5. Jednostki miar - podsumowanie - Matematyka w otaczającym nas świecie

R19JTjxzgNWUX

5. Jednostki miar - podsumowanie

Zmierzmy krokami np. długość pokoju. Startujemy od jednej ściany: jeden krok, drugi, trzeci, czwarty i piąty niepełny. Można powiedzieć, że długość pokoju wynosi $4, 5$ i pół kroku. Podobnie określimy szerokość pokoju na np. $3, 5$ kroku. Taki pomiar jest bardzo przybliżony, ale zawiera już jakąś informację: długość jest większa od szerokości, a nawet możemy powiedzieć, że stosunek długości do szerokości wynosi mniej więcej $1, 3$ . Możemy też porównać wymiary pokoju np. z rozmiarami podwórka zmierzonymi w ten sam sposób.

W naszych prostych pomiarach zrobiliśmy dwie rzeczy:

przyjęliśmy wzorzec długości – tutaj nasz typowy krok;
porównaliśmy mierzoną wielkość ze wzorcem (pokój jest $4, 5$ razy dłuższy od naszego kroku).

Podobnie odbywają się wszystkie pomiary. Każdy przyrząd pomiarowy, nawet najbardziej skomplikowany, zawiera w swojej konstrukcji pewien wzorzec i umożliwia porównywanie go z wielkością mierzoną.

W tym materiale podsumujemy wiadomości na temat wybranych jednostek miar i poznamy niektóre mniej znane jednostki (w tym dawne).

Ciekawostka

R1AvFkwJoqvkr

Zrekonstruowane miary gdańskie (miary długości) na fasadzie Ratusza Głównego Miasta w Gdańsku
Źródło: *COMMONS pl.wiki Joymasters upload list - Praca własna*, domena publiczna.

Polskie tradycyjne jednostki miar opierały się na miarach naturalnych, takich jak odległość między kończynami (stopa, łokieć, sążeń), zasięg głosu ludzkiego (wiorsta) czy praca jednego człowieka od rana do południa (morga). Podobnie konstruowane systemy miar obowiązywały też w wielu innych krajach, a w niektórych państwach nadal używa się jednostek takich jak stopa (ang. foot), których nazwy odnoszą się do tych dawnych sposobów mierzenia. Wymiana handlowa z kupcami pochodzącymi z innych obszarów kulturowych spowodowała, że na terenie ówczesnej Polski zaczęto używać innych jednostek miar, mających pochodzenie zagraniczne, takie jak np. funt, antał czy mila. Wymusiło to wkrótce konieczność wprowadzenia do prawodawstwa staropolskiego zapisów ujednolicających jednostki miar. Tabelka poniżej przedstawia kilka takich staropolskich jednostek.

Wybrane staropolskie jednostki miar
Jednostka miary	Opis
mendel	jednostka ilości obiektów; $15$ sztuk
kopa	jednostka ilości obiektów; $60$ sztuk
sążeń	jednostka długości; największa szerokość rozpostartych poziomo rąk
łokieć mały (kupiecki)	jednostka długości; średnia długość ręki od stawu łokciowego do końca palca środkowego
piędź	jednostka długości; największa rozwartość miedzy końcami palca środkowego i kciuka
palec (cal)	jednostka długości; szerokość kciuka
stopa	jednostka długości; przeciętna długość stopy ludzkiej
funt	jednostka masy; funt warszawski to ok. $0, 4 kg$
centnar	jednostka masy; centnar warszawski miałby obecnie ok. $65 kg$ , lwowski – ok. $52 kg$
morga, mórg	jednostka powierzchni; wielkość pola zaoranego lub skoszonego przez jednego człowieka od rana do południa
garniec	jednostka objętości ciał sypkich i płynnych; objetość garnka, do którego sypano zboże lub zlewano płyny
korzec	jednostka objętości ciał sypkich; objętość wnętrza nieokorowanej wydłubanej kłody

Aby łatwiej porównywać wyniki pomiarów uzyskane przez różnych ludzi w różnych miejscach na świecie, konieczne było wprowadzenie wspólnego systemu miar. W roku $1960$ na $XI$ Generalnej Konferencji Miar i Wag w Paryżu przyjęty został Międzynarodowy Układ Jednostek Miar i Wag, w skrócie SI. Skrót pochodzi od francuskiego tłumaczenia tego wyrażenia: Système internationale d’unités [sistem ęternasional dinit]. Polska przyjęła ten układ jednostek w roku $1966$ . Obowiązuje on w zdecydowanej większości krajów świata. Wyjątek stanowią Stany Zjednoczone Ameryki oraz Birma i Liberia. Jednostki tego układu podobnie jak wielkości fizyczne, są podzielone na podstawowe i pochodne.

