=1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 19 r 1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 1929002:258=1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 19 r 1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 198439:290=1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 19 r 1. 29, 2. 9, 3. 24, 4. 115, 5. 70, 6. 41, 7. 21, 8. 77, 9. 38, 10. 165, 11. 4, 12. 99, 13. 107, 14. 1, 15. 11, 16. 28, 17. 49, 18. 61, 19. 36, 20. 25, 21. 52, 22. 76, 23. 112, 24. 106, 25. 38, 26. 151, 27. 96, 28. 154, 29. 29, 30. 19
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

  • Jeżeli dzielna i dzielnik są liczbami zakończonymi zerami, to podczas dzielenia sposobem pisemnym można skreślić w obu liczbach tę samą liczbę końcowych zer, a wynik dzielenia się nie zmieni.

  • Jeśli wynik dzielenia jest z resztą, to do otrzymanej reszty trzeba dopisać skreślone zera dzielnej.

Przykład 10

Podzielimy pisemnie 3400 przez 290.

R1Z6TndLKAIRj1
Animacja przedstawia jak podzielić przez siebie dwie liczby sposobem pisemnym, oraz jak sprawdzić czy wynik takiego dzielenia jest poprawny.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1Z6TndLKAIRj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia jak podzielić przez siebie dwie liczby sposobem pisemnym, oraz jak sprawdzić czy wynik takiego dzielenia jest poprawny.

ROLFxafWQiVsM
Ćwiczenie 13
Wykonaj dzielenie.
Kliknij w lukę aby rozwinąć listę, a następnie wybierz prawidłową liczbę. 8692:41=1. 89, 2. 0, 3. 8, 4. 0, 5. 100, 6. 401, 7. 212, 8. 120 r 1. 89, 2. 0, 3. 8, 4. 0, 5. 100, 6. 401, 7. 212, 8. 1206015:15=1. 89, 2. 0, 3. 8, 4. 0, 5. 100, 6. 401, 7. 212, 8. 120 r 1. 89, 2. 0, 3. 8, 4. 0, 5. 100, 6. 401, 7. 212, 8. 12055448:462=1. 89, 2. 0, 3. 8, 4. 0, 5. 100, 6. 401, 7. 212, 8. 120 r 1. 89, 2. 0, 3. 8, 4. 0, 5. 100, 6. 401, 7. 212, 8. 120988000:11100=1. 89, 2. 0, 3. 8, 4. 0, 5. 100, 6. 401, 7. 212, 8. 120 r 1. 89, 2. 0, 3. 8, 4. 0, 5. 100, 6. 401, 7. 212, 8. 120
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1KRz07kq645G
Ćwiczenie 14
Rozwiąż krzyżówkę i odczytaj hasło.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
4. Mnożenie pisemne liczb naturalnych
6. Porównywanie liczb naturalnych z zastosowaniem ilorazu