RL02kjyKPCRTr
Zdjęcie półek z książkami. Kilka półek powiększonych przez szkiełko lupy. Na czarnym pasku napis - Matematyka na wycieczce.

Matematyka na wycieczce

Źródło: Fotolia, tylko do użytku edukacyjnego na zpe.gov.pl.

1. Skala na planie i mapie

Skala określa  ile razy  dany obiekt został pomniejszony lub powiększony.

Polecenie 1

Obejrzyj animację i zastanów się,  jakie obiekty  najczęściej  przedstawiane są w powiększeniu, a jakie w pomniejszeniu.

R1J7k3tfBQWYn1
Animacja pokazuje, że odległości między niektórymi obiektami są bardzo małe, a między innymi obiektami są bardzo duże.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1J7k3tfBQWYn

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja pokazuje, że odległości między niektórymi obiektami są bardzo małe, a między innymi obiektami są bardzo duże.

W tym materiale:

  • poznasz skalę liczbową, skalę mianowaną oraz skalę liniową mapy (planu),

  • znajdziesz rzeczywistą długość odcinka przedstawionego w danej skali,

  • znając rzeczywistą długość odcinka, znajdziesz jego długość w określonej skali,

  • określisz skalę mapy, znając odległość między dwoma punktami rzeczywistą i na mapie.

Skala na planie

Polecenie 2

Zapoznaj się z animacją  - zwróć uwagę, jak  liczbowo określamy powiększenie, a jak pomniejszenie przedmiotu.

R1Qtml0fGEgcg1
Animacja przedstawia w jaki sposób interpretujemy różne skale.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1Qtml0fGEgcg

Co to jest skala_Obliczanie dlugosci odcinow w skali_atrapa_animacja_567
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób interpretujemy różne skale.

Architekci i  projektanci korzystają z różnych planów ułatwiających im pracę. Nabywcom mieszkań plany pomagają w podjęciu decyzji. Plany są wykonywane w różnych skalach.

Skala 1:100 na planie oznacza, że rzeczywiste wymiary zostały pomniejszone sto razy, zatem jednemu metrowi w rzeczywistości odpowiada jeden centymetr na planie.

Ważne!

Mówimy, że figura:

  • powiększona trzy razy jest narysowana w skali trzy do jednego, co zapisujemy: 3:1,

  • pomniejszona trzy razy jest narysowana w skali jeden do trzech, co zapisujemy: 1:3,

  • w rzeczywistych wymiarach jest narysowana w skali jeden do jednego, co zapisujemy: 1:1.

Ćwiczenie 1

Oto fragment planu Augustowa.

R1TGYZWLDZfKU1
Fragment planu Augustowa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na planie odległość od skrzyżowania Alei Kardynała Stefana Wyszyńskiego z ulicą Partyzantów do skrzyżowania z ulicą Turystyczną ma długość 12 cm. W rzeczywistości ta odległość jest 10000 razy dłuższa.
Jaka jest długość zaznaczonego na planie odcinka w rzeczywistości? Podaj tę długość w centymetrach i metrach.

Na planie miasta Augustowa odległość od skrzyżowania Alei Kardynała Stefana Wyszyńskiego z ulicą Partyzantów do skrzyżowania z ulicą Turystyczną ma długość 12 cm. W rzeczywistości ta odległość jest 10000 razy dłuższa. Jaka jest odległość między tymi miejscami w rzeczywistości? Podaj tę długość w centymetrach i metrach.