Podstawowe wielkości fizyczne i ich jednostki w układzie SI
Nazwa jednostki	Symbol jednostki	Wielkość fizyczna	Symbol wielkości fizycznej
sekunda	$\mbox{s}$	czas	$t$ lub $\tau$ [tau]
metr	$\mbox{m}$	długość	$l$ lub $s$ , lub $d$
kilogram	$\mbox{kg}$	masa	$m$
kelwin	$\mbox{K}$	temperatura	$T$
amper	$\mbox{A}$	natężenie prądu	$I$
kandela	$\mbox{cd}$	światłość	$I$
mol	$\mbox{mol}$	liczność materii	$n$

W niektórych dziedzinach można spotkać specyficzne jednostki miar, np. w jubilerstwie, gdzie jednostką masy jest karat, ale tylko w odniesieniu do masy kamieni szlachetnych. W takim zastosowaniu $1 karat = 0, 2 grama$ . Największy diament świata, słynny Cullinan, przed podzieleniem na $105$ części i oszlifowaniem ich ważył $3106$ karatów, czyli $621, 2$ grama.

R8LGcc8HUgZjk

Pomiary nie interesują tylko naukowców. Na przestrzeni dziejów interesowały przede wszystkim: kupców i rzemieślników
Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Kupując telewizor, czytamy, że przekątna jego ekranu ma na przykład 50 cali. Czym zatem jest cal? Jest to około 2,54 cm. Początkowo wielkość ta odpowiadała trzykrotności średniej długości ziarna jęczmienia. Czy to oznacza, że na przekątnej telewizora 50 calowego jesteśmy w stanie ułożyć 150 takich ziarenek? Na to wygląda. Cal jest jednak jednostką techniczną, nie naukową, ale ze względu na swoją powszechność został tutaj ujęty.

1 cal = 2,54 cm

Cal jest jednostką długości

Niegdyś kroki były miarą długości stosowaną w wojsku i kartografii. Dziś Regulamin musztry przestrzegany w wojsku polskim i policji ustala długość jednego kroku na 75 cm. Zatem skoro pokonaliśmy na przykład 9595 kroków, to oznacza, że przeszliśmy 7,2 km.

1 krok = 75 cm

Krok to jednostka długości w wojsku polskim i policji

Jednostką czasu w układzie SI jest sekunda. Powszechnie jednak mówimy o tym, że coś zajęło nam kilkanaście minut, godzinę, dzień, miesiąc, rok…

1 minuta = 60 sekund

1 godzina = 60 minut = 3600 sekund

1 dzień = 24 godziny = 1 440 minut = 86 400 sekund

1 miesiąc to od 28 do 31 dni (w zależności od miesiąca)

1 rok = 365 dni 5 godzin 48 minut

W astronomii wykorzystuje się: jednostki astronomiczne, lata świetlne, parseki.

Nazwa	Symbol	Przeliczenie na metry	Definicja
Jednostka astronomiczna	AU	149 597 870 700 m	średnia odległość Ziemi od Słońca
Rok świetlny	ly	9,4607 · 10Indeks górny 15 m	odległość, jaką pokonuje światło w próżni w ciągu jednego roku kalendarzowego
Parsek	pc	3,086 ∙ 10Indeks górny 16 m	odległość, dla której paralaksa roczna położenia Ziemi widzianej prostopadle do płaszczyzny orbity wynosi 1 sekundę łuku

Oprócz jednostek miar podstawowych i pochodnych posługujemy się także jednostkami wtórnymi, które są ich wielokrotnościami. Jednostki te otrzymujemy poprzez dodanie odpowiedniego przedrostka określającego odpowiednią potęgę dziesięciu, ktora jest mnożnikiem dla danej jednostki.

Wielokrotności i podwielokrotności jednostek podstawowych
Przedrostek	Symbol	Mnożnik	Mnożnik
tera	$T$	$1000000000000$	$= 10^{12}$
giga	$G$	$1 000 000 000$	$= 10^{9}$
mega	$M$	$1000000$	$= 10^{6}$
kilo	$k$	$1000$	$= 10^{3}$
hekto	$h$	$100$	$= 10^{2}$
deka	$da$	$10$	$= 10^{1}$
–	–	$1$	$= 10^{0}$
decy	$d$	$0, 1$	$= 10^{- 1}$
centy	$c$	$0, 01$	$= 10^{- 2}$
mili	$m$	$0, 001$	$= 10^{- 3}$
mikro	$μ$	$0, 000001$	$= 10^{- 6}$
nano	$n$	$0, 000000001$	$= 10^{- 9}$
piko	$p$	$0, 000000000001$	$= 10^{- 12}$

RxspMez8uwrGQ

Ćwiczenie 1

Połącz w pary liczby wskazujące tę samą wielkość.

