3. Pole trójkąta

R3Ndn66uXjgCu

Juz w starożytnym Egipcie, gdzie po każdym wylewie Nilu trzeba była na nowo wyznaczać granice działek, umiejętność wyznaczania pól figur była niezmiernie ważną umiejętnością.

RztnszMJrHmgK

Ilustracja przedstawia łąki ze ścieżkami widziane z lotu ptaka. — Źródło: Joe Yates, dostępny w internecie: https://unsplash.com/.

W tym materiale poznasz podsatwoiwe wzory na wyznaczanie pól trójkątów.

Wzór na pole trójkąta

Przykład 1

Rysunek przedstawia trójkąt $A B C$ o podstawie $a$ i wysokości $h$ . Odcinek $D E$ dzieli wysokość trójkąta na dwie równe części.

Przemieszczając odpowiednio części trójkąta, zbuduj prostokąt. Określ długości boków tego prostokąta i oblicz jego pole.

RN8BEifR2lo8n1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Czy pole trójkąta $A B C$ jest większe, czy mniejsze od pola otrzymanego prostokąta? Dlaczego?

Pole trójkąta

Twierdzenie: Pole trójkąta

Pole $P$ trójkąta o wysokości $h$ poprowadzonej do podstawy długości $a$ jest równe $P = \frac{a \cdot h}{2}$ .

R11x4rPymDRRk1

Rysunek trójkąta o wysokości h poprowadzonej do podstawy długości a. Między wysokością a podstawą oznaczono kąt prosty. Obok rysunku zapisano wzór na pole trójkąta: P=a·h2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Pole trójkąta równoramiennego jest równe $420 {cm}^{2}$ . Oblicz obwód trójkąta, jeżeli jego podstawa ma długość $40 cm$ .

RhYCWUnK42SBh1

Rysunek trójkąta równoramiennego o wysokości h, ramieniu a i podstawie równej 40 cm. Między wysokością h a podstawą trójkąta oznaczono kąt prosty. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy wysokość $h$ trójkąta.

420 = \frac{40 \cdot h}{2}

h = 21 cm

Obliczamy długość $a$ boku trójkąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

h^{2} + {(\frac{40}{2})}^{2} = a^{2}

2 1^{2} + 2 0^{2} = a^{2}

441 + 400 = a^{2}

841 = a^{2}

a = \sqrt{841} = 29

a = 29 cm

Obliczamy obwód trójkąta.

L = 2 a + 40

L = 2 \cdot 29 + 40 = 98

L = 98 cm

Obwód trójkąta jest równy $98 cm .$

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są zarazem wysokościami trójkąta. Zatem, aby obliczyć pole trójkąta prostokątnego, wystarczy znać długości jego przyprostokątnych.

Pole trójkąta prostokątnego

Twierdzenie: Pole trójkąta prostokątnego

Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $a$ i $b$ jest równe $P = \frac{a \cdot b}{2}$ .

R1eCgFbh8OGbn1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b. Obok rysunku umieszczono wzór na pole trójkąta: P=a·b2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Oblicz pole trójkąta, w którym miary dwóch kątów są równe $30 °$ i $60 °$ , a najdłuższy bok jest równy $4$ .

W trójkącie, w którym miary dwóch kątów są równe $30 °$ i $60 °$ , trzeci kąt ma miarę $90 °$ .

Zatem jest to trójkąt prostokątny.

Najdłuższy bok to przeciwprostokątna, ma ona długość $4$ . Z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych $30 °$ i $60 °$ wynika, że przyprostokątne tego trójkąta mają długości $2$ i $2 \sqrt{3}$ .

R9S1PjhYKzZLF1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 2, dwa pierwiastki z trzech i przeciwprostokątnej 4. Bok równy 2 leży naprzeciwko kąta 30 stopni, a bok dwa pierwiastki z trzech naprzeciwko kąta 60 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy pole trójkąta.

P = \frac{2 \cdot 2 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}

Pole trójkąta jest równe $2 \sqrt{3}$ .

Pole trójkąta równobocznego

RoIFeZMbJAxBr1

Rysunek trójkąta równobocznego o boku a i wysokości jedna druga pierwiastka z trzech razy a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości $a$ jest równa $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ . Wstawiając tę wartość do wzoru na pole trójkąta, otrzymujemy wzór na pole trójkąta równobocznego

P = \frac{a h}{2} = \frac{a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}

Pole trójkąta równobocznego

Twierdzenie: Pole trójkąta równobocznego

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ jest równe $P = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ .

RsR8WXRhMZ90C1

Rysunek trójkąta równobocznego o boku a. Obok rysunku umieszczono wzór na pole tego trójkąta: P=34a2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Rwjht0CCvt8dU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Pole trójkąta jest równe $20 {cm}^{2}$ . Oblicz

wysokość trójkąta, wiedząc, że podstawa do której poprowadzono wysokość, jest równa $4 cm$ .
długość podstawy trójkąta, wiedząc, że wysokość poprowadzona do tej podstawy, jest równa $1 dm$ .

R1M2AG30aULLY

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole $P$ trójkąta o wysokości $h$ , poprowadzonej do podstawy długości $a$ , wynosi $P = \frac{a h}{2}$ .

$h = \frac{2 P}{a}$ , $h = \frac{40}{4} = 10$ , $h = 10 cm$
$a = \frac{2 P}{h}$ , $a = \frac{40}{10} = 4$ , $a = 4 cm$

Ćwiczenie 3

Wysokość $C D$ trójkąta $A B C$ dzieli podstawę $A B$ w stosunku $1 : 3$ . Wykaż, że pola trójkątów $A D C$ oraz $D B C$ pozostają również w stosunku $1 : 3$ .

R1Opm1SUVJdEg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1cBg9Tr5Fbce

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, w którym bok AB jest przeciwprostokątną. Poprowadzono wysokość z wierzchołka C na podstawę A B w tym trójkącie. Punkt przecięcia wysokości z podstawą A B oznaczono jako D. Długość odcinka A D wynosi x, a długość odcinka B D wynosi 3x. Kąt C D B oznaczono jako kąt prosty. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole $P$ trójkąta $A B C$ o wysokości $h$ , poprowadzonej do podstawy długości $a$ , wynosi $P = \frac{a h}{2}$ .
Pole $P_{1}$ trójkąta $A D C$ wynosi $P_{1} = \frac{\frac{a}{4}}{2} h = \frac{1}{4} P$ .
Pole $P_{2}$ trójkąta $D B C$ wynosi

P_{2} = \frac{\frac{3 a}{4}}{2} h = \frac{3}{4} P

Stąd

P_{1} : P_{2} = 1 : 3

$P_{1} : P_{2} = 1 : 3$

Ćwiczenie 4

Wysokość $C D$ trójkąta $A B C$ ma długość $8$ i dzieli podstawę $A B$ w stosunku $1 : 3$ . Pole trójkąta jest równe $32$ . Oblicz pole trójkąta $A D C$ oraz pole trójkąta $D B C$ .

R2D90dgHG7SlL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pola trójkątów $A D C$ oraz $D B C$ są w stosunku $1 : 3$ , ich suma wynosi $32$ .

Jeden z trójkątów ma pole równe $8$ , a drugi $24$ .

Ćwiczenie 5

R1OLpAh7ETVpU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Rvo8VkmOYse1Z

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że wysokość $C D$ tworzy z podanymi bokami trójkąta dwa trójkąty prostokątne.

Ćwiczenie 7

Oblicz pole trójkąta $A B C$ zakładając, że jednostka to jedna kratka.

RKlrpRy4xnZcl1

Rysunek przedstawia równoramienny trójkąt prostokątny ABC, w którym przeciwprostokątna ma długość 4. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJvVa1PXekBno

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

RXjfcUUy0vn0C

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Oblicz pole trójkąta prostokątnego równoramiennego o przeciwprostokątnej długości

$6 \sqrt{2}$
$0,5 \sqrt{2}$
$1$
$\frac{2}{5}$

R1PH5Y4DC8Eg6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole $P$ trójkąta prostokątnego, równoramiennego o przeciwprostokątnej $c$ oraz przyprostokątnych $a$ wynosi

P = \frac{a^{2}}{2}

Z twierdzenia Pitagorasa

c^{2} = 2 a^{2}

więc

P = \frac{\frac{c^{2}}{2}}{2} = \frac{c^{2}}{4}

$18$
$\frac{1}{8}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{25}$

Ćwiczenie 10

Zmień położenie wierzchołków trójkąta $A B C$ tak, aby otrzymać trójkąt prostokątny. Oblicz pole tego trójkąta, przyjmując, że długość jednej kratki jest równa $1$ .