R1OVsRoEeU9bh
Uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby. Odpowiedź: Rzeczywista odległość wynosi Tu uzupełnij cm, czyli Tu uzupełnij m.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R5IUOJjPv5NGt
Ćwiczenie 2
Jakie wymiary na planie wykonanym w skali 1:100 ma:prostokątna kuchnia o wymiarach 250 cm×300 cm?prostokątny pokój o wymiarach 3,5 m×4,8 m?
Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Wymiary kuchni wynoszą 1. 2,5 mm×3 mm, 2. 2,5 dm×3 dm, 3. 3,5 dm×4,8 dm, 4. 3,5 mm×4,8 mm, 5. 2,5 cm×3 cm, 6. 3,5 cm×4,8 cm.Wymiary pokoju wynoszą 1. 2,5 mm×3 mm, 2. 2,5 dm×3 dm, 3. 3,5 dm×4,8 dm, 4. 3,5 mm×4,8 mm, 5. 2,5 cm×3 cm, 6. 3,5 cm×4,8 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RlUiiCV4i5TIQ
Ćwiczenie 3
Plan został wykonany w skali 1:5000. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. 1 cm w rzeczywistości odpowiada 50 m na planie, 2. 100 m w rzeczywistości odpowiada 2 cm na planie, 3. 1 cm w rzeczywistości odpowiada 100 m na planie, 4. 50 m w rzeczywistości odpowiada 2 cm na planie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RiBfV6854Tr2g
Ćwiczenie 4
Kasia narysowała plan swojego pokoju w skali 1:30. Łóżko w pokoju Kasi ma wymiary 2,10 m×0,90 m, a szafa ma długość 90  cm i szerokość 45  cm. Jakie wymiary będą miały łóżko i szafa na planie? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. łóżko: 7 cm×3cm, szafa: 3 cm×1,5 cm, 2. łóżko: 6 cm×3 cm, szafa: 3 cm×2,5 cm, 3. łóżko: 3 cm×1,5 cm, szafa: 7 cm×3 cm, 4. łóżko: 5 cm×4 cm, szafa: 3 cm×1,5 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 5
R2vanp1ita7MT
Pokój Emilki ma kształt prostokąta o bokach długości 3 m i 4 m. Emilka narysowała plan swojego pokoju w skali 1:25. Oblicz, jakie długości boków powinien mieć pokój Emilki na planie. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby. Pokój na planie powinien mieć wymiary Tu uzupełnij cm i Tu uzupełnij cm .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rs23TphOMuj1u
Ćwiczenie 6
Na planie parku w skali 1:500 oczko wodne ma średnicę 4 cm. Jaki jest promień tego oczka w rzeczywistości? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 10 m, 2. 20 m, 3. 15 m, 4. 25 m
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RUvPXmav1moaK
Ćwiczenie 7
Wymiary prostokątnej działki na planie w skali 1:200 wynoszą 12 cm i 15 cm. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Obwód działki w rzeczywistości jest równy 108 m., 2. Działka ma powierzchnię 72 ary., 3. Działka ma powierzchnię 82 ary., 4. Obwód działki w rzeczywistości jest równy 102 m.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R17NUynTThatg
Ćwiczenie 8
Na planie w skali 1:30000 dom Kasi znajduje się w odległości 3,5cm od szkoły. Jaką drogę pokonuje codziennie Kasia, idąc z domu do szkoły i z powrotem? Wskaż poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 1050  m , 2. 2,1  km , 3. 2100  cm , 4. 10,5  km

  • 1050  m
  • 2,1  km
  • 2100  cm
  • 10,5  km
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 9
R2Bu3gyVlgmQz
Na zdjęciu wykonanym w skali 1:100 drzewo ma wysokość 6 cm. Oblicz wysokość tego drzewa w rzeczywistości, a wynik podaj w metrach. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby. W rzeczywistości drzewo ma wysokość Tu uzupełnij cm czyli Tu uzupełnij m.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 10
R1Ld2tcQU908X
Na planie osiedla, wykonanym w skali 1:3000, odcinek łączący dom Joasi z budynkiem szkoły ma długość 18 cm. Oblicz rzeczywistą odległość w linii prostej między domem Joasi a szkołą. Wynik podaj w metrach. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby. W rzeczywistości odległość wynosi Tu uzupełnij cm czyli Tu uzupełnij m.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 11
R1P88rAZyAHqb
Kwietnik w kształcie koła ma średnicę długości 2 m. Oblicz długość średnicy tego kwietnika przedstawionego na planie w skali 1:10. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Na planie średnica kwietnika wynosi Tu uzupełnij cm .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 12
RUBCzo3cFbBCf
Na planie w skali 1:100 działka jest prostokątem o bokach 30 cm i 45,5 cm. Ile metrów siatki potrzeba na ogrodzenie tej działki, jeśli brama ma szerokość 3,5 m, a furtka 0,9 m? Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Na ogrodzenie działki potrzeba Tu uzupełnij m siatki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skala na mapie

Na mapie odwzorowuje się powierzchnię Ziemi w  skali. Oto mapa Unii Europejskiej wykonana w pewnej skali.

RFc9MivIJtYOV1
Mapa Unii Europejskiej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na mapach stosuje się różne sposoby zapisu skali. Najczęściej spotykane to: skala liczbowa, liniowa, mianowana. 

Przykład 1

Skala liniowa (podziałka liniowa) jest skalą graficzną. Na prostej przedstawiony jest stosunek odległości na mapie do odpowiadającej jej odległości rzeczywistej w terenie.

Z poniższej skali można odczytać, że 1 cm na mapie odpowiada 100 m w terenie.

R197Na892Rjra1
Rysunek skali (podziałki) liniowej czyli prostej podzielonej i opisanej liczbami: 100, 0, 100, 200, 300, …, 1000 m. Ze skali liniowej odczytujemy, że 1 centymetr na mapie jest równy 100 metrom w rzeczywistości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Polecenie 3

W animacji wykorzystywana jest skala liczbowa. Przyjrzyj się, jak zapisujemy tę skalę i poznaj jej zastosowanie.

RCtJKq8HF3GMv1
Animacja przedstawia jak wyznaczyć rzeczywistą odległość między miastami na podstawie ich odległości na mapie w pewnej skali.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RCtJKq8HF3GMv

Dzial I_M8_Zamiana jednostek_animacja_film_019
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia jak wyznaczyć rzeczywistą odległość między miastami na podstawie ich odległości na mapie w pewnej skali.

Przykład 2

Jaka jest rzeczywista odległość między Warszawą a Berlinem, jeśli na mapie w skali 1 : 20 000 000 ta odległość jest równa 2,6 cm?