5 μm

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 000005 m

, 2.

0, 2 m

, 3.

200 m

, 4.

0, 05 mg

, 5.

0, 02 g

, 6.

0, 2 kg

, 7.

0, 5 cm

5 mm

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 000005 m

, 2.

0, 2 m

, 3.

200 m

, 4.

0, 05 mg

, 5.

0, 02 g

, 6.

0, 2 kg

, 7.

0, 5 cm

200 mm

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 000005 m

, 2.

0, 2 m

, 3.

200 m

, 4.

0, 05 mg

, 5.

0, 02 g

, 6.

0, 2 kg

, 7.

0, 5 cm

200 g

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 000005 m

, 2.

0, 2 m

, 3.

200 m

, 4.

0, 05 mg

, 5.

0, 02 g

, 6.

0, 2 kg

, 7.

0, 5 cm

20 mg

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 000005 m

, 2.

0, 2 m

, 3.

200 m

, 4.

0, 05 mg

, 5.

0, 02 g

, 6.

0, 2 kg

, 7.

0, 5 cm

50 μg

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 000005 m

, 2.

0, 2 m

, 3.

200 m

, 4.

0, 05 mg

, 5.

0, 02 g

, 6.

0, 2 kg

, 7.

0, 5 cm

0, 2 km

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 000005 m

, 2.

0, 2 m

, 3.

200 m

, 4.

0, 05 mg

, 5.

0, 02 g

, 6.

0, 2 kg

, 7.

0, 5 cm

Połącz w pary liczby wskazujące tę samą wielkość.

0,000005 m, 0,02 g, 0,05 mg, 0,5 cm, 200 m, 0,2 m, 0,2 kg

5 μm
5 mm
200 mm
200 g
20 mg
50 μg
0,2 km

Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

RoKmTMZJiyAOC

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

RULA54A2A31YV

8 251 m – ile to kilometrów, a ile centymetrów?

8,251 km czyli 825 100 cm
82,51 km czyli 82 510 cm
0,8251 km czyli 82,51 cm
8,251 km czyli 8 251 000 cm
82,51 km czyli 825 100 cm

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R5dI1OFJrdnyu

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

RWrMRGwC6Eaa6

Ćwiczenie 5

Rok świetlny jest jednostką:

odległości
czasu
masy
promieniowania

RrRhslGhN1pcy

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Połącz w pary równe wielkości.

R1RSn3DdPNOqD

Rk6sEpoLNqvkG1

Ćwiczenie 8

Odpowiedz na pytania lub uzupełnij tekst. 1. Jednostka masy sto razy mniejsza od kilograma., 2. Jednostka pojemności na twoim kartoniku z soczkiem., 3. Jednostka, w której podajesz swoją masę., 4. Waluta obowiązująca w naszym kraju., 5. Tę jednostkę znajdziesz na swojej linijce., 6. Inaczej

10 cm

., 7. Jednostka, w której podasz masę słonia., 8. Jednostka, w której podasz masę pierścionka.

Rozwiąż krzyżówkę. Po wpisaniu wszystkich wyrazów, litery z niebieskich pól utworzą hasło.

Jednostka sto razy mniejsza od kilograma
Jednostka pojemności na twoim kartoniku z soczkiem
Jednostka, w której podasz swoją wagę
Waluta obowiązująca w naszym kraju
Tę jednostkę znajdziesz na swojej linijce
Inaczej 10 cm
Jednostka, w której podasz wagę słonia
Jednostka, w której podasz masę pierścionka

1
2
3
4
5
6
7
8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rr8x2ToH5RHvD

Ćwiczenie 9

Lekkoatletyka, Halowe Mistrzostwa Świata 2014, Sopot Trójskok mężczyzn

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1EnsQs4rHVQu

Ćwiczenie 10

Igrzyska Olimpijskie, Tokio 2020

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RUUoG6LJTr9iT

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

4. Liczby ujemne w zastosowaniach

Matematyka w otaczającym nas świecie

5. Jednostki miar - podsumowanie

Notatnik