R1ciDNCzMV9eF1

Pole trójkąta o prostopadłych bokach długości $4$ kratek i $2$ kratek wynosi $4$ .

R7hCncZdfslW1

Ćwiczenie 10

Połącz opisane trójkąty z ich polami. Trójkąt prostokątny o ramionach o długości

a = 1

, przeciwprostokątnej o długości

c = \sqrt{2}

oraz wysokości na nią upuszczonej

h = \frac{\sqrt{2}}{2}

. Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 10 \frac{1}{2}

, 2.

P = \frac{1}{2}

, 3.

P = 4 \sqrt{3}

Trójkąt równoboczny o boku o długości

a = 3

oraz o wysokości

h = 2 \sqrt{3}

. Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 10 \frac{1}{2}

, 2.

P = \frac{1}{2}

, 3.

P = 4 \sqrt{3}

Trójkąt prostokątny o bokach:

a = 3

b = 4

c = 5

oraz wysokości upuszczonej na bok

a

o długości

h = 7

, Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 10 \frac{1}{2}

, 2.

P = \frac{1}{2}

, 3.

P = 4 \sqrt{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Pole trójkąta prostokątnego jest równe $12$ . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej, wiedząc, że

pierwsza przyprostokątna ma długość $4$
pierwsza przyprostokątna jest równa drugiej
pierwsza przyprostokątna jest dwukrotnie dłuższa od drugiej
pierwsza przyprostokątna jest trzykrotnie krótsza od drugiej

ReGB6721xpjeO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole $P$ trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a$ oraz $b$ wynosi $P = \frac{a b}{2}$ .

$12 = \frac{4 b}{2}$ , $b = 6$
$12 = \frac{b^{2}}{2}$ , $b = 2 \sqrt{6}$
$12 = \frac{2 b^{2}}{2}$ , $b = 2 \sqrt{3}$
$12 = \frac{\frac{b^{2}}{3}}{2}$ , $b = 6 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 12

Oblicz obwód $L$ trójkąta prostokątnego wiedząc, że:

jego pole jest równe $6$ , a jedna z przyprostokątnych ma długość $4$ ,
jego pole jest równe $30$ , a jedna z przyprostokątnych ma długość $12$ ,
jego przyprostokątne są równe, a pole wynosi $24, 5$ .

ROcZS0qnk97Hn

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole $P$ trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a$ oraz $b$ wynosi $P = \frac{a b}{2}$ .

Przeciwprostokątna $c$ z twierdzenia Pitagorasa wynosi

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

L = a + b + c

$6 = \frac{4 a}{2}$ , $a = 3$ , $c = 5$ , $L = 4 + 3 + 5 = 12$
$30 = \frac{12 a}{2}$ , $a = 5$ , $c = 13$ , $L = 12 + 5 + 13 = 30$
$24, 5 = \frac{a^{2}}{2}$ , $a = 7$ , $b = 7$ , $c = 7 \sqrt{2}$ , $L = 7 + 7 + 7 \sqrt{2} = 14 + 7 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 13

Udowodnij, że pole trójkąta rozwartokątnego jest różnicą pól dwóch trójkątów prostokątnych.

RCDA4P28RuQZ6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16DLAAMTZYgX

Jeśli w trójkącie $A B C$ kąt przy wierzchołku $C$ jest rozwarty, a $B D$ jest wysokością trójkąta $A B C$ opuszczoną z wierzchołka $B$ , to pole trójkąta $A B C$ jest różnicą pola trójkąta $A B D$ i pola trójkąta $B C D$ .

RFq6APmZlORzB

Na rysunku przedstawiony jest przykładowy trójkąt rozwartokątny A B C. Kąt przy wierzchołku C jest rozwarty. Wysokość trójkąta jest opuszczona z wierzchołka B i tworzy odcinek B D. Wysokość jest prostopadła do prostej zawierającej podstawę trójkąta A C i pada poza nią. Możemy zauważyć, że trójkąty A B D i B C D są prostokątne. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Załóżmy, że trójkąt $A B C$ ma kąt rozwarty przy wierzchołku $C$ oraz $B D$ jest wysokością trójkąta $A B C$ opuszczoną z wierzchołka $B$ .

Widzimy, że aby obliczyć pole trójkąta $A B C$ możemy od pola trójkąta prostokątnego $A B D$ odjąć pole trójkąta prostokątnego $B C D$ .

Stąd otrzymujemy, że pole trójkąta rozwartokątnego jest różnicą pól dwóch trójkątów prostokątnych.