2,6 cm·20000000=52000000 cm=520 km

lub

2 , 6 ⋅ 200   k m = 520   k m

Odległość między Warszawą a Berlinem jest równa 520 km.

Przykład 3

Rzeczywista odległość między Wiedniem i Warszawą w linii prostej wynosi 560 km. Oblicz odległość między tymi miastami na mapie wykonanej w skali 1:8000000.

560 km=56000000 cm

56000000 cm:8000000=7 cm

Na tej mapie odległość między Wiedniem i Warszawą wynosi 7 cm.

Przykład 4

Odległość w linii prostej między Paryżem a Wiedniem wynosi 1040 km. Jaka jest skala mapy, jeśli odległość ta na mapie wynosi 2,6 cm?

1040 km=104000000 cm

104000000 cm:2,6 cm=40000000

Skala mapy to 1:40000000.

R1TXjRsMXlBFM1
Ćwiczenie 13
Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby (nie używaj spacji). Skala 1:50000
1 cm na mapie to w rzeczywistości: Tu uzupełnij cm ; Tu uzupełnij m ; Tu uzupełnij km.Skala 1:200000
1 cm na mapie to w rzeczywistości: Tu uzupełnij cm ; Tu uzupełnij m ; Tu uzupełnij km.Skala 1: Tu uzupełnij
1 cm na mapie to w rzeczywistości: Tu uzupełnij cm ; 0,5 m ; Tu uzupełnij km.Skala 1: Tu uzupełnij
1 cm na mapie to w rzeczywistości: Tu uzupełnij cm ; Tu uzupełnij m ; 80 km.

Uzupełnij liczbami (nie używaj spacji).

a) Skala 1:50 000
1cm na mapie to w rzeczywistości: ............ cm; ............ m; ............ km.
b) Skala 1:200 000
1cm na mapie to w rzeczywistości: ............ cm; ............ m; ............ km.
c) Skala 1: ............
1cm na mapie to w rzeczywistości: ............ cm; 0,5m; ............ km.
d) Skala 1: ..............
1cm na mapie to w rzeczywistości: .............. cm; ............ m; 80km;

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1KmPqecsMOHM
Ćwiczenie 14
Jakie wartości należy wpisać, aby poniższe skale były prawdziwe? Uzupełnij tabelę, wpisując odpowiednie liczby.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RIQolU8iz3kWn
Ćwiczenie 15
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. 1 cm na mapie w skali 1:8000 odpowiada 80 m w rzeczywistości., 2. 2 cm na mapie w skali 1:5000000 odpowiada 100 km w rzeczywistości., 3. 2 cm na mapie w skali 1:5000000 odpowiada 10 km w rzeczywistości., 4. 1 cm na mapie w skali 1:8000 odpowiada 800 m w rzeczywistości.

  • 1 cm na mapie w skali 1: 8000 odpowiada 80 m w rzeczywistości.
  • 2 cm na mapie w skali 1: 5 000 000 odpowiada 100 km w rzeczywistości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1YwUsYi4JaJq
Ćwiczenie 16
Odległość między Pragą a Bratysławą wynosi 530 km. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Odległość między tymi miastami w skali 1:10000000 wynosi 5,3 cm, 2. Odległość między tymi miastami w skali 1:200000 wynosi 26,5 cm, 3. Odległość między tymi miastami w skali 1:10000000 wynosi 8,3 cm, 4. Odległość między tymi miastami w skali 1:200000 wynosi 22,5 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1WNGbxkB6Om9
Ćwiczenie 17
Odległość pomiędzy Zurychem a Lizboną na mapie w skali 1:3000000 jest równa 57,5 cm. Jaka jest rzeczywista odległość między Zurychem a Lizboną? Możliwe odpowiedzi: 1. 1725 km, 2. 1763 km, 3. 1254 km, 4. 1614 km
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 18
R1dL9k6m4nlRq
Odległość między Krakowem i Warszawą na mapie kolejowej wykonanej w skali 1:600000 wynosi 50 cm. Oblicz, jaka będzie odległość między tymi miastami na mapie kolejowej wykonanej w skali 1:1500000. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Na mapie odległość między miastami wyniesie Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rf1AcMgomRkkn
Ćwiczenie 19
Odległość w linii prostej między Warszawą a Rzymem wynosi 1320km. Jaka jest skala mapy, jeśli ta odległość na mapie jest równa 26,4cm? Wskaż poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 1:50000, 2. 1:500000, 3. 1:5000000, 4. 1:50000000

  • 1   :   50   000
  • 1   :   500   000
  • 1   :   5   000   000
  • 1   :   50   000   000
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RF2JrgeodXAB7
Ćwiczenie 20
Odległość drogowa z Katowic do Gdańska wynosi 534 km, a na mapie wynosi ona 26,7 cm. Oblicz, w jakiej skali sporządzona jest ta mapa.
Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 1:2000000, 2. 1:2500000, 3. 1:1000000, 4. 1:3000000
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Matematyka w domu
2. Prędkość, droga, czas