Ćwiczenie 14

Oblicz pole $P$ trójkąta równoramiennego, którego podstawa ma długość $80$ , a ramię $41$ .

RmUAJJqJ6QiqE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole $P$ trójkąta o wysokości $h$ , poprowadzonej do podstawy długości $a$ , jest równe

P = \frac{a h}{2}

W trójkącie równoramiennym o ramieniu $41$ i podstawie $a = 80$ wysokość opuszczona na tę podstawę wynosi, z twierdzenia Pitagorasa

h = \sqrt{41^{2} - 40^{2}} = 9

Zatem

P = 360

$P = 360$

Ćwiczenie 15

Ramiona trójkąta równoramiennego mają długość $10$ , a jego podstawa ma długość $16$ . Oblicz pole tego trójkąta.

R1QJ8TXmNxHhm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole $P$ trójkąta o wysokości $h$ poprowadzonej do podstawy długości $c$ , jest równe

P = \frac{c h}{2}

W trójkącie równoramiennym o ramieniu $a = 10$ i podstawie $c = 16$ wysokość opuszczona na tę podstawę wynosi, z twierdzenia Pitagorasa

h = \sqrt{a^{2} - {(\frac{c}{2})}^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6

Zatem

P = 48

Ćwiczenie 16

Oblicz obwód $L$ trójkąta równoramiennego, którego pole jest równe $660$ , a podstawa ma długość $120$ .

RxSePJECllRoq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole $P$ trójkąta o wysokości $h$ , poprowadzonej do podstawy długości $c$ , wynosi

P = \frac{c h}{2}

Stąd

660 = \frac{120 h}{2}

h = 11

W trójkącie równoramiennym o ramieniu $a$ i podstawie $c$ wysokość opuszczoną na tę podstawę obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

h = \sqrt{a^{2} - {(\frac{c}{2})}^{2}}

a^{2} = h^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2}

Stąd

a^{2} = 121 + 3600 = 3721

a = 61

Zatem

L = 61 + 61 + 120 = 242

$L = 61 + 61 + 120 = 242$

Ćwiczenie 17

RhsjZJjdh7Naq

$2 {dm}^{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} {dm}^{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} dm$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ wynosi: $P = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ , zatem

P = \frac{\sqrt{3}}{4} {(\sqrt{2})}^{2}

P = \frac{\sqrt{3}}{2} dm^{2}

Ćwiczenie 18

RwSJpt7Nqi8w4

$100 {cm}^{2}$
$80 \sqrt{3} {cm}^{2}$
$81 \sqrt{3} {cm}^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole trójkąta równobocznego o boku długości a wynosi $P = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$
Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości $a$ jest równa $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , a więc 9 $\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ , stąd

a = 18

P = 81 \sqrt{3} {cm}^{2}

P = 81 \sqrt{3} {cm}^{2}

Ćwiczenie 19

R1HP5it1VJ0S2

$4 \sqrt{3} {mm}^{2}$
$\sqrt{3} {mm}^{2}$
$12 \sqrt{3} {mm}^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ wynosi $P = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ , ponieważ $a = \frac{12}{3} = 4$ , to

P = 4 \sqrt{3} {mm}^{2}

R1EEZ2L2feHbh

Ćwiczenie 20

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 21

RaVnhhlJPOwij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 22

RPRkO9g6eDW4U

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $\sqrt{3}$ wyraża się liczbą naturalną.
Pole trójkąta równobocznego zawsze wyraża się liczbą niewymierną.
Jeśli pole trójkąta równobocznego wyraża się liczbą niewymierną, to również obwód tego trójkąta wyraża się liczbą niewymierną.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole trójkąta równobocznego o boku długości $\sqrt{3}$ nie wyraża się liczbą naturalną, ponieważ $P = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .
Pole trójkąta równobocznego nie zawsze wyraża się liczbą niewymierną, ponieważ jeśli bok trójkąta ma długość $2 \sqrt[4]{3}$ , to jego pole jest $3$ .
Jeśli pole trójkąta równobocznego wyraża się liczbą niewymierną, to nie oznacza, że obwód tego trójkąta również wyraża się liczbą niewymierną, ponieważ jeśli bok trójkąta ma długość $2$ , to jego pole wynosi $\sqrt{3}$ , a obwód $6$ .

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Wielokąty foremne

4. Pole równoległoboku